高中數(shù)學(xué)排列組合習(xí)題及解析

1、排列組合問(wèn)題在實(shí)際應(yīng)用中是非常廣泛的，并且在實(shí)際中的解題方法也是比較復(fù)雜的,下面就通過(guò)一些實(shí)例來(lái)總結(jié)實(shí)際應(yīng)用中的解題技巧.1。排列的定義：從n個(gè)不同元素中，任取m個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。2。組合的定義：從n個(gè)不同元素中，任取m個(gè)元素，并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合。3。排列數(shù)公式：4.組合數(shù)公式：5.排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系:與順序有關(guān)的為排列問(wèn)題，與順序無(wú)關(guān)的為組合問(wèn)題。例1 學(xué)校組織老師學(xué)生一起看電影，同一排電影票12張。8個(gè)學(xué)生，4個(gè)老師，要求老師在學(xué)生中間，且老師互不相鄰，共有多少種不同的坐法?分析 此題涉及到的是

2、不相鄰問(wèn)題，并且是對(duì)老師有特殊的要求，因此老師是特殊元素，在解決時(shí)就要特殊對(duì)待。所涉及問(wèn)題是排列問(wèn)題。解 先排學(xué)生共有種排法，然后把老師插入學(xué)生之間的空檔，共有7個(gè)空檔可插，選其中的4個(gè)空檔，共有種選法。根據(jù)乘法原理，共有的不同坐法為種.結(jié)論1 插入法:對(duì)于某兩個(gè)元素或者幾個(gè)元素要求不相鄰的問(wèn)題，可以用插入法.即先排好沒(méi)有限制條件的元素，然后將有限制條件的元素按要求插入排好元素的空檔之中即可。例2 、5個(gè)男生3個(gè)女生排成一排，3個(gè)女生要排在一起,有多少種不同的排法?分析 此題涉及到的是排隊(duì)問(wèn)題,對(duì)于女生有特殊的限制，因此，女生是特殊元素，并且要求她們要相鄰,因此可以將她們看成是一個(gè)元素來(lái)解決問(wèn)

3、題。解 因?yàn)榕旁谝黄?，所以可以?個(gè)女生看成是一個(gè)人，與5個(gè)男生作全排列，有種排法，其中女生內(nèi)部也有種排法,根據(jù)乘法原理，共有種不同的排法。結(jié)論2 捆綁法：要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問(wèn)題,可以用捆綁法來(lái)解決問(wèn)題。即將需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素，再與其它元素一起作排列，同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也可以作排列。例3 高二年級(jí)8個(gè)班，組織一個(gè)12個(gè)人的年級(jí)學(xué)生分會(huì)，每班要求至少1人，名額分配方案有多少種?分析 此題若直接去考慮的話(huà)，就會(huì)比較復(fù)雜。但如果我們將其轉(zhuǎn)換為等價(jià)的其他問(wèn)題，就會(huì)顯得比較清楚,方法簡(jiǎn)單，結(jié)果容易理解。解 此題可以轉(zhuǎn)化為:將12個(gè)相同的白球分成8份,有多少種不同的分法問(wèn)題，

4、因此須把這12個(gè)白球排成一排,在11個(gè)空檔中放上7個(gè)相同的黑球，每個(gè)空檔最多放一個(gè)，即可將白球分成8份，顯然有種不同的放法,所以名額分配方案有種。結(jié)論3    轉(zhuǎn)化法：對(duì)于某些較復(fù)雜的、或較抽象的排列組合問(wèn)題，可以利用轉(zhuǎn)化思想，將其化歸為簡(jiǎn)單的、具體的問(wèn)題來(lái)求解。例4  袋中有5分硬幣23個(gè),1角硬幣10個(gè)，如果從袋中取出2元錢(qián)，有多少種取法?分析 此題是一個(gè)組合問(wèn)題，若是直接考慮取錢(qián)的問(wèn)題的話(huà)，情況比較多，也顯得比較凌亂，難以理出頭緒來(lái).但是如果根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)考慮剩余問(wèn)題的話(huà),就會(huì)很容易解決問(wèn)題。解   把所有的硬幣全部取出來(lái)，將得

5、到0。05×23+0。10×10=2.15元，所以比2元多0。15元,所以剩下0.15元即剩下3個(gè)5分或1個(gè)5分與1個(gè)1角，所以共有種取法。結(jié)論4   剩余法：在組合問(wèn)題中，有多少取法，就有多少種剩法，他們是一一對(duì)應(yīng)的，因此,當(dāng)求取法困難時(shí),可轉(zhuǎn)化為求剩法。例5   期中安排考試科目9門(mén)，語(yǔ)文要在數(shù)學(xué)之前考，有多少種不同的安排順序？分析 對(duì)于任何一個(gè)排列問(wèn)題，就其中的兩個(gè)元素來(lái)講的話(huà)，他們的排列順序只有兩種情況，并且在整個(gè)排列中，他們出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是均等的,因此要求其中的某一種情況，能夠得到全體,那么問(wèn)題就可以解決了。并且也避免了問(wèn)題的復(fù)

6、雜性。解  不加任何限制條件,整個(gè)排法有種,“語(yǔ)文安排在數(shù)學(xué)之前考”，與“數(shù)學(xué)安排在語(yǔ)文之前考”的排法是相等的，所以語(yǔ)文安排在數(shù)學(xué)之前考的排法共有種。結(jié)論5  對(duì)等法：在有些題目中，它的限制條件的肯定與否定是對(duì)等的，各占全體的二分之一。在求解中只要求出全體，就可以得到所求.例6  我們班里有43位同學(xué)，從中任抽5人，正、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書(shū)記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種?分析 此題若是直接去考慮的話(huà)，就要將問(wèn)題分成好幾種情況,這樣解題的話(huà)，容易造成各種情況遺漏或者重復(fù)的情況.而如果從此問(wèn)題相反的方面去考慮的話(huà),不但容易理解，而且在計(jì)算中也是非常的簡(jiǎn)便。這樣就可以簡(jiǎn)化計(jì)

7、算過(guò)程.解  43人中任抽5人的方法有種,正副班長(zhǎng)，團(tuán)支部書(shū)記都不在內(nèi)的抽法有種,所以正副班長(zhǎng)，團(tuán)支部書(shū)記至少有1人在內(nèi)的抽法有種。結(jié)論6  排異法：有些問(wèn)題，正面直接考慮比較復(fù)雜，而它的反面往往比較簡(jiǎn)捷，可以先求出它的反面,再?gòu)恼w中排除。練習(xí)1 某人射擊8槍,命中4槍?zhuān)敲疵械?槍中恰有3槍是連中的情形有幾種？練習(xí)2 一排8個(gè)座位，3人去坐，每人兩邊至少有一個(gè)空座的坐法有多少種？練習(xí)3 馬路上有編號(hào)為1,2，3，10的十只路燈,為節(jié)約電而不影響照明，可以把其中的三只路燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只或三只，也不能關(guān)掉馬路兩端的燈，問(wèn)滿(mǎn)足條件的關(guān)燈方法有多少種？練習(xí)4

