材料力學(xué)截面的幾何性質(zhì)

1、第四章 截面的幾何性質(zhì) 概述： 討論的問(wèn)題：介紹與截面形狀和尺寸有關(guān)的幾何量(靜矩、慣性矩、慣性積）的定義及計(jì)算方法；平行移軸公式，轉(zhuǎn)軸公式等。 在實(shí)際工程中發(fā)現(xiàn)，同樣的材料，同截面積，由于橫截面的形狀不同，構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度有明顯不同，如一張紙（或作業(yè)本），兩端放在鉛筆上，明顯彎曲，更不能承載東西了.但把同一張紙折成波浪狀（象石棉瓦狀） ，這時(shí)紙的兩端再擱在鉛筆上，不僅不彎曲，再放上一支鉛筆,也不彎曲.可見(jiàn),材料截面的幾何形狀對(duì)強(qiáng)度、剛度是有一定影響的，研究截面幾何性質(zhì)的目的就是解材料力學(xué)截面的幾何性質(zhì)決如何用最少的材料，制造出能承擔(dān)較大荷載的桿件的問(wèn)題的. 41 截面的靜矩和形心截面的靜矩和

2、形心 一、靜矩的定義 設(shè)平面圖形，取zoy坐標(biāo)系，取面積元dA，坐標(biāo)為（z,y），整個(gè)截面對(duì)z、y軸的靜矩為： 整個(gè)截面對(duì)z軸的靜矩； 整個(gè)截面對(duì)y軸的靜矩；dAyczcyzczooAyzdAsydA材料力學(xué)截面的幾何性質(zhì) 若將 理解為垂直于紙面的力， 便是對(duì)z軸的力矩， 則為對(duì)z軸的合力矩，故稱(chēng)為面積矩。 若形心坐標(biāo)為 ，靜矩也可寫(xiě)成： 性質(zhì)： 1、同一截面對(duì)不同軸的靜矩亦不同；靜矩可以是正、可以是負(fù)或零； 2、單位： ； 3、當(dāng)坐標(biāo)軸原點(diǎn)過(guò)形心， ；yzs ccyz,ASyASzzcyc,cyA czAdA0, 0 yzccssyzydA33, cmmm0yxss材料力學(xué)截面的幾何性質(zhì) 反

3、之，若 ，坐標(biāo)軸原點(diǎn)必過(guò)截面形心。 二、形心位置的計(jì)算二、形心位置的計(jì)算 形心位置： 對(duì)面積連續(xù)分布的（非組合圖形）圖形：AydAAsyAzdAAszAzcAyciiiciiciiiiccAAyyAAzzicyA 材料力學(xué)截面的幾何性質(zhì) 對(duì)組合圖形：；iiciyAzSiciizAys個(gè)分圖形的形心坐標(biāo)；第、個(gè)分圖形的面積；第iyziAciciiyxss,材料力學(xué)截面的幾何性質(zhì) 例1，求四分之一圓截面對(duì)z,y軸的形心位置 解：取如圖示的坐標(biāo)系, 先求dyz yydAsAz dR2320cossin33R344323RRRAsyzcdyRdzy z zdAsAz czooAyzdAsczdzdRd

4、yRyRzcossincosdzy z zdAsAz czooAyzdAscz dRRR sinsincos 材料力學(xué)截面的幾何性質(zhì)dRo232sincos34 RAszyc233sin31oR,5027022mmA材料力學(xué)截面的幾何性質(zhì) 三、組合截面的靜矩 例1：如圖由兩個(gè)矩形截面組合成的T形截面，y軸為對(duì)稱(chēng)軸， 對(duì)z，y軸的靜矩。 解：因?yàn)槭墙M合圖形,又關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)， 故有：）；，（0021zzAzSiiciy2211AyAyAysiciiz, )(10625. 2350270302270303001525mm ,3030021mmA50300czoAyzdAs30270材料力學(xué)截面的幾何性

