西南大學(xué)高中數(shù)學(xué)課程標準導(dǎo)讀第三次作業(yè)答案

1、0773高中數(shù)學(xué)課程標準導(dǎo)讀（第三次作業(yè)）11用教學(xué)實例說明直觀幾何在中學(xué)幾何課程中的地位和作用。答：幾何的直觀性是一個有目共睹的事實，由于幾何的直觀性，使得幾何在數(shù)學(xué)中（即使在數(shù)學(xué)家正在研究的高深的數(shù)學(xué)中）具有非常重要的地位。下面我們引用當(dāng)代偉大的數(shù)學(xué)家Michael Atiyah（1929，英國皇家學(xué)會會員，法國科學(xué)院、美國科學(xué)院、瑞典科學(xué)院外籍院士，菲爾茲獎獲得者）的話：現(xiàn)代數(shù)學(xué)與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的差別更多地是在方式上而不是在實質(zhì)上。本世紀的數(shù)學(xué)在很大程度上是在與實質(zhì)上具有的幾何困難作斗爭，這些困難是由于研究高維問題而產(chǎn)生的。集合直觀仍然是領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的最有效的渠道，應(yīng)當(dāng)在各級學(xué)校盡可能廣泛地利用幾

2、何思想?，F(xiàn)在各國中學(xué)幾何課程中都加入了直觀幾何的內(nèi)容。學(xué)生能夠在直觀幾何課中遇到引人入勝的難題，例如，種種迷人的折紙與拼圖游戲，觀察和實驗是直觀幾何的主要內(nèi)容。學(xué)生能夠通過生動的、富有想象力的活動，發(fā)展自己的空間想象力；通過實實在在的動手操作，了解什么是幾何變換；通過折疊、拼合建立關(guān)于對稱的直觀概念。觀察、實驗、操作、想象等認知活動在直觀幾何中以形形色色、豐富多彩的方式表現(xiàn)出來。中學(xué)幾何教學(xué)中有些“概念、習(xí)題”用直觀的方法進行講解、指導(dǎo)，能很好地幫助學(xué)生理解知識、掌握知識并順利地解決具體問題。我在教學(xué)中，對某些“概念”的教學(xué)，常常就運用運動的觀點做一些小實驗來激發(fā)學(xué)生的求知欲，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)

3、的興趣，幫助學(xué)生對“概念”的加深理解。如：講解“三角形3個內(nèi)角的和等于180°”這一知識時，我開始做了一個小實驗：用橡皮筋構(gòu)成ABC，使頂點B、C固定，頂點A可以移動（如圖）。當(dāng)頂點A來回運動時就可以得到不同的三角形。這時，我便問學(xué)生：這些三角形的內(nèi)角和是多少度呢？學(xué)生在討論中發(fā)現(xiàn)：當(dāng)頂點A越靠近BC，BAC越接近180°，ABC與ACB越來越小，接近0°，而當(dāng)頂點A落到BC上時，這時ABC+ACB+BAC=180°。于是，我讓學(xué)生猜想，一般情形下，ABC的內(nèi)角和確實是180°嗎？接著，課上學(xué)生又積極地探索了幾種不同的方法證實這一結(jié)論。整個一節(jié)

4、課，學(xué)生思維積極，學(xué)習(xí)氣氛非常濃厚，對這一知識的理解也比較深刻。幾何圖形是幫助我們進行數(shù)學(xué)想象的最有效的工具。本來，數(shù)學(xué)中的概念都是非常抽象的概念，而真正抽象的對象是難以思考的，直觀的幾何圖形是我們最容易利用的數(shù)學(xué)形象。因此，直觀幾何不但能夠幫助初學(xué)者掌握基礎(chǔ)知識，也能夠幫助人們進行真正的數(shù)學(xué)研究與數(shù)學(xué)創(chuàng)造。直觀幾何并不僅僅停留在直觀操作的層面，經(jīng)過教師的細心引導(dǎo)，直觀幾何中也可以包含豐富多彩的、嚴格的邏輯推理。12你能否理解代數(shù)中的模式直觀，以實例說明。答：模式直觀是一種比圖形直觀更為廣泛的直觀思維途徑。模式直觀并不是如許多人所想象的那樣，“直觀”離不開幾何圖形。模式直觀是一種在大多數(shù)場合不

