三年高考(2016-2018)高考數(shù)學試題分項版解析專題14與數(shù)列相關(guān)的綜合問題理(含解析)

1、專題14與數(shù)列相關(guān)的綜合問題考綱解讀明方向考點內(nèi)容解讀要求咼考示例?？碱}型預測熱度1.數(shù)列求和掌握非等差、等比數(shù)列求和的幾種常見方法掌握2017 課標全國I,12；2016 課標全國n,17解答題2.數(shù)列的綜合應用能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等 差關(guān)系或等比關(guān)系，抽象出數(shù)列的模 型,并能用有關(guān)知識解決相應的問題掌握2017 山東,19;2015 福建,8;2013 重慶,12選擇題解答題分析解讀1.會用公式法、倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法、分組轉(zhuǎn)化法求解不同類型數(shù)列的和2能綜合利用等差、等比數(shù)列的基本知識解決相關(guān)綜合問題3 數(shù)列遞推關(guān)系、非等差、等比數(shù)列的求和是高考熱點，特別是錯位相減

2、法和裂項相消法求和分值約為 12 分,難度中等.2018 年咼考全景展示1 .【2018 年浙江卷】已知：成等比數(shù)列，且 5).若：，則A.引吟叫勻B.口叫 C.口 1旳叫D. 口 呵叫：知【答案】B【解析】分析：先證不等式+ :,再確定公比的取值范圍，進而作出判斷f (x) = 1.詳解：令1:,則，令得I,所以當丄時，,當I時,因此+ 若公比0,則n 5 ” u 吐心u 不合題意；若公比：；，則，:. :： - . ：I -； : /nx + ldex X + l,exx2+l(x 0).2.【2018 年浙江卷】已知集合: 1-1、 ,7；乙一.將 I ；的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一

3、個數(shù)列.記 為數(shù)列的前n項和，則使得亠、卜一成立的n的最小值為【答案】27【解析】分析：先根據(jù)等差數(shù)列以及等比數(shù)列的求和公式確定滿足條件的項數(shù)的取值范圍，再列不等式求滿足條件的項數(shù)的最小值詳解:設(shè)吋巧 哄=2x1-1)+(2 x2-l)+ + (22 1) + 2 + 23+ + 2勺2注-亠2絆】2,由耳得2-:+2+i - 2 12(2 + 1).(2-20(2-)-14 0.24： 2k 6所以只需研究2 16.由in2+ 25+1 2 12(2m+ l),T7i2 24m + 50 0.?TI22.7i = m + 5 27得滿足條件的最小值為27點睛：本題采用分組轉(zhuǎn)化法求和，將原數(shù)列

4、轉(zhuǎn)化為一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的和.分組轉(zhuǎn)化法求和的常u為奇數(shù)口2見類型主要有分段型(如一匕臥為偶數(shù))，符號型(如% =(一%)，周期型(如tin).3 .【2018 年理數(shù)天津卷】設(shè) 是等比數(shù)列，公比大于 0，其前n項和為：，是等差數(shù)列已知1 = 1 Og + 2a4 b3+ b5 Z?4+7.b? ? ?(I )求和 的通項公式;(II )設(shè)數(shù)列 的前 n 項和為；,(i )求，；珥+嘰池 2+-ENJ(ii )證明k + l)(k + 2) n + 234【答案】(I ), ； ( n)(i(ii )證明見解析【解析】分析：(I)由題意得到關(guān)于 q 的方程，解方程可得，則 .結(jié)合等差數(shù)

5、列通項公式可得詳解：(I )設(shè)等比數(shù)列的公比為 q.由，：可得因為 ，可得 ，故% =才 .設(shè)等差數(shù)列臨的公差為 d,由二塢4如，可得知+加=4,由口尸町+磯，可得3知+時心 1從而 I 一：-：故所以數(shù)列的通項公式為 ，數(shù)列的通項公式為-+ + 2) _(2fc+1- fc-2 + fc + 2)Ar_ t 2fc+ 1_ 2k + 22fr + 1(ii )因為：I 所以點睛：本題主要考查數(shù)列通項公式的求解，數(shù)列求和的方法，數(shù)列中的指數(shù)裂項方法等知識，意在考查學 生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力 .4.【2018 年江蘇卷】 設(shè)*，對 1, 2, , n 的一個排列|,如果當 s4）的情形，逆序

