高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)——導(dǎo)數(shù)

1、2016年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)目錄一、有關(guān)切線的相關(guān)問題二、導(dǎo)數(shù)單調(diào)性、極值、最值的直接應(yīng)用三、交點與根的分布1、判斷零點個數(shù)2、已知零點個數(shù)求解參數(shù)范圍四、不等式證明1、作差證明不等式2、變形構(gòu)造函數(shù)證明不等式3、替換構(gòu)造不等式證明不等式五、不等式恒成立求參數(shù)范圍1、恒成立之最值的直接應(yīng)用2、恒成立之分離常數(shù)3、恒成立之討論參數(shù)范圍六、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的綜合運用導(dǎo)數(shù)運用中常見結(jié)論(1)曲線yf(x)在xxo處的切線的斜率等于f(xo),且切線方程為yf(%)(x%)f)。(2)若可導(dǎo)函數(shù)yf(x)在xx0處取得極值，則f(xo)0。反之，不成立。對于可導(dǎo)函數(shù)f(x),不等式f(x)0(0)的解

2、集決定函數(shù)f(x)的遞增(減)區(qū)間。(4)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上遞增(減)的充要條件是：xIf(x)0(0)恒成立(f(x)不恒為0).(5)函數(shù)f(x)(非常量函數(shù))在區(qū)間I上不單調(diào)等價于f(x)在區(qū)間I上有極值，則可等價轉(zhuǎn)化為方程f(x)0在區(qū)間I上有實根且為非二重根。(若f(x)為二次函數(shù)且I=R，則有0)。(6)f(x)在區(qū)間I上無極值等價于f(x)在區(qū)間在上是單調(diào)函數(shù)，進而得到f(x)0或f(x)0在I上恒成立若xI,f(x)0恒成立，則f(x)min0；若xI,f(x)0恒成立，則f(x)max0(8)若x°I,使得f(x0)0,則f(x)max0；若x°I,使

3、得f(N)0,則f(x)min0.(9)設(shè)f(x)與g(x)的定義域的交集為D,若xDf(x)g(x)恒成立，則有f(X)g(x)min0.(10)若對xiIl、x2I2,f(xi)g(x2)恒成立，則f(x)ming(x)max.若對xiIi,乂2I2,使得f(xi)g(x2)，則f(x)ming(x)min.若對xiIi,x2I2,使得f(xi)g(x2),則f(x)maxg(x)max.(ii)已知f(x)在區(qū)間Ii上的值域為A,g(x)在區(qū)間I2上值域為B,若對xiIi,x212,使得f(xi)=g(x2)成立，則AB。(i2)若三次函數(shù)f(x)有三個零點，則方程f(x)0有兩個不等實

4、根X、x2,且極大值大于0,極小值小于0.(13)證題中常用的不等式：lnxx1(x0)xx+1%ln(x+Dx(x1)ex1x1/(x1)2lnx2x11112(x0)22x2sinx<x(0<x<兀)lnx<x<x,e(x>0)、有關(guān)切線的相關(guān)問題例題、【2015高考新課標(biāo)1,理21已知函數(shù)f(x)=x3ax-g(x)Inx.4，(l)當(dāng)a為何值時，x軸為曲線yf(x)的切線；【答案】(i)a34跟蹤練習(xí):1、12011高考新課標(biāo)1,理21已知函數(shù)f (x)a In xx 1b,曲線y xf(x)在點(1,f(1)處的切線方程為x 2y 30。(I)求a

5、、b的值;解：(I ) f'(x)(x_JxIn x)(x 1)2b2 xf(1)1,由于直線x 2y 30的斜率為且過點(1,1),故f'(1)1,22、(2013課標(biāo)全國I ,理21)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點P(0,2),且在點P處有相同的切線y=4x+2.(1)求a,b,c,d的值;解：(1)由已知得f(0)=2,g(0)=2,f'(0)=4,g'(0)=4.而f'(x)=2x+a,g'(x)=ex(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4.從而a=4

6、,b=2,c=2,d=2.3、(2014課標(biāo)全國I,理21)設(shè)函數(shù)f(x0aex Inx 1 bex x曲線y f(x)在點(1,f(1)處的切線為ye(x1)2.(i)求a,b;【解析】：(i)函數(shù)f(x)的定義域為0,f(x)aexInxaexgex1-ex1xxx由題意可得f(1)2,f(1)e，故a1,b2二、導(dǎo)數(shù)單調(diào)性、極值、最值的直接應(yīng)用(一)單調(diào)性1、根據(jù)導(dǎo)數(shù)極值點的相對大小進行討論例題：【2015高考江蘇，19】已知函數(shù)f(x)x3ax2b(a,bR).(1)試討論f(x)的單調(diào)性；【答案】(1)當(dāng)a 0時，f x在上單調(diào)遞增;當(dāng)a 0時，f x在-,0, 上單調(diào)遞增，在32a