5、質(zhì) 4-2 慣性矩和慣性積慣性矩和慣性積 一、慣性矩的定義 -面積對(duì)坐標(biāo)軸的二次矩. 設(shè)一平面圖形，取一元面積 ，坐 標(biāo)為(z,y)，距原點(diǎn)的距離為 ，方位 角為 ，定義： 平面圖形對(duì)z,y軸的慣性積;而 y;2 dAyIAz;2dAzIAyzydAIAzydAIdAdAyzIIAAAyz2222定義：.極慣性矩yczyzII、czooAyzdAs;2 dAyIAzyzII、材料力學(xué)截面的幾何性質(zhì) 二、性質(zhì) 1、 恒為正， 可正、可負(fù)、也可以為零，其正負(fù)值與坐標(biāo)軸的位置有關(guān)。 2、單位：（長(zhǎng)度）4； 例4-4 ： 計(jì)算直徑為d的圓截面對(duì)形心軸z,y的慣性矩和慣性積。 解：用平面極坐標(biāo)zyIdA

6、yIAz2 dddoo 2222sinddodo2232sin dod）、 yz (）、（yzdd2cos1214120204cz).,(rdddA .cos;sinzydA446424dd4641dIIyz材料力學(xué)截面的幾何性質(zhì) 由于對(duì)稱(chēng)： 極慣性矩：對(duì)過(guò)形心的一對(duì)軸的慣性積 因坐標(biāo)軸是對(duì)稱(chēng)軸，如對(duì)左右的 （如上圖）， 結(jié)論：截面如有一根對(duì)稱(chēng)軸，則截面對(duì)這根軸與另一根與之垂直的軸的 .432122dIIIIIyzyz0sincos22 ddzydAIodozy0ydAzzydA446424dd0zyI3121bhIz材料力學(xué)截面的幾何性質(zhì) 對(duì)矩形截面，過(guò)形心軸的慣性矩： 若為組合圖形，對(duì)z軸

7、，y軸的慣性矩： 因 , 元面積對(duì)z軸的慣性矩就等于將各元面積對(duì)z軸的慣性矩求和，因質(zhì)量連續(xù)分布，求和則為積分。3121hbIybczhoAyzdAsziizII，yiiyIIdAyIz2，yzyzIIIIIII2221材料力學(xué)截面的幾何性質(zhì) 應(yīng)用于圓環(huán)的情形,可看成兩個(gè)圓形截面， .16432322124444DdDdDIIIyz式中的），（zzIAr2其他如表4.1.材料力學(xué)截面的幾何性質(zhì) *慣性半徑（回轉(zhuǎn)半徑）的概念： 如以r表示某一截面對(duì)某軸的慣性半徑，定義 例43中的矩形截面：AIrzzyyIAr2AIryyhhhh bbhAIrzz289. 03212123Azryrcz.zyIo

8、AyzdAsczhoAyzdAsziizII材料力學(xué)截面的幾何性質(zhì) 補(bǔ)充例子：試計(jì)算圓弧右上方陰影部分面積的慣性積 解：因?yàn)閼T性矩與慣性積等于各微 元面積的慣性矩或慣性積之和， 所 以 rzyABCDzyzyIIIrBczoCzrD.884444rrrIzy;8212104220000200222222ryrryrryrArrzyrdyyrydyzyzdzydyyzdydzyzdAI）（;4040 rrAABCDzyrzydydzzydAIzyyzIII,材料力學(xué)截面的幾何性質(zhì) 4-3慣性矩和慣性積的平行移軸公式慣性矩和慣性積的平行移軸公式 一、公式 如圖示：任一平面過(guò)形心c的坐標(biāo)系 ，截面對(duì)

9、該軸的為 ,與 平行的坐標(biāo)系為 ，截面對(duì)該 軸的為 由圖知： , zoycyczahczoo o z yy o z yy o z c.y zyzIII、zbzyay dAbzdAzIAAy22 dAbzbdAdAzAAA222AbIy20AbIIyy2y材料力學(xué)截面的幾何性質(zhì) 結(jié)論：截面對(duì)與形心軸平行的任意 軸 的慣性矩等于截面對(duì)過(guò)形心軸y 的慣性矩加上 . 同理可得： 平行移軸定理：截面對(duì)平行于形心軸的其它任意軸平行移軸定理：截面對(duì)平行于形心軸的其它任意軸的慣性矩等于該截面對(duì)形心軸的慣性矩加上其面積乘以的慣性矩等于該截面對(duì)形心軸的慣性矩加上其面積乘以?xún)奢S之間距離的平方。兩軸之間距離的平方。A

