北師大九年級(jí)數(shù)學(xué)特殊的平行四邊形證明題

1、1如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD四邊形的中點(diǎn)；（1）當(dāng)滿足條件四邊形EFGH是矩形；（2）當(dāng)滿足條件四邊形EFGH是菱形；（3）當(dāng)滿足條件四邊形EFGH是正方形2已知，如圖，四邊形ABCD是菱形，B是銳角，AFBC于點(diǎn)F，CHAD于點(diǎn)H，在AB邊上取點(diǎn)E，使得AE=AH，在CD邊上取點(diǎn)G，使得CG=CF，連接EF、FG、GH、HE（1）求證：四邊形EFGH是矩形；（2）當(dāng)B為多少度時(shí)，四邊形EFGH是正方形？并證明3如圖，根據(jù)圖形解答下列問題（1）如圖，以ABC三邊向外分別作等邊ACD、ABE、BCF，證明四邊形ADFE是平行四邊形（2）ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADFE是矩形

2、？（3）ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADFE是菱形？（4）ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADFE是正方形？4） 如圖（1），RtABC中，ACB=90°，中線BE、CD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)F、G分別是OB、OC的中點(diǎn)（1）求證：四邊形DFGE是平行四邊形；（2）如果把RtABC變?yōu)槿我釧BC，如圖（2），通過你的觀察，第（1）問的結(jié)論是否仍然成立（不用證明）；（3）在圖（2）中，試想：如果拖動(dòng)點(diǎn)A，通過你的觀察和探究，在什么條件下四邊形DFGE是矩形，并給出證明；（4）在第（3）問中，試想：如果拖動(dòng)點(diǎn)A，是否存在四邊形DFGE是正方形或菱形？如果存在，畫出相應(yīng)的圖形（不用證明）5如圖1，正方

3、形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)M，正方形MNPQ與正方形ABCD全等，MN、MQ分別交正方菜ABCD的邊于E、F兩點(diǎn)（1）試判斷ME與MF之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明（2）若將題中的“正方形MNPQ與正方形ABCD”改為“矩形MNPQ與矩形ABCD”，且BC=2AB，其他條件不變，當(dāng)矩形MNPQ與矩形ABCD的位置如圖2所示時(shí)，請(qǐng)判斷ME與MF之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明6如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為邊BC、CD的中點(diǎn)，AF、DE相交于點(diǎn)G，則可得結(jié)論：AF=DE，AFDE（不須證明）（1）如圖，若點(diǎn)E、F不是正方形ABCD的邊BC、CD的中點(diǎn)，但滿足CE=DF，則上面的結(jié)論、是否仍然成

4、立；（請(qǐng)直接回答“成立”或“不成立”）（2）如圖，若點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊CB的延長(zhǎng)線和DC的延長(zhǎng)線上，且CE=DF，此時(shí)上面的結(jié)論、是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由（3）如圖，在（2）的基礎(chǔ)上，連接AE和EF，若點(diǎn)M、N、P、Q分別為AE、EF、FD、AD的中點(diǎn)，請(qǐng)先判斷四邊形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一種，并寫出證明過程7如圖，E是矩形ABCD邊BC的中點(diǎn)，P是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，PFAE，PHDE，垂足分別為F，H（1）當(dāng)矩形ABCD的長(zhǎng)與寬滿足什么條件時(shí)，四邊形PHEF是矩形？請(qǐng)予以證明；（2）在（1）中，動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，矩形PHEF

5、變?yōu)檎叫?？為什么?）如圖，在正方形紙片ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點(diǎn)A恰好與BD上的點(diǎn)F重合展開后，折痕DE分別交AB，AC于點(diǎn)G，E，連接GF（1）求AGD的度數(shù)；（2）證明四邊形AEFG是菱形；9已知：如圖，在矩形ABCD中，M，N分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是線段BM，CM的中點(diǎn)（1）求證：ABMDCM；（2）判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形，并證明你的結(jié)論；（3）當(dāng)AD：AB= ： 時(shí)，四邊形MENF是正方形（只寫結(jié)論，不需證明）10如圖，在正方形ABCD中，P是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，且PE=PB，P

6、E交CD于點(diǎn)F，連接DE（1）請(qǐng)判斷PDE的形狀，并給予證明；（2）把正方形ABCD改為菱形，其它條件不變（如圖），若ABC=56°，求DPE的度數(shù)11在綜合實(shí)踐活動(dòng)課中，王老師出了這樣一道題：如圖1，在矩形ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作MEAC交BD于點(diǎn)E，作MFBD交AC于點(diǎn)F求證：四邊形OEMF是菱形做完題后，同學(xué)們按照老師的要求進(jìn)行變式或拓展，提出新的問題讓其它同學(xué)解答（1）小明同學(xué)說：“我把條件中的矩形ABCD改為菱形ABCD，如圖2所示，發(fā)現(xiàn)四邊形OEMF是矩形”請(qǐng)給予證明；（2）小芳同學(xué)說：“我把條件中的點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)改為點(diǎn)M是BC延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)F落

