初中數學竟賽輔導資料1-39

1、初中數學竟賽輔導資料(1)數的整除（一）內容提要：如果整數A除以整數B(B0)所得的商A/B是整數,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整數整除.一些數的整除特征除 數 能被整除的數的特征2或5末位數能被2或5整除 4或25末兩位數能被4或25整除8或125末三位數能被8或125整除3或9各位上的數字和被3或9整除(如771，54324) 11奇數位上的數字和與偶數位上的數和相減,其差能被11整除(如143,1859,1287,908270等)7,11,13從右向左每三位為一段,奇數段的各數和與偶數段的各數和相減,其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等

2、)能被7整除的數的特征： 抹去個位數減去原個位數的2倍其差能被7整除。如 1001100298（能被7整除） 又如700770014686，681256（能被7整除）能被11整除的數的特征：抹去個位數減去原個位數其差能被11整除如1001100199（能11整除） 又如10285102851023102399（能11整除）例1已知兩個三位數和的和仍是三位數且能被9整除。求x,y解：x,y都是0到9的整數，能被9整除，y=6. 328567，x=3例2己知五位數能被12整除，求X解：五位數能被12整除，必然同時能被3和4整除，當1234X能被3整除時，x=2，5，8 當末兩位能被4整除時，X0，

3、4，8X8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位數解：五位數字都不相同的最小五位數是10234，但（124）（03）4，不能被11整除，只調整末位數仍不行調整末兩位數為30，41，52，63，均可， 五位數字都不相同的最小五位數是10263。練習分解質因數：（寫成質因數為底的冪的連乘積）59318591287327610101102962若四位數能被3整除，那么 a=_3若五位數能被11整除，那么X_-4當m=_時，能被25整除5當 n=_時，能被7整除6能被11整除的最小五位數是_,最大五位數是_7能被4整除的最大四位數是_，能被8整除的最小四位數是_88個數：125，756，1011

4、，2457，7855，8104，9152，70972中，能被下列各數整除的有（填上編號）：6_,8_,9_,11_9 從1到100這100個自然數中，能同時被2和3整除的共_個，能被3整除但不是5的倍數的共_個。10 由1，2，3，4，5這五個自然數，任意調換位置而組成的五位數中，不能被3整除的數共有幾個？為什么？11 己知五位數能被15整除，試求A的值。12 求能被9整除且各位數字都不相同的最小五位數。13在十進制中，各位數碼是0或1，并能被225整除的最小正整數是（1989年全國初中聯賽題）初中數學競賽輔導資料（2）倍數約數內容提要1兩個整數A和B（B0），如果B能整除A（記作BA），那么

5、A叫做B的倍數，B叫做A的約數。例如315，15是3的倍數，3是15的約數。2因為0除以非0的任何數都得0，所以0被非0整數整除。0是任何非0整數的倍數，非0整數都是0的約數。如0是7的倍數，7是0的約數。3整數A（A0）的倍數有無數多個，并且以互為相反數成對出現，0，±A，±2A，都是A的倍數，例如5的倍數有±5，±10，。4整數A（A0）的約數是有限個的，并且也是以互為相反數成對出現的，其中必包括±1和±A。例如6的約數是±1，±2，±3，±6。5通常我們在正整數集合里研究公倍數和公約數，幾

6、正整數有最小的公倍數和最犬的公約數。6公約數只有1的兩個正整數叫做互質數（例如15與28互質）。7在有余數的除法中，被除數除數×商數余數若用字母表示可記作：ABQR，當A，B，Q，R都是整數且B0時，AR能被B整除例如233×72則232能被3整除。例題例1 寫出下列各正整數的正約數，并統(tǒng)計其個數，從中總結出規(guī)律加以應用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32。解：列表如下正整數正約數個數計正整數正約數個數計正整數正約數個數計21，2231，322×31，2，3，64221，2，43321，3，323

7、22×31，2，3，4，6，126231，2，4，84331，3，32，33422×321，2，3，4，6，9，12，18，369241，2，4，8，165341，3，32，33，345其規(guī)律是：設Aambn(a，b是質數,m，n是正整數)那么合數A的正約數的個是（m+1）(n+1)例如 求360的正約數的個數解：分解質因數：36023×32×5，360的正約數的個數是（31）×（21）×（11）24（個）例2 用分解質因數的方法求24，90最大公約數和最小公倍數解：2423×3，902×32×5最大公約