6、數(shù)為9的排列只有一個：12心所以A（0）=l.逆序數(shù)為1的排列只能是將排列中的任意相鄰兩個數(shù)字調(diào)換位墨得到的排列J所扶人=為計算A+1（2）,當1, y的排列及茸逆序數(shù)確定后，將 I 添加進原排列-I 在新排列中的位趕只能是最后三個位置.因此，齊+二22人（2） +盒+盒（0廠人（2）+山ILm =LACT-IAT（2） A_2（2） + +BQ-AGOI+IB=5 1） + 5-2） + -+4+ 辦（2）=三三，因此，空、時點睛：探求數(shù)列通項公式的方法有觀察（觀察規(guī)律）、比較（比較已知數(shù)列）、歸納、轉(zhuǎn)化（轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列）、聯(lián)想（聯(lián)想常見的數(shù)列）等方法.尋求相鄰項之間的遞推關(guān)系，是求數(shù)列通項

7、公式的一個有效的方法5.【2018 年江蘇卷】設(shè) 是首項為 ，公差為 d 的等差數(shù)列，是首項為，公比為 q 的等比數(shù)列.（1）設(shè)一“ -1若|對“C 均成立，求 d 的取值范圍；（2 ）若-；- ：,證明：存在 ，使得 I 對 I 均成立，并求*的取值范圍（用 表示）.7 5卜聲_號件【答案】（1）d的取值范圍為.（2）d的取值范圍為:，證明見解析?！窘馕觥糠治觯海?）根據(jù)題意結(jié)合并分別令n=1, 2, 3, 4 列出不等式組，即可解得公差d的嚴一2 qnlbd-b.取值范圍；（2）先根據(jù)絕對值定義將不等式轉(zhuǎn)化為 ：，根據(jù)條件易得左邊不等式恒成立，再利用數(shù)列單調(diào)性確定右邊單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為最小值

8、問題，即得公差d的取值范圍.6詳解：解：（1）由條件知：；一 I因為|對n=1, 2, 3, 4 均成立，7J5-d -即/- - -對n=1, 2, 3, 4 均成立，即 1 1, 1d3, 3 2d5, 7 3d9，得.綃因此，d的取值范圍為（2 ）由條件知：心一匚 ：一山、一門.若存在d，使得|（n=2, 3，m+1）成立,于八-2q即|婦卡（料-1）川一臥 1|乞久（打=2,3,沖十 1），即當n + 1 時，d 滿足斤一 1 一_- 11.因l ,m- b. 0為y ； 蘭乞；，從而 ，：，對均成立.因此，取d=0 時，丄丨二對；_）,-；，!均成立.F 1_勺下面討論數(shù)列|的最大值

9、和數(shù)列的最小值）.于-2 q2 _ Jiff-I + 2_疏曠-于-）于+ 21當 2 n o 時,t&八i -，所以： 單調(diào)遞減，- 1“g)*n n從而100 且該數(shù)列的前N項和為 2 的整數(shù)幕.那么 該款軟件的激活碼是A. 440B. 330C. 220D. 110【答案】A【解析】試題分析：由題意得，數(shù)列如下：1,1,2,1,2,4,III1,2,4川|,2心III則該數(shù)列的前1 2 V k二坐 衛(wèi)項和為2Si1=1 (1 2)|( (1 2川2k) =2k 1-k-2I 2丿要使 世11 100，有k _14，此時k -2k 1，所以k 2是之后的等比數(shù)列1,2H,2k1的部

10、分和，即2k 2 =12|1丨2心=2七-1,所以k=公 一3 _14，則t _5，此時k =25-3=29,29匯30對應滿足的最小條件為N5 = 440,故選 A.2【考點】等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和【名師點睛】本題非常巧妙的將實際問題和數(shù)列融合在一起，首先需要讀懂題目所表達的具體含義，以及觀察所給定數(shù)列的特征，進而判斷出該數(shù)列的通項和求和另外，本題的難點在于數(shù)列里面套數(shù)列，第一個數(shù)列的和又作為下一個數(shù)列的通項，而且最后幾項并不能放在一個數(shù)列中，需要進行判斷2. 【2017 浙江，6】已知等差數(shù)列an的公差為d,前n項和為S,則“d0”是“S+ $20”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件

