理解數(shù)學,理解學生,理解教學(章建躍)

1、“卡西歐杯”第五屆全國高中青年數(shù)學教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動總結暨大會報 告理解數(shù)學理解學生理解教學各位代表，老師們，同志們，大家好。受本屆全國高中青年數(shù)學教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動組委會、評委會的委托，我給大會作總結報告。本次活動受到全國高中數(shù)學教師、數(shù)學教研部門、各會員單位的高度重視，來自全國除西藏、港澳臺以外的所有省、直轄市、自治區(qū)，行業(yè)的近830名代表參加了本次活動，覆蓋范圍廣，參與熱情高。各會員單位做了大量前期工作，很 多會員單位從兩年前就開始布置、落實本項活動，把工作細化在過程中，積極組 織當?shù)貜V大高中青年數(shù)學教師參與觀摩活動， 引領廣大教師交流教學經(jīng)驗，以觀 摩與評比活動帶動課堂教學

2、研究，在研究中不斷深化課堂教學改革，切實提高課 堂教學質(zhì)量和效益。我代表組委會對各會員單位為本次活動作出的貢獻表示衷心 感謝。承辦方河南省教育學會中學數(shù)學教學專業(yè)委員會，河南省基礎教育教學研究 室為本次活動投入了很大精力，付出了辛苦的勞動。承辦大型活動非常不易，需 要考慮的問題很多，需要做的具體工作很繁重，承擔的風險很大。我代表組委會 對你們做出的努力表示衷心的感謝！本次大會的協(xié)辦方卡西歐（上海貿(mào)易有限公司）、中國數(shù)學教育&數(shù)學周報社為本項活動提供了資金、技術、獎品以及人力、物力的大力支持，我 代表組委會對他們做出的貢獻表示衷心的感謝！特別要感謝各位參賽選手，你們付出了巨大的智力勞動，

3、承受了巨大的心理 壓力，為本次活動做出了特殊的貢獻。我代表大會組委會、評委會對你們的付出 表示衷心的感謝，祝賀你們?nèi)〉脙?yōu)異的成績，祝賀你們在教師專業(yè)化成長的道路 上邁出了重要而堅實的一步。由于本次活動組織方式的改變，對評委提出了高要求。各位評委不僅要事先 對參賽選手的教學設計、教學設計說明和課堂實錄進行仔細閱讀、觀摩，在現(xiàn)場 還要聚精會神地觀察選手的表現(xiàn)，根據(jù)參賽選手的預設和現(xiàn)場生成，做出評判， 并給出點評。本次活動的圓滿成功，與各位評委的無私奉獻、辛勤勞動直接相關， 我代表組委會對各位評委的高度熱情和負責精神表示衷心感謝。下面我就本次活動作一總結。一、本次活動的基本成績1 .關于活動滿意度的

4、調(diào)查。我們以問卷的方式，對本次活動的現(xiàn)場滿意度 作了調(diào)查，結果如下（問卷127份）：對本次活動的總體評價：滿意 57.3%,基本滿意41.7%,不?f意1%參會代表最感興趣的環(huán)節(jié)：選手講述4.9%,代表互動16.5%,評委點評78.6%。 這一組數(shù)據(jù)表明，廣大觀摩代表對評委會的期望值很高。 要達到這樣的預期，真正滿足大家的要求，我們評委會還需要努力！我們愿意付出努力! 對評委點評的滿意度：分五級水平，百分比是123451%4%13.60%53.40%28%從上述結果看，大家對本次活動的總體評價是好的2 .本次活動涉及的教材版本有人教 A版、人教B版、北師大版、蘇教版、 上海版、人教大綱版。版本

5、的多樣化從一個側面反映了本次活動的代表性和廣泛 參與性。3 .內(nèi)容覆蓋了高中課程的所有板塊， 有大量的概念課，這是非常好的現(xiàn)象。 概念教學是我國數(shù)學課堂的薄弱環(huán)節(jié)， 加強研究很有必要。另外，有些選手選擇 了一些難點課題開展教學研究，例如概率、統(tǒng)計中的一些概念課，這是當前需要 重點研討的，希望今后有更多的選手能迎難而上。4,各位參賽選手在理解教學內(nèi)容上下了很大功夫，與往屆比較，在數(shù)學理 解水平上有了很大長進。5 .學生主體意識進一步加強，注重精心設計學生活動，采取問題引導學習 的方式，讓學生帶著問題開展探索活動。6 .教學過程中，能自覺注意根據(jù)學生的認知規(guī)律安排教學活動。特別值得 一提的是，許多

