第八章電子的自旋

1、第八章第八章 電電 子子 的的 自自 旋旋本本 章章 要要 求求1.電子的內(nèi)稟屬性電子的內(nèi)稟屬性自旋的概念自旋的概念電子的自旋算符和自旋波函數(shù)電子的自旋算符和自旋波函數(shù)電子的自旋概念電子的自旋概念 電子的自旋態(tài)和自旋算符電子的自旋態(tài)和自旋算符教教 學(xué)學(xué) 內(nèi)內(nèi) 容容1 電子的自旋概念電子的自旋概念 （一）（一）電子自旋的引入電子自旋的引入Z處于處于s態(tài)的態(tài)的銀原子銀原子NS 許多實(shí)驗(yàn)證實(shí)電子具有自旋，許多實(shí)驗(yàn)證實(shí)電子具有自旋，斯特恩斯特恩(Stern)-蓋拉赫蓋拉赫(Gerlach)實(shí)驗(yàn)就是其中之一。實(shí)驗(yàn)就是其中之一。實(shí)驗(yàn)結(jié)論實(shí)驗(yàn)結(jié)論I. 銀原子有磁矩銀原子有磁矩 因在非均勻磁場(chǎng)中發(fā)生偏轉(zhuǎn)因在非

2、均勻磁場(chǎng)中發(fā)生偏轉(zhuǎn)II. 銀原子磁矩只有銀原子磁矩只有兩種兩種取向取向 即空間是量子化的即空間是量子化的理論分析理論分析 設(shè)銀原子磁矩為設(shè)銀原子磁矩為 ，非均勻磁場(chǎng)為，非均勻磁場(chǎng)為 ，方向是，方向是z 向。則原子在外場(chǎng)中的附加勢(shì)能向。則原子在外場(chǎng)中的附加勢(shì)能 B UB coszB 銀原子沿銀原子沿z 方向的受力：方向的受力：z(cos ) or zzzBBUFzzz 若原子磁矩可任意取向，則若原子磁矩可任意取向，則 cos 可在可在 (-1, +1)之間之間連續(xù)變化，感光板將呈現(xiàn)連續(xù)帶。連續(xù)變化，感光板將呈現(xiàn)連續(xù)帶。磁矩與磁場(chǎng)磁矩與磁場(chǎng)(z軸軸)之夾角之夾角 但實(shí)驗(yàn)結(jié)果是出但實(shí)驗(yàn)結(jié)果是出現(xiàn)兩條

3、分立線，對(duì)應(yīng)現(xiàn)兩條分立線，對(duì)應(yīng)cos = -1 和和+1 。處于。處于s態(tài)的銀態(tài)的銀原子原子 =0，沒(méi)有軌道磁矩。，沒(méi)有軌道磁矩。 那么那么原子磁矩來(lái)自哪里原子磁矩來(lái)自哪里呢？又如何解釋原子的這種空間取向量子化呢？呢？又如何解釋原子的這種空間取向量子化呢？ 為了解釋實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，烏倫貝克為了解釋實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，烏倫貝克(Uhlenbeck) 和古和古德斯密特德斯密特(Goudsmit)于于1925年提出年提出電子自旋電子自旋假設(shè)：假設(shè)： 類(lèi)似于地球繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)，電子一方面繞類(lèi)似于地球繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)，電子一方面繞原子核運(yùn)轉(zhuǎn)，相應(yīng)有軌道角動(dòng)量，一方面又原子核運(yùn)轉(zhuǎn)，相應(yīng)有軌道角動(dòng)量，一方面又有自轉(zhuǎn)有自轉(zhuǎn)(自旋自

4、旋)，有自轉(zhuǎn)，有自轉(zhuǎn)(自旋自旋)角動(dòng)量。角動(dòng)量。其理論主要內(nèi)容：其理論主要內(nèi)容：（1）每個(gè)電子都具有自旋角動(dòng)量）每個(gè)電子都具有自旋角動(dòng)量 ，它在，它在空間任何空間任何方向上方向上的投影只能取兩個(gè)數(shù)值：的投影只能取兩個(gè)數(shù)值：s 2zs 所以所以Stern-Gerlach實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)中，原子磁矩應(yīng)該來(lái)自于中，原子磁矩應(yīng)該來(lái)自于電子的自旋運(yùn)動(dòng)，即自旋磁矩，它在電子的自旋運(yùn)動(dòng)，即自旋磁矩，它在 z 向投影有向投影有2個(gè)個(gè)值，所以觀察到值，所以觀察到2條個(gè)分立線。條個(gè)分立線。（2）每個(gè)電子都具有自旋磁矩）每個(gè)電子都具有自旋磁矩 ，它與自旋角動(dòng)量，它與自旋角動(dòng)量的關(guān)系為：的關(guān)系為： (SI); (CGS)ee