8、A、B、C、D、E五人站成一排，如果B必須站在A的右邊，那么不同的站法有多少種？練習(xí)5 某電路有5個(gè)串聯(lián)的電子元件，求發(fā)生故障的不同情形數(shù)目？小結(jié):解決排列組合應(yīng)用題的一些解題技巧，具體有插入法,捆綁法，轉(zhuǎn)化法，剩余法，對(duì)等法，排異法;對(duì)于不同的題目，根據(jù)它們的條件，我們就可以選取不同的技巧來(lái)解決問(wèn)題。對(duì)于一些比較復(fù)雜的問(wèn)題，我們可以將幾種技巧結(jié)合起來(lái)應(yīng)用，便于我們迅速準(zhǔn)確地解題。在這些技巧中所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法，例如:分類(lèi)討論思想，變換思想，特殊化思想等等,要在應(yīng)用中注意掌握。典例精析題型一分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【例1】 在1到20這20個(gè)整數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)相加，使其和大于20，共有種取法

9、。【解析】當(dāng)一個(gè)加數(shù)是1時(shí),另一個(gè)加數(shù)只能是20，有1種取法；當(dāng)一個(gè)加數(shù)是2時(shí)，另一個(gè)加數(shù)可以是19,20，有2種取法;當(dāng)一個(gè)加數(shù)是3時(shí)，另一個(gè)加數(shù)可以是18,19,20，有3種取法；當(dāng)一個(gè)加數(shù)是10時(shí)，另一個(gè)加數(shù)可以是11,12，19,20,有10種取法；當(dāng)一個(gè)加數(shù)是11時(shí)，另一個(gè)加數(shù)可以是12，13，,19,20，有9種取法;當(dāng)一個(gè)加數(shù)是19時(shí)，另一個(gè)加數(shù)只能是20，有1種取法。由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得共有1+2+3+10+9+8+1=100種取法.【點(diǎn)撥】采用列舉法分類(lèi)，先確定一個(gè)加數(shù)，再利用“和大于20”確定另一個(gè)加數(shù).【變式訓(xùn)練1】（2010濟(jì)南市模擬)從集合1，2,3,，10中任意選

10、出三個(gè)不同的數(shù)，使這三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為()A。3 B。4 C.6 D.8【解析】當(dāng)公比為2時(shí)，等比數(shù)列可為1，2，4或2,4,8；當(dāng)公比為3時(shí)，等比數(shù)列可為1，3，9;當(dāng)公比為32時(shí)，等比數(shù)列可為4，6,9。同理,公比為12、13、23時(shí),也有4個(gè).故選D。題型二分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【例2】 從6人中選4人分別到張家界、韶山、衡山、桃花源四個(gè)旅游景點(diǎn)游覽，要求每個(gè)旅游景點(diǎn)只有一人游覽，每人只游覽一個(gè)旅游景點(diǎn)，且6個(gè)人中甲、乙兩人不去張家界游覽，則不同的選擇方案共有種.【解析】能去張家界的有4人,依此能去韶山、衡山、桃花源的有5人、4人、3人.則由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的

11、選擇方案有4×5×4×3=240種。【點(diǎn)撥】根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這幾步逐步地去做，才能完成這件事，各步之間既不能重復(fù)也不能遺漏.【變式訓(xùn)練2】（2010湘潭市調(diào)研)要安排一份5天的值班表，每天有一人值班，現(xiàn)有5人，每人可以值多天班或不值班,但相鄰兩天不準(zhǔn)由同一人值班,問(wèn)此值班表共有種不同的排法.【解析】依題意，值班表須一天一天分步完成。第一天有5人可選有5種方法,第二天不能用第一天的人有4種方法,同理第三天、第四天、第五天也都有4種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有5×4×4×4×4=1 280種方法.

12、題型三分類(lèi)和分步計(jì)數(shù)原理綜合應(yīng)用【例3】（2011長(zhǎng)郡中學(xué))如圖,用4種不同的顏色對(duì)圖中5個(gè)區(qū)域涂色（4種顏色全部使用)，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色,相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色種數(shù)有?！窘馕觥糠椒ㄒ唬河深}意知，有且僅有兩個(gè)區(qū)域涂相同的顏色，分為4類(lèi)：1與5同；2與5同;3與5同；1與3同。對(duì)于每一類(lèi)有A44種涂法,共有4A44=96種方法.方法二:第一步：涂區(qū)域1，有4種方法；第二步：涂區(qū)域2，有3種方法;第三步：涂區(qū)域4，有2種方法(此前三步已經(jīng)用去三種顏色）;第四步：涂區(qū)域3，分兩類(lèi)：第一類(lèi)，3與1同色，則區(qū)域5涂第四種顏色;第二類(lèi)，區(qū)域3與1不同色，則涂第四種顏色，此時(shí)區(qū)域5就

13、可以涂區(qū)域1或區(qū)域2或區(qū)域3中的任意一種顏色,有3種方法。所以,不同的涂色種數(shù)有4×3×2×（1×1+1×3)=96種.【點(diǎn)撥】染色問(wèn)題是排列組合中的一類(lèi)難題。本題能運(yùn)用兩個(gè)基本原理求解，要注意的是分類(lèi)中有分步，分步后有分類(lèi).【變式訓(xùn)練3】（2009深圳市調(diào)研）用紅、黃、藍(lán)三種顏色去涂圖中標(biāo)號(hào)為1，2,，9的9個(gè)小正方形，使得任意相鄰(有公共邊）小正方形所涂顏色都不相同,且1，5,9號(hào)小正方形涂相同顏色,則符合條件的所有涂法有多少種？【解析】第一步，從三種顏色中選一種顏色涂1，5，9號(hào)有C13種涂法；第二步，涂2,3,6號(hào)，若2，6同色，有4種

14、涂法，若2，6不同色，有2種涂法，故共有6種涂法；第三步,涂4,7,8號(hào),同第二步，共有6種涂法.由分步乘法原理知共有3×6×6=108種涂法.總結(jié)提高分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理回答的都是完成一件事有多少種不同方法或種數(shù)的問(wèn)題，其區(qū)別在于：分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理是完成一件事要分若干類(lèi)，類(lèi)與類(lèi)之間要互斥，用任何一類(lèi)中的任何一種方法都可以獨(dú)立完成這件事;分步乘法計(jì)數(shù)原理是完成一件事要分若干步,步驟之間相互獨(dú)立，各個(gè)步驟相互依存，缺少其中任何一步都不能完成這件事，只有當(dāng)各個(gè)步驟都完成之后,才能完成該事件。因此,分清完成一件事的方法是分類(lèi)還是分步，是正確使用這兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理的基