6、參賽教師都能注意根據(jù)概念教學的基本規(guī)律安排教學進程，注意通過具體事例的歸納、概括活動得出數(shù)學概念。7 .信息技術與數(shù)學教學整合的水平進一步提高，大部分教師都能做到恰當 使用信息技術，幫助學生理解數(shù)學內(nèi)容。8 .現(xiàn)場互動充分，評委事先觀看了各位選手提供的完整的課堂錄像，預先 寫好了點評提綱，并結合每一位選手的現(xiàn)場表現(xiàn)給予認真點評。 代表的參與程度 高，現(xiàn)場氣氛熱烈。擺事實、講道理、亮觀點的互動原則得到貫徹。二、幾個需要進一步思考的問題1.正確理解“三維目標”在參賽選手提供的教學設計中，教學目標的表述不盡一致。許多老師采用了 “三維目標”分別闡述的方式呈現(xiàn)目標。例1 “二元一次不等式表示平面區(qū)域”

7、的教學目標。知識與技能(1)理解“同側同號”并掌握不等式區(qū)域的判定方法；(2)能做出二元一次不等式表示的平面區(qū)域。過程與方法(1)增強學生數(shù)形結合的思想；(2)理解數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想，提高分析問題、解決問題的能力。情感態(tài)度價值觀(1)通過學生的主動參與、學生的合作交流，培養(yǎng)學生的探索方法與精神；(2)體會數(shù)學的應用價值；(3)體會由一般到特殊、由特殊到一般的思想。例2”基本不等式”的教學目標。知識技能：要求學生探索基本不等式的證明過程， 了解其幾何意義，會解決 簡單的最值問題。過程方法：通過實例探究抽象基本不等式，體會數(shù)形結合思想方法。情感態(tài)度：通過不同角度探究，培養(yǎng)學生積極嚴謹?shù)膶W習態(tài)度和勇于探

8、索的 求知精神。上述兩例，從積極的方面看，老師們已經(jīng)注意到教學目標必須反映內(nèi)容特點， 關注到顯性目標與隱性目標的不同。 但這樣的表述，除了目標分類不準確、表達 不確切(如把“由一般到特殊、由特殊到一般”的邏輯思考方法不恰當?shù)貧w入情 感領域，把“培養(yǎng)學生積極嚴謹?shù)膶W習態(tài)度和勇于探索的求知精神”這樣的“放 之四海而皆準”的目標作為一堂課的目標)等“技術性”問題外，最大的問題是 混淆了課程目標與課堂教學目標的關系：“三維目標”是課程目標而不是課堂教學目標。“三個維度”具有內(nèi)在統(tǒng)一性，都指向人的發(fā)展，它們交融互進?！敝R和技能”只有在學生獨立思考、大膽批判和實踐運用中，才能實現(xiàn)知識的意義建構；“情感、

9、態(tài)度和價值觀”只有伴隨著學生對數(shù)學知識技能的反思、批判與運用，才能得到升華；“過程和方法” 只有學生以積極的情感、態(tài)度為動力，以知識和技能目標為適用對象，才能體現(xiàn) 它的存在價值?！叭S目標”是中學課程目標的整體設計思路，反映了一個學習過程中的三 個心理維度，但不是教學目標的維度。在制定教學目標時簡單地套用“三個維度” 將使課堂不堪重負。教學目標取決于教學內(nèi)容的特點，要在“三個維度”的指導下，綜合考慮高 中階段的數(shù)學教學目的、內(nèi)容特點和學生情況來確定。課堂教學不是為了體現(xiàn)課程目標的“三個維度”而存在的，而是要具體而扎實地把數(shù)學課程內(nèi)容傳遞給學 生，要以數(shù)學知識教學為載體來促進學生的發(fā)展， 這樣才