8、數是2×3， 記作（24，90）6 最小公倍數是23×32×5360， 記作24,90=360例3 己知32，44除以正整數N有相同的余數2，求N解：322，442都能被N整除，N是30，42的公約數 （30，42）6，而6的正約數有1，2，3，6 經檢驗1和2不合題意，N6，3例4一個數被10余9，被9除余8，被8除余7，求適合條件的最小正整數分析：依題意如果所求的數加上1，則能同時被10，9，8整除,所以所求的數是10，9，8的最小公倍數減去1。解：10,9,8=360,所以所求的數是359練習2112的正約數有_,16的所有約數是_2分解質因數300_,30

9、0的正約數的個數是_3 用分解質因數的方法求20和250的最大公約數與最小公倍數。4 一個三位數能被7，9，11整除，這個三位數是_5 能同時被3，5，11整除的最小四位數是_最大三位數是_6 己知14和23各除以正整數A有相同的余數2，則A_7 寫出能被2整除，且有約數5，又是3的倍數的所有兩位數。答_8 一個長方形的房間長1.35丈，寬1.05丈要用同一規(guī)格的正方形瓷磚鋪滿，問正方形最大邊長可以是幾寸？若用整數寸作國邊長，有哪幾種規(guī)格的正方形瓷磚適合？9 一條長階梯，如果每步跨2階，那么最后剩1階，如果每步跨3階，那么最后剩2階，如果每步跨4階，那么最后剩3階，如果每步跨5階，那么最后剩4

10、階，如果每步跨6階，那么最后剩5階，只有每步跨7階，才能正好走完不剩一階，這階梯最少有幾階？初中數學競賽輔導資料（3）質數合數內容提要1正整數的一種分類：質數的定義：如果一個大于1的正整數，只能被1和它本身整除，那么這個正整數叫做質數（質數也稱素數）。合數的定義：一個正整數除了能被1和本身整除外，還能被其他的正整數整除，這樣的正整數叫做合數。2 根椐質數定義可知1) 質數只有1和本身兩個正約數， 2) 質數中只有一個偶數2如果兩個質數的和或差是奇數那么其中必有一個是2，如果兩個質數的積是偶數那么其中也必有一個是2，3任何合數都可以分解為幾個質數的積。能寫成幾個質數的積的正整數就是合數。例題例1

11、兩個質數的和等于奇數a (a5)。求這兩個數解：兩個質數的和等于奇數，必有一個是2所求的兩個質數是2和a2。例2己知兩個整數的積等于質數m, 求這兩個數解：質數m只含兩個正約數1和m, 又（1）（m）=m，所求的兩個整數是1和m或者1和m.例3己知三個質數a,b,c它們的積等于30，求適合條件的a,b,c的值解：分解質因數：302×3×5適合條件的值共有： 應注意上述六組值的書寫排列順序，本題如果改為4個質數a,b,c,d它們的積等于210,即abcd=2×3×5×7那么適合條件的a，b，c，d值共有24組，試把它寫出來。例4試寫出4個連續(xù)正整

12、數，使它們個個都是合數。解：（本題答案不是唯一的）設N是不大于5的所有質數的積，即N2×3×5，那么N2，N3，N4，N5就是適合條件的四個合數即32，33，34，35就是所求的一組數。本題可推廣到n 個。令N等于不大于n+1的所有質數的積，那么N2，N3，N4，N(n+1)就是所求的合數。練習31小于100的質數共_個，它們是_2己知質數P與奇數Q的和是11，則P，Q3己知兩個素數的差是41，那么它們分別是4 如果兩個自然數的積等于19，那么這兩個數是如果兩個整數的積等于73，那么它們是如果兩個質數的積等于15，則它們是5兩個質數x和y，己知xy=91,那么x=_,y=_

13、,或x=_,y=_.6三個質數a,b,c它們的積等于1990. 那么7能整除311513的最小質數是8己知兩個質數A和B適合等式AB99，ABM。求M及的值9試寫出6個連續(xù)正整數，使它們個個都是合數。10具備什么條件的最簡正分數可化為有限小數？11求適合下列三個條件的最小整數：1)大于12)沒有小于10的質因數3)不是質數12某質數加上6或減去6都仍是質數，且這三個質數均在30到50之間，那么這個質數是13，一個質數加上10或減去14都仍是質數，這個質數是。初中數學競賽輔導資料（4）零的特性內容提要一 零既不是正數也不是負數，是介于正數和負數之間的唯一中性數。零是自然數，是整數，是偶數。1零是