5、ssmmc( m 電子折合質(zhì)量電子折合質(zhì)量 )自旋磁矩在空間任何方向上的投影只能取兩個(gè)值：自旋磁矩在空間任何方向上的投影只能取兩個(gè)值： (SI)2zBem 電子自旋運(yùn)動(dòng)的幾點(diǎn)說(shuō)明：電子自旋運(yùn)動(dòng)的幾點(diǎn)說(shuō)明： 電子自旋運(yùn)動(dòng)與電子的電子自旋運(yùn)動(dòng)與電子的“軌道軌道”運(yùn)動(dòng)不同，主運(yùn)動(dòng)不同，主要表現(xiàn)在兩方面：要表現(xiàn)在兩方面：u 電子自旋角動(dòng)量的電子自旋角動(dòng)量的z分量分量sz =/2；電子；電子“軌道軌道”角動(dòng)量的角動(dòng)量的z分量分量lz = m。u 二者的朗德因子二者的朗德因子(g因子因子)或回轉(zhuǎn)磁比率不同?；蚧剞D(zhuǎn)磁比率不同。zszegsm 自旋運(yùn)動(dòng)自旋運(yùn)動(dòng)2llzeglm “軌道軌道”運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng) 自旋是電子

6、的一種自旋是電子的一種內(nèi)稟屬性內(nèi)稟屬性，和電子的坐標(biāo)，和電子的坐標(biāo)以及動(dòng)量無(wú)關(guān)，是以及動(dòng)量無(wú)關(guān)，是描述電子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的第四個(gè)變描述電子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的第四個(gè)變量量或自由度。（電子狀態(tài)變量或自由度。（電子狀態(tài)變量=空間坐標(biāo)空間坐標(biāo)+自旋）自旋） 自旋角動(dòng)量用自旋算符自旋角動(dòng)量用自旋算符 描寫(xiě)，它描寫(xiě)，它無(wú)經(jīng)典對(duì)無(wú)經(jīng)典對(duì)應(yīng)應(yīng)，因?yàn)椴荒軐?xiě)成坐標(biāo)和動(dòng)量的函數(shù)。，因?yàn)椴荒軐?xiě)成坐標(biāo)和動(dòng)量的函數(shù)。s 那么，那么，電子的自旋算符該如何表示？計(jì)及自電子的自旋算符該如何表示？計(jì)及自旋后，電子的態(tài)函數(shù)旋后，電子的態(tài)函數(shù) 又該如何表示？又該如何表示？2 電子的自旋態(tài)和自旋算符電子的自旋態(tài)和自旋算符 （一）（一）電子自旋態(tài)的描

7、述電子自旋態(tài)的描述考慮自旋后，電子的波函數(shù)寫(xiě)為二分量形式：考慮自旋后，電子的波函數(shù)寫(xiě)為二分量形式：( ,)2( ,)( ,)2zrr sr 第第4個(gè)變量個(gè)變量自旋向上分量自旋向上分量sz = /2自旋向下分量自旋向下分量sz = -/22( ,2)r 自旋向上且位置在自旋向上且位置在r處的概率密度處的概率密度2( ,2)r 自旋向下且位置在自旋向下且位置在r處的概率密度處的概率密度(1)2( ,2)rd 電子自旋向上的總概率電子自旋向上的總概率2( ,2)rd 電子自旋向下的總概率電子自旋向下的總概率歸一化條件歸一化條件1d *( ,)*( ,)22rr ( ,)21*( ,)*( ,)22(

8、 ,)2rrrdr 共軛態(tài)共軛態(tài)復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)共軛 *厄米共軛厄米共軛 +22( ,2)( ,2)1rrd 歸一化條件歸一化條件因此，電子波函數(shù)歸一化時(shí)，必須因此，電子波函數(shù)歸一化時(shí)，必須同時(shí)對(duì)自旋求和同時(shí)對(duì)自旋求和以及對(duì)空間坐標(biāo)積分以及對(duì)空間坐標(biāo)積分。電子自旋向上電子自旋向上的概率的概率電子自旋向下電子自旋向下的概率的概率 若自旋和軌道相互作用可以忽略，則電子波函數(shù)若自旋和軌道相互作用可以忽略，則電子波函數(shù)可分離變量：可分離變量：( ,)( ) ()zzr srs (sz)即是描述即是描述自旋態(tài)的波函數(shù)自旋態(tài)的波函數(shù)，其一般形式，其一般形式()zasb 自旋波函數(shù)自旋波函數(shù)其歸一化形式其歸一化