5、能利用幾何圖形并借助于視覺形象所產(chǎn)生的對于事物之間邏輯關(guān)系的一種直接的、形象的推斷和理解。有時模式直觀表現(xiàn)為人們對復(fù)雜過程所發(fā)生的程序或秩序的理所當(dāng)然的了解和理解。在上面的證法2中我們把“從n個元素的集合中取m個元素的過程分解為兩種絕然不同的取法程序，其中一種在所取的m個元素中不含固定元素a，另中一種在所取的m個元素中含固定元素a，這樣合在一起就是從n個元素的集合中取m個元素的所有可能的情形”。證法2 的合理性建立在這種“程序分劃”的模式直觀之上。一個非常典型的模式直觀的實例是關(guān)于組合公式（m，n ³ 2）的證明。證法1：證法2：在n個元素中固定一個元a，那么從n個元中取m個元可分為

6、兩種情形。一定不取a，共有種取法；一定取a，共有種取法，加起來共個取法。容易看出證法1依賴于組合符號的定義及煩瑣的數(shù)字計算，是一種對發(fā)現(xiàn)公式本身絲毫無助的純驗證法。而證法2直觀形象，通過這種途徑我們不但能夠證明公式，而且這是一種發(fā)現(xiàn)公式的真正途徑。可是，令人不可思議的是，傳統(tǒng)的教學(xué)觀點甚至認為證法2不能算作邏輯證明，不少舊教材僅僅把證法1作為該公式的證明，而把證法2作為對公式的一種“直觀理解”?，F(xiàn)在我們暫時不對這些有分歧的觀點做出過多的判斷和評論，關(guān)于證法2是否是真正的數(shù)學(xué)證明這個問題，讀完下文之后讀者一定能夠自行判斷。13試述數(shù)學(xué)文化的含義。答：數(shù)學(xué)文化是指一個人通過某種特定的學(xué)習(xí)途徑獲得一

7、定的數(shù)學(xué)知識之后，所表現(xiàn)出來的特有的行為準則、思想觀念及對待事物的態(tài)度.數(shù)學(xué)文化是由數(shù)學(xué)的思想、知識、方法、技術(shù)、理論等所輻射出來的能與相關(guān)文化領(lǐng)域結(jié)合為一體的一個具有強大精神與物質(zhì)功能的動態(tài)系統(tǒng)。數(shù)學(xué)文化包括以下幾個方面。(1)知識成分:包括數(shù)學(xué)理論知識、數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)語言等。(2)能力因素:包括數(shù)學(xué)應(yīng)用能力、將問題通過適當(dāng)途徑而數(shù)學(xué)化的能力、邏輯論證能力、計算能力、問題解決能力、數(shù)學(xué)表達能力等。(3)數(shù)學(xué)觀念:包括數(shù)學(xué)思維方式、思想觀點、情感態(tài)度、價值觀念。雖然數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容涵蓋了一個人數(shù)學(xué)修養(yǎng)的各個方面，但是它更強調(diào)當(dāng)一個人的數(shù)學(xué)知識與其它各個領(lǐng)域的知識能力相融合之后所表現(xiàn)出來的綜合素質(zhì)