10、b2AaIIzz2 dAaybzdAy zIAy z dAabbydAzadAzydAAAAAAbaIccyz00AabIIccyzyzyzyzIII,材料力學(xué)截面的幾何性質(zhì) 意義:提供了計(jì)算平面圖形對(duì)平行于形心軸的其它軸的 的方法;也可反算對(duì)形心軸的慣性矩及慣性積。 例子: 求矩形截面對(duì)邊界軸z 軸的慣 性矩和截面對(duì)z軸的慣性半徑. 解： 123bhIzhbhIIzz2233331412bhbhbh.289. 0321577. 033313hhrhhhbbhAIrzzzczhoziizIIa yy o z ziyiizyyiiyziizIIIIII,材料力學(xué)截面的幾何性質(zhì)二、組合截面的慣性矩

11、及慣性積公式: 例子:求下平面圖形的 解：圖由一個(gè)矩形和兩個(gè)半圓組成,設(shè)矩形 的慣性矩為 ，每個(gè)半圓的為 , 半圓對(duì)過(guò)形心 軸的慣性矩 ,1zI312121adIz4731033. 512100280mmcz422726492dIcz?zI2zI1002 a4080dczoa32 d47221047. 332822mmdadIIczz 80d422726492dIcz材料力學(xué)截面的幾何性質(zhì) 所以4810227. 1(221mmIIIzzz）兩個(gè)半圓的材料力學(xué)截面的幾何性質(zhì) 45 慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式 討論的問(wèn)題：兩組坐標(biāo)系共原點(diǎn)，且旋轉(zhuǎn)了一角度 ，平面對(duì)這兩組坐標(biāo)系

12、的慣性矩或慣性積之間的關(guān)系。 如圖： 相對(duì) 轉(zhuǎn)過(guò)一角度 , 平面對(duì) 坐標(biāo)系的 與對(duì) 的 之間的關(guān)系- 11oyzzyyzIII,1111,yzyzIII11oyzoyz,zyIzyyzIII,zyI材料力學(xué)截面的幾何性質(zhì) 概念： 一、主慣性軸與主慣性矩 定義：截面對(duì)一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積為零，則這一對(duì)坐標(biāo)軸稱(chēng)為主慣性軸，截面對(duì)主慣性軸的慣性矩即為主慣性矩。 二、形心主慣性軸和主慣性矩 定義：截面對(duì)過(guò)形心的一對(duì)坐標(biāo)軸（互相垂直）的慣性積為零，則這一對(duì)軸稱(chēng)為形心主慣性軸，平面對(duì)形心主慣性軸的慣性矩稱(chēng)為形心主慣性矩。 由上知要確定形心慣性軸，必須先求 再令其為零。為方便，先求平面對(duì) z、y軸的 由此計(jì)算

13、相對(duì)它轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度 的 。, ,zyyzIII1111111,yzyzzyyzIIIyozIIIzoy坐標(biāo)系的平面對(duì)坐標(biāo)系的為設(shè)平面對(duì)oyz11oyz材料力學(xué)截面的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)軸公式的推導(dǎo)： 面元 的坐標(biāo)（z、y）與 二者之間的關(guān)系為： 11,yzyBDoEocz1sincosyzsincos1xy y EBCDADdAzydAyIAAz221sincos1 材料力學(xué)截面的幾何性質(zhì)同理有dAzydAzdAyAAAsincos2sincos2222 zydAdAzdAyAAAcossin2sincos2222zyyzIIIcossin2sincos22zyzyAyIIIdAzIcossin2sin