11、C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件8【答案】C【解析】試題分析：由S4S2S5=10a,212(5a,10d) =d，可知當d 0,則S4S -2S50，即S4S62S5，反之，S4S32S d0,所以為充要條件，選C.【考點】 等差數(shù)列、充分必要性【名師點睛】本題考查等差數(shù)列的前n項和公式，通過公式的套入與簡單運算，可知S4&-2&=d,結(jié)合充分必要性的判斷，若P= q，貝 Up是q的充分條件，若P二q，貝卩p是q的必要條件，該題“d .0”=“S4S2S50”，故為充要條件.3.【2017 山東，理 19】已知Xn是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x計X2=3,X3-X2=

12、2(I)求數(shù)列Xn的通項公式；(H)如圖，在平面直角坐標系xOy中,依次連接點 R(X1, 1) ,Pa(X2, 2)R+I(xn+1, n+1)得到折線PiF2R+i, 求由該折線與直線y=0,X =X1,X =Xn1所圍成的區(qū)域的面積Tn.【答案】(I)Xn=2n(| )Tn =(2n)212【解析】試題分析：(I)依題意布列X1和公比q的方程組.(II )禾U用梯形的面積公式，記梯形PnPn1Qn1Qn的面積為bn.求得bn二(n n 1)2=(2n 1) 2n,應用錯位相減(2n -1) 2n129試題解析：(I)設(shè)數(shù)列xn的公比為q，由已知q0.10N +%q =32由題意得2，所以

13、3q2_5q_2=0,Xiq -Xi2因為q .0,所以q =2,為=1,因此數(shù)列xn的通項公式為Xn=2n(II )過R,F2,P3,Pnj向x軸作垂線，垂足分別為Q1)Q2)Q3)Qn1,n亠n 1 J 1由(I)得Xn 1 Xn=2 -2_=2_.記梯形PnPn 1Qn .Qn的面積為 g 所以Tn勺b2b3+bn=3 2J5 207 21-+(2n-1) 2心(2n 1) 2n，又2Tn=3 205 217 22+(2n -1) 2心(2n 1) 2n-得hn-32(2222n)-(2n 1)2心所以TnW)212【考點】1.等比數(shù)列的通項公式；2.等比數(shù)列的求和；3“錯位相減法”.【

14、名師點睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式及求和公式、數(shù)列求和的“錯位相減法”問題中的常見題型.本題覆蓋面廣，對考生計算能力要求較高 .解答本題，布列方程組，確 定通項公式是基 礎(chǔ)，準確計算求和是關(guān)鍵，易錯點是在“錯位”之后求和時，弄錯等比數(shù)列的項數(shù).本題將數(shù)列與解析幾何結(jié)合起來，適當增大了難度，能較好的考查考生的數(shù)形結(jié)合思想、邏輯思維能力及基本計算能力等.由題意bn二(n n 1)2nj2=(2n 1) 2n，,n-1、32(1-2)十-21-2n _1-(2 n 1) 2.此類題目是數(shù)列114.【2017 北京，理 20】設(shè)an和bn是兩個等差數(shù)列，記Cn=maxb -01nb?-a?n,

15、4 _a.n (n =1,2,3,),12其中maxxX2,xs表示x1,x2,xs這s個數(shù)中最大的數(shù).(I)若an= n,bn =2 n-1,求G,C2,Q的值，并證明Cn是等差數(shù)列;(n)證明：或者對任意正數(shù)M，存在正整數(shù)m，當n m時， .M；或者存在正整數(shù)m，使得ncm,cm 1,cm2,是等差數(shù)列.【答案】(I)詳見解析；(H)詳見解析【解析】所以bk-nak關(guān)于k N*單調(diào)遞減.所以5 =maxbi-印n,d - a?n,|,bn- a.n=：“-印n =1 -n，即證 明；(n)首先求q的通項公式，分d1 0,d1=0,4：三種情況討論證明.試題解折：解：(1 ) 5一斫ucz=

16、 max他一2%鳥2 = maxl-2x13-2x2 = -!,G =max 3冏；比一3戊、=鳥3ci； = maxl 3xlT3 3x2T5 3x3 = 2當R3時，(洛i叫J一(鳥 _mJ = h_bj-一礙)=2丹v 0 ,所以A-st關(guān)于teV單調(diào)通減.所以q max.0一術(shù)熱 _碼札；氏-a/t =a = 1it.所以對任意wlacJB=ln,于是 J 一仏=T，所以仏是等差數(shù)列一(n)設(shè)數(shù)列an和g的公差分別為d1,d2，則d -nak=b| (k -1)d2-a1(k-1)d1n =b|-印n (d2-nd1)(k -1).所以c/-an(n-1)(d-nd1)，當d2nd1時

