高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1、高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 一、知識網(wǎng)絡(luò)二、高考考點1、導(dǎo)數(shù)定義的認知與應(yīng)用；2、求導(dǎo)公式與運算法則的運用；3、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；4、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性上的應(yīng)用；5、導(dǎo)數(shù)在尋求函數(shù)的極值或最值的應(yīng)用；6、導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的應(yīng)用。三、知識要點（一）導(dǎo)數(shù)1、導(dǎo)數(shù)的概念（1）導(dǎo)數(shù)的定義（）設(shè)函數(shù) 在點 及其附近有定義，當(dāng)自變量x在 處有增量x（x可正可負），則函數(shù)y相應(yīng)地有增量 ，這兩個增量的比 ，叫做函數(shù) 在點 到 這間的平均變化率。如果 時， 有極限，則說函數(shù) 在點 處可導(dǎo)，并把這個極限叫做 在點 處的導(dǎo)數(shù)（或變化率），記作 ，即 。（）如果函數(shù) 在開區(qū)間（ ）內(nèi)每一點都可導(dǎo)，則說 在開區(qū)間（ ）

2、內(nèi)可導(dǎo)，此時，對于開區(qū)間（ ）內(nèi)每一個確定的值 ，都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù) ，這樣在開區(qū)間（ ）內(nèi)構(gòu)成一個新的函數(shù)，我們把這個新函數(shù)叫做 在開區(qū)間（ ）內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)（簡稱導(dǎo)數(shù)），記作 或 ， 即 。認知：（）函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) 是以x為自變量的函數(shù)，而函數(shù) 在點 處的導(dǎo)數(shù) 是一個數(shù)值； 在點 處的導(dǎo)數(shù) 是 的導(dǎo)函數(shù) 當(dāng) 時的函數(shù)值。（）求函數(shù) 在點 處的導(dǎo)數(shù)的三部曲：求函數(shù)的增量 ；求平均變化率 ；求極限 上述三部曲可簡記為一差、二比、三極限。（2）導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù) 在點 處的導(dǎo)數(shù) ，是曲線 在點 處的切線的斜率。（3）函數(shù)的可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系函數(shù)的可導(dǎo)與連續(xù)既有聯(lián)系又有區(qū)別：（）若函數(shù) 在點 處可導(dǎo)

3、，則 在點 處連續(xù)；若函數(shù) 在開區(qū)間（ ）內(nèi)可導(dǎo)，則 在開區(qū)間（ ）內(nèi)連續(xù)（可導(dǎo)一定連續(xù)）。事實上，若函數(shù) 在點 處可導(dǎo)，則有 此時， 記 ,則有 即 在點 處連續(xù)。（）若函數(shù) 在點 處連續(xù)，但 在點 處不一定可導(dǎo)（連續(xù)不一定可導(dǎo)）。反例： 在點 處連續(xù)，但在點 處無導(dǎo)數(shù)。事實上， 在點 處的增量 當(dāng) 時， ， ；當(dāng) 時， ， 由此可知， 不存在，故 在點 處不可導(dǎo)。2、求導(dǎo)公式與求導(dǎo)運算法則（1）基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（求導(dǎo)公式）公式1 常數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （c為常數(shù)），即常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于0。公式2 冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 。公式3 正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 。公式4 余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 公式5 對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（） ；（）

4、 公式6 指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（） ；（） 。（2）可導(dǎo)函數(shù)四則運算的求導(dǎo)法則設(shè) 為可導(dǎo)函數(shù)，則有法則1 ；法則2 ；法則3 。3、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè) ， 復(fù)合成以x為自變量的函數(shù) ，則復(fù)合函數(shù) 對自變量x的導(dǎo)數(shù) ，等于已知函數(shù)對中間變量 的導(dǎo)數(shù) ，乘以中間變量u對自變量x的導(dǎo)數(shù) ，即 。引申：設(shè) ， 復(fù)合成函數(shù) ， 則有 （2）認知（）認知復(fù)合函數(shù)的復(fù)合關(guān)系循著“由表及里”的順序，即從外向內(nèi)分析：首先由最外層的主體函數(shù)結(jié)構(gòu)設(shè)出 ，由第一層中間變量 的函數(shù)結(jié)構(gòu)設(shè)出 ，由第二層中間變量 的函數(shù)結(jié)構(gòu)設(shè)出 ，由此一層一層分析，一直到最里層的中間變量 為自變量x的簡單函數(shù) 為止。于是