14、cos22211yzzyzyAyzIIIIdAyzIcossincossinsincos2211112sincossin22cos121sin2cos121cos22材料力學(xué)截面的幾何性質(zhì) 利用轉(zhuǎn)軸公式2cos2sin22sin2cos222sin2cos221111zyyzyzzyyzyzyzyyzyzzIIIIIIIIIIIIIIII1zI材料力學(xué)截面的幾何性質(zhì) 將 與 相加得： 結(jié)論：平面對(duì)同一原點(diǎn)的不同的一組互相垂直的坐標(biāo)軸的慣性矩之和是一常數(shù)。 三、主慣性軸及主慣性矩的求解- 由 求解： 即 因 在 內(nèi)變化， 不同對(duì)應(yīng)不同的坐標(biāo)系，從而有不同的 ，其中必有一對(duì)值最大,對(duì)慣性軸的慣性矩

15、最大。1yI常數(shù) yzyzI I I I11011yzI02cos2sin200zyyzIIIyzzyIIItg2202011oyzyzII,11oyz01材料力學(xué)截面的幾何性質(zhì) 可由 及 確定.且因 ,其中1個(gè)極大，1個(gè)為極小。 在 內(nèi)有兩個(gè) 值滿足上式， 的具體確定： （1）先設(shè)一角度 （2）再由分子 及 的正負(fù)，判斷 在哪一個(gè)象限;如: ;011ddIz011ddIy1cIIyz112000yzzyIIItg2即yzzyIIItg2即;2 dAyIAzzyI2yzII 02002 ,2 , 0, 02在第一象限yzzyI II1802 ,2 , 0, 0200在第二象限yzzyIII材料

16、力學(xué)截面的幾何性質(zhì) ; ; ; 確定了 后，再將 代入式411中求得對(duì)主慣性軸的主慣性矩 （極大）1802 ,2 , 0, 0200在第三象限yzzyIII002 ,2 , 0, 02在第四象限yzzyIII2222zyyzyzzoIIIIIIyzzyIIItg2即yzzyIIItg2即極小2222zyyzyzyoIIIIII02002122sintgtg材料力學(xué)截面的幾何性質(zhì) 說(shuō)明：主軸的慣性矩是圖形對(duì)一點(diǎn)的所有坐標(biāo)軸慣性矩中的極大值和極小值。 證明： 利用 ，0202112costg002sin2cos22zyyzyyzoIIIIII2122112222tgtgItgIIIIzyyzyz2

17、22241241122）（）（yzzyyzzyzyyzzyyzyzIIIIIIIIIIIIII222222222zyyzzyzyyzyzyzIIIIIIIIIII材料力學(xué)截面的幾何性質(zhì)222224224122yzzyyzyzzyzyyzzyyzyzyzIIIIIIIIIIIIIIIIII222242422zyyzzyzyzyyzyzyzyzIIIIIIIIIIIIII）（22222412zyyzzyyzyzIIIIIIII材料力學(xué)截面的幾何性質(zhì) 2222zyyzyzzoIIIIII 224212zyyzyzIIIII002sin2cos22zyyzyzyoIIIIII材料力學(xué)截面的幾何性質(zhì)02

18、00221221122tgtgItgIIIIzyyzyz222241221122yzzyyzzyzyyzzyyzyzIIIIIIIIIIIIII2222224124122zyyzzyzyyzyzyzIIIIIIIIIII22222222142zyyzzyzyyzyzyzIIIIIIIIIII材料力學(xué)截面的幾何性質(zhì) 實(shí)際上，求出了 ，2222zyyzyzyoIIIIIIzoIzoyzyoI I I I ccyz,材料力學(xué)截面的幾何性質(zhì) 五、組合圖形截面的形心主慣性軸及形五、組合圖形截面的形心主慣性軸及形心主慣性矩的計(jì)算心主慣性矩的計(jì)算 1、求形心位置，定初始參考軸z、y，將圖形拆開(kāi)，求各自的形心坐標(biāo)，再在形心c處作兩根平行于z、y的 軸，不一定為主軸； 2、求各圖形對(duì)自己形心軸的 進(jìn)而求組合圖形的-。 3、由 求 ，即確定主軸； 4、求對(duì)主軸的 。，、ciciyzycizciIII0zcycI0yozoII,212211AAzAzAzc材料力學(xué)截面的幾何性質(zhì) 例48：求形心主慣性矩 解：圖分成兩塊，取參考坐 標(biāo) 系 zoy ，、兩塊的形 心如圖示； 1、求組合圖形的形心坐標(biāo) mm40101