7、29,0上單調(diào)遞減;3當(dāng)a 0時，f x在 ，0 ,2a32a上單調(diào)遞增，在0,芻上單調(diào)遞減.3:解析<(r)=3.r令/國=0,解得芍=。，一3.當(dāng)次=0時，因為/(上金or所以函藪可在一工工上單調(diào)理嗚當(dāng)八0時，*匕7=；口(口£|時，J0,即門£ju0,“、-%、所以函數(shù)'的在一工一三,1。二+工)上單調(diào)遞增，在-；r=0；上單調(diào)抽嬴當(dāng)a0時，x,0U絲，時，fx0,x0,2a時，fx0,33所以函數(shù)f x在 ,02a3上單調(diào)遞增，在0,23a上單調(diào)遞減.1a練習(xí)：1、已知函數(shù)f(x)lnxax1(aR).x一1、當(dāng)a0時，討論f(x)的單調(diào)性；答案：f

8、(x),1 al a 1lnx ax 1(x 0), f(x) a xx x2ax x a 12(xx0)11 axa令h(x)ax2x1a(x0)當(dāng)a 0時，h(x)x1(x0),當(dāng)x(0,1),h(x)0,f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x(1,),h(x)0,f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.1當(dāng)a0時，由f(x)0,即ax2x1a0,解得x11出-1.a-1當(dāng)a時x1x2,h(x)0恒成立，此時f(x)0,函數(shù)f(x)單倜遞減；2、，一11當(dāng)0a時，一110,x(0,1)時h(x)0,f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;2a1 ，、c,，、八一、x(1-1)時，h(x)0,f(x)0

9、,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；a1 一、x(-1,)時，h(x)0,f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.a,1當(dāng)a0時一10,當(dāng)x(0,1),h(x)0,f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；a當(dāng)x(1,),h(x)0,f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)在(0,1)單調(diào)遞減，(1,)單調(diào)遞增;一1,、一、一，、，_、當(dāng)a一時x1x2,h(x)0恒成立，此時f(x)0,函數(shù)f(x)在(0,)單調(diào)遞減;2、一1.、1,、，1.、當(dāng)0a時，函數(shù)f(x)在(0,1)遞減，(1,一1)遞增，(-1,)遞減.2 aa,令函數(shù) F (x) f (x) g(x). 1 ax2、已知a為實數(shù)

10、，函數(shù)f(x)(1ax)ex,函數(shù)g(x)當(dāng)a0時，求函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間.解：函數(shù)F(x)0時,F(x)22ax2a1x2-e(1ax)22.22a1.a(x2)aex.(1ax)2(x)2a12-a當(dāng)2a112時，F(xiàn)(x)1,一，1時，函數(shù)2F(x)的單調(diào)減區(qū)間為(,1)a(-,).a11分當(dāng)12.1aa0時，解2a12-a得Xi2a1,x2a2a12a1a.令F(x)0,得x1(，X1)ax(x2,);令F(x)0,得x(、E).13分0時，函數(shù)F(x)的單調(diào)減區(qū)間為(,-)a2a1(a函數(shù)2a12a1F(x)單調(diào)增區(qū)間為(1,).15分當(dāng)2a10,1,一，,時，由(2)知，函數(shù)2F(

11、x)的單調(diào)減區(qū)間為(，2)及(2,)2、根據(jù)判別式進行討論例題：【2015高考四川，理21】已知函數(shù)f(x)2(xa)lnxx22ax2a2a,其中a0.(1)設(shè)g(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，評論g(x)的單調(diào)性;1一時，g(x)在區(qū)間(0,4114a114a斗),(彳,)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(114a1'；4a)上單調(diào)遞減;當(dāng)1一時，g(x)在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞4增.【解析】(1)由已知，函數(shù)f(x)的定義域為(0,g(x)f(x)2x2a21nx2(1-),x，2a2 x,2所以g(x)22x2(x),2若a 0,由(1)知f(x)單調(diào)增區(qū)間為(0,1),單調(diào)減區(qū)間為(1,)；若a

