線性代數(shù)行列式課件

1、1.4 行列式性質(zhì)行列式性質(zhì)目前最快的是目前最快的是IBMIBM的：的：10001000萬億次萬億次/ /秒秒需要考慮用別的方法計(jì)算行列式。需要考慮用別的方法計(jì)算行列式。為此需要研究行列式的性質(zhì)。為此需要研究行列式的性質(zhì)。 用行列式的定義計(jì)算行列式，所需機(jī)時(shí)：用行列式的定義計(jì)算行列式，所需機(jī)時(shí)： 對(duì)對(duì)n 階行列式：乘法運(yùn)算次數(shù)階行列式：乘法運(yùn)算次數(shù) M (n-1)次次/項(xiàng)項(xiàng) n！項(xiàng)！項(xiàng) (n-1)n! 次次 n 10, M 32,659,200 1百萬次百萬次/秒的計(jì)算機(jī)，需機(jī)時(shí)：秒的計(jì)算機(jī)，需機(jī)時(shí)：32秒秒 n 15, M 1.81013 1百萬次百萬次/秒的計(jì)算機(jī)，需機(jī)時(shí)：秒的計(jì)算機(jī)，需機(jī)

2、時(shí)：13.0年年 1億次億次/秒的計(jì)算機(jī)，秒的計(jì)算機(jī)， 需機(jī)時(shí)：需機(jī)時(shí)：50.6天天 n 20， M 4.61019 1億次億次/秒的計(jì)算機(jī)，秒的計(jì)算機(jī)， 需機(jī)時(shí)：需機(jī)時(shí)：350,828年年一、行列式的性質(zhì)一、行列式的性質(zhì) 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等. .記記111212122212nnnnnnaaaaaaaaa DT D11121naaa21222naaa12nnnnaaa行列式行列式 稱為行列式稱為行列式 的的轉(zhuǎn)置行列式轉(zhuǎn)置行列式. DTDv顯然顯然 . .TT()DD 證明證明 的轉(zhuǎn)置行列式記ijaDdet111211121121222122221212Tnnn

3、nnnnnnnnnbbbaaabbbaaaDbbbaaa, 2 , 1,njiabjiij即按定義按定義.1121)(21)(21212121nppppppnppppppnnnnaaabbbDT 又因?yàn)樾辛惺接忠驗(yàn)樾辛惺?D 可表示為可表示為.121)(2121nppppppnnaaaD故故.TDD 證畢證畢 互換行列式的任意兩行（列）互換行列式的任意兩行（列）, ,行列式變號(hào)行列式變號(hào). .設(shè)行列式設(shè)行列式說明說明 行列式中行與列具有同等的地位行列式中行與列具有同等的地位, ,因此行列因此行列式的性質(zhì)凡是對(duì)式的性質(zhì)凡是對(duì)行行成立的對(duì)成立的對(duì)列列也同樣成立也同樣成立. . 因此，在后面的性質(zhì)中

4、，如果對(duì)行列都成因此，在后面的性質(zhì)中，如果對(duì)行列都成立的性質(zhì)，我們立的性質(zhì)，我們只證明對(duì)行只證明對(duì)行成立。成立。)det(ijaD,21212111211nnnnjnjjiniinaaaaaaaaaaaaD) 1 () 1(111)(njinjinpjpippppppaaaaj第第 行行交換其第交換其第 i 行和第行和第 j行，行，有有,212121112111nnnniniijnjjnaaaaaaaaaaaaDi第第 行行j第第 行行由行列式定義可知，由行列式定義可知， 中任一項(xiàng)可以寫成中任一項(xiàng)可以寫成Di第第 行行又因?yàn)橛忠驗(yàn)?2(1111nijnjinpipjppnpjpippaaaaa

5、aaa顯然（顯然（2 2）式右端是取自不同行不同列的）式右端是取自不同行不同列的 個(gè)元素的個(gè)元素的乘積，并且它們的行標(biāo)在乘積，并且它們的行標(biāo)在 中是標(biāo)準(zhǔn)排列的，所以中是標(biāo)準(zhǔn)排列的，所以1Dn)3() 1(111)(nijnijnpipjppppppaaaaD是是 中的一項(xiàng)。因?yàn)榕帕兄械囊豁?xiàng)。因?yàn)榕帕?和排列和排列 的奇偶性相反，所以（的奇偶性相反，所以（1 1）式和）式和（3 3）式差一個(gè)負(fù)號(hào)，所以）式差一個(gè)負(fù)號(hào)，所以 中任意一項(xiàng)的相反數(shù)中任意一項(xiàng)的相反數(shù)是是 中的一項(xiàng)，所以中的一項(xiàng)，所以1Dnijpppp1njipppp11DDD1證畢證畢記法：記法：為了方便以后的敘述和運(yùn)算，我們引入下列為

6、了方便以后的敘述和運(yùn)算，我們引入下列記號(hào)記號(hào)) 1 () 1(111)(njinjinpjpippppppaaaa例如例如推論推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零此行列式為零. .證明證明互換相同的兩行，有互換相同的兩行，有 . 0 D,DD 571266853825361567用用 表示行列式表示行列式 的第的第 行，用行，用 表示表示 的第的第 列。則列。則 表示交換表示交換 的第的第 行和第行和第 行，行， 表示交換表示交換 的第的第 列和第列和第 列。列。 irDiDjjcijjirr Djicc Dij32rr 57126685321