5、所給函數(shù)便“分解”為若干相互聯(lián)系的簡單函數(shù)的鏈條： ；（）運用上述法則求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的解題思路分解：分析所給函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，適當(dāng)選定中間變量，將所給函數(shù)“分解”為相互聯(lián)系的若干簡單函數(shù)；求導(dǎo)：明確每一步是哪一變量對哪一變量求導(dǎo)之后，運用上述求導(dǎo)法則和基本公式求；還原：將上述求導(dǎo)后所得結(jié)果中的中間變量還原為自變量的函數(shù)，并作以適當(dāng)化簡或整理。二、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1、函數(shù)的單調(diào)性（1）導(dǎo)數(shù)的符號與函數(shù)的單調(diào)性：一般地，設(shè)函數(shù) 在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則若 為增函數(shù)；若 為減函數(shù)；若在某個區(qū)間內(nèi)恒有 ，則在這一區(qū)間上為常函數(shù)。（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的步驟（）確定函數(shù) 的定義域；（）求導(dǎo)數(shù) ；（）令 ，解出相

6、應(yīng)的x的范圍當(dāng) 時， 在相應(yīng)區(qū)間上為增函數(shù)；當(dāng) 時 在相應(yīng)區(qū)間上為減函數(shù)。（3）強調(diào)與認知（）利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先要確定函數(shù)的定義域D，并且解決問題的過程中始終立足于定義域D。若由不等式 確定的x的取值集合為A，由 確定的x的取值范圍為B，則應(yīng)用 ；（）在某一區(qū)間內(nèi) （或 ）是函數(shù) 在這一區(qū)間上為增（或減）函數(shù)的充分（不必要）條件。因此方程 的根不一定是增、減區(qū)間的分界點，并且在對函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時，除去確定 的根之外，還要注意在定義域內(nèi)的不連續(xù)點和不可導(dǎo)點，它們也可能是增、減區(qū)間的分界點。舉例：（1） 是R上的可導(dǎo)函數(shù)，也是R上的單調(diào)函數(shù)，但是當(dāng)x=0時， 。（2） 在點x=0處

7、連續(xù)，點x=0處不可導(dǎo)，但 在（-，0）內(nèi)遞減，在（0，+）內(nèi)遞增。2、函數(shù)的極值（1）函數(shù)的極值的定義設(shè)函數(shù) 在點 附近有定義，如果對 附近的所有點，都有 ，則說 是函數(shù) 的一個極大值，記作 ；如果對 附近的所有點，都有 ，則說 是函數(shù) 的一個極小值，記作 。極大值與極小值統(tǒng)稱極值認知：由函數(shù)的極值定義可知：（）函數(shù)的極值點 是區(qū)間 內(nèi)部的點，并且函數(shù)的極值只有在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)點處取得；（）極值是一個局部性概念；一個函數(shù)在其定義域內(nèi)可以有多個極大值和極小值，并且在某一點的極小值有可能大于另一點處的極大值；（）當(dāng)函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù)且有有限個極值點時，函數(shù) 在 內(nèi)的極大值點，極小值點交替出現(xiàn)。（

