初中數(shù)學(xué)《幾何最值問題》典型例題

1、初中數(shù)學(xué)最值問題典型例題一、解決幾何最值問題的通常思路兩點(diǎn)之間線段最短；直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線段中，垂線段最短；三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三邊（重合時(shí)取到最值）是解決幾何最值問題的理論依據(jù)，根據(jù)不同特征轉(zhuǎn)化是解決最值問題的關(guān)鍵通過轉(zhuǎn)化減少變量，向三個(gè)定理靠攏進(jìn)而解決問題；直接調(diào)用基本模型也是解決幾何最值問題的高效手段幾何最值問題中的基本模型舉例軸對(duì)稱最值圖形原理兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短三角形三邊關(guān)系特征A，B為定點(diǎn)，l為定直線，P為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AP+BP的最小值A(chǔ)，B為定點(diǎn)，l為定直線，MN為直線l上的一條動(dòng)線段，求AM+BN的最小值A(chǔ)，B為定點(diǎn)，

2、l為定直線，P為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求|AP-BP|的最大值轉(zhuǎn)化作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線l的對(duì)稱點(diǎn)先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線l的對(duì)稱點(diǎn)作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線l的對(duì)稱點(diǎn)折疊最值圖形原理兩點(diǎn)之間線段最短特征在ABC中，M，N兩點(diǎn)分別是邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，將BMN沿MN翻折，B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B'，連接AB'，求AB'的最小值轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化成求AB'+B'N+NC的最小值二、典型題型1如圖：點(diǎn)P是AOB內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上運(yùn)動(dòng)，若AOB=45°，OP=，則PMN的周長(zhǎng)的最小值為 【分析】作P關(guān)于OA，OB的

3、對(duì)稱點(diǎn)C，D連接OC，OD則當(dāng)M，N是CD與OA，OB的交點(diǎn)時(shí)，PMN的周長(zhǎng)最短，最短的值是CD的長(zhǎng)根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可以證得：COD是等腰直角三角形，據(jù)此即可求解【解答】解：作P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)C，D連接OC，OD則當(dāng)M，N是CD與OA，OB的交點(diǎn)時(shí)，PMN的周長(zhǎng)最短，最短的值是CD的長(zhǎng)PC關(guān)于OA對(duì)稱，COP=2AOP，OC=OP同理，DOP=2BOP，OP=ODCOD=COP+DOP=2（AOP+BOP）=2AOB=90°，OC=ODCOD是等腰直角三角形則CD=OC=×3=6【題后思考】本題考查了對(duì)稱的性質(zhì)，正確作出圖形，理解PMN周長(zhǎng)最小的條件是解題的關(guān)鍵2如圖

4、，當(dāng)四邊形PABN的周長(zhǎng)最小時(shí)，a=【分析】因?yàn)锳B，PN的長(zhǎng)度都是固定的，所以求出PA+NB的長(zhǎng)度就行了問題就是PA+NB什么時(shí)候最短把B點(diǎn)向左平移2個(gè)單位到B點(diǎn)；作B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B，連接AB，交x軸于P，從而確定N點(diǎn)位置，此時(shí)PA+NB最短設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，待定系數(shù)法求直線解析式即可求得a的值【解答】解：將N點(diǎn)向左平移2單位與P重合，點(diǎn)B向左平移2單位到B（2，1），作B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B，根據(jù)作法知點(diǎn)B（2，1），設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則，解得k=4，b=7y=4x7當(dāng)y=0時(shí)，x=，即P（，0），a=故答案填：【題后思考】考查關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)，兩點(diǎn)之間線

5、段最短等知識(shí)3如圖，A、B兩點(diǎn)在直線的兩側(cè)，點(diǎn)A到直線的距離AM=4，點(diǎn)B到直線的距離BN=1，且MN=4，P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，|PAPB|的最大值為【分析】作點(diǎn)B于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B，則PB=PB因而|PAPB|=|PAPB|，則當(dāng)A，B、P在一條直線上時(shí)，|PAPB|的值最大根據(jù)平行線分線段定理即可求得PN和PM的值然后根據(jù)勾股定理求得PA、PB的值，進(jìn)而求得|PAPB|的最大值【解答】解：作點(diǎn)B于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B，連AB并延長(zhǎng)交直線l于PBN=BN=1，過D點(diǎn)作BDAM，利用勾股定理求出AB=5|PAPB|的最大值=5【題后思考】本題考查了作圖軸對(duì)稱變換，勾股定理等，熟知“兩點(diǎn)之間線段最短”

6、是解答此題的關(guān)鍵4動(dòng)手操作：在矩形紙片ABCD中，AB=3，AD=5如圖所示，折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的A處，折痕為PQ，當(dāng)點(diǎn)A在BC邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動(dòng)若限定點(diǎn)P、Q分別在AB、AD邊上移動(dòng)，則點(diǎn)A在BC邊上可移動(dòng)的最大距離為 【分析】本題關(guān)鍵在于找到兩個(gè)極端，即BA取最大或最小值時(shí)，點(diǎn)P或Q的位置經(jīng)實(shí)驗(yàn)不難發(fā)現(xiàn)，分別求出點(diǎn)P與B重合時(shí)，BA取最大值3和當(dāng)點(diǎn)Q與D重合時(shí)，BA的最小值1所以可求點(diǎn)A在BC邊上移動(dòng)的最大距離為2【解答】解：當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，BA取最大值是3，當(dāng)點(diǎn)Q與D重合時(shí)（如圖），由勾股定理得AC=4，此時(shí)BA取最小值為1則點(diǎn)A在BC邊上移動(dòng)的最大距離為