15、礎(chǔ).12.2排列與組合典例精析題型一排列數(shù)與組合數(shù)的計(jì)算【例1】 計(jì)算：(1）8！+A66A28A410;(2) C33+C34+C310?！窘馕觥?1）原式=8×7×6×5×4×3×2×1+6×5×4×3×2×18×7-10×9×8×7=57×6×5×4×3×256×（89）=-5 130623。（2）原式=C44+C34+C35+C310=C45+C35+C310=C46+

16、C36+C310=C411=330?！军c(diǎn)撥】在使用排列數(shù)公式Amn=n!（nm）！進(jìn)行計(jì)算時(shí)，要注意公式成立的條件：m，nN+,mn.另外，應(yīng)注意組合數(shù)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用.【變式訓(xùn)練1】解不等式 6 .【解析】原不等式即9!(9x）！>6×9!(11-x)!，也就是1（9x）! ，化簡(jiǎn)得x2-21x+1040，解得x8或x13，又因?yàn)?x9，且xN，所以原不等式的解集為2,3,4,5，6,7.題型二有限制條件的排列問(wèn)題【例2】 3男3女共6個(gè)同學(xué)排成一行.(1)女生都排在一起，有多少種排法？（2)女生與男生相間，有多少種排法?（3）任何兩個(gè)男生都不相鄰，有多少種排法？(4）3名男

17、生不排在一起，有多少種排法？(5)男生甲與男生乙中間必須排而且只能排2位女生，女生又不能排在隊(duì)伍的兩端，有幾種排法?【解析】（1）將3名女生看作一人，就是4個(gè)元素的全排列，有A44種排法。又3名女生內(nèi)部可有A33種排法,所以共有A44A33=144種排法.(2)男生自己排，女生也自己排，然后相間插入(此時(shí)有2種插法)，所以女生與男生相間共有2A33A33=72種排法.（3)女生先排，女生之間及首尾共有4個(gè)空隙,任取其中3個(gè)安插男生即可，因而任何兩個(gè)男生都不相鄰的排法共有A33A34=144種。(4)直接分類(lèi)較復(fù)雜，可用間接法.即從6個(gè)人的排列總數(shù)中，減去3名男生排在一起的排法種數(shù)，得3名男生不

18、排在一起的排法種數(shù)為A66-A33A44=576種.(5)先將2個(gè)女生排在男生甲、乙之間，有A23種排法.又甲、乙之間還有A22種排法。這樣就有A23A22種排法。然后把他們4人看成一個(gè)元素（相當(dāng)于一個(gè)男生)，這一元素及另1名男生排在首尾，有A22種排法.最后將余下的女生排在其間，有1種排法.故總排法為A23A22A22=24種.【點(diǎn)撥】排列問(wèn)題的本質(zhì)就是“元素”占“位子”問(wèn)題，有限制條件的排列問(wèn)題的限制主要表現(xiàn)在：某些元素“排”或“不排”在哪個(gè)位子上,某些元素“相鄰"或“不相鄰”.對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題,在分析時(shí),主要按照“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先安排特殊元素或優(yōu)先滿(mǎn)足特殊位子，對(duì)于“相鄰”問(wèn)題可

19、用“捆綁法”，對(duì)于“不相鄰”問(wèn)題可用“插空法”。對(duì)于直接考慮較困難的問(wèn)題，可以采用間接法.【變式訓(xùn)練2】把1,2，3,4,5這五個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，并把它們按由小到大的順序排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列。（1)43 251是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)?（2）這個(gè)數(shù)列的第97項(xiàng)是多少？【解析】（1)不大于43 251的五位數(shù)A55（A44+A33+A22)=88個(gè)，即為此數(shù)列的第88項(xiàng)。(2）此數(shù)列共有120項(xiàng),而以5開(kāi)頭的五位數(shù)恰好有A44=24個(gè)，所以以5開(kāi)頭的五位數(shù)中最小的一個(gè)就是該數(shù)列的第97項(xiàng),即51 234.題型三有限制條件的組合問(wèn)題【例3】 要從12人中選出5人去參加一項(xiàng)活動(dòng)。(1）A,B，C三

20、人必須入選有多少種不同選法?(2）A，B，C三人都不能入選有多少種不同選法?（3）A，B，C三人只有一人入選有多少種不同選法？(4)A，B，C三人至少一人入選有多少種不同選法?(5)A,B，C三人至多二人入選有多少種不同選法?【解析】(1)只須從A，B，C之外的9人中選擇2人，C29=36種不同選法。（2)由A，B，C三人都不能入選只須從余下9人中選擇5人，即有C59=C49=126種選法.(3)可分兩步，先從A，B，C三人中選出1人,有C13種選法，再?gòu)挠嘞碌?人中選4人，有C49種選 法，所以共有C13C49=378種選法。（4）可考慮間接法，從12人中選5人共有C512種，再減去A，B，

21、C三人都不入選的情況C59，共有C512-C59=666種選法。(5)可考慮間接法，從12人中選5人共有C512種,再減去A，B，C三人都入選的情況C29種，所以共有C512C29=756種選法。【點(diǎn)撥】遇到至多、至少的有關(guān)計(jì)數(shù)問(wèn)題，可以用間接法求解。對(duì)于有限制條件的問(wèn)題，一般要根據(jù)特殊元素分類(lèi).【變式訓(xùn)練3】四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共有10個(gè)點(diǎn).（1）在其中取4個(gè)共面的點(diǎn)，共有多少種不同的取法？（2)在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，共有多少種不同的取法？【解析】(1)四個(gè)點(diǎn)共面的取法可分三類(lèi)。第一類(lèi)：在同一個(gè)面上取，共有4C46種;第二類(lèi)：在一條棱上取三點(diǎn),再在它所對(duì)的棱上取中點(diǎn)，共有6種;第三類(lèi):在

22、六條棱的六個(gè)中點(diǎn)中取，取兩對(duì)對(duì)棱的4個(gè)中點(diǎn)，共有C23=3種。故有69種。(2）用間接法。共C410-69=141種?？偨Y(jié)提高解有條件限制的排列與組合問(wèn)題的思路:(1）正確選擇原理，確定分類(lèi)或分步計(jì)數(shù);(2)特殊元素、特殊位置優(yōu)先考慮；(3）再考慮其余元素或其余位置。12.3 二項(xiàng)式定理典例精析題型一二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式及應(yīng)用【例1】 已知 的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值依次成等差數(shù)列.(1）求證:展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)；（2）求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng).【解析】由題意得2C1n =1+C2n（ )2，即n29n+8=0,所以n=8,n=1(舍去）。所以Tr+1= ( ） =( )r =（1）r （0