8、2）函數(shù)的極值的判定設(shè)函數(shù) 可導(dǎo)，且在點 處連續(xù)，判定 是極大（?。┲档姆椒ㄊ牵ǎ┤绻邳c 附近的左側(cè) ，右側(cè) ，則 為極大值；（）如果在點 附近的左側(cè) ，右側(cè) ，則 為極小值；注意：導(dǎo)數(shù)為0的不一定是極值點，我們不難從函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)研究中悟出這一點。（3）探求函數(shù)極值的步驟：（）求導(dǎo)數(shù) ；（）求方程 的實根及 不存在的點；考察 在上述方程的根以及 不存在的點左右兩側(cè)的符號：若左正右負，則 在這一點取得極大值，若左負右正，則 在這一點取得極小值。3、函數(shù)的最大值與最小值（1）定理若函數(shù) 在閉區(qū)間上連續(xù)，則 在 上必有最大值和最小值；在開區(qū)間 內(nèi)連續(xù)的函數(shù) 不一定有最大值與最小值。認知：（）函數(shù)的

9、最值（最大值與最小值）是函數(shù)的整體性概念：最大值是函數(shù)在整個定義區(qū)間上所有函數(shù)值中的最大值；最小值是函數(shù)在整個定義區(qū)間上所有函數(shù)值中的最小值。（）函數(shù)的極大值與極小值是比較極值點附近的函數(shù)值得出的（具有相對性），極值只能在區(qū)間內(nèi)點取得；函數(shù)的最大值與最小值是比較整個定義區(qū)間上的函數(shù)值得出的（具有絕對性），最大（小）值可能是某個極大（?。┲担部赡苁菂^(qū)間端點處的函數(shù)值。（）若 在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)，且有唯一的極大（?。┲?，則這一極大（小）值即為最大（?。┲怠＃?）探求步驟：設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，則探求函數(shù) 在 上的最大值與最小值的步驟如下：（ I ）求 在 內(nèi)的極值；（ II ）求 在定義

10、區(qū)間端點處的函數(shù)值 ， ；（ III ）將 的各極值與 ， 比較，其中最大者為所求最大值，最小者為所求最小值。引申：若函數(shù) 在 上連續(xù)，則 的極值或最值也可能在不可導(dǎo)的點處取得。對此，如果僅僅是求函數(shù)的最值，則可將上述步驟簡化：（ I ）求出 的導(dǎo)數(shù)為0的點及導(dǎo)數(shù)不存在的點（這兩種點稱為可疑點）；（ II ）計算并比較 在上述可疑點處的函數(shù)值與區(qū)間端點處的函數(shù)值，從中獲得所求最大值與最小值。（3）最值理論的應(yīng)用解決有關(guān)函數(shù)最值的實際問題，導(dǎo)數(shù)的理論是有力的工具，基本解題思路為：（ I ）認知、立式：分析、認知實際問題中各個變量之間的聯(lián)系，引入變量，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系；（ II ）探求最值：立足

11、函數(shù)的定義域，探求函數(shù)的最值；（ III ）檢驗、作答：利用實際意義檢查（2）的結(jié)果，并回答所提出的問題，特殊地，如果所得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個點 滿足 ，并且 在點 處有極大（小）值，而所給實際問題又必有最大（?。┲担敲瓷鲜鰳O大（?。┲当闶亲畲螅ㄐ。┲怠Ｋ?、經(jīng)典例題例1、設(shè)函數(shù) 在點 處可導(dǎo)，且 ，試求（1） ；（2） ；（3） ；（4） （ 為常數(shù)）。解：注意到 當(dāng) ）（1） ；（2） =A+A=2A（3）令 ，則當(dāng) 時 ， （4） 點評：注意 的本質(zhì)，在這一定義中，自變量x在 處的增量 的形式是多種多樣的，但是，不論 選擇哪一種形式，相應(yīng)的 也必須選擇相應(yīng)的形式，這種步調(diào)的一致是求值成功