7、在AC的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，此時(shí)OB、ME、MF三條線段之間存在某種數(shù)量關(guān)系”請(qǐng)你寫出這個(gè)結(jié)論，并說明理由12在菱形ABCD和正三角形BGF中，ABC=60°，P是DF的中點(diǎn)，連接PG、PC（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在BC邊上時(shí)，易證：PG=PC（不必證明）（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段PC、PG有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并給與證明；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)F在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段PC、PG又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想（不必證明）13（1）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，EAF=45°，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)G，使DG=BE，連結(jié)EF，AG求證：

8、EF=FG（2） 如圖，等腰直角三角形ABC中，BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)M，N在邊BC上，且MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的長(zhǎng)14已知：如圖，ABC中，BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E是AB上一點(diǎn)，且AE=AC，EFBC交AD于點(diǎn)F，求證：四邊形CDEF是菱形。14解：AD是BAC的平分線，CAD=DAE，在ABD和ADE中， AEAB CADDAE ADAD ，ABDADE，BD=DE，同理BAFEAF，BF=EF，在BFD和EDF中， BDDE DFDF BFEF ，BFDEDF，BFD=DFE，又EFBC，DFE=FDC，BFD=BDF，BF=BD，

9、BF=BD=EF=DE，四邊形BDEF是菱形13（1）證明：在正方形ABCD中，ABE=ADG，AD=AB，在ABE和ADG中，ABEADG（SAS），BAE=DAG，AE=AG，EAG=90°，在FAE和GAF中，F(xiàn)AEGAF（SAS），EF=FG（2）解：如圖2，過點(diǎn)C作CEBC，垂足為點(diǎn)C，截取CE，使CE=BM連接AE、ENAB=AC，BAC=90°，B=C=45°CEBC，ACE=B=45°在ABM和ACE中，ABMACE（SAS）AM=AE，BAM=CAEBAC=90°，MAN=45°，BAM+CAN=45°于是

10、，由BAM=CAE，得MAN=EAN=45°在MAN和EAN中，MANEAN（SAS）MN=EN在RtENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2MN2=BM2+NC2BM=1，CN=3，MN2=12+32，MN=12解答：（1）提示：如圖1：延長(zhǎng)GP交DC于點(diǎn)E，利用PEDPGF，得出PE=PG，DE=FG，CE=CG，CP是EG的中垂線，在RTCPG中，PCG=60°，PG=PC（2）如圖2，延長(zhǎng)GP交DA于點(diǎn)E，連接EC，GC，ABC=60°，BGF正三角形GFBCAD，EDP=GFP，在DPE和FPG中DPEFPG（ASA）PE=PG，DE=FG=BG，

11、CDE=CBG=60°，CD=CB，在CDE和CBG中，CDECBG（SAS）CE=CG，DCE=BCG，ECG=DCB=120°，PE=PG，CPPG，PCG=ECG=60°PG=PC11）證明：MEAC，MFBD，四邊形OEMF是平行四邊形又四邊形ABCD是菱形，ACBD，即EOF=90°，四邊形OEMF是矩形（2）結(jié)論：OB=ME-MF理由如下：MEAC，MFBD，四邊形OEMF 是平行四邊形，OE=MF，又四邊形ABCD是矩形，OB=1 2 BD，OC=1 2 AD，且AC=BD，OB=OC，OBC=OCB，由MEAC可知，OCB=EMB，BE=

12、ME，OB=BE-OE=ME-MF10（1）PDE為等腰直角三角形證明：在正方形ABCD中，BC=DC，BCP=DCP=45°，在BCP和DCP中，BCDC BCPDCP PCPC BCPDCP（SAS）；CBP=CDP，PD=PBPE=PB，CBP=CEP，PD=PECFE=PFD（對(duì)頂角相等）180°-PFD-CDP=180°-CFE-CEP即DPE=DCE=90°PDE為等腰直角三角形（2）解：ABCDDCE=ABC，DPE=DCEDPE=ABCABC=56°DPE=56°9（1）證明：四邊形ABCD是矩形，AB=CD，A=D=

13、90°，又M是AD的中點(diǎn)，AM=DM在ABM和DCM中， ABCD AD AMDM ，ABMDCM（SAS）（2）解：四邊形MENF是菱形證明如下：E，F(xiàn)，N分別是BM，CM，CB的中點(diǎn)，NEMF，NE=MF四邊形MENF是平行四邊形由（1），得BM=CM，ME=MF四邊形MENF是菱形（3）解：2：1當(dāng)AD：AB=2：1時(shí)，四邊形MENF是正方形理由：M為AD中點(diǎn)，AD=2AMAD：AB=2：1，AM=ABA=90，ABM=AMB=45°同理DMC=45°，EMF=180°-45°-45°=90°四邊形MENF是菱形，菱形