23、r8,rZ)。(1）若Tr+1是常數(shù)項(xiàng),則163r4=0,即16-3r=0，因?yàn)閞Z，這不可能，所以展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng).(2）若Tr+1是有理項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)163r4為整數(shù),又0r8，rZ,所以 r=0,4,8，即展開(kāi)式中有三項(xiàng)有理項(xiàng)，分別是T1=x4，T5=358 x,T9=1256 x-2?！军c(diǎn)撥】（1）把握住二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，是掌握二項(xiàng)式定理的關(guān)鍵.除通項(xiàng)公式外，還應(yīng)熟練掌握二項(xiàng)式的指數(shù)、項(xiàng)數(shù)、展開(kāi)式的系數(shù)間的關(guān)系、性質(zhì)；（2）應(yīng)用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)，如求某一項(xiàng),含x某次冪的項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)，有理項(xiàng),系數(shù)最大的項(xiàng)等，一般是應(yīng)用通項(xiàng)公式根據(jù)題意列方程，在求得n或r后，再求所需的項(xiàng)（要

24、注意n和r的數(shù)值范圍及大小關(guān)系);(3) 注意區(qū)分展開(kāi)式“第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)”與“第r+1項(xiàng)的系數(shù)".【變式訓(xùn)練1】若(xx+ )n的展開(kāi)式的前3項(xiàng)系數(shù)和為129，則這個(gè)展開(kāi)式中是否含有常數(shù)項(xiàng)，一次項(xiàng)？如果有，求出該項(xiàng),如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由?！窘馕觥坑深}知C0n+C1n2+C2n22=129，所以n=8，所以通項(xiàng)為T(mén)r+1=Cr8(xx）8r = ，故r=6時(shí)，T7=26C28x=1 792x，所以不存在常數(shù)項(xiàng)，而存在一次項(xiàng)，為1 792x.題型二運(yùn)用賦值法求值【例2】（1）已知（1+x)+(1+x)2+(1+x）n=a0+a1x+a2x2+anxn,且a1+a2+an1=29n

25、，則n=；（2)已知(1x）n=a0+a1x+a2x2+anxn，若5a1+2a2=0,則a0-a1+a2a3+(-1）nan=.【解析】(1）易知an=1，令x=0得a0=n，所以a0+a1+an=30.又令x=1,有2+22+2n=a0+a1+an=30,即2n+1-2=30，所以n=4。（2)由二項(xiàng)式定理得，a1=C1n=n，a2=C2n=n(n1）2，代入已知得-5n+n（n1）=0，所以n=6，令x=1得(1+1）6=a0-a1+a2-a3+a4a5+a6，即a0a1+a2a3+a4a5+a6=64.【點(diǎn)撥】運(yùn)用賦值法求值時(shí)應(yīng)充分抓住代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，通過(guò)一些特殊值代入構(gòu)造相應(yīng)的結(jié)構(gòu)

26、.【變式訓(xùn)練2】設(shè)（3x1)8=a0+a1x+a2x2+a7x7+a8x8.求a0+a2+a4+a6+a8的值?！窘馕觥苛頵（x）=（3x-1）8,因?yàn)閒（1）=a0+a1+a2+a8=28，f(-1)=a0-a1+a2a3+a7+a8=48，所以a0+a2+a4+a6+a8=f(1)+f（1)2=27×(1+28）.題型三二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用【例3】求證：4×6n+5 n+1-9能被20整除?！窘馕觥?×6n+5n+19=4(6n1)+5（5n1）=4(5+1)n-1+5(4+1)n1=20(5n-1+C1n5n-2+Cn1n）+(4n-1+C1n4n-2+Cn

27、-1n)，是20的倍數(shù)，所以4×6n+5n+1-9能被20整除。【點(diǎn)撥】用二項(xiàng)式定理證明整除問(wèn)題時(shí),首先需注意(a+b）n中，a，b中有一個(gè)是除數(shù)的倍數(shù);其次展開(kāi)式有什么規(guī)律,余項(xiàng)是什么，必須清楚?！咀兪接?xùn)練3】求0.9986的近似值，使誤差小于0.001。【解析】0.9986=(1-0.002）6=1+6×(0.002）1+15×(-0。002)2+（-0.002)6.因?yàn)門(mén)3=C26(-0。002)2=15×(0.002）2=0.000 06<0。001，且第3項(xiàng)以后的絕對(duì)值都小于0.001,所以從第3項(xiàng)起，以后的項(xiàng)都可以忽略不計(jì).所以0.99

28、86=(1-0.002）61+6×(0.002)=1-0.012=0.988.總結(jié)提高1。利用通項(xiàng)公式可求展開(kāi)式中某些特定項(xiàng)(如常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)、二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)等),解決這些問(wèn)題通常采用待定系數(shù)法，運(yùn)用通項(xiàng)公式寫(xiě)出待定式，再根據(jù)待定項(xiàng)的要求寫(xiě)出n、r滿(mǎn)足的條件，求出n和r，再確定所需的項(xiàng)；2.賦值法是解決二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)和、差問(wèn)題的一個(gè)重要手段;3。利用二項(xiàng)式定理解決整除問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是進(jìn)行合理的變形,使得二項(xiàng)展開(kāi)式的每一項(xiàng)都成為除數(shù)的倍數(shù)。對(duì)于余數(shù)問(wèn)題，要注意余數(shù)的取值范圍。12。4隨機(jī)事件的概率與概率的基本性質(zhì)典例精析題型一頻率與概率【例1】某企業(yè)生產(chǎn)的乒乓球被08年北京奧委會(huì)指定

29、為乒乓球比賽專(zhuān)用球.日前有關(guān)部門(mén)對(duì)某批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測(cè),檢查結(jié)果如下表所示.抽取球數(shù)n 50 100 200 500 1 000 2 000優(yōu)等品數(shù)m 45 92 194 470 954 1 902優(yōu)等品頻率(1)計(jì)算表中乒乓球優(yōu)等品的頻率;(2）從這批乒乓球產(chǎn)品中任取一個(gè),質(zhì)量檢查為優(yōu)等品的概率是多少？(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后三位)【解析】(1)依據(jù)公式 ,計(jì)算出表中乒乓球優(yōu)等品的頻率依次是0。900，0。920，0.970,0。940，0。954，0。951。(2）由（1）知,抽取的球數(shù)n不同,計(jì)算得到的頻率值不同，但隨著抽取的球數(shù)的增多，卻都在常數(shù)0.950的附近擺動(dòng)，所以質(zhì)量檢查為優(yōu)等品