12、的保障。若自變量x在 處的增量為 ，則相應(yīng)的 ，于是有 ；若令 ，則又有 例2、（1）已知 ，求 ；（2）已知 ，求 解：（1）令 ，則 ，且當(dāng) 時， 。注意到這里 （2） 注意到 ，由已知得 由、得 例3、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ；（6） 解：（1） （2） ， （3） ， （4） ， （5） ， （6） 當(dāng) 時， ；當(dāng) 時， 即 。點評：為避免直接運用求導(dǎo)法則帶來的不必要的繁雜運算，首先對函數(shù)式進行化簡或化整為零，而后再實施求導(dǎo)運算，特別是積、商的形式可以變?yōu)榇鷶?shù)和的形式，或根式可轉(zhuǎn)化為方冪的形式時，“先變后求”的手法顯然更為靈巧。例4、在曲線C：

13、 上，求斜率最小的切線所對應(yīng)的切點，并證明曲線C關(guān)于該點對稱。解：（1） 當(dāng) 時， 取得最小值-13又當(dāng) 時， 斜率最小的切線對應(yīng)的切點為A（2，-12）；（2）證明：設(shè) 為曲線C上任意一點，則點P關(guān)于點A的對稱點Q的坐標為 且有 將 代入 的解析式得 ，點 坐標為方程 的解 注意到P，Q的任意性，由此斷定曲線C關(guān)于點A成中心對稱。例5、已知曲線 ，其中 ，且均為可導(dǎo)函數(shù)，求證：兩曲線在公共點處相切。證明：注意到兩曲線在公共點處相切當(dāng)且僅當(dāng)它們在公共點處的切線重合，設(shè)上述兩曲線的公共點為 ，則有 ， ， ， ， ， 于是，對于 有 ； 對于 ，有 由得 ，由得 ，即兩曲線在公共點處的切線斜率相

14、等，兩曲線在公共點處的切線重合兩曲線在公共點處相切。例6、（1）是否存在這樣的k值，使函數(shù) 在區(qū)間（1，2）上遞減，在（2，+）上遞增，若存在，求出這樣的k值； （2）若 恰有三個單調(diào)區(qū)間，試確定 的取值范圍，并求出這三個單調(diào)區(qū)間。解：（1） 由題意，當(dāng) 時 ，當(dāng)x(2,+) 時 ，由函數(shù) 的連續(xù)性可知 ，即 整理得 解得 或 驗證：（）當(dāng) 時， 若 ，則 ；若 ， 則 ， 符合題意；（）當(dāng) 時， ，顯然不合題意。于是綜上可知，存在 使 在（1，2）上遞減，在（2，+）上遞增。（2） 若 ，則 ，此時 只有一個增區(qū)間 ，與題設(shè)矛盾；若 ，則 ，此時 只有一個增區(qū)間 ，與題設(shè)矛盾；若 ，則 并且

15、當(dāng) 時， ；當(dāng) 時， 綜合可知，當(dāng) 時， 恰有三個單調(diào)區(qū)間：減區(qū)間 ；增區(qū)間 點評：對于（1），由已知條件得 ，并由此獲得k的可能取值，進而再利用已知條件對所得k值逐一驗證，這是開放性問題中尋求待定系數(shù)之值的基本策略。例7、已知函數(shù) ，當(dāng)且僅當(dāng) 時， 取得極值，并且極大值比極小值大4.（1）求常數(shù) 的值；（2）求 的極值。解：（1） ，令 得方程 在 處取得極值 或 為上述方程的根， 故有 ，即 又 僅當(dāng) 時取得極值，方程 的根只有 或 ，方程 無實根， 即 而當(dāng) 時， 恒成立， 的正負情況只取決于 的取值情況當(dāng)x變化時， 與 的變化情況如下表：1(1，+)+00+極大值極小值 在 處取得極大