17、bn,當d2蘭nQ時，-J當d10時，取正整數(shù)m -1，則當n - m時，n d?，因此4=0- n.d1此時，Cm,Cm 1,Cm是等差數(shù)列試題分析:(I)分別代入求c c c,觀察規(guī)律,C1, C2, C3再證明當n_3時,(bk 1-nak i) - (bk-naQ =2- n： i0當di = 0時，對任意n _1,G =b n+(n_ 1)maxd2,0 = b -Q +(n-1)(maxd2,0 _aj.此時,G,C2,C3,|(,Cn,| (是等差數(shù)列.當d1: 0時，當n、時，有nd1:：d2diCnbi_3in (n 1)(d2_ndi)a-d?所以-1121n(dj da1

18、d212nnnn( di) di- ai d?-1 b - d?|.故當時，CnM.n【考點】i.新定義；2.數(shù)列的綜合應用;3.推理與證明【名師點睛】近年北京卷理科壓軸題一直為新信息題，本題考查學生對新定義的理解能力和使用能力，本 題屬于偏難問題，反映出學生對于新的信息的的理解和接受能力，本題考查數(shù)列的有關(guān)知識及歸納法證明 方法，即考查了數(shù)列(分段形函數(shù))求值，又考查了歸納法證明和對數(shù)據(jù)的分析研究，考查了學生的分析 問題能力和邏輯推理能力，本題屬于拔高難題，特別是第二兩步難度較大，適合選拔優(yōu)秀學生5.【20i7 天津，理 i8】已知an為等差數(shù)列，前n項和為Sn(nN )，bn是首項為 2

19、的等比數(shù)列，且公比大于 0，b2b3=i2,b3= a4-2ai，S)i= iib4.(I)求an和bn的通項公式；(n)求數(shù)列a2nb2n 4的前n項和(n N).【答案】(i)an=3 n - 2.bn= 2n. (2)Tn =4n8.33【解析】試題分析：根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列通項公式及前n項和公式列方程求出等差數(shù)列首項ai和公差d及等比數(shù)列的公比q，寫出等差數(shù)列和等比孰劣的通項公式，禾U用錯位相減法求出數(shù)列的和，要求計算要準確試題解析：(I)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q.對任意正數(shù)M，取正整數(shù)m maxM | bi -d21 ai-di-d2-di14由已知b2b3

20、=12，得bi(q q212，而鳥=2，所以q2 q - 6 = 0.又因為q .0,解得q =2.所以，bn=2n.由b3= a4- 2a!，可得3d -a 8.由SH=11b4，可得印 5d =16,聯(lián)立，解得 耳=1,d = 3，由此可得an=3n-2.所以，數(shù)列an的通項公式為an=3n -2，數(shù)列0的通項公式為g = 2n.(II )解：設(shè)數(shù)列a2nb2nj的前n項和為Tn，由a2n=6n 2，b2n二=24，有a2nb2n二=(3門-1)4，故Tn =2 45 428431)1 (3n -1)4n，4Tn=2 425 43844| (3n -4)4n- (3n -1) 4n 1，上

21、述兩式相減，得-3Tn=2 4 3 423 43 |3 4n-(3n -1) 4n 1=U一4一(3n -1) 4n 11-4=-(3n _2) 4n 1_8.所以，數(shù)列a2nb2n4的前n項和為遼三4n 1 8.33【考點】等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和【名師點睛】 禾U用等差數(shù)列和等比數(shù)列通項公式及前n項和公式列方程組求數(shù)列的首項和公差或公比,相減法，裂項相消法和分組求和法等，本題考查錯位相減法求和6.【2017 浙江，22】（本題滿分 15 分）已知數(shù)列xn滿足：X1=1,xn=Xn+1+| n（1+Xn+1）（n，N”）證明：當N”時,而寫出通項公式及前n項和公式，這是等差數(shù)列、等比數(shù)列