30、的概率為0.950?！军c(diǎn)撥】從表中所給的數(shù)據(jù)可以看出,當(dāng)所抽乒乓球較少時(shí),優(yōu)等品的頻率波動(dòng)很大，但當(dāng)抽取的球數(shù)很大時(shí)，頻率基本穩(wěn)定在0.95,在其附近擺動(dòng)，利用概率的統(tǒng)計(jì)定義，可估計(jì)該批乒乓球的優(yōu)等率?！咀兪接?xùn)練1】某籃球運(yùn)動(dòng)員在最近幾場(chǎng)比賽中罰球的結(jié)果如下.投籃次數(shù)n 8 10 12 9 10 16進(jìn)球次數(shù)m 6 8 9 7 7 12進(jìn)球頻率(1)計(jì)算表中進(jìn)球的頻率;(2）這位運(yùn)動(dòng)員投籃一次，進(jìn)球的概率是多少?【解析】（1）由公式計(jì)算出每場(chǎng)比賽該運(yùn)動(dòng)員罰球進(jìn)球的頻率依次為：（2)由（1）知，每場(chǎng)比賽進(jìn)球的頻率雖然不同，但頻率總在 附近擺動(dòng)，可知該運(yùn)動(dòng)員進(jìn)球的概率為 .題型二隨機(jī)事件間的關(guān)系【

31、例2】從一副橋牌(52張）中任取1張.判斷下列每對(duì)事件是否為互斥事件，是否為對(duì)立事件。(1)“抽出紅桃"與“抽出黑桃”;（2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3）“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于10”?！窘馕觥?1)是互斥事件但不是對(duì)立事件.因?yàn)椤俺槌黾t桃”與“抽出黑桃”在僅取一張時(shí)不可能同時(shí)發(fā)生,因而是互斥的。同時(shí)，不能保證其中必有一個(gè)發(fā)生，因?yàn)檫€可能抽出“方塊"或“梅花”，因此兩者不對(duì)立。(2)是互斥事件又是對(duì)立事件。因?yàn)閮烧卟豢赏瑫r(shí)發(fā)生,但其中必有一個(gè)發(fā)生。（3）不是互斥事件，更不是對(duì)立事件。因?yàn)椤俺槌龅呐泣c(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于10&qu

32、ot;這兩個(gè)事件有可能同時(shí)發(fā)生，如抽得12。【點(diǎn)撥】要區(qū)分互斥事件和對(duì)立事件的定義?！咀兪接?xùn)練2】抽查10件產(chǎn)品，設(shè)事件A：至少有兩件次品，則A的對(duì)立事件為()A.至多兩件次品 B。至多一件次品C。至多兩件正品 D.至少兩件正品【解析】根據(jù)對(duì)立事件的定義得選項(xiàng)B.題型三概率概念的應(yīng)用【例3】 甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試,按照大于或等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀，統(tǒng)計(jì)后，得到如下列聯(lián)表。優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計(jì)甲 10乙 30總計(jì) 105已知從全部105人中隨機(jī)抽取1人為優(yōu)秀的概率為 .(1)請(qǐng)完成上面列聯(lián)表；（2)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，若按95的可靠性要求,能否認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”（參考數(shù)據(jù)P

33、（K26.635)=0。05)；(3）若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學(xué)生中抽取一人：把甲班優(yōu)秀的10人按2到11進(jìn)行編號(hào)，然后兩次擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為被抽取人的編號(hào)。試求抽到6號(hào)或10號(hào)的概率.【解析】（1)優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計(jì)甲 10 45 55乙 20 30 50總計(jì) 30 75 105（2）計(jì)算K2的一個(gè)觀測(cè)值k= =6.109.因?yàn)?。1096。635，所以沒(méi)有95%的把握認(rèn)為成績(jī)與班級(jí)有關(guān)。(3)記被抽取人的序號(hào)為,則P(=6)= ，P（=10）= ，所以P（=6或=10）=P（=6）+P（=10)= = ?！军c(diǎn)撥】本題考查概率的概念在實(shí)際生活中的應(yīng)用.【變式訓(xùn)練3】袋內(nèi)有3

34、5個(gè)球,每個(gè)球上都記有從135中的一個(gè)號(hào)碼,設(shè)號(hào)碼為n的球的重量為 5n+20克，這些球以等可能性從袋里取出（不受重量、號(hào)碼的影響）.(1）如果取出1球，試求其重量比號(hào)碼數(shù)大5的概率；（2)如果任意取出2球,試求它們重量相等的概率?！窘馕觥浚?）由不等式 -5n+20n+5，得n15或n3，由題意知n=1,2或者n=16，17，35，于是所求概率為 。(2）設(shè)第n號(hào)和第m號(hào)的兩個(gè)球的重量相等，其中n所以(n-m）(n+m15)=0.因?yàn)閚m,所以n+m=15，所以(n，m）=(1,14)，（2，13），(7,8)。故所求概率為 。總結(jié)提高1。對(duì)立事件是互斥事件的一種特殊情況,是指在一次試驗(yàn)中有

35、且僅有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件。集合A的對(duì)立事件記作 ，從集合的角度來(lái)看,事件 所含結(jié)果的集合正是全集U中由事件A所含結(jié)果組成集合的補(bǔ)集，即A =U，A = .對(duì)立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對(duì)立事件.事件A、B的和記作A+B,表示事件A、B至少有一個(gè)發(fā)生。當(dāng)A、B為互斥事件時(shí)，事件A+B是由“A發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)生”以及“B發(fā)生而A不發(fā)生”構(gòu)成的。當(dāng)計(jì)算事件A的概率P（A)比較困難時(shí)，有時(shí)計(jì)算它的對(duì)立事件 的概率則要容易些，為此有P（A)=1P( ).2.若A與B互相獨(dú)立，則 與 ,A與 , 與B都是相互獨(dú)立事件。判斷A與B是否獨(dú)立的方法是看P(AB）=P（A)P(B）是否成立。12。5古典概

36、型典例精析題型一古典概率模型的計(jì)算問(wèn)題【例1】一汽車(chē)廠生產(chǎn)A、B、C三類(lèi)轎車(chē)，每類(lèi)轎車(chē)均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號(hào)，某月的產(chǎn)量如下表（單位:輛），轎車(chē)A 轎車(chē)B 轎車(chē)C舒適型 100 150 z標(biāo)準(zhǔn)型 300 450 600現(xiàn)按分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車(chē)中抽取50輛,其中有A類(lèi)10輛。（1)求z的值；（2）用分層抽樣的方法在C類(lèi)轎車(chē)中抽取一個(gè)容量為5的樣本,將該樣本視為一個(gè)總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車(chē)的概率;(3）用隨機(jī)抽樣方法從B類(lèi)舒適型轎車(chē)中抽取8輛，經(jīng)檢測(cè)它們的得分如下：9.4，8.6，9.2，9。6,8.7，9。3，9。0,8。2把這8輛車(chē)的得分看成一個(gè)總體，從中任取