12、0,則為 0 x2 ,由 f (x) 0 ,得 x x1；由 f (x) 0 ,得 0 x 為.f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(1 6 4a,)，單調(diào)增區(qū)間為21綜上所述：當(dāng)a< 1時，f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,)；2(a1)2x)上單調(diào)遞增,1114a、,114a當(dāng)0a時，g(x)在區(qū)間(0,),(422114a114a、在區(qū)間(,)上單倜遞減；22-1當(dāng)a時，g(x)在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞增4練習(xí)：已知函數(shù)f(x)lnxxa,aR.x(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;解：函數(shù)f(x)的定義域為(0,).2xxa2x令f(x)0,得x2xa0,記(i)當(dāng)a<1時，f(x)<0,所以

13、4,1(ii)當(dāng)a1時，由f(x)0得x41一.一右一a0,則為x20,4f(x)單調(diào)減區(qū)間為(0,);114a2，x214a"2，由 f (x)0,得0xx2,xx1；由f(x)0,得x2),單調(diào)增區(qū)間為所以，f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,1淄4a),(14a2214a1.14a11 4a(2,)，f(x)單調(diào)減區(qū)間為(1 Ji 4a,)2單調(diào)增區(qū)間為當(dāng)4a0時，f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(O,Tpa)單調(diào)增區(qū)間為(1小4a,154a);10分2.已知函數(shù)f (x) a(x1一) x21n x (aR) 1r4a(。，2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;解：函數(shù)的定義域為0,f(x)a(11、

14、2)x2ax2xa2x(1)當(dāng)a0時,h(x)2-ax2x0在(0,)上恒成立,則f(x)0在(0,)上恒成立，此時f(x)在(0,)上單調(diào)遞減.(2)當(dāng)a0時,4a2f(x)0,h(x)0,f(x)h(x)0,得11'.1a2a,1a21x-,1a2所以函數(shù),、1_：1a2141a2f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1"1a)和(1a,),單調(diào)遞減區(qū)間為(ii)若a11、1a21.1a2(,)h(x)0在(0,)上恒成立，則f(x)0在(0,)上恒成立,此時f(x)在(0,)上單調(diào)遞增.3、含絕對值的函數(shù)單調(diào)性討論例題：已知函數(shù)f(x) x x1n x.(1)若a=1,求函數(shù)f

15、(x)在區(qū)間1,e的最大值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(3)若f(x)0恒成立，求a的取值范圍解：(1)若a=1,則f(x)當(dāng)x1,e時，f(x)x2xlnx,f(x)2x2x2x10,所以f(x)在1,e上單調(diào)增，f(x)maxf(e)(2)由于f(x)xxInxx(0,)a0時，則f(x)x2axIn2x2x2ax1x令f(x)(負(fù)根舍去)且當(dāng)(0,x。)時,(x0,)時,f(x)0,所以f(x)在(0,a)上單調(diào)減，在(a；a284)上單調(diào)增.4分(五)當(dāng)a0時,當(dāng)xa時,f(x)2xa-x2x2ax1得x1a.a28a舍)，4a,(x)0,所以f(x)在(a,)上單調(diào)增;aa28

16、41,則當(dāng)x(0,x1)時，f(x)0；當(dāng)x(x1,)時,f(x)0,所以f(x)在區(qū)間(0,a廣)一c在)上單調(diào)增.12x2ax1當(dāng)0xa時，f(x)2xa-(x)則由f(x)0,0,f(x)0,0,2x2(0,X)時,fa2.2,2.2,(x)0；當(dāng)xx4(x)8,0,故f(x)在(0,a)上單調(diào)減;“a28口八且0必x4a,4(x3,x4)時，f(x)0；當(dāng)x的，)時,aa28所以f(x)在區(qū)間(0,)上是單倜減，在(4a.a28a、a28上單調(diào)增；在(a“a284)上單調(diào)減.綜上所述，當(dāng)a1時,f(x)單調(diào)遞減區(qū)間是(0,a-8),f(x)單調(diào)遞增區(qū)間4)；a2、2時,f(x)單調(diào)遞減

17、區(qū)間是(0,a)f(x)單調(diào)的遞增區(qū)間是(a,);2夜時，f(x)單調(diào)遞減區(qū)間是(0,a28aa28、)和(,a),44f(x)單調(diào)的遞增區(qū)間是(aa28aa28)和(a,).10分(3)函數(shù)f(x)的定義域為x(0,).由f(x)1nx*(0,1)時，xa>0Inx0,不等式*恒成立，所以aR；(ii)當(dāng)xx1時，1a>0,叱0,x所以a1；12分(iii)當(dāng)x1時，不等式*恒成立等價于ax"ln-x恒成立或ax叵x恒成立.令h(x)Inx，則h(x)x2x1Inx2x因為x1,所以h(x)0,從而h(x)1.因為a令g(x)lnx“恒成立等價于ax,2lnxx，則g(