22、的基本要求,數(shù)列求和方法有倒序相加法,錯位3n -234n 115(I)0VXn+1VXn；XnXn 1；;22Xn+1-XnW16【答案】（i）見解析；（n）見解析；（川）見解析.【解析】試題分析：（I）由數(shù)學歸納法證明；（n）由（I）得XnXn# 4xn半+2xn= xj# ZX +（Xn半+ 2） I n（1 + Xn半）,構(gòu)造函數(shù)f（x）=x2-2x （X 2）ln（1x）（x_O），由函數(shù)單調(diào)性可證；（川）由XnXn11Xn =Xn i- ln(1- Xn.J乞Xn1X. 1，得一2-2Xn1- 人，遞推可得口 -Xn- 尹(n，N)試題解析：(I)用數(shù)學歸納法證明：xn- 0當n=

23、1 時，X1=10假設(shè)n=k時，Xk0,那么n=k+1時，若xk0，則0：xxk dIn(1 xk彳)_0,矛盾，故xk d0.因此Xn0(n N ”)，所以Xn= Xn 1In(1，X* 1) Xn 1，因此0：Xn：Xn .1( n N ) x31得耳耳_!+ 2% = x：- 2x+ (心1 + 2)hi(l+鼻記1酗加 “-2工 +(x- 2)ln(l- vX 0)函數(shù)心)在口 -門上單調(diào)逸増所X XTS11L氐1 - 2和】+(心】+2)ln(l +軋J - fgj 0 , 2珀】一兀 e KJ（眄因為xr1 In（1 “1）*Xn1，所以冷一命得譽一切-人,1 1 1 _ *故-

24、22，2*J _Xn- 22(n N)【考點】不等式證明【名師點睛】本題主要考查數(shù)列的概念、遞推關(guān)系與單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，不等式及其應用，同時考查推理(出) 2 1 = 1 ,Bm-1= 口泊am, Bn 2.故dm1=An1Br1三 2 2 = 0,與dm1= 1 矛盾.所以對于任意n1,有 aw2,即非負整數(shù)列a的各項只能為 1 或 2.因為對任意n1,anw2=a1,所以 A= 2.故 B = A dn= 2 1 = 1.因此對于任意正整數(shù)n,存在m滿足mn,且a= 1,即數(shù)列an有無窮多項為 1.考點定位：本題考查新定義信息題，考查學生對新定義的理解能力和使用能力?！久麕燑c睛】本題考查學

25、生對新定義的理解能力和使用能力，本題屬于偏難問題，反映出學生對于新的信息的的理解和接受能力，題目給出新的定義：an是由非負整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前n項的最大值記為 A,第n項之后各項an+1,an+2,的最小值記為B, dn= A Bi,對于數(shù)列an給出dn這樣一個新的定義， 首先要理解定義，題目的第一步，前一項的最大值為2,第一項后面的項的最小值為1,即= 2,B 1,則d1二A -B1=1，同理求出d2,d3,d4，通過第一步的計算應用新定義，加深對定義的認識進入第二步就 容易一些了，第二步證明充要條件、第三步的證明就是在第一步的基礎(chǔ)上的深化研究，畢竟是一個新的信息題，在一個全新的環(huán)境

26、下進行思維，需要在原有的知識儲備，還需要嚴密的邏輯思維和分析問題與解決 問題的能力，有得分的機會，但得滿分較難.4.【2016 高考山東理數(shù)】(本小題滿分 12 分)已知數(shù)列的前n項和 3=3+8n,匕匚是等差數(shù)列，且a bnbn 1.1汕：10,10乞n：100,100空n 1000,n =1000.23(I)求數(shù)列 ?的通項公式；(n)令(an1)n1(bn2)n求數(shù)列cJ的前n項和Tn.24【答案】（I）b 3n 1；（n）Tn=3n 2n：【解析】試題分析：（I）根據(jù)an=Sn-Sn及等差數(shù)列的通項公式求解；（n）根據(jù)（I）知數(shù)列 心的通項公式,再用錯位相減法求其前n項和.試題解析：（

27、I）由題青知當心時，+當料=1時f= S- = 11 ,所以礙=6n+5設(shè)數(shù)列的公差為卅,所臥 =3沖亠1.由（I）知汗（6=3（）汀，又Tn=CiC2C3亠 亠Cn，得Tn=3 2 223 234 24(n 1) 2n 1,2Tn=3 2 233 244 25(n 1) 2n 2,兩式作差，得兀-3 2 222324dn 1- (n 1) 2n 2=3 442衛(wèi)-(n 1) 2n 22-1n 2=-3n 2所以Tn=3n 2n 2考點：1.等差數(shù)列的通項公式；2.等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和；3“錯位相減法” 【名師點睛】 本題主要考查等差數(shù)列的通項公式及求和公式、等比數(shù)列的求和、 數(shù)列求和的“