37、一個(gè)數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.5的概率.【解析】(1）依題意知，從每層抽取的比率為140，從而轎車(chē)的總數(shù)為50×40=2 000輛,所以z=2 000100150-300-450600=400.（2）由(1)知C類(lèi)轎車(chē)共1 000輛，又樣本容量為5，故抽取的比率為1200,即5輛轎車(chē)中有2輛舒適型、3輛標(biāo)準(zhǔn)型，任取2輛，一共有n=10種不同取法，記事件A:至少有1輛舒適型轎車(chē)，則事件 表示抽取到2輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車(chē)，有m=3種不同取法，從而事件A包含：基本事件數(shù)為m=7種，所以P（A)=710.（3)樣本平均數(shù) =18×(9。4+8。6+9。2+9.6+8.7+

38、9.3+9.0+8.2)=9。0，記事件B:從樣本中任取一數(shù)，該數(shù)與樣本平均數(shù)的絕對(duì)值不超過(guò)0.5,則事件B包含的基本事件有6種，所以P（B)=68=34.【點(diǎn)撥】利用古典概型求事件的概率時(shí),主要弄清基本事件的總數(shù)，及所求事件所含的基本事件的個(gè)數(shù)?！咀兪接?xùn)練1】已知ABC的三邊是10以?xún)?nèi)(不包含10）的三個(gè)連續(xù)的正整數(shù),求任取一個(gè)ABC是銳角三角形的概率.【解析】依題意不妨設(shè)a=n1，b=n，c=n+1(n>1，nN），從而有a+bc，即n>2，所以ABC的最小邊為2，要使ABC是銳角三角形，只需ABC的最大角C是銳角，cos C=（n1）2+n2（n+1)22(n1)n=n-42

39、(n-1）0，所以n>4，所以,要使ABC是銳角三角形，ABC的最小邊為4.另一方面，從2,3,4，9中,“任取三個(gè)連續(xù)正整數(shù)”共有6種基本情況，“ABC是銳角三角形”包含4種情況，故所求的概率為46=23.題型二有放回抽樣與不放回抽樣【例2】 現(xiàn)有一批產(chǎn)品共有10件,其中8件為正品,2件為次品.（1）如果從中取出一件，然后放回，再取一件，求連續(xù)3次取出的都是正品的概率；(2）如果從中一次取3件,求3件都是正品的概率.【解析】(1）有放回地抽取3次，按抽取順序(x，y，z）記錄結(jié)果，則x，y，z都有10種可能,所以試驗(yàn)結(jié)果有10×10×10=103種；設(shè)事件A為“連續(xù)

40、3次都取正品”,則包含的基本事件共有8×8×8=83 種，因此，P(A）= =0.512.(2)方法一：可以看作不放回抽樣3次,順序不同，基本事件不同，按抽取順序記錄（x，y，z)，則x有10種可能，y有9種可能,z有8種可能，所以試驗(yàn)的所有結(jié)果為10×9×8=720種。設(shè)事件B為“3件都是正品”，則事件B包含的基本事件總數(shù)為8×7×6=336， 所以P(B)=3367200。467.方法二：可以看作不放回3次無(wú)順序抽樣,先按抽取順序（x，y，z）記錄結(jié)果，則x有10種可能，y有9種可能，z有8種可能,但（x,y，z)，（x，z，y)

41、，（y，x，z)，(y，z，x），(z，x，y)，(z,y，x）是相同的，所以試驗(yàn)的所有結(jié)果有10×9×8÷6=120。按同樣的方法,事件B包含的基本事件個(gè)數(shù)為8×7×6÷6=56，因此P（B）=561200.467。【點(diǎn)撥】關(guān)于不放回抽樣,計(jì)算基本事件個(gè)數(shù)時(shí)，既可以看作是有順序的，也可以看作是無(wú)順序的,其結(jié)果是一樣的，但不論選擇哪一種方式，觀察的角度必須一致，否則會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤。【變式訓(xùn)練2】有5張卡片，上面分別寫(xiě)有0,1，2，3,4中的1個(gè)數(shù).求:(1)從中任取兩張卡片，兩張卡片上的數(shù)字之和等于4的概率;(2)從中任取兩次卡片，每次取

42、一張，第一次取出卡片，記下數(shù)字后放回，再取第二次，兩次取出的卡片上的數(shù)字之和恰好等于4的概率。【解析】(1）兩張卡片上的數(shù)字之和等于4的情形共有4種，任取兩張卡片共有10種，所以概率為P=410=25;(2）兩張卡片上的數(shù)字之和等于4的情形共有5種,任取兩張卡片共有25種，所以概率為P=525=15。題型三古典概型問(wèn)題的綜合應(yīng)用【例3】 甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，甲袋裝有2個(gè)紅球，2個(gè)白球；乙袋裝有2個(gè)紅球，n個(gè)白球。從甲、乙兩袋中各任取2個(gè)球.(1）若n=3，求取到的4個(gè)球全是紅球的概率；(2）若取到的4個(gè)球中至少有2個(gè)紅球的概率為34，求n?！窘馕觥?1）記“取到的4個(gè)球全是紅球

43、"為事件A,P（A）=C22C24C22C25=16×110=160.(2）記“取到的4個(gè)球至多有1個(gè)紅球”為事件B，“取到的4個(gè)球只有1個(gè)紅球”為事件B1,“取到的4個(gè)球全是白球”為事件B2。由題意,得P（B)=134=14.P（B1）=C12C12C24C2nC2n+2+C22C24C12C1nC2n+2=2n23(n+2)（n+1)，P(B2）=C22C24C2nC2n+2=n（n-1)6(n+2)(n+1)。所以P(B)=P(B1)+P（B2)=2n23(n+2)（n+1）+n（n1）6（n+2）（n+1)=14,化簡(jiǎn)得7n2-11n6=0，解得n=2或n=37（舍

44、去)，故n=2?！咀兪接?xùn)練3】甲、乙二人參加普法知識(shí)競(jìng)賽，共有10道不同的題目,其中選擇題6道，判斷題4道，甲、乙二人一次各抽取一題。（1)甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的概率是多少？（2)甲、乙二人至少有一個(gè)抽到選擇題的概率是多少？【解析】(1)甲從選擇題中抽到一題的可能結(jié)果有C16個(gè)，乙從判斷題中抽到一題的的可能結(jié)果是C 14,故甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的可能結(jié)果為C16×C14=24.又甲、乙二人一次各抽取一題的結(jié)果有C110×C19=90，所以概率為2490=415.(2）甲、乙二人一次各抽取一題基本事件的總數(shù)是10×9=90。方法一:（分類(lèi)計(jì)數(shù)原理)只有甲