14、表示具有相反意義的量的基準數。例如：海拔0米的地方表示它與基準的海平面一樣高；收支衡可記作結存0元。2 零是判定正、負數的界限。若a 0則a是正數，反過來也成立，若a是正數，則 a0記作a0 a是正數讀作a0等價于a是正數b<0 b 是負數c0 c是非負數（即c不是負數，而是正數或0）d0 d是非正數 (即d不是正數，而是負數或0)e0 e不是0（即e不是0，而是負數或正數）3在一切非負數中有一個最小值是0。例如絕對值、平方數都是非負數，它們的最小值都是0。記作：|a|0，當a=0時，a的值最小，是0； a20，a2有最小值0（當a=0時）。3 在一切非正數中有一個最大值是0。例如|X|

15、0，當X0時，|X|值最大，是0，（X0時都是負數），（X2）20，當X2時，（X2）2的值最大，是0。二 零具有獨特的運算性質1乘方：零的正整數次冪都是零。2除法：零除以任何不等于零的數都得零；零不能作除數。從而推出，0沒有倒數，分數的分母不能是0。3乘法：零乘以任何數都得零。即a×00，反過來如果ab=0,那么a、b中至少有一個是0。要使等式xy=0成立,必須且只需x=0或y=0。4 加法互為相反數的兩個數相加得零。反過來也成立。 即a、b互為相反數a+b=05 減法兩個數a和b的大小關系可以用它們的差的正負來判定，若a-b=0,則a=b; 若a-b0,則ab; 若a-b0,則a

16、b。反過來也成立，當a=b時，a-b=0；當a>b時,a-b>0；當a<b時,a-b<0.三 在近似數中，當0作為有效數字時，它表示不同的精確度。例如近似數1.6米與1.60米不同，前者表示精確到0.1米（即1分米）,誤差不超過5厘米； 后者表示精確到0.01米（即1厘米），誤差不超過5毫米。可用不等式表示其值范圍如下：1.55近似數1.6<1.651.595近似數1.60<1605例題例1 兩個數相除，什么情況下商是1？是1？答：兩個數相等且不是0時，相除商是1；兩數互為相反數且不是0時，相除商是1。例2 絕對值小于3的數有幾個？它們的和是多少？為什么？答

17、：絕對值小于3的數有無數多個，它們的和是0。因為絕對值小于3的數包括大于3并且小于3的所有數，它們都以互為相反數成對出現，而互為相反數的兩個數相加得零。例3 要使下列等式成立X、Y應取什么值？為什么？X（Y1）0，X3（Y2）20答：根據任何數乘以0都得0，可知當X0時，Y可取任何數；當Y1時，X取任何數等式X（Y1）0都是能成立?；橄喾磾迪嗉拥昧悖鳻30，（Y2）20，它們都必須是0，即X30且Y20，故當X3且Y2時，等式X（Y2）20成立。練習41 有理數a和b的大小如數軸所示: b 0 a比較下列左邊各數與0的大小（用、號連接）2a 0, 3b 0, 0, 0，a2 0, b3 0

18、,a+b 0, ab 0, ab 0, (2b)3 0, 0, 02a表示有理數，下列四個式子，正確個數是幾個？答：個。a|>a, a2> a2, a>a, a+1>a3x表示一切有理數，下面四句話中正確的共幾句？答：_句。1）（x2）2有最小值0，2）x+3|有最大值0，3）2x2有最大值2， 4）3x1有最小3。4絕對值小于5的有理數有幾個？它們的積等于多少？為什么？6 要使下列等式成立，字母X、Y應取什么值？0，X（X3）0，X1（Y3）207 下列說法正確嗎？為什么？1）a的倒數是； 2）方程（a1）X3的解是X3）n表示一切自然數，2n1表示所有的正奇數；4）

19、如果a>b, 那么m2a>m2b (a 、b 、m都是有理數 )8 X取什么值時，下列代數式的值是正數？ X（X1）X（X1）（X2）初中數學競賽輔導資料（5）an的個位數內容提要1整數a的正整數次冪an,它的個位數字與a的末位數的n次冪的個位數字相同。例如20023與23的個位數字都是8。20，1，5，6，的任何正整數次冪的個位數字都是它們本身。例如57的個位數是5，620的個位數是6。32，3，7的正整數次冪的個位數字的規(guī)律見下表：指數12345678910底數224862486243397139713977931793179其規(guī)律是：2的正整數次冪的個位數是按2、4、8、6四

