蘇教版選修2-2 §2.3 數(shù)學(xué)歸納法(一)教學(xué)設(shè)計(jì)

1、蘇教版選修22 §2.3 數(shù)學(xué)歸納法（一）教學(xué)設(shè)計(jì)無(wú)錫市市北高級(jí)中學(xué) 徐敏蓉 一、教材分析數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)證明方法，在高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中占有重要的地位，其中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法對(duì)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想至關(guān)重要。數(shù)學(xué)歸納法的證明過(guò)程中展現(xiàn)的推理和邏輯思維讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)和規(guī)范。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法后學(xué)生對(duì)等差等比數(shù)列、數(shù)列求和、二項(xiàng)式定理、整除問(wèn)題等問(wèn)題的解決有了新的方法。首先，我們需要初步掌握了由有限多個(gè)特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，即不完全歸納法，這是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題，猜想或發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的重要手段。但是，由有限多個(gè)特殊事例得出的結(jié)論不一定正確，這種推理方法不能作為一種論

2、證方法。因此，在不完全歸納法的基礎(chǔ)上，必須進(jìn)一步學(xué)習(xí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)的論證方法數(shù)學(xué)歸納法，這是促進(jìn)思維從有限性發(fā)展到無(wú)限性的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，掌握數(shù)學(xué)歸納法的證明過(guò)程是培養(yǎng)嚴(yán)密的推理能力、訓(xùn)練抽象思維能力、體驗(yàn)數(shù)學(xué)內(nèi)在美的好素材。二、教學(xué)目標(biāo)1 知識(shí)目標(biāo)（1） 了解由有限多個(gè)特殊事例得出的一般結(jié)論不一定正確，初步理解數(shù)學(xué)歸納法原理。（2） 能以遞推思想為指導(dǎo)，理解數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題的兩個(gè)步驟一個(gè)結(jié)論。（3） 初步會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些與正整數(shù)相關(guān)的簡(jiǎn)單的恒等式。2 能力目標(biāo)（1） 通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步掌握觀察、歸納、猜想、分析能力和嚴(yán)密的邏輯推理能力。（2） 進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的抽象思維能

3、力和創(chuàng)新能力，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的構(gòu)建過(guò)程, 體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想 （3） 在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想，小心求證的辨證思維素質(zhì)以及發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的意識(shí)和數(shù)學(xué)交流的能力。3 情感目標(biāo)（1） 通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理的探究，親歷知識(shí)的構(gòu)建過(guò)程，領(lǐng)悟其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和辨正唯物主義觀點(diǎn)。（2） 體驗(yàn)探索中挫折的艱辛和成功的快樂(lè)，感悟數(shù)學(xué)的內(nèi)在美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)。（3） 學(xué)生通過(guò)置疑與探究，初步形成正確的數(shù)學(xué)觀，創(chuàng)新意識(shí)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神。三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)1教學(xué)重點(diǎn) 借助具體實(shí)例了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想，掌握它的基本步驟，運(yùn)用它證明一些與正整數(shù)有關(guān)的簡(jiǎn)單恒等式，特別要注意遞推步驟中歸納假設(shè)

4、的運(yùn)用和恒等變換的運(yùn)用。2教學(xué)難點(diǎn)（1） 如何理解數(shù)學(xué)歸納法證題的嚴(yán)密性和有效性。（2） 遞推步驟中如何利用歸納假設(shè)，即如何利用假設(shè)證明當(dāng)時(shí)結(jié)論正確。四、教學(xué)方法 本節(jié)課采用類比啟發(fā)探究式教學(xué)方法，以學(xué)生及其發(fā)展為本，一切從學(xué)生出發(fā)。在教師組織啟發(fā)下，通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)習(xí)欲望。師生之間、學(xué)生之間共同探究多米諾骨牌倒下的原理，并類比多米諾骨牌倒下的原理，探究數(shù)學(xué)歸納法的原理、步驟；培養(yǎng)學(xué)生歸納、類比推理的能力，進(jìn)而應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，證明一些與正整數(shù)有關(guān)的簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)命題；提高學(xué)生的應(yīng)用能力，分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。既強(qiáng)調(diào)獨(dú)立思考，又提倡團(tuán)結(jié)合作；既重視教師的組織引導(dǎo)，又強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體性、主動(dòng)性