45、抽到了選擇題的事件數(shù)是：6×4=24；只有乙抽到了選擇題的事件數(shù)是：6×4=24;甲、乙同時(shí)抽到選擇題的事件數(shù)是：6×5=30。故甲、乙二人至少有一個(gè)抽到選擇題的概率是24+24+3090=1315.方法二：(利用對(duì)立事件）事件“甲、乙二人至少有一個(gè)抽到選擇題"與事件“甲、乙兩人都未抽到選擇題”是對(duì)立事件.事件“甲、乙兩人都未抽到選擇題"的基本事件個(gè)數(shù)是4×3=12.故甲、乙二人至少有一個(gè)抽到選擇題的概率是1-1290=1215=1315.總結(jié)提高1。對(duì)古典概型首先必須使學(xué)生明確判斷兩點(diǎn):對(duì)于每個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)來(lái)說(shuō),所有可能出現(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果數(shù)

46、n必須是有限個(gè);出現(xiàn)的各個(gè)不同的試驗(yàn)結(jié)果數(shù)m其可能性大小必須是相同的。只有在同時(shí)滿(mǎn)足、的條件下，運(yùn)用的古典概型計(jì)算公式P(A）=mn得出的結(jié)果才是正確的。使用公式P（A）=mn計(jì)算時(shí)，確定m、n的數(shù)值是關(guān)鍵所在。2.對(duì)于n個(gè)互斥事件A1,A2，An,其加法公式為P（A1+A2+An）=P（A1)+P（A2）+P（An）.3.分類(lèi)討論思想是解決互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率的一個(gè)重要的指導(dǎo)思想。4.在應(yīng)用題背景條件下,能否把一個(gè)復(fù)雜事件分解為若干個(gè)互相排斥或相互獨(dú)立、既不重復(fù)又不遺漏的簡(jiǎn)單事件是解答這類(lèi)應(yīng)用題的關(guān)鍵，也是考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力的重要環(huán)節(jié).12。6幾何概型典例精析題型一長(zhǎng)度問(wèn)題

47、【例1】如圖，AOB=60°，OA=2，OB=5，在線段OB上任取一點(diǎn)C，試求：(1）AOC為鈍角三角形的概率;（2）AOC為銳角三角形的概率.【解析】如圖，由平面幾何知識(shí)知：當(dāng)ADOB時(shí)，OD=1;當(dāng)OAAE時(shí)，OE=4，BE=1.（1）當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C在線段OD或BE上時(shí)，AOC為鈍角三角形。記“AOC為鈍角三角形”為事件M，則P(M)=OD+EBOB=1+15=0。4,即AOC為鈍角三角形的概率為0。4。（2)當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C在線段DE上時(shí),AOC為銳角三角形.記“AOC為銳角三角"為事件N，則P(N)=DEOB=35=0。6,即AOC為銳角三角形的概率為0.6.【點(diǎn)撥】我們

48、把每一個(gè)事件理解為從某個(gè)特定的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn),該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣，而一個(gè)事件發(fā)生則理解為恰好在上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn),這樣的概率模型就可以用幾何概型求解?！咀兪接?xùn)練1】點(diǎn)A為周長(zhǎng)等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)，若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B，則劣弧AB的長(zhǎng)度小于1的概率為.【解析】如圖可設(shè) =1,則根據(jù)幾何概率可知其整體事件是其周長(zhǎng)3，則其概率是23。題型二面積問(wèn)題【例2】 兩個(gè)CB對(duì)講機(jī)（CB即CitizenBand民用波段的英文縮寫(xiě)）持有者,莉莉和霍伊都為卡爾貨運(yùn)公司工作，他們的對(duì)講機(jī)的接收范圍為25公里,在下午3：00時(shí)莉莉正在基地正東距基地30公里以?xún)?nèi)的某處向基地行駛，

49、而霍伊在下午3：00時(shí)正在基地正北距基地40公里以?xún)?nèi)的某地向基地行駛，試問(wèn)在下午3:00時(shí)他們能夠通過(guò)對(duì)講機(jī)交談的概率有多大？【解析】設(shè)x和y分別代表莉莉和霍伊距基地的距離，于是0x30,0y40.他們所有可能的距離的數(shù)據(jù)構(gòu)成有序點(diǎn)對(duì)（x，y)，這里x，y都在它們各自的限制范圍內(nèi)，則所有這樣的有序數(shù)對(duì)構(gòu)成的集合即為基本事件組對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域，每一個(gè)幾何區(qū)域中的點(diǎn)都代表莉莉和霍伊的一個(gè)特定的位置， 他們可以通過(guò)對(duì)講機(jī)交談的事件僅當(dāng)他們之間的距離不超過(guò)25公里時(shí)發(fā)生(如下圖)，因此構(gòu)成該事件的點(diǎn)由滿(mǎn)足不等式x2+y225的數(shù)對(duì)組成,此不等式等價(jià)于x2+y2625，右圖中的方形區(qū)域代表基本事件組,陰影

50、部分代表所求事件，方形區(qū)域的面積為1 200平方公里，而事件的面積為(14）××（25）2=6254，于是有P=625×41 200=6254 8000.41?！军c(diǎn)撥】解決此類(lèi)問(wèn)題，應(yīng)先根據(jù)題意確定該實(shí)驗(yàn)為幾何概型,然后求出事件A和基本事件的幾何度量，借助幾何概型的概率公式求出.【變式訓(xùn)練2】如圖，以正方形ABCD的邊長(zhǎng)為直徑作半圓，重疊部分為花瓣.現(xiàn)在向該正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地投擲一飛鏢，求飛鏢落在花瓣內(nèi)的概率。【解析】飛鏢落在正方形區(qū)域內(nèi)的機(jī)會(huì)是均等的，符合幾何概型條件。記飛鏢落在花瓣內(nèi)為事件A，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2r，則P( A）=S花瓣SABCD=12r2

51、5;4（2r）2(2r)2=-22.所以,飛鏢落在花瓣內(nèi)的概率為-22.題型三體積問(wèn)題【例3】 在線段0，1上任意投三個(gè)點(diǎn)，設(shè)O至三點(diǎn)的三線段長(zhǎng)為x、y、z，研究方法表明:x，y，z能構(gòu)成三角形只要點(diǎn)(x，y，z） 落在棱長(zhǎng)為1的正方體T的內(nèi)部由ADC,ADB,BDC，AOC，AOB，BOC所圍成的區(qū)域G中（如圖),則x,y，z能構(gòu)成三角形與不能構(gòu)成三角形這兩個(gè)事件中哪一個(gè)事件的概率大？【解析】V（T）=1，V（G)=13-3×13×12×13=12，所以P=V(G）V（T）=12.由此得,能與不能構(gòu)成三角形兩事件的概率一樣大.【點(diǎn)撥】因?yàn)槿我馔兜娜c(diǎn)x，y，z是

52、隨機(jī)的，所以使得能構(gòu)成三角形只與能構(gòu)成三角形的區(qū)域及基本事件的區(qū)域有關(guān)?！咀兪接?xùn)練3】已知正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球O,則在正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)任取點(diǎn)M,點(diǎn)M在球O內(nèi)的概率是(）A.4 B.8 C。6 D。12【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則點(diǎn)M在球O內(nèi)的概率P=V球V正方體=43（a2）3a3=6,選C.總結(jié)提高1.幾何概型是一種概率模型，它與古典概型的區(qū)別是試驗(yàn)的可能結(jié)果不是有限個(gè).其特點(diǎn)是在一個(gè)區(qū)域內(nèi)均勻分布,概率大小與隨機(jī)事件所在區(qū)域的形狀和位置無(wú)關(guān),只與該區(qū)域的大小有關(guān)。如果隨機(jī)事件所在區(qū)域是一個(gè)單點(diǎn),其測(cè)度為0，則它出現(xiàn)的概率為0，但它不是不可能事件.