7、cc 825361567 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都有一個(gè)公因子有一個(gè)公因子 ，則可以把公因子，則可以把公因子 提到行列提到行列式記號(hào)之外，即有式記號(hào)之外，即有kknnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 證明證明由行列式定義知由行列式定義知例如，對(duì)任意的例如，對(duì)任意的a，b，c，都有，都有0321321cbannnniniinaaakakakaaaa212111211ninpippakaa)() 1(11ninpippaaak11) 1(kD例如例如1131111022221

8、32112012213211402證畢證畢用數(shù)用數(shù) 乘以行列式乘以行列式 等于等于 中某一行中某一行（列）所有元素同乘以數(shù)（列）所有元素同乘以數(shù) 。kkDD例如例如：111213111213212223212223313233313233aaaaaaaaaaaaaaaakakkak111213212223312333aaaaaaaakkak推論推論3 3：若行列式若行列式 D 某行某行( (列列) )元素全為零，則元素全為零，則D = 0。0002130124推論推論2 2：若行列式中有兩行若行列式中有兩行( (列列) )元素成比例，則元素成比例，則D = 0。例如例如例如例如注意：做題時(shí)不容

9、易發(fā)現(xiàn)。注意：做題時(shí)不容易發(fā)現(xiàn)。04102094251性質(zhì)性質(zhì)4 4若行列式的第若行列式的第 行（列）各元素都是兩數(shù)行（列）各元素都是兩數(shù)之和：之和： 則行列式則行列式 可分解可分解為兩個(gè)行列式為兩個(gè)行列式 與與 的和。其中的和。其中 的第的第 行是行是 ，而，而 的第的第 行是行是 ，其他各，其他各行與原行列式相同，即行與原行列式相同，即i12121111211112111121122121212iiiniiinnnnnnnnniiinnnnnnnniiinbbbbbaaaaaaaaaaaaaaaaaacccbccc ), 2 , 1(njcbaijijijDDDDiiniibbb21,Di

10、iniiccc21,DDD例如：例如：3333abca b ca b cabc abccabca bbcaabbca bbcacca bcabcacabcabababcabcbcabcacabcabcabc注：注：不是任意兩個(gè)行列式可以相加，必須只有除一行不是任意兩個(gè)行列式可以相加，必須只有除一行（列）不同外，其余元素都相同才可以相加。（列）不同外，其余元素都相同才可以相加。( () )328應(yīng)有 個(gè)0 0性質(zhì)性質(zhì)5把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列同一數(shù)然后加到另一列(行行)對(duì)應(yīng)的元素上去，行對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變列式不變111112

11、12221ijnijnnninjnnaaaaaaaaaaaa1111112122221()()()ijjnijjnijnninjnjnnaakaaaaakaaackcaakaaa k例如例如證明證明由性質(zhì)由性質(zhì)4 4右邊右邊11111212221ijnijnnninjnnaaaaaaaaaaaa 左邊左邊注意：注意：k可以為可以為0 0。第第 i 列和第列和第 j 列對(duì)應(yīng)元素成比例，列對(duì)應(yīng)元素成比例， 由性質(zhì)由性質(zhì)3的推論的推論2知知011111212221jjnjjnnnjnjnnakaaaakaaaakaaa 例例二、應(yīng)用舉例二、應(yīng)用舉例計(jì)算行列式計(jì)算行列式常用方法常用方法：利用運(yùn)算把行列

12、式：利用運(yùn)算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值化為上三角形行列式，從而算得行列式的值jikrr 3351110243152113 D解解3351110243152113 D41rr 211311024315335111101605510019182403351125rr 132rr 143rr 111016055100191824033511110160112019182403351532rr 1110160191824011203351532007600112033515111016019182401120335152312rr 248rr 43rr 76003200112033

13、515343rr 200032001120335157600320011203351540例例2 2 計(jì)算計(jì)算 n 階行列式階行列式nnnnaxaaaaaxaaaaaxaaaaaxD321321321321解解D將第將第 列都加到第一列得列都加到第一列得n, 3 , 2nnnnnnnnaxaaaaaxaaxaaaaxaaaxaaaxaaaaaax3221322132213221)()()()(jcc 1nj, 2 nnnnnaxaaaaxaaaaxaaaaaax32323232211111)(xxxaaaaaaxnn0000000001)(3221112()nnnxaaax 注：行（列）和行列

14、式注：行（列）和行列式1rri),2(ni例例3 3 計(jì)算計(jì)算 n 階行列式階行列式nDn001030100211111D分析分析 若用行列式性質(zhì)若用行列式性質(zhì)5，有，有1rri), 2(ni1110121011101111n解解Djjcc11ni, 2njnj00003000020111112)11 ( !2njjn注：箭型行列式。一般有以下四種形式：注：箭型行列式。一般有以下四種形式：箭型行列式解題方法：用對(duì)角線上的元素消去非零箭型行列式解題方法：用對(duì)角線上的元素消去非零行（列）的元素。行（列）的元素。nDn001030100211111例例4 4 （2000.5）計(jì)算）計(jì)算 n 階行列式

15、階行列式nxxxxxxxxxxxxxxxxDn321解解nD1rri), 2(ninxxxx001030100211箭型行列式11jjccni, 2nxxxjxxnj00003000020) 1(2)1 ( !1njjxn例例5 5 計(jì)算計(jì)算 n 階行列式階行列式注：注：可化為箭型行列式可化為箭型行列式的行列式。的行列式。解題方法：通過一（兩）次行列式性質(zhì)的應(yīng)用，化解題方法：通過一（兩）次行列式性質(zhì)的應(yīng)用，化 為箭型行列式求解。為箭型行列式求解。nxxxx001030100211nnnnnnnbababababababababaD212221212111解解nD1rri), 2(ni11121212121111nnnnaba