10、能真正實現(xiàn)“數(shù)學育人”。因此，一堂數(shù)學課的教學目標，應當是以數(shù)學知識、技能為載體，在教學過 程中開展數(shù)學思想、方法的教學，滲透情感、態(tài)度和價值觀的教育。只有在正確 理解教學內(nèi)容的基礎上，才能制定出恰當?shù)慕虒W目標。例3基本不等式”的教學目標一一正確理解內(nèi)容的基礎上。在制定教學目標時我們首先應思考：為什么把 < （a,b>0）叫做“基本不 等式”？如何理解“基本”二字？我認為，這一不等式反映了實數(shù)的兩種基本運 算（即加法和乘法）所引出的大小變化。這一簡單樸實、平易近人的本質(zhì)，恰是 這一不等式變化多端、妙用無窮的源頭，體現(xiàn)了運算帶給數(shù)的巨大力量。這一本 質(zhì)不僅可以從不等式的代數(shù)結構上得到

11、表現(xiàn)， 而且也有幾何意義，由此而生發(fā)出 的問題在訓練學生的代數(shù)推理能力和幾何直觀能力上都有發(fā)揮良好作用。因此， 必須從基本不等式的代數(shù)結構和幾何意義兩方面入手， 才能讓學生深刻理解它的 本質(zhì)。認真仔細地分析教材的編寫意圖，也是理解內(nèi)容的一個方面。“人教 A版” 通過趙爽弦圖引入對基本不等式的研究，并在代數(shù)證明的基礎上，通過“探究” 引導學生討論基本不等式的幾何意義，從而理解為什么把基本不等式叫做“算術 平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關系”。教科書引導學生經(jīng)歷了如下過程：首先，以“探究”引出問題，經(jīng)過抽象得到趙爽弦圖，并且從圖中的面積關 系得到不等式a2+b2>2ab及其等號成立的條件，再進一步地作

12、變形 （在a, b>0 的條件下用，分別代換a, b）得到基本不等式；其次，用分析法給出代數(shù)證明（如果用綜合法，要從（）20開始，思路不 自然），因為不難，所以讓學生填空；第三，以“探究”引導學生對基本不等式作幾何解釋，使學生有機會數(shù)形結 合地進一步認識基本不等式。因為基本不等式很重要，但只給代數(shù)證明非常乏味，所以教科書構建了上述 過程，這是與以往教材有很大區(qū)別的地方?；谏鲜鰞?nèi)容理解，可以確定“基本不等式”的教學目標：（1）借助弦圖、實際問題，經(jīng)歷基本不等式模型的猜想過程，提高觀察能 力，數(shù)學抽象能力；（2）探索基本不等式的證明方法，掌握基本不等式的代數(shù)結構及其使用條 件；（3）會用基

13、本不等式解決簡單的實際問題（注重建模過程）。這樣的目標對教學有真正的定向作用，在課堂教學中緊緊圍繞目標展開教 學，就能使課堂做到高效2 .圍繞概念的核心展開教學一段時間以來，大家對數(shù)學教學的有效性開展了大量研究。 如果在網(wǎng)上以“有 效教學”為關鍵詞搜索，那么有效教學的論文數(shù)以萬計，還有許多理論專著，有 效教學研究可謂一片繁榮。然而，與之形成鮮明對照的是課堂教學的低效甚至無 效?？磥恚坝行Ы虒W”的研究也有“無效”之虞。到底怎樣才能實現(xiàn)課堂教學 的有效性？我認為，只有圍繞數(shù)學概念的核心展開教學， 在概念的本質(zhì)和數(shù)學思 想方法的理解上給予點撥、講解，讓學生在理解概念及其反應的數(shù)學思想和方法 的基礎

14、上，對細節(jié)問題、變化的問題進行深入思考，這樣才能實現(xiàn)有效教學。因 為概念的核心、思想方法是不容易把握的，這是教師發(fā)揮主導作用的重點所在； 具體細節(jié)正好是鍛煉學生應用概念解決問題的機會，是促進學生理解概念的平 臺。那種事無巨細、包打天下的做法，要把所有細節(jié)、變化都在課堂上講完練完 的企圖，最終只能把關鍵、重點、核心淹沒在細節(jié)的海洋中，不僅教學效果不佳， 而且導致學生負擔沉重。例4 ”三角函數(shù)誘導公式”的核心。以往我們從“三角色等變形”的角度理解三角函數(shù)誘導公式，把它當成是“將 任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成銳角三角函數(shù)”的工具。教學中，因為誘導公式太多， 學生記不住，老師們又將之進一步概括成為“奇變偶不