53、如果隨機(jī)事件所在區(qū)域是全部區(qū)域扣除一個(gè)單點(diǎn)， 其測(cè)度為1，則它出現(xiàn)的概率為1，但它不是必然事件。2。若試驗(yàn)的全部結(jié)果是一個(gè)包含無(wú)限個(gè)點(diǎn)的區(qū)域(長(zhǎng)度，面積,體積），一個(gè)基本事件是區(qū)域中的一個(gè)點(diǎn).此時(shí)用點(diǎn)數(shù)度量事件A包含的基本事件的多少就毫無(wú)意義?！暗瓤赡苄浴笨梢岳斫獬伞皩?duì)任意兩個(gè)區(qū)域，當(dāng)它們的測(cè)度(長(zhǎng)度，面積，體積,)相等時(shí)，事件A對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在這兩區(qū)域上的概率相等，而與形狀和位置都無(wú)關(guān)”。3.幾何概型并不限于向平面（或直線、空間）投點(diǎn)的試驗(yàn)，如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有無(wú)限多個(gè)等可能的基本結(jié)果，每個(gè)基本結(jié)果可以用平面(或直線、空間)中的一點(diǎn)來(lái)表示，而所有基本結(jié)果對(duì)應(yīng)于一個(gè)區(qū)域，這時(shí),與試驗(yàn)有關(guān)的問(wèn)題即可利用

54、幾何概型來(lái)解決。12。7條件概率與事件的獨(dú)立性典例精析題型一條件概率的求法【例1】一張儲(chǔ)蓄卡的密碼共6位數(shù)字，每位數(shù)字都可從09中任選一個(gè).某人在銀行自動(dòng)提款機(jī)上取錢(qián)時(shí)，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，求：(1)任意按最后一位數(shù)字,不超過(guò)2次就按對(duì)的概率；(2）如果他記得密碼的最后一位是偶數(shù),不超過(guò)2次就按對(duì)的概率?！窘馕觥吭O(shè)第i次按對(duì)密碼為 事件Ai(i=1,2），則A=A1( A2)表示不超過(guò)2次就按對(duì)密碼。（1）因?yàn)槭录嗀1與事件 A2互斥，由概率的加法公式得P(A）=P（A1）+P( A2)=110+9×110×9=15。（2）用B表示最后一位是偶數(shù)的事件，則P(A|B）

55、=P(A1B）+P( A2B)=15+4×15×4=25?！军c(diǎn)撥】此類(lèi)問(wèn)題解題時(shí)應(yīng)注意著重分析事件間的關(guān)系，辨析所求概率是哪一事件的概率，再運(yùn)用相應(yīng)的公式求解.【變式訓(xùn)練1】設(shè)某種動(dòng)物從出生算起活到20歲以上的概率為0。8,活到25歲以上的概率為0。4?，F(xiàn)有一只20歲的這種動(dòng)物，問(wèn)它能活到25歲以上的概率是?！窘馕觥吭O(shè)此種動(dòng)物活到20歲為事件A，活到25歲為事件B,所求概率為P(BA)， 由于BA，則P(AB)=P（B)，所以P（B|A）=P(AB）P（A）=P（B）P（A)=0。40.8=12。題型二相互獨(dú)立事件的概率【例2】三人獨(dú)立破譯同一份密碼，已知三人各自破譯出密碼

56、的概率分別為15，14,13，且他們是否破譯出密碼互不影響.（1)求恰有二人破譯出密碼的概率;（2)“密碼被破譯"與“密碼未被破譯”的概率哪個(gè)大?說(shuō)明理由。【解析】（1）記三人各自破譯出密 碼分別為事件A,B,C，依題意知A，B，C相互獨(dú)立，記事件D:恰有二人破譯密碼，則P（D）=P（AB )+P（A C)+P（ BC)=15×14×(113)+15×（1-14)×13+(115）×14×13=960=320。（2）記事件E:密碼被破譯， ：密碼未被破譯，則P( ）=P（ ）=（1-15)×（114)×（

57、1-13）=2460=25，所以P(E)=1-P（ )=35，所以P(E）P( ）。故密碼被破譯的概率大.【點(diǎn)撥】解決事件的概率問(wèn)題的一般步驟：記取事件；揭示事件的關(guān)系;計(jì)算事件的概率?！咀兪接?xùn)練2】甲、乙、丙三個(gè)口袋內(nèi)都分別裝有6個(gè)只有顏色不相同的球,并且每個(gè)口袋內(nèi)的6個(gè)球均有1個(gè)紅球，2個(gè)黑球，3個(gè)無(wú)色透明的球,現(xiàn)從甲、乙、丙三個(gè)口袋中依次隨機(jī)各摸出1個(gè)球，求恰好摸出紅球、黑球和無(wú)色球各1個(gè)的概率?！窘馕觥坑捎诟鱾€(gè)袋中球的情況一樣，而且從每一個(gè)袋中摸出紅球、黑球、無(wú)色球的概率均分別為16，13，12,可得P=A33×16×13×12=16。題型三綜合問(wèn)題【例3

58、】某公司招聘員工,指定三門(mén)考試課程，有兩種考試方案。方案一:三門(mén)課程中至少有兩門(mén)及格為考試通過(guò);方案二：在三門(mén)課程中隨機(jī)選取兩門(mén)，這兩門(mén)都及格為考試通過(guò).假設(shè)某應(yīng)聘者對(duì)三門(mén)指定課程考試及格的概率分別是a，b，c,且三門(mén)課程考試是否及格相互之間沒(méi)有影響。（1)分別求該應(yīng)聘者在方案一和方案二下考試通過(guò)的概率；(2）試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過(guò)的概率的大小，并說(shuō)明理由。【解析】記該應(yīng)聘者對(duì)三門(mén)指定課程考試及格的事件分別為A，B,C，則P(A)=a,P(B）=b,P(C)=c.(1)應(yīng)聘者在方案一下考試通過(guò)的概率P1=P(AB )+P( BC)+P（A C)+P（ABC）=ab(1c)+bc（1a)+ac(1b）+abc=ab+bc+ca2abc。應(yīng)聘者在方案二下考