8、.數(shù)學(xué)課程的文化價值：數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分。數(shù)學(xué)課程應(yīng)當(dāng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢，數(shù)學(xué)對推動社會發(fā)展的作用，數(shù)學(xué)的社會需求，社會發(fā)展對數(shù)學(xué)發(fā)展的推動作用，數(shù)學(xué)科學(xué)的思想體系，數(shù)學(xué)的美學(xué)價值，數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神。數(shù)學(xué)課程應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀。為此，高中數(shù)學(xué)課程提倡體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值，并在適當(dāng)?shù)膬?nèi)容中提出對數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)要求。14下面列舉5個長期困擾中小學(xué)學(xué)生和教師的數(shù)學(xué)問題，請選擇其中1-2個加以分析研究，討論如何在數(shù)學(xué)課程中更加恰當(dāng)?shù)亟鉀Q此類問題，以教師教學(xué)中的探究引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)學(xué)問題的探究與思考。1）為什么1.2+1.3=2.5而?答

9、：因為數(shù)學(xué)教學(xué)過程中存在心理學(xué)方面的問題。至少在不少幼童心里存在這樣的直接想法：1.2+1.3=2.5，說明加法總是將同類的對象相加，為什么分數(shù)的加法違背大多數(shù)加法法則，不是把分子與分子、分母與分母這種同類東西相加，而是另外使用一套非常難以想象的復(fù)雜法則呢？我們不能把這樣的問題看得過分簡單，可以強調(diào)分數(shù)加法自有一套法則，但是初學(xué)者心里難以將這樣復(fù)雜而違背常規(guī)的法則轉(zhuǎn)化為自己心里的直觀形象。下面是對于“通分”法則的解釋：首先觀察帶分數(shù)的減法。如果將小數(shù)看成十進制分數(shù)，那么是27-進位制的分數(shù)，同樣是14-進位制的分數(shù)，而是7-進位制的分數(shù)。小數(shù)加減法只有當(dāng)進位制相同時才能進行。在這樣的理解之下，

10、分數(shù)運算與小數(shù)運算具有統(tǒng)一的法則。而“為什么1.2+1.3 = 2.5而 ？”的問題就迎刃而解了?！巴ǚ帧本褪前巡煌M位制的分數(shù)化為相同進位制的分數(shù)，然后再進行運算。古埃及人十分重視，這類分數(shù)，把此類分數(shù)稱為“分數(shù)單位”，實際上分數(shù)的運算是又“分數(shù)單位”決定的，“分數(shù)單位”也是分數(shù)的“位值”，自然地，不同位值的兩個數(shù)無法簡單地進行運算。上面的解釋表面上看起來好象不涉及心理學(xué)問題，但是“位值制”概念是比較直觀的概念，例如：（蘋果）+（香蕉）難以進行簡單的運算，其主要的困難就在于被加的對象沒有等同的“位值”。對于初學(xué)者來說，普通概念是他接受專業(yè)概念與專業(yè)法則的基礎(chǔ)。因此，簡單地重復(fù)法則無法使學(xué)生摸

11、去“心里的錯誤”。教師糾正錯誤的第一步是讓學(xué)生先做下面的問題：教師心里必須明白，在各種各樣的分數(shù)中有舉足輕重的作用，特別是兒童，在兒童心目中分數(shù)是抽象的，但是是個例外，是一個最富有形象的分數(shù)。注意到這一點會對分數(shù)的教學(xué)有極大的幫助。所以，小學(xué)生學(xué)習(xí)分數(shù)，第一步學(xué)的不應(yīng)該是，而應(yīng)該是。雖然從表面上看起來這兩個分數(shù)加法運算沒有太大的區(qū)別，但這僅僅是成年人的想法，兒童沒有這樣的心理。只要有每次吃半個蘋果經(jīng)歷的兒童都不難接受的運算法則，但是與一樣難。第二步還到不了做的地步，應(yīng)該通過適當(dāng)?shù)姆磸?fù)，嘗試反復(fù)做，,這類問題，通過同分母（不是一般的同分母運算，而是同分母的單位分數(shù)運算）的運算讓學(xué)生首先注意到的不