7、31=2故答案為：2【題后思考】本題考查了學(xué)生的動(dòng)手能力及圖形的折疊、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，難度稍大，學(xué)生主要缺乏動(dòng)手操作習(xí)慣，單憑想象造成錯(cuò)誤5如圖，直角梯形紙片ABCD，ADAB，AB=8，AD=CD=4，點(diǎn)E、F分別在線段AB、AD上，將AEF沿EF翻折，點(diǎn)A的落點(diǎn)記為P當(dāng)P落在直角梯形ABCD內(nèi)部時(shí)，PD的最小值等于【分析】如圖，經(jīng)分析、探究，只有當(dāng)直徑EF最大，且點(diǎn)A落在BD上時(shí)，PD最??；根據(jù)勾股定理求出BD的長(zhǎng)度，問題即可解決【解答】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)P落在梯形的內(nèi)部時(shí)，P=A=90°，四邊形PFAE是以EF為直徑的圓內(nèi)接四邊形，只有當(dāng)直徑EF最大，且點(diǎn)A落在BD上時(shí)，PD

8、最小，此時(shí)E與點(diǎn)B重合；由題意得：PE=AB=8，由勾股定理得：BD2=82+62=80，BD=，PD=【題后思考】該命題以直角梯形為載體，以翻折變換為方法，以考查全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用為核心構(gòu)造而成；解題的關(guān)鍵是抓住圖形在運(yùn)動(dòng)過程中的某一瞬間，動(dòng)中求靜，以靜制動(dòng)6如圖，MON=90°，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM，ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離為 【分析】取AB的中點(diǎn)E，連接OD、OE、DE，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OE=AB，利用勾股定理列式

9、求出DE，然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊可得OD過點(diǎn)E時(shí)最大【解答】解：如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接OD、OE、DE，MON=90°，AB=2OE=AE=AB=1，BC=1，四邊形ABCD是矩形，AD=BC=1，DE=，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，ODOE+DE，當(dāng)OD過點(diǎn)E是最大，最大值為+1故答案為：+1【題后思考】本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，勾股定理，確定出OD過AB的中點(diǎn)時(shí)值最大是解題的關(guān)鍵7如圖，線段AB的長(zhǎng)為4，C為AB上一動(dòng)點(diǎn)，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作等腰直角ACD和等腰直角BCE，那么DE長(zhǎng)的最小值是

10、【分析】設(shè)AC=x，BC=4x，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)，得出CD=x，CD=（4x），根據(jù)勾股定理然后用配方法即可求解【解答】解：設(shè)AC=x，BC=4x，ABC，BCD均為等腰直角三角形，CD=x，CD=（4x），ACD=45°，BCD=45°，DCE=90°，DE2=CD2+CE2=x2+（4x）2=x24x+8=（x2）2+4，根據(jù)二次函數(shù)的最值，當(dāng)x取2時(shí)，DE取最小值，最小值為：4故答案為：2【題后思考】本題考查了二次函數(shù)最值及等腰直角三角形，難度不大，關(guān)鍵是掌握用配方法求二次函數(shù)最值8如圖，菱形ABCD中，AB=2，A=120°，點(diǎn)P，Q，K分

11、別為線段BC，CD，BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為【分析】根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題，作點(diǎn)P關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)P，連接PQ與BD的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)K，然后根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線的所有連線中垂直線段最短的性質(zhì)可知PQCD時(shí)PK+QK的最小值，然后求解即可【解答】解：如圖，AB=2，A=120°，點(diǎn)P到CD的距離為2×=，PK+QK的最小值為故答案為：【題后思考】本題考查了菱形的性質(zhì)，軸對(duì)稱確定最短路線問題，熟記菱形的軸對(duì)稱性和利用軸對(duì)稱確定最短路線的方法是解題的關(guān)鍵9如圖所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P為邊BC上的任意一點(diǎn)（可與B、C 重合），分別過B、C、D 作射

12、線AP的垂線，垂足分別為B、C、D，則BB+CC+DD的取值范圍是 【分析】首先連接AC，DP由正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，即可得：SADP=S正方形ABCD=，SABP+SACP=SABC=S正方形ABCD=，繼而可得AP（BB+CC+DD）=1，又由1AP，即可求得答案【解答】解：連接AC，DP四邊形ABCD是正方形，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AB=CD，S正方形ABCD=1，SADP=S正方形ABCD=，SABP+SACP=SABC=S正方形ABCD=，SADP+SABP+SACP=1，APBB+APCC+APDD=AP（BB+CC+DD）=1，則BB+CC+DD=，1AP，當(dāng)P與B重合時(shí)，有最大值2；當(dāng)P與C重合時(shí)，有最小值BB+CC+DD2故答案為：BB+CC+DD2【題后思考】此題考查了正方形的性質(zhì)、面積及等積變換問題此題難度較大，解題的關(guān)鍵是連接AC，DP，根據(jù)題意得到SADP+SABP+SACP=1，繼而得到BB+CC+DD=10如圖，菱形ABCD中，A=60°，AB=3，A、B的半徑分別為2和1，P、E、F分別是邊CD、A和B上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PF的最小值是 【分析】利用菱形的性質(zhì)以及相切兩圓的性質(zhì)得出P與D重合