20、個數字循環(huán)出現，即24k+1與21，24K2與22，24K3與23，24K4與24的個位數是相同的（K是正整數）。3和7也有類似的性質。44，8，9的正整數次冪的個位數，可仿照上述方法，也可以用422，823，932轉化為以2、3為底的冪。5綜上所述，整數a的正整數次冪的個位數有如下的一般規(guī)律：a4Km與am的個位數相同(k,m都是正整數。例題例1 20032003的個位數是多少？解：20032003與32003的個位數是相同的，20034×5003，32003與33的個位數是相同的，都是7，2003的個位數是7。例2 試說明6320001472002的和能被10整除的理由解：200

21、04×500，20024×5002632000與34的個位數相同都是1，1472002與72的個位數相同都是9，6320001472002的和個位數是0，6320001472002的和能被10整除。例3 K取什么正整數值時，3k2k是5的倍數？解：列表觀察個位數的規(guī)律K12343的個位數39712的個位數24863k2k的個位數55從表中可知，當K1，3時，3k2k的個位數是5，am與a4n+m 的個位數相同（m,n都是正整數，a是整數）， 當K為任何奇數時，3k2k是5的倍數。練習51 在括號里填寫各冪的個位數（K是正整數）220的個位數是（）45的個位數是（） 330的

22、個位數是（） 87的個位數是（） 74K+1的個位數是（ ）31179的個位數是（） 216×314的個位數是（）32k-172k-1的個位數是（）72k32k的個位數是（）74k-164k-3的個位數是（） 7710×3315×2220×5525的個位數是（）2 目前知道的最大素數是22160911，它的個位數是。3 說明如下兩個數都能被10整除的理由。 5353333319871989199319914 正整數m取什么值時，3m1是10的倍數？5 設n是正整數，試說明2 n 7n+2能被5整除的理由。6 若a4的個位數是5，那么整數a的個位數是若a4

23、的個位數是1，那么整數a的個位數是若a4的個位數是6，那么整數a的個位數是若a2k-1的個位數是7，那么整數a的個位數是712+22+32+92的個位數是，12+22+32+192的個位數是，12+22+32+292的個位數是。8. a,b,c是三個連續(xù)正整數，a2=14884,c2=15376,那么b2是（）（A）15116 （B）15129 （C）15144 （D）15321初中數學競賽輔導資料（6）數學符號內容提要數學符號是表達數學語言的特殊文字。每一個符號都有確定的意義，即當我們把它規(guī)定為某種意義后，就不再表示其他意義。數學符號一般可分為：1元素符號：通常用小寫字母表示數，用大寫字母表

24、示點，用和表示園和三角形等。2關系符號：如等號，不等號，相似，全等，平行，垂直等。3運算符號：如加、減、乘、除、乘方、開方、絕對值等。4邏輯符號：略5約定符號和輔助符號：例如我們約定正整數a和b中，如果a除以b的商的整數部份記作Z（），而它的余數記作R（）， 那么Z（）3，R（）1；又如設表示不大于x的最大整數，那么5，6，0，3。正確使用符號的關健是明確它所表示的意義（即定義）對題設中臨時約定的符號，一定要扣緊定義，由簡到繁，由淺入深，由具體到抽象，逐步加深理解。在解題過程中為了簡明表述，需要臨時引用輔助符號時，必須先作出明確的定義，所用符號不要與常規(guī)符號混淆。例題例1 設表示不大于Z的最大

25、整數，n>為正整數n除以3的余數 計算：4.0713;2004 14.7。解：原式4（3）100 原式14202例2 求19871988的個位數 說明1987198919931991能被10整除的理由解：設N（x）表示整數x的個位數， N（19871988）N（74×497）N（74）1 N（19871989）N（19931991）N（74×4971）N（34×4973）N（71）N（33）7701987198919931991能被10整除 由于引入輔助符號，解答問題顯得簡要明瞭。例3 定義一種符號的運算規(guī)則為：ab=2a+b試計算：53（17）4解：532

