探究存在性問題(數(shù)學)

1、探究存在性問題“三部曲”（江蘇楊大為）存在性開放問題大多數(shù)是運用類比的方法，通過類比歸納、猜想、論證，即通過分析類比、提出猜想，再進行必要的論證。具體的思路是，假設(shè)結(jié)論存在或成立，若推證出矛盾，則結(jié)論確實存在或成立； 若推證出矛盾， 則結(jié)論不存在或不成立。 說的明白一點就是， 探究“存在性”問題，一般遵循“三部曲” ：假設(shè)存在推理論證得出結(jié)論（合理或矛盾兩種情形）。但任何事情都不是絕對的，有的存在性問題很明顯，并不需要嚴格按照上面的三個步驟進行?，F(xiàn)以幾道中考壓軸大題為例，相信對你的中考復(fù)習會有所幫助。例 1（2007 年湖北省荊門市第 28 題）如圖 1，在平面直角坐標系中，有一張矩形紙片 O

2、ABC，已知 O(0 ， 0) ， A(4 ， 0) ， C(0 ，3) ，點 P 是 OA邊上的動點 ( 與點 O、 A 不重合 ) 現(xiàn)將 PAB沿 PB翻折，得到 PDB；再在 OC邊上選取適當?shù)狞c E，將 POE沿 PE 翻折，得到 PFE，并使直線 PD、 PF重合(1) 設(shè) P( x， 0) ， E(0 ， y) ，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并求y 的最大值；(2) 如圖 2，若翻折后點 D落在 BC邊上，求過點 P、 B、E 的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(3) 在 (2)的情況下，在該拋物線上是否存在點Q，使 PEQ是以 PE為直角邊的直角三角形？若不存在，說明理由；若存在，求出點

3、Q的坐標yyCBCDBFDEEFOPA xOPA x圖 1圖 2分析： 此題將矩形紙片放在平面直角坐標系中操作，利用折疊探究函數(shù)關(guān)系式，融對稱、相似、函數(shù)等眾多知識點于一體，屬常規(guī)的存在性問題探究題，難度不是太大，相信同學們能順利求解。（下面給出詳細解答，有的還附上了原分值，以供同學們參考。）解： (1) 由已知 PB 平分 APD， PE平分 OPF，且 PD、 PF重合，則 BPE=90° OPEAPB=90°又 APB ABP=90°， OPE= PBA Rt Rt 2 分POEBPA POBA即x3 y= 1x(4 x)1x24x (0 x 4) y4 x

4、OEAP333且當 x=2 時， y 有最大值 1 4 分3(2) 由已知， PAB、 POE均為等腰三角形，可得P(1 ， 0) ， E(0 ， 1) ，B(4 ， 3) 6分a1 ,c1,23 ,設(shè)過此三點的拋物線為y=ax2 bx c，則 abc0, b16a4bc3.2c1.y= 1 x23 x 1822(3) (2)EPB=90° QB9PB y=x 1y(01)PB2E(0 1)y=x 110yx1,x 5, Q(5 6)1yx2 3 x 1,y6.22(4 3) (5 6)12Q例 2（2007 年揚州市第26 題）ABCDAD 3ABaa3M，NBB A BC1MAB

5、ANCDP，QNCMt12a4t1PM_a5t PNB PAD3PMBNPQDAa4PMBNPQDAPQCNaDQCDQCPNPNAMBAMB解：PM1342 t 2 PNB PAD3: 23 Q PM AB，CB AB， AMPABC AMP ABCPMAMPMat ，Q PMt(a t )BNABtaat( a 1)QQM 3a(QPAD )DQ(MP BN ) BMPMBNPQDA223t( at)3 ( a 1)t (a t)t taa6a，22化簡得 ta6Q t 3 ，6a 3 ，則 a 6， 3a 6 ，6 a（ 4） Q 3 a 6 時，梯形 PMBN 與梯形 PQDA 的面積

6、相等梯形 PQCN 的面積與梯形PMBN 的面積相等即可，則CNPMt (a t) 3 t ，把 t6a 代入，解之得 a2 3 ，所以 a 2 3 a6 a所以，存在 a ，當 a 23 時梯形 PMBN 與梯形 PQDA 的面積、 梯形 PQCN 的面積相等例 3（2007 年遼寧省十二市第 26 題）如圖，平面直角坐標系中有一直角梯形OMNH，點 H的坐標為（ 8，0），點 N的坐標為（ 6， 4）（ 1）畫出直角梯形 OMNH繞點 O旋轉(zhuǎn) 180°的圖形 OABC，并寫出頂點 A，B，C的坐標（點M的對應(yīng)點為 A， 點 N的對應(yīng)點為 B， 點 H的對應(yīng)點為 C）；（ 2）求出