15、變，符號看象限”。實踐 表明，教學效果總不盡如人意。什么原因呢？我認為，主要原因在于這樣的教學沒有抓住“誘導公式”的核心。“其實， x= 84和丫=$訪1是單位圓的自然的動態(tài)（解析）描述。由此可以想到，正弦、 余弦函數(shù)的基本性質(zhì)就是圓的幾何性質(zhì)（主要是對稱性）的解析表述?！眎誘導公式本質(zhì)上是圓的旋轉(zhuǎn)對稱性和軸對稱性的解析表述，它是三角函數(shù)的一條性質(zhì)對稱性。圍繞“對稱性”這一核心展開教學，就可以實現(xiàn)誘導公式教學的以 簡馭繁。例如，學生在問題如果任意角a的終邊與任意角B的終邊關于原點對稱，那么它們有什么關 系？它們的三角函數(shù)又有什么關系？的引導下，可以容易地得到：B= 2kTt +九心由于a的終邊

16、、B的終邊與單位圓的 交點關于原點對稱，因此 sin片sin（2kTt+Ttd） = sin（兀母= sinot類似的，在問題如果a的終邊與B的終邊關于x軸對稱，它們有什么關系？它們的三角函數(shù) 又有什么關系？關于y軸、或關于直線y=x、或關于直線y=-x對稱呢？ 的引導下，可以容易地得到其他誘導公式?？傊?，三角函數(shù)誘導公式教學的三個要點是：依據(jù)一一三角函數(shù)的定義；思想方法一一變換（旋轉(zhuǎn)、對稱）；工具一一單位圓。3 .把引導學生提出問題作為重要教學內(nèi)容雖然老師們已經(jīng)意識到，課堂教學中必須注意教師主導取向的講授式與學生 自主取向的活動式的結合，而且注意使用“問題引導學習”的教學，但學生只有 回答老

17、師提問的機會而沒有提出問題的機會的做法仍需要進一步改進。教師要給學生以提問的示范，目的是使學生“看過問題三百個，不會解題也會問"。要把 引導學生提問，使學生在獨立思考后提出有質(zhì)量的數(shù)學問題作為學生活動的重要 內(nèi)容。那種“構建模型我來干，你要做的就是算”的做法，擠壓了學生獨立思考 的空間，剝奪了學生實質(zhì)性思考的機會。如何實現(xiàn)“讓學生提問”呢？我認為，如果注意“先行組織者”的使用，在 研究方法上多加指導，給學生提供類比的對象和方法，就能使學生自己提問。例5如何判定兩個平面平行通過類比提出問題。指導思想：類比兩條直線平行的判定，提出兩個平面平行的判定的猜想， 再 給出證明。問題1前面我們已

18、經(jīng)得到了一些判定兩個平面平行的方法，請你回顧已有的兩個平面平行的判定定理，你能說說得到這些判定定理的思想方法嗎？定義法（由于兩個平面上的點是無窮的，因此“沒有公共點”不容易說 清楚，不好用）；化歸為直線與平面平行（由平面a內(nèi)的兩條相交直線與平面B平行得到 all B,實際上利用了 “兩條相交直線確定一個平面”，應用了化未知為已知的思 想，降維的方法）。先行組織者：從前面學習直線、平面位置關系的判定可知，判定方法不唯一。 你有沒有想過別的判定方法？在研究問題時， 類比、推廣、特殊化等是獲得研究 成果的常用方法。問題2類比兩條直線相互平行的判定，能否得到一些猜想？學生可能得到：類比“同一平面內(nèi)，直

19、線a, b同時平行于直線c,則a/ b"，猜想“如果 平面% B同時平行于平面 下則all 6'。通過證明可得這一命題是正確的。類比“同一平面內(nèi)，直線a, b同時垂直于直線c,則a/ b"，猜想“如果 平面% B同時垂直于平面 下則all 6'。通過舉反例，發(fā)現(xiàn)這一命題是錯誤的。 教師可進一步提示：將其中的若干條直線換為平面再試試？可得“如果平面%B同時垂直于直線c,則all 6',這是一個正確的命題。另外，還可以通過類比“兩條直線與第三條直線相交，同位角（內(nèi)錯角）相 等，或同旁內(nèi)角互補，則兩直線平行”，得出一些判定兩個平面平行的判定方法。4 . “