12、是抽象的分數(shù)運算法則，而是單位分數(shù)（即）的重要概念。與相仿，單位分數(shù)在分數(shù)中處于獨特的地位。單位分數(shù)的運算基本上接近整數(shù)的運算，在兒童的心目中“形象”比較清晰。幾何形象也許是幫助兒童解決心理困惑的工具。下面我們摘錄一段著名的美國數(shù)學(xué)家David Mumford（1937，哈佛大學(xué)教授，1974獲菲爾茲獎，19951999任國際數(shù)學(xué)家聯(lián)盟主席）討論大學(xué)微積分課程改革的一篇論文（載美國數(shù)學(xué)會刊物Notices of AMS，1997第44卷）中對數(shù)學(xué)課程中“公理證明”與“圖形直觀”的看法和意見，Mumford說：“通常圖形是促進交流的辦法，在小學(xué)里，當(dāng)你接受1/(1/n)=n時，你可能像我一樣困惑

13、。當(dāng)然，現(xiàn)代教科書中程度不同地擺弄公理的辦法去證明這一公式，但是用下面的對比圖形不是一樣清楚嗎。（參見下圖）” 總共6塊餅，每人2塊，可以分給幾個人？6/2=3.結(jié)論：6包含3個2總共1塊餅，包含幾個1/4塊？結(jié)論：1包含4個1/4，因此1/(1/4)=4Mumford評論：“介紹一個實例，觀察一個圖形，導(dǎo)出一個解釋，難道不比去介紹形式化證明更好嗎?！?）為什么“負負得正”？答：“有理數(shù)負負得正法則”教學(xué)設(shè)計” 在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，與教科書中呈現(xiàn)有理數(shù)乘法法則的基本模式相對應(yīng)，“負負得正法則”的教案設(shè)計方式通常有“變號法則模式”、“運動模式”以及“合情推理模式”三種基本模式，而且，

14、分別對應(yīng)于當(dāng)前使用率最高的三套初中數(shù)學(xué)課程標準實驗教科書的相應(yīng)版本：設(shè)計方式之一：變號模式首先，將本節(jié)課的教學(xué)目標擬定為：培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、猜想、驗證的能力和質(zhì)疑的意識；理解并初步掌握有理數(shù)乘法法則及其運算律，會正確運算。其次，將教學(xué)環(huán)節(jié)擬定為如下三個環(huán)節(jié)：導(dǎo)入：根據(jù)乘法的意義，由“正數(shù)乘法2+2+2+2=2×4=8”引入被乘數(shù)是負數(shù)的乘法，進而提出問題：（2）×（4）、2×（4）意義何在？得數(shù)是多少？新授內(nèi)容：探究：先給出一組式子： 4×28； 3×26； 2×24；1×22.即正×正正。然后，讓學(xué)生按照規(guī)律繼

15、續(xù)往下寫，得出：（4）×28； （3）×26；（2）×24； （1）×22.即負×正負。對比兩個方陣，得出規(guī)律：兩數(shù)相乘，若其中一個數(shù)變成它的相反數(shù)，則它的積也變成原來積的相反數(shù)。 建立模型：在默認有理數(shù)乘法滿足乘法交換律的前提下，利用上述規(guī)律，推出“負×負、正×負、正×0、負×0、0×正、0×負”等幾種類型的算式，并結(jié)合上面的兩個方陣，讓學(xué)生觀察、對比、歸納，得出有理數(shù)乘法法則。鞏固、強化：出示練習(xí)，在此基礎(chǔ)上得出乘法運算律在有理數(shù)范圍內(nèi)同樣適用。設(shè)計方式之二：合情推理模式首先，將本