7、過 A， B， C三點的拋物線的表達式；（ 3）截取 CE=OF=AG=m，且 E， F， G分別在線段 CO，OA，AB上，求四邊形 BEFG的面積 S與 m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；面積S 是否存在最小值?若存在，請求出這個最小值；若不存在，請說明理由；（ 4）在（ 3）的情況下，四邊形 BEFG是否存在鄰邊相等的情況，若存在，請直接 寫出此時 m的值，并指出相等的鄰邊；若不存在，說明理由yH（-8 ，0）OxMN（-6 ，-4 ）分析：此題與例 1類似，但它加入了作圖、中心對稱、確定最值等知識點，難度要比例1大一點，但由于第（4）小問降低了要求，所以得分應(yīng)該不是太難。解

8、：（ 1） 利用中心對稱性質(zhì)，畫出梯形。1 分OABC A， B， C三點與 M， N，H分別關(guān)于點 O中心對稱， A（ 0， 4）， B（ 6， 4），C（ 8， 0）· ··················3 分（寫錯一個點的坐標扣1 分）yADBHF 8OE C xN ( 6， 4)M（ 2）設(shè)過 A， B， C三點的拋物線關(guān)系式為 y ax2 bx c ，拋物線過點 A（ 0， 4）， c4 則拋物

9、線關(guān)系式為yax 2bx4 ·············4 分將 B（6， 4）， C（ 8， 0）兩點坐標代入關(guān)系式，得36a6b44，···························5分64a

10、8b40a1 ，解得4····························6分b 32所求拋物線關(guān)系式為：y1 x23 x4 ···············7分42（

11、 3）=4，=8，=4 ，=8 ···············8分OAOCAFm OEm S四邊形 EFGBS梯形ABCOS AGFS EOFSBEC1 OA（ AB+OC）1 AF· AG 1 OE· OF1 CE· OA222214 （68） 1 m( 4 m)1 m(8m)14m2222m28m28（0m ）········

12、3;····10分4 S (m4) 212 當 m4 時， S 的取最小值又 0 m 4，不存在 m值，使 S 的取得最小值············12分（ 4）當 m226時， GB=GF，當 m2時， BE=BG ···········14分例 4（2007 年河池市第 26 題）。如圖 12， 四邊形 OABC為直角梯形，

13、 A（ 4， 0），B（ 3，4），C（ 0，4） 點 M 從 O 出發(fā)以每秒2 個單位長度的速度向A 運動；點 N 從 B 同時出發(fā)，以每秒1 個單位長度的速度向C 運動其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動過點N作NP垂直 x軸于點P，連結(jié)ACNP QMQ交于 ，連結(jié)（ 1）點（填或）能到達終點；MN（ 2）求 AQM的面積 S 與運動時間 t 的函數(shù)關(guān)系式， 并寫出自變量 t 的取值范圍， 當 t 為何值時， S的值最大；（ 3）是否存在點 M，使得 AQM為直角三角形？若存在，求出點M的坐標，若不存在，說明理由yCNBQOMPAx圖 12分析：此題與前幾例類似，推究的方法自然

14、也一樣，就是第（3）小問體現(xiàn)了分類討論的思想方法，務(wù)必不要漏解。解：（ 1）點M 。 1 分（2）經(jīng)過t 秒時， NBt ， OM2t ，則CN 3t ， AM4 2t BCA= MAQ = 45o QNCN3tPQ 1t··················2分 S AMQ1 AM gPQ1 (42t)(1t)22t 2t2········

15、;······················3分2 St 2t2t19·····················5分24 0 t 21···

16、;··············6分當 t時， S 的值最大2（3）存在·····························7分設(shè)經(jīng)過t秒時，= ，2NB tOM=t

17、則 CN3t， AM42tBCA=MAQ = 45o······················8 分若AQM90o ，則 PQ 是等腰 Rt MQA 底邊 MA 上的高 PQ 是底邊 MA 的中線PQ AP1 MA2 1t1 (42t)12 t2點 M 的坐標為（ 1， 0）········

18、83;··············10 分若QMA90o ，此時 QM 與 QP 重合 QMQPMA 1t4 2t t1點 M 的坐標為（ 2， 0）。12 分例 5（2007 年沈陽市第 26 題）已知拋物線 y ax2bx c 與 x 軸交于 A、 B 兩點，與y軸交于點，其中點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，線段、的長COB OC（OB<OC）是方程 x2 10x 160 的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線x 2（ 1）求 A、 B、C三點的坐標；（ 2）求此拋物線的表達式；（ 3）連接 AC、 BC，若點 E 是線段 AB上的一個動點（與點 A、點 B 不重合），過點 E 作交于點，連接，設(shè)的長為，的面積為，求S與之間的函數(shù)關(guān)EFACBCFCEAEmCEFSm系式，并寫出自變量m的取值范圍；（ 4）在（ 3）的基礎(chǔ)上試說明S是否存在最大值，若存在，請求出S 的最大值，并求出此時點 E 的坐標，判斷此時BCE的形狀；若不存在，請說明理由第26題圖210x 16 0x 2 x811x12B xC yOB OCB20C08y ax2