5、、平等性、交流性、開放性和合作性。五、教學(xué)過(guò)程（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題 情境一：根據(jù)觀察某學(xué)校第一個(gè)到校的是女同學(xué)，第二個(gè)到校的也是女同學(xué)，第三個(gè)到校的還是女同學(xué)，于是得出：這所學(xué)校的學(xué)生全部是女同學(xué)。 情境二：平面內(nèi)三角形內(nèi)角和是，四邊形內(nèi)角和是，五邊形內(nèi)角和是，于是得出：凸邊形內(nèi)角和是。 情境三：數(shù)列的通項(xiàng)公式為，可以求得，于是猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式為。結(jié)論：運(yùn)用有限多個(gè)特殊事例得出的一般性結(jié)論，即不完全歸納法不一定正確。因此它不能作為一種論證的方法。提出問(wèn)題：如何尋找一個(gè)科學(xué)有效的方法證明結(jié)論的正確性呢？我們本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)歸納法就是解決這一問(wèn)題的方法之一。（二）實(shí)驗(yàn)演示，探索解決問(wèn)題

6、的方法 1幾何畫板演示動(dòng)畫多米諾骨牌游戲，師生共同探討：要讓這些骨牌全部倒下，必須具備那些條件呢？ 第一塊骨牌必須倒下。兩塊連續(xù)的骨牌，當(dāng)前一塊倒下，后面一塊必須倒下。演示小結(jié)：當(dāng)?shù)趬K倒下，則第塊必須倒下，數(shù)學(xué)歸納法原理就如同多米諾骨牌一樣。 2 數(shù)學(xué)歸納法公理： （1） （遞推基礎(chǔ)）當(dāng)取第一個(gè)值（例如等）結(jié)論正確；（2） （遞推歸納）假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論正確；（歸納假設(shè)） 證明當(dāng)時(shí)結(jié)論也正確。（歸納證明）那么，命題對(duì)于從開始的所有正整數(shù)都成立。步驟（1）是數(shù)學(xué)歸納法的基礎(chǔ)，步驟（2）建立了遞推過(guò)程，兩者缺一不可，這就是數(shù)學(xué)歸納法。（三）遷移應(yīng)用，理解升華例1：用數(shù)學(xué)歸納法證明：等差數(shù)列中，為首項(xiàng)，為

7、公差，則通項(xiàng)公式為. 選題意圖：讓學(xué)生注意：數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納的證明方法，它適用于與正整數(shù)有關(guān)的問(wèn)題；兩個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)論缺一不可，否則結(jié)論不成立；在證明遞推步驟時(shí)，必須使用歸納假設(shè)，必須進(jìn)行恒等變換。此時(shí)學(xué)生心中已有一個(gè)初步的證明模式，教師應(yīng)該規(guī)范板書，給學(xué)生提供一個(gè)示范。證明：當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，等式成立. 假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即有，當(dāng)時(shí)，有.所以當(dāng)時(shí)等式也成立。由 、可知，對(duì)任何，等式都成立。例2：用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，.選題意圖：進(jìn)一步讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法的嚴(yán)密性和合理性，從而從感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)； 掌握從到時(shí)等式左邊的變化情況，合理的進(jìn)行添項(xiàng)、拆項(xiàng)、合并項(xiàng)等。證明： 時(shí)：左邊，

8、右邊，左邊=右邊，等式成立。 假設(shè)當(dāng)時(shí)有：， 當(dāng)時(shí)：左邊 右邊 當(dāng)時(shí)等式也成立。 由 、可知，對(duì)一切 ，原等式均成立（四）反饋練習(xí)，鞏固提高課堂練習(xí)：（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，.（2）設(shè)，。用數(shù)學(xué)歸納法證明：。當(dāng)時(shí)，等式左邊_選題意圖：讓學(xué)生明確當(dāng)時(shí)等式左邊比時(shí)應(yīng)增加哪些式子，如何通過(guò)恰當(dāng)?shù)暮愕茸兓ダ脮r(shí)的歸納假設(shè)。利用數(shù)學(xué)歸納法證明和正整數(shù)相關(guān)的命題時(shí)，要注意以下三句話：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉。（五）反思總結(jié)1歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，分完全歸納法和不完全歸納法兩種，而不完全歸納法得出的結(jié)論不具有可靠性，必須用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行嚴(yán)格證明；2數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，用于證明一些與正整數(shù)有關(guān)數(shù)學(xué)命題，它的基本思想是遞推思想，它的證明過(guò)程必須是兩步，最后還