16、節(jié)課的教學(xué)目標擬定為：經(jīng)歷有理數(shù)乘法法則的推導(dǎo)過程，會運用有理數(shù)乘法法則進行運算；掌握有理數(shù)乘法的交換律。其中，法則的推導(dǎo)過程是教學(xué)的重點，而其中“負有理數(shù)乘負有理數(shù)”則是教學(xué)的難點。在導(dǎo)入新課的環(huán)節(jié)中，教師通過讓學(xué)生回憶小學(xué)學(xué)過的四種類型的乘法，即“正有理數(shù)乘正有理數(shù)，正有理數(shù)乘0，0乘0，0乘正有理數(shù)”，從而引導(dǎo)學(xué)生討論引進有理數(shù)之后還應(yīng)該學(xué)習(xí)哪些類型的乘法，即“負有理數(shù)乘負有理數(shù)，負有理數(shù)乘0，0乘負有理數(shù)，正有理數(shù)乘負有理數(shù)，負有理數(shù)乘正有理數(shù)”。當(dāng)學(xué)生歸納發(fā)現(xiàn)還有以上四種類型的乘法需要研究時，教師很巧妙地引出學(xué)習(xí)有理數(shù)乘法法則的重要意義。在“合情推理的過程”教學(xué)環(huán)節(jié)，任課教師認為，這

17、個環(huán)節(jié)主要是學(xué)生在教師的引導(dǎo)下尋求有理數(shù)乘法的規(guī)律，主要解決“正有理數(shù)乘負有理數(shù)，0乘負有理數(shù)，負有理數(shù)乘負有理數(shù)，負有理數(shù)乘正有理數(shù)”等問題。因而，教師通過逐步分析四種新類型的有理數(shù)乘法，再加上小學(xué)學(xué)過的四種類型，也就是把有理數(shù)乘法的所有類型都進行了梳理，這就為下一步歸納總結(jié)有理數(shù)乘法法則的規(guī)律做好鋪墊。在“總結(jié)規(guī)律”的環(huán)節(jié)中，進行完八種類型的乘法推理之后，順理成章地得出需要尋找一種更加簡便的法則，以便于指導(dǎo)今后的運算，進而引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)出有理數(shù)乘法的法則，總結(jié)出“確定積的符號與積的絕對值”的要點。在“例題講解、鞏固練習(xí)”階段，教師沒有給學(xué)生講解“乘積為1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù)”這一小規(guī)律，

18、而是把乘法交換律加入到有理數(shù)的乘法法則這節(jié)課中來。設(shè)計方式之三：運動模式本節(jié)課的教學(xué)目標為：培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、猜想、驗證的能力和質(zhì)疑的意識；理解并初步掌握有理數(shù)乘法法則及其運算律，會正確運算。教學(xué)過程包含三個環(huán)節(jié)： 導(dǎo)入：首先利用一個有關(guān)運動的現(xiàn)實情景，借助數(shù)軸研究有理數(shù)的乘法（+2）×（+3）=？，（-2）×（+3）=？，（+2）×（-3）=？，（-2）×（-3）=？四個問題，借助現(xiàn)實意義得出有關(guān)的結(jié)果（而不是利用有理數(shù)乘法的意義得出結(jié)果）。 新授內(nèi)容： * 觀察、分析、歸納四個算式（+2）×（+3）=+6，（-2）×（+3）=-

19、6，（+2）×（-3）=-6，（-2）×（-3）=+6，進而引出有理數(shù)乘法的一般法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。任何數(shù)與0相乘，都得0。* 通過如下例子說明如何運用有理數(shù)乘法法則進行計算：（5）×（-3）；（5）×（+4）；（3）×9；（）×（-2）* 通過一個登山的實際情景（即“登山”簡單應(yīng)用題），體現(xiàn)有理數(shù)乘法法則的現(xiàn)實性。其中的算式為（6）×3 鞏固、強化：出示練習(xí)，強化訓(xùn)練，內(nèi)容為：計算：6×（-9）； （4）× 6； （6）×（-1）；（6）×0； 簡單應(yīng)