20、概念跋學思想方法” PK “題型+技巧”在我們的數(shù)學課堂中，解題教學歷來是重點、核心。教師常常把注意力集中 在“題型”及其技巧上，許多老師分不滿技巧與思想方法的界限，錯誤地把技巧 當成思想方法，而且往往把技巧直接告訴學生，再讓學生通過模仿訓練記住技巧， 而對技巧的來龍去脈則語焉不詳特別是對蘊含于數(shù)學知識中的數(shù)學思想方法教 學，因其是一種潛移默化、潤物無聲的“慢工”，被有些老師判為“不實惠”而 得不到應有的滲透、提煉和概括。結果是在稍有變化的情境中，因為沒有數(shù)學思 想方法的支撐，“特技”失靈，“動作”變形，靈活應用數(shù)學知識解決問題的能 力成為“泡影”。在“能力立意”的高考中出現(xiàn)“講過練過的不一定

21、會，沒講沒 練的一定不會”的結局就不足為奇了。實際上，技巧往往是“可以意會不可言傳”的，是不可復制的，而且掌握技 巧需要付出大量時間、精力的代價，這是得不償失的。大眾數(shù)學教育是普及性的， 目的是培養(yǎng)公民的基本數(shù)學素養(yǎng)，就像平時鍛煉身體不需要專業(yè)運動技巧一樣， 并不需要太多高超的解題技巧，教學時也很難用富有啟發(fā)性的語言予以傳授。因 此，技巧，雕蟲小技也，不足道也！概念及其蘊含的思想方法才是根本大法！我 們要強調(diào)數(shù)學知識及其蘊含的思想方法教學的重要性，無知者無能，在對數(shù)學知識沒有基本理解的時就進行解題訓練是盲目的，也是注定低效的。解題訓練應針對概念的理解和應用，要讓學生養(yǎng)成從基本概念出發(fā)思考問題、

22、 解決問題的習慣。 另外，解題的靈活性來源于概念的實質(zhì)性聯(lián)系， 技巧是不可靠的，因此要加強概 念的聯(lián)系性，從概念的聯(lián)系中尋找解決問題的新思路。例6如何講“比較1.70.3與0.93.1的大小”。這是教科書為了鞏固指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)而設置的一個練習。在此之前有兩個小題為“比較1.72.5和1.73, 0.8一0.1和0.8一0.2的大小?！庇捎谶@兩個小題可以通過 直接構造一個指數(shù)函數(shù)，并利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性做出判斷， 因此比較簡單。但 本小題的底數(shù)、指數(shù)都不同，無法構造一個指數(shù)函數(shù)而直接得解， 于是有的老師 就說：“這類題目就是要找一個中間量來比大小，這個量一般是 1”這樣的 講解，離開了指數(shù)函數(shù)的

23、概念和性質(zhì)，使這個“中間量1”成為一個“從天而降” 的神秘物，變得無依無靠、不可琢磨。實際上，我們完全可以從指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)中找到思路，形成解題的突破口： 對于任意指數(shù)函數(shù)y=ax (a>0, a*D ,它們都有一個共性a0=1,這就是“中間 量1”的來源。因此，引導學生回到概念去，回到基本原理去，不僅能找到解題 思路，而且能使思考過程更有理、更高效。5 .怎樣進行“思維的教學”眾所周知，數(shù)學是思維的科學，數(shù)學是思維的體操。數(shù)學教學的核心任務之 一是要培養(yǎng)學生的思維能力，使學生在掌握數(shù)學基礎知識的過程中，學會感知、 觀察、歸納、類比、想象、抽象、概括、推理、證明和反思等邏輯思考的基本方法。

24、從課堂教學現(xiàn)狀看，許多老師還沒有掌握“思維的教學”的基本方法，不能 有效地抓住“思維的教學”的時機。思維發(fā)展心理學的研究表明，概括是人們掌握概念的直接前提；概括是思維 的速度、靈活遷移程度、廣度和深度、創(chuàng)造程度等思維品質(zhì)的基礎；概括是科學 研究的關鍵機制；學習和應用知識的過程也是概括的過程； 數(shù)學概括能力是數(shù)學 學科能力的基礎，概括能力的訓練是數(shù)學思維能力訓練的基礎；概括與歸納、類比等直接相關，是培養(yǎng)創(chuàng)造力的基礎。因此，“思維的教學”的基本方法是以數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展過程為載體，為學生的概括活動搭建平臺，千方百計地給學生 提供概括的機會，鍛煉學生的概括能力，使學生學會概括。特別要注意在概括的 關