16、值 ，在 處取得極小值 。由題意得 整理得 于是將，聯(lián)立，解得 （2）由（1）知， 點評：循著求函數(shù)極值的步驟，利用題設(shè)條件與 的關(guān)系，立足研究 的根的情況，乃是解決此類含參問題的一般方法，這一解法體現(xiàn)了方程思想和分類討論的數(shù)學(xué)方法，突出了“導(dǎo)數(shù) ”與“ 在 處取得極值”的必要關(guān)系。例8、（1）已知 的最大值為3，最小值為-29，求 的值；（2）設(shè) ，函數(shù) 的最大值為1，最小值為 ，求常數(shù) 的值。解：（1）這里 ，不然 與題設(shè)矛盾 令 ，解得 或x=4（舍去）（）若 ，則當(dāng) 時， ， 在 內(nèi)遞增；當(dāng) 時， ， 在 內(nèi)遞減又 連續(xù)，故當(dāng) 時， 取得最大值 由已知得 而 此時 的最小值為 由 得

17、（）若 ，則運用類似的方法可得 當(dāng) 時 有最小值，故有 ；又 當(dāng) 時， 有最大值，由已知得 于是綜合（）（）得所求 或 （2） ，令 得 解得 當(dāng) 在 上變化時， 與 的變化情況如下表：-1(-1,0)01 +00+ 極大值 極小值 當(dāng) 時， 取得極大值 ；當(dāng) 時， 取得極小值 。由上述表格中展示的 的單調(diào)性知 最大值在 與 之中， 的最小值在 和 之中，考察差式 ，即 ，故 的最大值為 由此得 考察差式 ，即 ， 的最小值為 由此得 ，解得 于是綜合以上所述得到所求 。五、高考真題（一）選擇題1、設(shè) ， ， ， ， ，則 （ ）。A、 B、 C、 D、 分析：由題意得 ， ， ， ， 具有周

18、期性，且周期為4， ，應(yīng)選C。2、函數(shù) 有極值的充要條件為（ ）A、 B、 C、 D、 分析： 當(dāng) 時， 且 ；當(dāng) 時，令 得 有解，因此 才有極值，故應(yīng)選C。3、設(shè) ， 分別是定義在R上的奇導(dǎo)數(shù)和偶導(dǎo)數(shù)，當(dāng) 時， ，且 ，則不等式 的解集是（ ）A、（-3，0）（3，+） B、（-3，0）（0，3） C、（-，-3）（3，+） D、（-，-3）（0，3）分析：為便于描述，設(shè) ，則 為奇導(dǎo)數(shù)，當(dāng) 時， ，且 根據(jù)奇函數(shù)圖象的對稱性知， 的解集為（-，-3）（0，3），應(yīng)選D。二、填空題1 過原點作曲線 的切線，則切點坐標為 ，切線的斜率為 。分析：設(shè)切點為M ，則以M為切點的切線方程為 由曲線

19、過原點得 ， ，切點為 ，切線斜率為 。點評：設(shè)出目標（之一）迂回作戰(zhàn)，則從切線過原點切入，解題思路反而簡明得多。2 曲線 在點 處的切線與x軸，直線 所圍成的三角形面積為 ，則 = 。分析： 曲線 在點 處的切線方程為 即 切線與x軸交點 ，又直線 與切線交點縱坐標為 ，上述三角形面積 ，由此解得 即 3 曲線 與 在交點處的切線夾角是（以弧度數(shù)作答）分析：設(shè)兩切線的夾角為 ，將兩曲線方程聯(lián)立，解得交點坐標為 又 ， 即兩曲線在點 處的切線斜率分別為-2，3 ， ，應(yīng)填 。（三）解答題1 已知 ，討論導(dǎo)數(shù) 的極值點的個數(shù)。解析：先將 求導(dǎo)， 即 。當(dāng) 時， 有兩根，于是 有兩極值點。當(dāng) 時，

20、 ， 為增函數(shù)， 沒極值點。本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及二次方程根、“ ”等知識。解答： 令 ，得 1、當(dāng) 即 或 時，方程 有兩個不同的實根 、 ，不防設(shè) ，于是 ，從而有下表：+00+為極大值為極小值即此時 有兩個極值點；2、當(dāng) 即 時，方程 有兩個相同的實根 ，于是 ，故當(dāng) 時， ；當(dāng) 時， ，因此 無極值；3、當(dāng) 即 時， ，而 ，故 為增函數(shù)。此時 無極值；當(dāng) 時， 有兩個極值點；當(dāng) 時， 無極值點。2 已知函數(shù) 的圖象在點 處的切線方程為 。（）求函數(shù) 的解析式；（）求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間。解析：（1）由 在切線上，求得 ，再由 在函數(shù)圖象上和 得兩個關(guān)于 的方程。（2）令 ，求出極值點，