26、×5313（2×17）4942×9422例4 設ab=a(ab+7), 求等式3x=2(-8)中的x解：由題設可知：等式3x=2(-8)就是3（3x7）22×（8）79x+21=18x=4練習61設Qx >表示有理數x 的整數部分，那么Q2.15_Q12.3>=_ Q<0.03_Q_2設n表示不小于n的最小整數，那么4.3_2.3_ 2_ 0.30.3_3設m表示不大于m的最大整數 若m=2 則m=_ 若n= 3.5則n=_ 若1Y0則Y_ 若7b<8則b_ 若x=4 則x 若nC<n1則C_4正整數a和b中，設a除以b的商

27、的整數部分記作Z（）余數記作R（），ab的個位數記作n（ab）,寫出下列各數的結果： R()R()_ Z()Z()_ n(19891990)=_5設n！表示自然數由1到n的連乘積。例如5！1×2×3×4×5120。計算：120÷3!6設= a1b2a2b1 計算：7定義一種符號的運算法則為ab= 那么32_23_ （12）3_（3）（10）_8a,b都是正整數，設a b表示從a起b個連續(xù)正整數的和。 例如23234；545678。 己知：X52005，求X9 設x表示不大于x數的最大整數且xx，求10 設a表示不大于數a的最大整數，例如1，2那

28、么，3x+12x-的所有的根的和是（1987年全國初中聯賽題）初中數學競賽輔導資料（7）用字母表示數內容提要和例題1 用字母表示數最明顯的好處是能把數量間的關系簡明而普遍地表達出來，從具體的數字計算到用抽象的字母概括運算規(guī)律上，是一種飛躍。2 用字母表示數時，字母所取的值，應使代數式有意義，并使它所表示的實際問題有意義。例如寫出數a的倒數用字母表示一切偶數 解：當a0時，a的倒數是 設n為整數，2n可表示所有偶數。3 命題中的字母，一般要注明取值范圍，在沒有說明的情況下，它表示所學過的數，并且能使題設有意義。例1化簡：x 3（x<3） | x+5| 解：x<3,x3<0， x

29、3（x3）x3當x5時，x5x5，當x <5時，x5x5（本題x 表示所有學過的數）例2己知十位上的數是a,個位數是b ,試寫出這個兩位數解：這個兩位數是10a+b(本題字母a、b的取值是默認題設有意義,即a 表示1到9的整數，b表示0到9的整數)4 用字母等式表示運算定律、性質、法則、公式時，一般左邊作為題設，所用的字母是使左邊代數式有意義的，所以只對變形到右邊所增加的字母的取值加以說明。例如用字母表示：分數的基本性質分數除法法則解：分數的基本性質是(m0)， (m0) a作為左邊的分母不另說明a0，(d0) d在左邊是分子到了右邊變分母，故另加說明。5 用字母等式表示運算定律、性質、

30、法則、公式，不僅可從左到右順用，還可從右到左逆用；公式可以變形，變形時字母取值范圍有變化時應加說明。例如：乘法分配律，順用a(b+c)=ab+ac, 2=逆用5a+5b=5(a+b), 6.25×3.145.25×3.14=3.14(6.255.25)=3.14路程S=速度V×時間T， V=(T0)， T=(V0)6 用因果關系表示的性質、法則，一般不能逆用。例如：加法的符號法則 如果a>0，b>0， 那么 a+b>0，不可逆絕對值性質 如果a>0,那么|a|=a 也不可逆(若|a|=a則a0)7 有規(guī)律的計算，?？捎米帜副硎酒浣Y果，或概括

31、成公式。例題例1：正整數中不同的五位數共有幾個？不同的n位數呢？ 解：不同的五位數可從最大 五位數99999減去最小五位數10000前的所有正整數，即99999-9999=90000. 推廣到n位正整數，則要觀察其規(guī)律一位正整數,從1到9共9個， 記作9×1二位正整數從10到99共90個， 記作9×10三位正整數從100到999共900個， 記作9×102四位正整數從1000到9999共9000個， 記作9×103 (指數3=4-1) n位正整數共9×10 n-1個例2 _A C D E B在線段AB上加了3個點C、D、E后，圖中共有幾條線段？