25、鍵環(huán)節(jié)上放手讓學生自主活動。例7 “二元一次不等式表示平面區(qū)域”的概括活動。本課有兩個關鍵環(huán)節(jié)：一是獲得“同側同號”的猜想；二是獲得證明猜想的 方法(過點P(x0 , yo )作乂軸的垂線，交直線 Ax+By+C=0于Q(xi , yi ),通過比 較y0 , yi的大小而得)。引導學生猜想“同側同號”時，許多老師先讓學生在平面上任意找?guī)讉€點， 將坐標代入Ax+By+C,觀察取值符號與點的位置的關系，然后再用信息技術演 示。這是一個很好的設計，但老師在實施過程中，不是用“在取值符號與點的位 置的關系上，同學們發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律了嗎？”引導學生自己得出結論，而是說：“同 學們發(fā)現(xiàn)沒有，在直線Ax+By

26、+C=0同側的點，坐標代入Ax+By+C后取值的符號 相同？這就是同側同號?！泵菜啤耙龑Оl(fā)現(xiàn)”，實則“包辦代替”，剝奪了 學生獨立思考、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的機會。在證明“同側同號”時，老師讓學生先自己獨立證明，再全班交流。這樣安 排也是好的。問題是：許多學生不是自己獨立想出證明方法，而是通過看書，看 “懂了”說出來的。這時該怎樣進行“思維的教學”呢？該如何引導學生的思維 呢？許多老師的做法是：(面向全體學生)他說的對不對？大家聽懂了嗎？在學 生回答“對” “懂了”以后，結束證明，進入解題訓練。顯然，這樣做達不到“思 維的教學”的目的。我認為，在學生說出“過點P(xo ,yo )作垂直于x軸的垂線，交直線

27、Ax+By+C=0 于Q(xi , yi )”以后，必須追問一下：你是怎么想到的？這樣才能把學生的 “似懂非懂”暴露出來，從而把學生的思維引向深入，產(chǎn)生實質(zhì)性思考。y iP(xo ,yo ) ,實際上，這一方法的正確性容易理解，但思想比較深刻，因為它要把兩個看上去 沒有關聯(lián)的對象聯(lián)系起來，要有較強的“坐標法”思想和化歸能力。這是一個“不 是做不到，而是想不到”的方法。從思維過程看，要思考：如何建立點P(X0 ,yo )與直線Ax+By+C=0的聯(lián)系？如何用代數(shù)語言(不等式)把點 P(xo ,yo )在直線 Ax+By+C=0的“左上方”、“右下方”、“左下方”、“右上方”等圖形語言 表達出來？

28、引導學生思維的深入也正是在這幾個點上：如圖，“點P(X0, yo )在直線l: Ax+By+C=0的左上方”，如何用坐標將這 種位置關系表示出來？如果學生想不出來，可以進一步提問：點 P在直線l的左邊(上方)，圖形 上如何表示？這時學生就可能想到“過點 P作x軸的平行線交直線l于Q(xi , yi ),則有 xo<xi。"順便提及，要搞好“思維的教學”，關鍵是教師自己先要理解好數(shù)學內(nèi)容的 本質(zhì)，教師自己要成為善于思考者。6 .如何進行課堂小結從本次活動中發(fā)現(xiàn)，課堂小結問題還有進一步研究的必要。 許多老師在小結 時的第一個問題是“通過今天的學習，你有哪些收獲？”這樣的問題過于寬泛