18、x)x(h(x)min,所以再令e(x)2x1Inx1Inxx1則e(x)2x0在xx(1,)上恒成立，e(x)在x(1,)上無最大值.綜上所述,滿足條件的a的取值范圍是(,1).16分2.設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間(2)(i)當(dāng)心iQ時(雷】的單讖地區(qū)間為(一十,7分(M)當(dāng)。V。時/()/一".四力/口)7！1一1>0恒成立所以F”)在(ig，+8)上單網(wǎng)連增，從而廣門)的單洲地區(qū)間為-8,十8九9分(I)當(dāng)時,當(dāng)或工一區(qū)時./(工)3一口工因為/(I)=3j?-w=3(x+y)(X*所以當(dāng)*一日或時/()>。從而fU)的單調(diào)增區(qū)間為_8，

19、_石)及(布上U分當(dāng)一石<X<G時/”)H-/十"-令圖片脛13>】S分除上所述巧U工。時,曲以人力的阜兩增區(qū)間為q-8,+g)*當(dāng)時，麗數(shù)八外的單黃巖區(qū)同為(一8.-兀)標(biāo).+oc).(一手，八月的單調(diào)款區(qū)間力5GLit（艮而*.4、分奇數(shù)還是偶數(shù)進行討論例題：【2015高考天津，理20已知函數(shù)f(x)nxxn,xR,其中nN*,n2.(I)討論f(x)的單調(diào)性；【答案】(I)當(dāng)n為奇數(shù)時，f(x)在(，1),(1,)上單調(diào)遞減，在(1,1)內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)n為偶數(shù)時，f(x)在(，1)上單調(diào)遞增，f(x)在(1,)上單調(diào)遞減.(II)見解析；(III)見解析.【解

20、析】匚由=m一,可得，其中量仁一7且花三3F面分兩種情況討詒:當(dāng)可為奇數(shù)時;令，(,)二口，解得x=l或上=當(dāng)2r變化時，廣了的變化情況如下表y-i)(-11)/f(v)十/所以八巧在(-工1),Q-工)上單調(diào)強盜在C-L1)內(nèi)單調(diào)濯唔(2)當(dāng)n為偶數(shù)時，當(dāng)f(x)0,即x1時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)f(x)0,即x1時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.所以，f(x)在(，1)上單調(diào)遞增，f(x)在(1,)上單調(diào)遞減.5、已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍例題：(14年全國大綱卷文)函數(shù)f(x)=ax3+3x2+3x(aw0).(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù)，求a的取

21、值范圍.解：(1)f(x)3ax26x3,f(x)3ax26x30的判別式=36(1-a).(i)若a>1,則f(x)0,且f(x)0當(dāng)且僅當(dāng)a=1,x=-1,故此時f(x)在R上是增函數(shù).11a11a(ii)由于aw0,故當(dāng)a<1時，f(x)0有兩個根：x,a,x2a,aa若 0<a<1,則當(dāng) xC (,x2)或 xC (x1,)時，f (x) 0 ,故 f (x)在(X2), (Xi,)上是增函數(shù);當(dāng) xC (X2, Xi)時，f (x)0 ,故f (x)在(X2, Xi)上是減函數(shù);(2)當(dāng) a>0, x>0 時,f (x) 0,所以當(dāng)a>0時，

22、f (x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù).若a<0時，f (x)在區(qū)間(1,2 )是增函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f (1) 0且f (2) 0 ,解得a 0.綜上，a的取值范圍是5，0)J (0,).二、極值(一)判斷有無極值以及極值點個數(shù)問題例題：【2015高考山東，理21】設(shè)函數(shù)f x ln X 1a x2 x ,其中 a R.(i)討論函數(shù) f x極值點的個數(shù)，并說明理由;【解析】函數(shù)門泊二比(工+1) + #/一工|的定義域為(-L+X)廣,、1、十由L】一口門% =+ 公一色=工十1"+1令 g 3 =一火+1-4，ire 1-1 -r '|當(dāng)儀=0時，小)=1a0，門,動)0在