14、MENF是正方形8：（1）根據(jù)折疊的對(duì)稱性，可知ADG=BDG=22.5°四邊形ABCD是正方形，DCG=45°，AGD=45°+67.5°=112.5°證明：（2）由對(duì)稱性，可知AE=EF，AG=FG，AEG=90°-22.50°=67.5°，AGE=180°-112.5°=67.5°，AE=AG，AE=AG=EF=GF，四邊形AEFG是菱形；證明：（3）EFBD，AOBD，EFAC，DOGDFE，OG EF =DO DF = 2 2 ，EF= 2 OG，在直角三角形BEF中，EBF

15、=45°，BE= 2 EF=2OG7：（1）AD=2AB證明：四邊形ABCD是矩形，AD=BC，AB=CD；E是BC的中點(diǎn)，AB=BE=EC=CD；則ABE、DCE是等腰Rt；AEB=DEC=45°；AED=90°；四邊形PFEH中，PFE=FEH=EHP=90°，故四邊形PFEH是矩形；（2）點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)時(shí)，矩形PHEF變?yōu)檎叫?；理由如下：由?）可得BAE=CDE=45°；FAP=HDP=45°；又AFP=PHD=90°，AP=PD，RtAFPRtDHP；PF=PH；在矩形PFEH中，PF=PH，故PFEH是正方形

16、6解：（1）DF=CE，AD=DC，且ADF=DCE，DECAFD；結(jié)論、成立（1分）（2）結(jié)論、仍然成立理由為：四邊形ABCD為正方形，AD=DC=CB且ADC=DCB=90°，在RtADF和RtECD中 ADDC ADCDCB CEDF ，RtADFRtECD（SAS），（3分）AF=DE，DAF=CDE，ADE+CDE=90°，ADE+DAF=90°，AGD=90°，AFDE；（5分）（3）結(jié)論：四邊形MNPQ是正方形（6分）證明：AM=ME，AQ=QD，MQDE且MQ=1 2 DE，同理可證：PNDE，PN=1 2 DE；MNAF，MN=1 2

17、AF；PQAF，PQ=1 2 AF；AF=DE，MN=NP=PQ=QM，四邊形MNPQ是菱形，（8分）又AFDE，MQP=90°，四邊形MNPQ是正方形（10分）5）解：ME=MF理由如下：如圖1，過點(diǎn)M作MGBC于點(diǎn)G，MHCD于點(diǎn)HMGE=MHF=90°M為正方形對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，MG=MH又1+GMQ=2+GMQ=90°，1=2在MGE和MHF中， 12 MGMH MGEMHF ，MGEMHF（ASA）ME=MF（2）解：ME MF =1 2 理由如下：如圖2，過點(diǎn)M作MGBC于點(diǎn)G，MHCD于點(diǎn)HMGE=MHF=90°M為矩形對(duì)角線AC、B

18、D的交點(diǎn)，1+GMQ=2+GMQ=90°1=2在MGE和MHF中，1=2 MGE=MHFMGEMHFME MF =MG MH M為矩形對(duì)角線AB、AC的交點(diǎn)，MB=MD=MC又MGBC，MHCD，點(diǎn)G、H分別是BC、DC的中點(diǎn)BC=2AB=4，MG=1 2 AB，MH=1 2 BCME MF =1 2 4證明證明：（1）BE、CD是中線，D、E是兩邊的中點(diǎn)DEBC且DE=1 2 BC（1分）又點(diǎn)F、G分別是OB、OC的中點(diǎn)，F(xiàn)GBC且FG=1 2 BCDEFG且DE=FG四邊形DFGE是平行四邊形（1分）解：（2）成立（1分）（3）如圖，當(dāng)AB=AC時(shí)，四邊形DFGE是矩形（1分）作AHBC，如圖所示，AB=AC，AHBCAH是BC邊的中線，又BE、CD是中線，AH必過點(diǎn)O（三角形三條中線相交于一點(diǎn)）（1分）DF為ABO的中位線，DFAO，即DFAH，又FG為BCO的中位線，F(xiàn)GBC，又FGBC，AHBC，AHFGDFG=90度又四邊形DFGE是平行四邊形，四邊形DFGE是矩形（1分）3：（1）連接EF、DF，ABE、CBF是等邊三角形，BE=AB，BF=CB，EBA=FBC=60°；EBF=ABC=60°-ABF；EFBACB；EF=AC=AD；同理由CDFCAB，得