32、 加n點呢？解：以A為一端的線段有： AC、AD、AE、AB 共4條以C為一端的線段有：(除CA外) CD、CE、CB 共3條以D為一端的線段有：(除DC、DA外) DE、DB 共2條以E為一端的線段有：(除ED、EC、EA外) EB 共1條共有線段1+2+3+4=10 (條) 注意：3個點時，是從1加到4， 因此 如果是n個點，則共有線段1+2+3+n+1= =條練習71 右邊代數式中的字母應取什么值？ S正方形=a2 3的倍數3n2用字母表示：一切奇數所有正偶數一個三位數 n個a相乘的結果負數的絕對值是它的相反數.3寫出： 從1開始，n 個自然數的和是_ 從11開始到2n+1 連續(xù)奇數的和

33、( n>5)是_ m個球隊進行單循環(huán)賽所需場數是_4已知999=1031, 9999=1041, 那么各位數都是9的n位數=_5 計算112= 1112= (n10時)=_6 寫出圖中所有三角形并計算其個數，如果線段上有10個點呢？ 初中數學競賽輔導資料（8）抽屜原則內容提要1 4個蘋果放進3個抽屜，有一種必然的結果：至少有一個抽屜放進的蘋果不少于2個（即等于或多于2個）；如果7個蘋果放進3個抽屜，那么至少有一個抽屜放進的蘋果不少于3個（即的等于或多于3個），這就是抽屜原則的例子。2 如果用表示不小于的最小整數，例如3， 。那么抽屜原則可定義為：m個元素分成n個集合（m、n為正整數m&g

34、t;n）,則至少有一個集合里元素不少于個。3 根據的定義，己知m、n可求；己知，則可求的范圍，例如己知3，那么23；己知2，則 12，即3x6，x有最小整數值4。例題例1某校有學生2000人，問至少有幾個學生生日是同一天？分析：我們把2000名學生看作是蘋果，一年365天（閏年366天）看作是抽屜，即把m（2000）個元素，分成n(366)個集合，至少有一個集合的元素不少于個解：56 答：至少有6名學生的生日是同一天例2從1到10這十個自然數中，任意取出6個數，其中至少有兩個是倍數關系，試說明這是為什么。解：我們把1到10的奇數及它們的倍數放在同一集合里，則可分為5個集合，它們是：1，2，4，

35、8，3，6，5，10，7，9。要在5個集合里取出6個數，至少有兩個是在同一集合，而在同一集合里的任意兩個數都是倍數關系。（本題的關鍵是劃分集合，想一想為什么9不能放在3和6的集合里）。例3袋子中有黃、紅、黑、白四種顏色的小球各6個,請你從袋中取出一些球，要求至少有3個顏色相同，那么至少應取出幾個才有保證。分析：我們可把4種球看成4個抽屜（4個集合），至少有3個球同顏色，看成是至少有一個抽屜不少于3個（有一個集合元素不少于3個）。解：設至少應取出x個，用表示不小于的最小整數，那么3，23，即8x 12，最小整數值是9。答：至少要取出9個球，才能確保有三個同顏色。例4等邊三角形邊長為2，在這三角形

36、內部放入5個點，至少有2個點它們的距離小于1，試說明理由。 解：取等邊三角形各邊中點，并連成四個小三角形（如圖）它們邊長等于1，5個點放入4個三角形，至少有2個點放在同一個三角形內，而同一個三角形內的2個點之間的距離必小于邊長1。練習81 初一年新生從全縣17個鄉(xiāng)鎮(zhèn)招收50名，則至少有人來自同一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)。2 任取30個正整數分別除以7，那么它們的余數至少有個是相同的。3 在2003m中，指數m任意取10個正整數，那么這10個冪的個位數中相同的至少于個.4 暗室里放有四種不同規(guī)格的祙子各30只，為確保取出的祙子至少有1雙（2只同規(guī)格為1雙）那么至少要取幾只？若要確保10雙呢？5 袋子里有黑、白球各

37、一個,紅、藍、黃球各6個.請你拿出一些球,要確保至少有4個同顏色,那么最少要取幾個?6 任意取11個正整數，至少有兩個它們的差能被10整除，這是為什么？7 右圖有3行9列的方格，若用紅、藍兩種顏色涂上，則至少有2列的涂色方式是一樣的，試說明這是為什么。8 任意取3個正整數，其中必有兩個數它們的平均數也是正整數。試說明理由。9 90粒糖果分給13個小孩，每人至少分1粒，不管怎樣分，總有兩人分得同樣多，這是為什么？1011個互不相同的正整數，它們都小于20，那么一定有兩個是互質數。（最大公約數是1的兩個正整數叫互質數）11任意6個人中，或者有3個人他們之間都互相認識，或者有3個人他們之間都互不相識