29、， 學生的回答往往是“使我知道了數(shù)學與現(xiàn)實生活是緊密聯(lián)系的"，“數(shù)學是有趣的”，“數(shù)學是其妙無窮的”，“我學會了數(shù)形結合思想”大話、空話、套 話甚至是假話滿天飛，這種沒有本課內(nèi)容為載體的“收獲”是虛無飄渺的。我們認為，小結的主要任務是歸納本課內(nèi)容，提煉思想方法，總結學習經(jīng)驗。要提高小結環(huán)節(jié)的教學立意，應當圍繞本課的內(nèi)容及其反應的數(shù)學思想方法，以知識的發(fā)生發(fā)展過程為線索展開，通過小結使學生頭腦中形成關于本課內(nèi)容的一 個清晰的知識結構(包括相關知識的聯(lián)系)。特別是，要把認識數(shù)學對象的“基 本套路”、解決問題的“基本思路”等納入其中。另外，在總結“學到了什么” 的同時，還要總結“哪些地方?jīng)]

30、有學好、沒學會”。例8 ”直線的傾斜角與斜率”的小結。解析幾何是方法論。本課內(nèi)容是解析幾何的起始課，具有“統(tǒng)領全局”的作用.因此，本課的小結應體現(xiàn)出這一地位，讓學生能從“方法論”的高度體驗坐 標法的真諦。具體有如下幾個方面：(1)以傾斜角(形)與斜率(數(shù))的相互關聯(lián)為載體，概括用坐標法研究幾何問題的基本思想，讓學生體會在直角坐標系下“以數(shù)論形”的基本過程和方 法；(2)總結以直角坐標系為“參照系”確定一條直線的幾何要素與平面幾何中確定直線的條件的差異，讓學生體會借助坐標系討論幾何問題的基本方法(坐 標系給出了一個“基準”)；(3)歸納“傾斜角一一斜率一一斜率公式的坐標表示”的研究過程，使學 生

31、掌握用代數(shù)方法刻畫直線斜率的方法，特別是讓學生說明分四種情況討論的必 要性以及將它們歸結為一個公式的過程；(4)借助過兩點的直線斜率公式，明確斜率存在的條件。從更深層次考慮，上述做法更本質(zhì)的是“數(shù)學育人”.數(shù)學課堂應始終把育 人目標放在首位，當然要將它融入知識的教學中.本課承擔著讓學生初步體會坐 標法思想的重任，直線是最簡單的幾何圖形，傾斜角與斜率是簡單但能很好地反 映解析幾何“用代數(shù)的方法刻畫幾何對象”的載體，因此，本課的教學必須要有 “交代問題背景、引入研究方法、構建研究藍圖”的大氣.要讓學生感受到坐標 法的基本特點，體會到用坐標法研究幾何問題的基本套路，進而提高提出問題、 研究問題的能力

32、，這樣才算充分挖掘了本課內(nèi)容的育人資源， 才算體現(xiàn)了傾斜角 與斜率概念的教學價值.7 .充分認識教材在教學中的地位當前，教師誤解“用教材教” “創(chuàng)造性地使用教材”的課改理念，不下功夫 深入研讀教材，在沒有準確理解教材編寫意圖的情況下就隨意地刪減、補充或更改教材內(nèi)容，有的甚至輕率地脫離教材進行教學，以那些粗制濫造的教輔資料為 依據(jù)進行教學。這樣做的結果是使教學失去基本依據(jù)，數(shù)學課堂變得沒有章法。 這種做法，只考慮“應試”而不顧學生的可持續(xù)發(fā)展，不重視教材，不要求學生 精心閱讀課本，把大部分時間花費在做教輔資料的題目上， 已經(jīng)導致學生會解題 但不會提問，會模仿解題技巧而不會讀書、不會獨立思考。因此

33、，這種局面必須 引起我們的高度警覺，并下大力氣扭轉(zhuǎn)。作為優(yōu)秀教師，應當注意到：第一，一定要正確理解“用教材教” “創(chuàng)造性地使用教材”的內(nèi)涵。這是 針對“照本宣科”而言的，絕對不是提倡“脫離教材”搞教學。第二，教材的“基礎性”與高考的“選拔性”確有一定的目標差異，但學 好教材一定是高考取得好成績的前提，教師的主要精力應放在幫助學生熟練掌握 教材內(nèi)容上。第三，理解教材是當好數(shù)學教師的前提， 而“理解教材”的第一要義是“理 解數(shù)學”。了解數(shù)學概念的背景，把握概念的邏輯意義，理解內(nèi)容所反映的思想 方法，挖掘知識所蘊含的科學方法、 理性思維過程和價值觀資源，區(qū)分核心知識 和非核心知識等都是教師的基本功。第四，要仔細分析教材編寫意圖。教材的結