21、求增區(qū)間， 求減區(qū)間。此題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解答（）由函數(shù) 的圖象在點 處的切線方程為 知： ，即 ， 即 解得 所以所求函數(shù)解析式 （） 令 解得 當(dāng) 或 時， 當(dāng) 時， 所以 在 內(nèi)是減函數(shù)，在 內(nèi)是增函數(shù)。3 已知 是函數(shù) 的一個極值點，其中 （）求 與 的關(guān)系表達式；（）求 的單調(diào)區(qū)間；（）當(dāng) 時，函數(shù) 的圖象上任意一點的切線斜率恒大于3m，求 的取值范圍。解析：（1）本小題主要考查了導(dǎo)數(shù)的概念和計算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的基本方法以及函數(shù)與方程的思想，第2小題要根據(jù) 的符號，分類討論 的單調(diào)區(qū)間；第3小題是二次三項式在一個區(qū)間上恒成立的問題，用區(qū)間端

22、點處函數(shù)值的符號來表示二次三項式在一個區(qū)間上的符號，體現(xiàn)出將一般性問題特殊化的數(shù)學(xué)思想。解答：（） ， 是函數(shù) 的一個極值點 ；（） 令 ，得 與 的變化如下表：10+0單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減因此， 的單調(diào)遞減區(qū)間是 和 ； 的單調(diào)遞增區(qū)間是 ；（）由（） 即 令 ， 且 ， 即m的取值范圍是 。4 已知函數(shù) 。（）求 的單調(diào)區(qū)間和值域；（）設(shè) ，函數(shù) ，若對于任意 ，總存在 ，使得 成立，求 的取值范圍。解析：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運用，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題能力，考查思維及推理能力以及運算能力，本題入手點容易，（）中對分式函數(shù)定區(qū)間內(nèi)單調(diào)性與值域問題，往往以導(dǎo)數(shù)為工具，（）

23、是三次函數(shù)問題，因而導(dǎo)數(shù)法也是首選，若 成立，則二次函數(shù)值域必滿足 關(guān)系，從而達到求解目的。解：（）由 得 或 。 （舍去）則 ， ， 變化情況表為：01 0+ 因而當(dāng) 時 為減函數(shù)；當(dāng) 時 為增函數(shù)；當(dāng) 時， 的值域為 ；（） 因此 ，當(dāng) 時 因此當(dāng) 時 為減函數(shù)，從而當(dāng) 時有 又 ，即當(dāng) 時有 任給 ， ，存在 使得 則 由（1）得 或 ，由（2）得 又 故 的取值范圍為 。5 已知 ，函數(shù) （1）當(dāng) 為何值時， 取得最小值？證明你的結(jié)論；（2）設(shè) 在 上是單調(diào)函數(shù)，求 的取值范圍。解析：本題考查導(dǎo)數(shù)的概念和計算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運算能力，本題（）常規(guī)題型，方法求 ，解

24、的根，列表，確定單調(diào)性，并判斷極值點，對（）由（） 在 上單調(diào)，而 ，因此只要 即滿足題設(shè)條件，從中解出 的范圍。解答：（） 令 則 從而 ，其中 當(dāng) 變化時, ， 的變化情況如下表+00+極大值極小值 在 處取得極大值， 處取得極小值當(dāng) 時 ， ，且 在 為減函數(shù)，在 為增函數(shù)而當(dāng) 時 ，當(dāng) 時 當(dāng) 時 取最小值；（）當(dāng) 時 在 上為單調(diào)函數(shù)的充要條件是 ，解得 綜上， 在 上為單調(diào)函數(shù)的充要條件為 ,即 的取值范圍為） 。6.已知 ，函數(shù) （）當(dāng) 時，求使 成立的 成立的 的集合；（）求函數(shù) 在區(qū)間 上的最小值。答案：（）0，1， （） 解答：（）由題意， ,當(dāng) 時 ,解得 或 ，當(dāng) 時