20、用題（與例題2類似）：寫出1，-1，等數(shù)的倒數(shù)。對比實驗顯示，負負得正法則的不同的教案設(shè)計風(fēng)格，對于實際的課堂教學(xué)效果影響顯著：“運動模式”從已有的算式出發(fā)導(dǎo)出乘法法則，可以減少“硬性規(guī)定”的痕跡，增加學(xué)生的認同感；同時，重視學(xué)生對有理數(shù)乘法法則實際運用的熟練程度；但是，“運動模型”中“負乘負”的實際意義并不能被為數(shù)甚多的學(xué)生所理解。 “合情推理模式”從若干算式中尋找規(guī)律，歸納出乘法法則，更容易被程度較好的同學(xué)所認同；同時，該模式重視學(xué)生對有理數(shù)乘法法則運用的熟練程度。但是，這種模式對于學(xué)生的接受能力要求較高，即使在辦學(xué)水平比較高的城市重點中學(xué)的相應(yīng)班級，仍有超過半數(shù)的學(xué)生理解有困難。 “變號

21、法則模式”關(guān)注發(fā)展學(xué)生的歸納、概括能力，各類學(xué)生的認同率高。但是，在這種模式下，有理數(shù)乘法法則的現(xiàn)實性欠缺，不少學(xué)生感到啰嗦甚至枯燥，乏味。4）算術(shù)運算中為什么“先做乘除而后做加減”？答：因為我們說：數(shù)學(xué)容許利用直覺進行推理！圖1觀察圖1，豎數(shù)=23，橫數(shù)=32。著名的英國數(shù)理邏輯學(xué)家I.Lakatos在他的名著證明與反駁中列舉了大量的論據(jù)說明上面僅僅求助于“觀察與想象”的過程也是真正的數(shù)學(xué)證明。如果執(zhí)意地認為這樣的直覺推理不是證明，那么許多非常復(fù)雜的數(shù)學(xué)定理的證明將會受到同樣的質(zhì)疑。現(xiàn)在再回到“先乘除、后加減”的運算法則。我們已經(jīng)知道了整數(shù)運算的“算術(shù)公理系統(tǒng)”，沒有公理對于運算順序作出任何

22、“先驗性”的要求，原則上運算順序需要用括號來確定，從這個角度來說“先做乘除而后做加減”確是一約定，但是，我們有很多生動的例證說明這樣的約定并不是完全是人為的，它們也是在使用過程中自然形成的。下面我們以非常淺近的“羊的計算”為例，證明這一法則的“自然形成性”。假定一個村子有10戶人家，其中2戶各養(yǎng)12只羊，3戶各養(yǎng)8只，4戶各養(yǎng)4只，另外1戶養(yǎng)10只羊，問全村共養(yǎng)幾只羊。不必列出算式我們就能夠設(shè)想到計算的順序應(yīng)該是“先乘、后加”，簡單的算式是：212+38+44+10=76，而運算順序是先乘、后加。事實上自然數(shù)的乘法最初是作為相同加數(shù)加法的速算法而引入的，在許多數(shù)相加時，相同加數(shù)的加法優(yōu)先運算，

23、并且多個數(shù)相加被兩個數(shù)的乘法所代替，因此最后形成了“先乘除而后加減”的運算法則。15試列舉兩位在近代數(shù)學(xué)發(fā)展過程中發(fā)揮重要作用的數(shù)學(xué)家，并簡述他們對人類數(shù)學(xué)發(fā)展的主要貢獻。答：開啟近代數(shù)學(xué)的兩位最重要的代表人物是法國數(shù)學(xué)家笛卡兒（R. Descartes, 15961650）與費馬（P. de Fermat, 16011665）。由笛卡兒與費馬開創(chuàng)的解析幾何采用坐標系與求解代數(shù)方程的方法解決幾何問題，從此以后幾何與代數(shù)能夠結(jié)合在一起，使得歐幾里德式的靈活應(yīng)變的幾何推理方法得到重大的改觀，而且更加重要的是人們具備了研究“變量代數(shù)”的有效方法，為隨之而來的微積分產(chǎn)生創(chuàng)造了條件。費馬還是一位數(shù)學(xué)中的