23、(T-h上恒成立所以，函皴/E在I T-工j上單調(diào)國增無極(2)當(dāng)a 0時,a2 8a 1 a a 9a 8當(dāng)0a8時，0,gx09所以，fx0,函數(shù)fx在1,上單調(diào)遞增無極值;當(dāng)a時，09設(shè)方程2ax2ax1a0的兩根為x1,x2(x1x2),因為x1x2211所以，x11,x2144,一,一1由g110可得：1x11,40, f x 0 ,函數(shù)f x單調(diào)遞增;x 0 ,函數(shù)f x單調(diào)遞減；x 0 ,函數(shù)f x單調(diào)遞增；所以，當(dāng)x1,x1時，gx當(dāng)xx1,x2時，gx0,f當(dāng)xx2,時，gx0,f因此函數(shù)fx有兩個極值點.(3)當(dāng)a0時，0x 0 ,函數(shù)f x單調(diào)遞增；x 0 ,函數(shù)f x單

24、調(diào)遞減;由g110可得：x11,當(dāng)x12時，gx0,f當(dāng)xx2,時，gx0,f因此函數(shù)fx有一個極值點.綜上：上有唯一極值點；a二時，函數(shù)f x在 1, 上無極值點；98一時，函數(shù)f x在 1,上有兩個極值點；9:12015高考安徽，理21設(shè)函數(shù)f (x) x2 ax b.當(dāng)a0時，函數(shù)fx在1,當(dāng)0當(dāng)a例題(i)討論函數(shù)f(sinx)在(一,一)內(nèi)的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時求出極值;22【解析】sin x(sin x a) b, 一 x 一.222(I)f(sinx)sinxasinxbf(sinx)'(2sinxa)cosx,一x.22因為一x一，所以cosx0,22sinx

25、2.當(dāng)a22當(dāng)a2,bR時，函數(shù)f(sinx)單調(diào)遞減，無極值當(dāng)2a2,在(，)內(nèi)存在唯一的x0,使得2sinx0a.22xx0時，函數(shù)f(sinx)單調(diào)遞減；x0x萬時，函數(shù)f(sinx)單調(diào)遞增.因此，2a2,bR時，函數(shù)f(sinx)在x0處有極小值一aa2f(sinxo)f(2)b4.(二)已知極值點個數(shù)求參數(shù)范圍ex2例題：【14年山東卷(理)】設(shè)函數(shù)fx-yk(一lnx)(k為常數(shù)，e2.71828xx是自然對數(shù)的底數(shù))(I)當(dāng)k0時，求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間；(II)若函數(shù)fx在0,2內(nèi)存在兩個極值點，求k的取值范圍。-xx22xex21斛：(1)f(x)4k()xxx(x2)(ex

26、kx)(x0)x當(dāng)k0時，kx0,-xkx0令f(x)0,則x2當(dāng)x(0,2)時，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(2,)時，f(x)單調(diào)遞增。(2)令gx-xkx則g'(x)-xk-xk,xInkg(0)1k0,g(0)102g'(2)-2k0,g2-22k0kgInk-lnkkInk0Ink1k-2綜上：-的取值范圍為(e,e)。2練習(xí)：1、【2014年天津卷(理)】己知酸檢f（jc）口府（口EK,*t£J?.己知函被卜=/t一有四上零婚1,與1且為VK4*<1?<。時丁。豆）>0在網(wǎng)上金成立.“1倩，公】在度上用明遢上管.不舍觸蚣:.（工）"?

27、0%由iw）=。.Wx=hi«7.當(dāng)“焚化時”<1yJ./匚*1的重化情況如下費上jff-211y-Il<1一lliu(In%<»)+產(chǎn)aIn4Iizn-/*的單調(diào)電曰區(qū)1可懸k.Im0,隼5遢藏區(qū)同飛一Ino.一工.于三，”函教JX百四個不點”甯何干如下筆件同廿成立卡I*f（-Ina|>012"存在九W1x.In。I,滿足3”存在與W（l犯口.-kJ*滿足/i3：iVQ.由/tk0）>口*UPInaJ.>O.陽用。eoj4、，而此時，陽*二口.泄足jFj（-x.In41*且_f（q）=口vO1取=*-In亍曲是s-WlIn4f+x-S.口qyu:i«*-,ht3-/卜o.所以.門的即他能圍金（。.聲）.2、（2014湖南）（本小題滿分13分）.一.一一.2x已知常數(shù)a0,函數(shù)f（x）ln（1ax）.x2（I）討論f（x）在區(qū)間（0,）上的單調(diào)性;f（x2） 0,求a的取值范圍（n）若f（x）存在兩個極值點x1,x2,且f（為）【解析】（I） f' x1 ax24 1 axax2ax 4 a 12,(*)1 ax x 2,2因為1axx20,所以當(dāng)1a0時,當(dāng)a 1時，f' x 0,此時，函數(shù)f x在0,單調(diào)遞增，當(dāng)0a1時，f'