9、形式 22*1aababb 自旋向上的概率自旋向上的概率自旋向下的概率自旋向下的概率自旋角動(dòng)量的自旋角動(dòng)量的z分量算符分量算符 的本征態(tài)：的本征態(tài)：zs 1 210zs 1 201zs （本征值（本征值/2）（本征值（本征值-/2）( 理由理由? )（二）電子自旋算符和（二）電子自旋算符和PauliPauli矩陣矩陣 電子的自旋角動(dòng)量可用自旋算符電子的自旋角動(dòng)量可用自旋算符 描寫(xiě)，它雖描寫(xiě)，它雖然無(wú)經(jīng)典對(duì)應(yīng)，但作為角動(dòng)量，應(yīng)該滿足角動(dòng)量然無(wú)經(jīng)典對(duì)應(yīng)，但作為角動(dòng)量，應(yīng)該滿足角動(dòng)量的一般定義：的一般定義：s ssi s ,xyzyzxzxySSi SSSi SSSi S 分量形式分量形式（參見(jiàn)第（

10、參見(jiàn)第3章角動(dòng)量算章角動(dòng)量算符部分）符部分）(2)1. 自旋算符自旋算符由于由于自旋角動(dòng)量自旋角動(dòng)量在空間任意方向上的投影只能取在空間任意方向上的投影只能取 /2 兩個(gè)值，所以兩個(gè)值，所以, , xyzSSS的本征值都是的本征值都是 /2，其平方為，其平方為 /222S算符的本征值是算符的本征值是2222234xyzSSSS 仿照仿照22(1)ll l 2223412(1)sSs s 自旋量子數(shù)自旋量子數(shù)s s只有只有一個(gè)數(shù)值一個(gè)數(shù)值1 21 2( ,)( ,)2zzzsr sr s 本征值本征值/2（自旋向上），本征函數(shù)（自旋向上），本征函數(shù) 1/2 :12( , )( ,), ()220z

11、zrr ss 自旋向上的態(tài)自旋向上的態(tài)(3) (4)1 21 2( ,)( ,)2zzzsr sr s (5)本征值本征值-/2（自旋向下），本征函數(shù)（自旋向下），本征函數(shù) -1/2。下面先計(jì)算下面先計(jì)算 。其本征值方程如下。其本征值方程如下(3)和和(5)式：式：zs120( ,), ()2( ,)2zzr ssr 自旋向下的態(tài)自旋向下的態(tài) (6)2zabscd 令令由由(3)-(6)式，易知式，易知102 01zs 如何計(jì)算如何計(jì)算 ？,xyss引入引入Pauli算符算符 ： 2s 2. Pauli算符算符222xxyyzzSSS 分量形式分量形式Pauli算符算符是否厄米是否厄米算符？算

12、符？xyzSSS、的本征值都是的本征值都是 /2，xyz、的本征值都是的本征值都是1；222xyyxzyzzyxzxxzyiii 分量形式分量形式 2 SiSi S 對(duì)易關(guān)系對(duì)易關(guān)系的本征值都是的本征值都是1 。222xyz、即：即：2221xyz 基于基于的對(duì)易關(guān)系，可以證明的對(duì)易關(guān)系，可以證明各分量之間滿足各分量之間滿足:000 xyyxyzzyzxxz 由對(duì)易關(guān)系和反對(duì)易關(guān)系還可以得到關(guān)于由對(duì)易關(guān)系和反對(duì)易關(guān)系還可以得到關(guān)于 Pauli 算算符的如下非常有用性質(zhì)：符的如下非常有用性質(zhì)：xyyxzyzzyxzxxzyiii 反對(duì)易關(guān)系反對(duì)易關(guān)系3. Pauli算符的矩陣表示算符的矩陣表示P

13、auli矩陣矩陣102 01zs 2zzS 1001z 再求再求 Pauli 算符的其他兩個(gè)分量。令算符的其他兩個(gè)分量。令xabcd zxxz (反對(duì)易關(guān)系反對(duì)易關(guān)系)1010 0101a ba bc dc d aba bcdc d 0 0ad x簡(jiǎn)化為：簡(jiǎn)化為：00 xbc 由力學(xué)量算符厄密性由力學(xué)量算符厄密性*000 000 xxbbcccb 得：得：b = c* (或或c = b*)*0 0 xcc *200 00 xcccc 22| |00| |cc I 1|2 c令：令：c = expi (為實(shí)），則為實(shí)），則00ixiee 習(xí)慣上取習(xí)慣上取= 00 11 0 x (?)(?) yzxi 再由再由1001 0110yi 0 0yii 0 11 0 x 00yii 1001z Pauli矩陣矩陣( z 表象表象)0 11 0 x 00yii 1001z 2s 0 12 1 0 xS 020yiSi 102 01zS , , xyzSSS的本征值的本征值 /2，相應(yīng)的本征矢？，相應(yīng)的本征矢？ (