38、，兩者必居其一，這是為什么？ 初中數學競賽輔導資料(9) 一元一次方程解的討論甲內容提要1， 方程的解的定義：能使方程左右兩邊的值相等的未知數的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。例如：方程2x60，x（x-1）=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2的解分別是：x=3, x=0或x=1, x=±6, 所有的數，無解。2， 關于x 的一元一次方程的解（根）的情況：化為最簡方程ax=b后，討論它的解：當a0時，有唯一的解x=；當a=0且b0時，無解；當a=0且b0時，有無數多解。（不論x取什么值，0x0都成立）3,求方程ax=b(a0)的整數解、正整數解、正數解當ab時，方程有整數

39、解；當ab，且a、b同號時，方程有正整數解；當a、b同號時，方程的解是正數。綜上所述，討論一元一次方程的解，一般應先化為最簡方程ax=b乙例題例1 a取什么值時，方程a(a2)x=4(a2)有唯一的解？無解？有無數多解？是正數解？解：當a0且a2 時，方程有唯一的解，x=當a=0時，原方程就是0x= 8，無解；當a=2時，原方程就是0x=0有無數多解由可知當a0且a2時，方程的解是x=,只要a與4同號，即當a>0且a2時，方程的解是正數。例2 k取什么整數值時，方程k(x+1)=k2（x2）的解是整數？（1x）k=6的解是負整數？解：化為最簡方程（k2）x=4當k+2能整除4，即k+2=

40、±1，±2，±4時，方程的解是整數k=1，3，0，4，2，6時方程的解是整數?；癁樽詈喎匠蘫x=k6，當k0時x=1，只要k能整除6,即 k=±1，±2，±3，±6時，x就是整數當k=1,2,3時，方程的解是負整數5，2，1。例3己知方程a(x2)=b(x+1)2a無解。問a和b應滿足什么關系？解：原方程化為最簡方程：(ab)x=b方程無解，ab=0且b0a和b應滿足的關系是a=b0。例4a、b取什么值時，方程（3x2）a+（2x3）b=8x7有無數多解？解：原方程化為最簡方程：（3a+2b8）x=2a+3b7，根據0x0時

41、，方程有無數多解，可知當時，原方程有無數多解。解這個方程組得答當a=2且b=1時，原方程有無數多解。丙練習（9）1, 根據方程的解的定義，寫出下列方程的解： (x+1)=0, x2=9,|x|=9，|x|=3,3x+1=3x1,x+2=2+x 2,關于x的方程ax=x+2無解，那么a_ 3,在方程a(a3)x=a中，當a取值為時，有唯一的解；當a時無解；當a時,有無數多解；當a時,解是負數。4， k取什么整數值時，下列等式中的x是整數？ x= x= x= x=5， k取什么值時，方程xk=6x的解是 正數？ 是非負數？6， m取什么值時，方程3（m+x）=2m1的解 是零？ 是正數？7， 己知

42、方程的根是正數，那么a、b應滿足什么關系？8， m取什么整數值時，方程的解是整數?9， 己知方程有無數多解，求a、b的值。初中數學競賽輔導資料（10）二元一次方程的整數解甲內容提要1， 二元一次方程整數解存在的條件：在整系數方程ax+by=c中，若a,b的最大公約數能整除c,則方程有整數解。即如果（a,b）|c 則方程ax+by=c有整數解顯然a,b互質時一定有整數解。例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整數解。返過來也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都沒有整數解，（9，3）3，而3不能整除10；（4，2）2，而2不能整除1。一般我們在正整數集合里研究公約

43、數，（a,b）中的a,b實為它們的絕對值。2， 二元一次方程整數解的求法：若方程ax+by=c有整數解，一般都有無數多個，常引入整數k來表示它的通解（即所有的解）。k叫做參變數。方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整數解解：x= (1) , 設是整數），則y=1-5k (2) ,把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2原方程所有的整數解是（k是整數）方法二，公式法：設ax+by=c有整數解則通解是（x0,y0可用觀察法）3， 求二元一次方程的正整數解： 出整數解的通解，再解x,y的不等式組，確定k值 用觀察法直接寫出。乙例題例1求方程5x9y=18整數解的能通解解x=設（k為