25、，解得 綜上，所求解集為0,1,1+ ()設(shè)此最小值為m當(dāng) 時，在區(qū)間1，2上， ，因為 ），則 是區(qū)間1，2上的增函數(shù)，所以 時，在區(qū)間1，2， 由 知 ；當(dāng) 時，在區(qū)間1，2上， 如果 在區(qū)間（1，2）內(nèi)， 從而 在區(qū)間1，2上為增函數(shù)，由此得 ；如果 則 。當(dāng) 時， ，從而 為區(qū)間1， 上的增函數(shù)；當(dāng) 時， ，從而 為區(qū)間 ，2上的減函數(shù)因此，當(dāng) 時， 或 。當(dāng) 時， 故 當(dāng) 時 .綜上所述,所求函數(shù)的最小值 7、()設(shè)函數(shù) 求 的最小值;()設(shè)正數(shù) 滿足 ，證明 。解析：本題考查數(shù)學(xué)歸納法及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。（）已知函數(shù)為超越函數(shù)，若求其最小值，則采用

26、導(dǎo)數(shù)法，求出 ，解 得 ，再判斷 與 時 的符號，確定 為極小值點，也是函數(shù)的最小值，對（）直接利用數(shù)學(xué)歸納法證明，但由 到 過渡是難點。解答：（）函數(shù)f（x）的定義域為（0，1） 令 當(dāng) 時，f(x)<0, f(x)在區(qū)間 是減函數(shù)；當(dāng) 時，f(x)>0, f(x)在區(qū)間 是增函數(shù)。f（x）在 時取得最小值且最小值為 ()用數(shù)學(xué)歸納法證明（i）當(dāng)n=1時，由（）知命題成立；(ii)假定當(dāng)n=k時命題成立，即若正數(shù) 滿足 ,則 當(dāng)n=k+1時，若正數(shù) 滿足 令 , 則 為正數(shù)，且 由歸納假定知 同理，由 ,可得 (1x)(k)+(1x)log2(1x). 綜合、兩式 x+(1x)(

27、k)+xlog2x+(1x)log2(1x)(k+1).即當(dāng)n=k+1時命題也成立。根據(jù)（i）、(ii)可知對一切正整數(shù)n命題成立。8 函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù) 是減函數(shù)，且 ，設(shè) ， 是曲線 在點 處的切線方程，并設(shè)函數(shù) （）用 、 、 表示m；（）證明：當(dāng) 時, （）若關(guān)于x的不等式 在 上恒成立，其中a、b為實數(shù)，求b的取值范圍及a與b所滿足的關(guān)系。解答：（ I ） 在點 處的切線方程為 即 因而 ；()證明：令 ，則 因為 遞減，所以 遞增,因此，當(dāng) 時， ；當(dāng) 時， ，所以 是 唯一的極值點，且是極小值點，可知 的最小值為0因此 0即 ；（）解法一： 是不等式成立的必要條件，以下設(shè)此條件成立。 ，即 對任意 成立的充要條件是 ，另一方面，由于 滿足前述題設(shè)中關(guān)于 的條件，利用()的結(jié)果可知， 的充要條件是：過點 與曲線 相切的直線的斜率不大于 ，該切線的方程為： ，于是 的充要條件是 綜上，不等式 對任意 成立的充要條件是 顯然，存在 使式成立的充要條件是：不等式 有解，解不等式得 因此，式即為 的取值范圍，式即為實數(shù) 與 所滿足的關(guān)系。（）解法二： 是不等式成立的必要條件，以下討論設(shè)此條件成立。 ，即 對任意 成立的充要條件是 令 ，于