24、“問題大師”，費馬解決了一系列數(shù)論問題，同時還提出了許多影響現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的重要猜想。1637年由勾股定理而引發(fā)的著名“費馬猜想”困惑了人類整整三個半世紀，直到1995年才由美籍英國數(shù)學(xué)家Andrew Wiles 解決。微積分理論的創(chuàng)立是近代數(shù)學(xué)最重大的成就之一，其標志性的著作是出版于1687年牛頓（Isaac Newton 16421727）的劃時代著作自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理。自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理被愛因斯坦贊譽為無比輝煌的演繹成就。該書從力學(xué)三大基本定律出發(fā)，運用微積分工具，嚴格地推導(dǎo)證明了包括開普勒行星運動三大定律、萬有引力定律等在內(nèi)的一系列結(jié)論，并且還把微積分運用于流體運動、聲、光、潮汐、彗星乃

25、至宇宙體系，顯示了微積分作為數(shù)學(xué)工具的巨大的威力。自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理中的微積分命題都采用幾何形式進行敘述與證明。在自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理之前，牛頓的另一部著作流數(shù)簡論引入一種他自己想象的建立在時間概念上的無窮小增量“瞬”，利用字母“0”表示。這種無窮小增量“瞬”的概念和計算方法在尚未出現(xiàn)柯西-威爾斯特拉斯“e-d”理論之前發(fā)揮了同樣重要作用，雖然那時牛頓并未真正地理解“無窮小”這些極限概念的準確的代數(shù)學(xué)含義，但概念的不精確并未影響微積分的實際應(yīng)用。幾乎與牛頓基本同時，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨（G. W. Leibniz, 16461716）采用“微分三角形”的方法也達到了微分學(xué)的理論，之后萊布尼茨還利用

26、“差序列”方法建立了微分與積分的關(guān)系，用我們現(xiàn)在的理解和術(shù)語，這基本上相當(dāng)于發(fā)現(xiàn)了“微積分基本定理”。因此，我們今天把微積分理論的創(chuàng)始功績同時歸功與牛頓和萊布尼茨兩人。17世紀由于笛卡兒、費馬，牛頓、萊布尼茨等人開創(chuàng)性的工作，近代數(shù)學(xué)產(chǎn)生了劃時代的變化。其后的兩個世紀，數(shù)學(xué)基本上都是沿著17世紀開創(chuàng)的道路向前發(fā)展。在微積分的基礎(chǔ)上進一步產(chǎn)生了微分方程（常與偏）、復(fù)變函數(shù)、變分法、微分幾何、泛函分析等數(shù)學(xué)分支。在這兩個世紀眾多的數(shù)學(xué)家中，影響最為深遠的應(yīng)該是瑞士出生的數(shù)學(xué)家歐拉（L. Euler, 17071783）與德國數(shù)學(xué)家高斯（C. Gauss, 17771855）。歐拉是一位真正著作等身

27、的數(shù)學(xué)家，也是有史以來最多產(chǎn)的一位數(shù)學(xué)家。畢其一生，歐拉共完成886種著作及論文，歐拉全集達72卷之巨。歐拉50多歲之后，當(dāng)他已經(jīng)雙目失明之后，還完成了400多篇論文和著作。歐拉憑借他超眾的直覺能力，解決了許多不可思議的數(shù)學(xué)難題。例如，他求出了級數(shù)和：，求出“歐拉積”：，其中（s>1）。我們現(xiàn)在所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)中很多公式、符號都是歐拉倡導(dǎo)和引入的。例如：，利用這個公式，我們能夠求出諸如，。現(xiàn)在全世界通用的函數(shù)符號，自然對數(shù)的底e也正是歐拉的名字Euler第一個字母?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)教科書中幾乎處處都離不開歐拉的名字：歐拉定理、歐拉公式、歐拉函數(shù)、歐拉方程，等等。高斯所開創(chuàng)的許多數(shù)學(xué)分支已經(jīng)與我們今天所學(xué)習(xí)和研究的數(shù)學(xué)有直接的關(guān)系。無論是微分幾何還是代數(shù)數(shù)論，直到現(xiàn)在正在研究的許多數(shù)學(xué)問題都與高斯最初所研究