28、錯位相減法”由可解得=4 = 3,% = + b：25此類題目是數(shù)列問題中的常見題型本題覆蓋面廣，對考生計算能力要求較高解答本題，布列方程組，確定通項公式是基礎(chǔ)，準確計算求和是關(guān)鍵，易錯點是在“錯位”之后求和時，弄錯等比數(shù)列的項數(shù)本題能較好的考查考生的邏輯思維能力及基本計算能力等5.【2016 高考江蘇卷】(本小題滿分 16 分)記U一1,2,100?.對數(shù)列aj N*和U的子集 T,若T ,定義竊=0;若丁,，tj, 定義STFt-at2- +atk.例如：T=1,3,66?時，ST as+a66.現(xiàn)設(shè):an?N*是公比為 3 的等比數(shù)列，且當T=：2,4f時，ST=30.(1) 求數(shù)列 &

29、amp; / 的通項公式；(2) 對任意正整數(shù)k1k乞100，若T白,2，k?，求證：3：a；(3) 設(shè)C二U , D二U , SC- SD,求證：SCSC、D- 2SD.【答案】(1)a.=3n丄(2)詳見解析(3)詳見解析【解析】試題分析：(1)根據(jù)及時定義，列出等量關(guān)系Sr= a2a 3a 27q =30印，解出首項印=1，根據(jù)等比數(shù)列通項公式寫出通項公式(2)數(shù)列不等式證明，一般是以算代征，而非特殊數(shù)列一般需轉(zhuǎn)化到特殊數(shù) 列，便于求和，本題根據(jù)子集關(guān)系，先進行放縮為一個等比數(shù)列S a2 |lak=1 3 3kJ,1kk再利用等比數(shù)列求和公式得Sr(3 -1)：3(3)利用等比數(shù)列和與項

30、的大小關(guān)系，確定所定義和的大2小關(guān)系：設(shè)A=CC(CDD),B二CD(CPID),則ADB= ，因此由Sc _SD=SA_SB，因此AUB中最大項必 在 A 中，由(2 )得SA_2SB= SC-SC- 2(SD- SCD) )=SC，SD- 2SD, (2)為(3)搭好臺階，只不過比較隱晦，需明晰其含義 .試題解析：(1)由已知得an =013nd, n，N*.26于是當T =2,4時，Sr= a?+ a4= 3ai*27a1= 30a1.又Sr=30，故30a 30，即a = 1.所以數(shù)列an的通項公式為an-3 ,nN.(2)因為T 1,2jl|,k,an=3n0,n N*,271所以S

31、r_ a! a l| ak= 1 3 l| I 3k = - (3k-1)：3k.2因此，Sr：ak 1.(3)下面分三種情況證明.1若D是C的子集，則SC- SC-D二SC SD_ SD SD= 2SD.2若C是D的子集，則SC- SCD=SC- SC=2SC_2SD.3若D不是C的子集，且C不是D的子集.令E二cPlCuD，F(xiàn)DflCuC則E，F(xiàn)= -，EpiF.于是SC-SESC“D，SSFSC”D，進而由Sc_ SD，得SE- SF.設(shè)k是E中的最大數(shù)，I為F中的最大數(shù)，則k_1,l_1,k = l.由(2)知，SE: ak1，于是31丄=ai豈SF豈SE:ak3k，所以I一1：k，即

32、I豈k.又k =1，故kk-1，從而SF-a1a Jl| al= 1 3(丨31=31= -1，2 2 2故SE-2SF1，所以SC-SC、D-2(SD- SCID) 1，即ScSCD-2SD1.綜合得，SCSC、D-2SD.考點：等比數(shù)列的通項公式、求和【名師點睛】本題三個難點，一是數(shù)列新定義，利用新定義確定等比數(shù)列首項，再代入等比數(shù)列通項公式求解，二是利用放縮法求證不等式，放縮目的，是將非特殊數(shù)列轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列，從而可利用特殊數(shù)列性質(zhì)，以算代征，三是結(jié)論含義的應用，實質(zhì)又是一個新定義，只不過是新定義的性質(zhì)應用6.【2016 高考天津理數(shù)】已知 la 鳥是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列， 公差為d，