44、整數），y=35k,代入得x=99k 原方程整數解是（k為整數） 又解：當x=o時，y=2，方程有一個整數解它的通解是（k為整數）從以上可知整數解的通解的表達方式不是唯一的。例2，求方程5x+6y=100的正整數解解：x=(1)， 設(k為整數)，則y=5k,(2)把（2）代入（1）得x=20-6k，解不等式組得0k<,k的整數解是1，2，3，正整數解是例3，甲種書每本3元，乙種書每本5元，38元可買兩種書各幾本？解：設甲種書買x本，乙種書買y本，根據題意得3x+5y=38（x,y都是正整數）x1時，y=7，是一個整數解通解是（k為整數）解不等式組得解集是整數k=0，1，2把k=0,1,

45、2代入通解，得原方程所有的正整數解答：甲、乙兩種書分別買1和7本或6和4本或11和1本。丙練習101， 求下列方程的整數解公式法：x+7y=4, 5x-11y=3整除法：3x+10y=1, 11x+3y=42,求方程的正整數解：5x+7y=87,5x+3y=1103，一根長10000毫米的鋼材，要截成兩種不同規(guī)格的毛坯，甲種毛坯長300毫米，乙種毛坯長250毫米，有幾種截法可百分之百地利用鋼材？4， 兄弟三人，老大20歲，老二年齡的2倍與老三年齡的5倍的和是97，求兄弟三人的歲數。5， 下列方程中沒有整數解的是哪幾個？答：（填編號） 4x2y=11, 10x-5y=70, 9x+3y=111,

46、18x-9y=98, 91x-13y=169, 120x+121y=324.6, 一張試巻有20道選擇題，選對每題得5分，選錯每題反扣2分，不答得0分，小這軍同學得48分，他最多得幾分？7用觀察法寫出方程3x+7y=1幾組整數解：y=142x=初中數學競賽輔導資料（11）二元一次方程組解的討論甲內容提要1 二元一次方程組的解的情況有以下三種： 當時，方程組有無數多解。（兩個方程等效） 當時，方程組無解。（兩個方程是矛盾的） 當（即a1b2a2b10）時，方程組有唯一的解：（這個解可用加減消元法求得）2 方程的個數少于未知數的個數時，一般是不定解，即有無數多解，若要求整數解，可按二元一次方程整數

47、解的求法進行。3 求方程組中的待定系數的取值，一般是求出方程組的解（把待定系數當己知數），再解含待定系數的不等式或加以討論。（見例2、3）乙例題例1.選擇一組a,c值使方程組 有無數多解，無解，有唯一的解解：當5a=12=7c時，方程組有無數多解解比例得a=10,c=14。 當5a127c時，方程組無解。解得a=10,c14。當5a12時，方程組有唯一的解，即當a10時，c不論取什么值，原方程組都有唯一的解。例2.a取什么值時，方程組 的解是正數？解：把a作為已知數，解這個方程組得解不等式組得解集是6答：當a的取值為6時，原方程組的解是正數。例3.m取何整數值時，方程組的解x和y都是整數？解：

48、把m作為已知數，解方程組得x是整數，m8取8的約數±1，±2，±4，±8。y是整數，m8取2的約數±1，±2。取它們的公共部分，m8±1，±2。解得m=9，7，10，6。經檢驗m=9，7，10，6時，方程組的解都是整數。例4（古代問題）用100枚銅板買桃，李，欖橄共100粒，己知桃，李每粒分別是3，4枚銅板，而欖橄7粒1枚銅板。問桃，李，欖橄各買幾粒？解：設桃，李，欖橄分別買x,y,z粒,依題意得由（1）得x= 100yz (3)把（3）代入（2），整理得y=200+3z 設(k為整數)得z=7k, y=200+20k, x=30027kx,y,z都是正整數解得（k是整數）10k<,k是整數，k=11即x=3（桃）,y=20（李）,z=77（欖橄）(答略)丙練習111 不解方程組，判定下列方程組解的情況：2 a取什么值時方程組的解是正數？3 a取哪些正整數值，方程組的解x和y都是正整數？4 要使方程組的解都是整數， k應取哪些整數值？5 （古代問題）今有雞翁一，值錢五，雞母一，值錢三，雞雛三，值錢一，百錢買百雞，雞翁，雞母，雞雛都買，可各買多少？初中數學競賽輔導資料（12）用交集解題甲內容提要1 某種對象的全體組成一個集合。組成集合的各個對象叫這個集合的元素。例如6的正約數集合記作