33、對任意的N ,bn是a.和 K 計的等差中項(I)設(shè)Cn1 -b：,n，N*，求證：n 是等差數(shù)列；2n28(n)設(shè) 印=d,Tn(1 $bn2,nN*，求證:k=i29【答案】（I）詳見解析（n）詳見解析【解析】試題分析：（I）先根據(jù)等比中項定義得：b =anan,從而cn= b：#-b：= an#an*anan甲=2dan屮，因此根據(jù)等差數(shù)列定義可證：Cn 1-Cn=2d an .2-a. .i=2d2（n）對數(shù)列不等式證明一般以算代證先利2n用分組求和化簡Tn（1$bn2=（bi2）+（丄）+（b；n+b2n） = 2d2n（n + 1）,再利用裂項相k4消法求和J丄 n1-11，易得結(jié)

34、論kTk2d2yk（k+1） 2d2zlk k+1丿2d2I n + 1丿試題解析：（I ）證明：由題意得b = anan 1，有cn= b：1- b：二an 1an- anan2dan 1，因此C. c -2d an.2 -an“=2d2，所以cj是等差數(shù)列.（|）證明：Tn h-b12b； -bTb； -b爲b2n-2d a?a4|l( a2n i =2dn a2?a2n二2d2n n 1考點：等差數(shù)列、等比中項、分組求和、裂項相消求和【名師點睛】分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型（1）若an= b 6,且bn, 6為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求an的前 n 項和.bn,n為奇數(shù)，通項公式為a

35、n=*的數(shù)列，其中數(shù)列bn , cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求cn,n為偶數(shù)和法求和.7.【2016 高考新課標 3 理數(shù)】已知數(shù)列an的前 n 項和Sn= 1亠an，其中人=0.（I）證明an是等比數(shù)列，并求其通項公式；（II）右S5，求.n彳彳nA所以V -二丄-kTk2d zk(k+1)1 J1(1112 L 22d2zlk k+1丿2d21 1 _n +1廣2d23032【答案】（I）an（嚴；（n）-1.1一丸k一1【解析】31S1n = 1，得到數(shù)列an的遞推公式，然后通過變換結(jié)合等Sn_ Sn Jn-2比數(shù)列的定義可證；(n)利用(I)前n項和sn化為的表達式，結(jié)合Ss的

36、值，建立方程可求得的值.宙=1 +, 51=1 +忌M得弧丿=加41-加J5、PP ?_!(/ 1) =.由磚尹0，X工0得匸0，所以L叢=-：-為z 1因此%是首項為丄,公比為二的等比數(shù)列，于罡冬=“八亠1X 11 X X 試題解析：(1) G(A)的元素為 2 和5.試題分析：(I)首先利用公式an試題解折：(I )由題肓得二亠冷故 NhI1-z32(2) 因為存在an使得anai，所以1 N ” 2乞i乞N ai丄記m = min i N Hi N, aia1則m _ 2，且對任意正整數(shù)k : m, ak_ a：am.因此m三G(A)，從而G(A)；a1，則G( A) = -；(3)證明

37、：若數(shù)列 A 滿足an-an4w1 (n=2,3，,N),則G(A)的元素個數(shù)不小于aN-a1.【答案】(1)G(A)的元素為2和5；(2)詳見解析；(3)詳見解析.【解析】試題分析：(1)關(guān)鍵是理解 G 時刻的定義，根據(jù)定義即可寫出G(A)的所有元素;(2)要證(3)當aNa1時，結(jié)論成立.只要證明當aN- a1時仍然成立即可33由(n)知G(A)=.設(shè)G(A)=1小2,；np:ni:匕：，記n=1.則an。va van2 vanp.對i二。，1,，,p，記Gi= l乏N訊nj ck蘭N,akani如果Gi工0，取mi= min Gi，則對任何1蘭kcmi, ak蘭a am.從而mjG( A)且mj二ni.又因為np是G(A)中的最大元素，所以Gp.從而對任意np蘭k蘭n,akanp,特別地，aanp.對i =0,1,；p -1,ani1J- ani.因此ani,= ani 11- (a ani.)豈a1.p所以aN一內(nèi)乞弘戸一耳二(ani-ani 1) - P