論初等數(shù)論與小學數(shù)學的關系

1、論初等數(shù)論與小學數(shù)學的關系 “同余”在小學數(shù)學教學中的應用 姓名：胡燕爾 班級：070214 學號：15剛翻開人教版大學本科小學教育專業(yè)教材初等數(shù)論的目錄，許多在校本科小學教育專業(yè)的學生，包括我都存在這樣的感覺，那就是覺得這些是再簡單不過的內(nèi)容：整除、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)、同余等等，這些內(nèi)容在我們讀小學的時候都已經(jīng)學習過，似乎覺得沒有必要再去研究，直到接觸學習了這門課程，才扭轉(zhuǎn)了我們的看法。初等數(shù)論是小學教育專業(yè)，尤其是理科方向?qū)W生的必修專業(yè)課程，也是從事小學數(shù)學教學的老師的進修課程。其中包括整數(shù)的整除性、同余、同余方程、不定方程、不定方程、簡單連分數(shù)幾方面的知識。這些方面的內(nèi)容

2、在符合了小學數(shù)學教師應具有的教學思維外，也有利于學習者積累從事小學數(shù)學教育工作必備的能力與知識。有人說：“數(shù)學是思維的體操，科學的王冠，數(shù)論是王冠上的明珠。”這顆明珠在小學數(shù)學中早已是熠熠閃光我們小學所學習到的數(shù)論內(nèi)容主要包含以下幾類：整除問題：（1）整除的性質(zhì)；（2）數(shù)的整除特征 （小升初?？純?nèi)容）余數(shù)問題：（1）帶余除式的運用     被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù).（余數(shù)總比除數(shù)小）         （2）同余的性質(zhì)和運用奇偶問題：（1）奇偶與加減運算；（2）奇偶與乘

3、除運算質(zhì)數(shù)合數(shù)：重點是質(zhì)因數(shù)的分解約數(shù)倍數(shù)：（1）最大公約最小公倍兩大定理 （2）約數(shù)個數(shù)決定法則            可見，初等數(shù)論的應用與小學數(shù)學教育事業(yè)是息息相關的。對于初等數(shù)論，我學到的也只是九牛一毛，談不上有什么有建設性的問題，只能粗略地談談初等數(shù)論中的核心內(nèi)容同余，并通過其在初等數(shù)論在小學數(shù)學中的應用來說明兩者的關系。同余是由德國數(shù)學家高斯首先提出并系統(tǒng)地進行研究的，它是初等數(shù)論的核心部分。其中蘊含大量的數(shù)論所特有的思想、概念和方法，它的出現(xiàn)使數(shù)論成為一個獨立的

4、數(shù)學分支的標志。在這一內(nèi)容中包括其性質(zhì)，剩余類與剩余系，歐拉定理和循環(huán)小數(shù)等幾個知識點。在沒接觸初等數(shù)論學習之前，我們對同余這個概念很陌生，其實同余在我們小學數(shù)學學習，奧數(shù)中已經(jīng)有了很深入的運用。在小學中主要體現(xiàn)在余數(shù)的運用上，余數(shù)是小學數(shù)學中的重要概念，也是數(shù)學競賽的熱門話題，其中有關概念多，方法性強。在小學，關于余數(shù)問題我們知道：如果整數(shù)a除以正整數(shù)m，商為q，余數(shù)為r，則a=qm+r，其中q與r都是自然數(shù)，并且0rm.而現(xiàn)在我們學的同余知識是：如果兩個正整數(shù)a,b被非零自然數(shù)m除時所得的余數(shù)相同，a=qm+r,b=pm+r，那么就說a與b關于模m同余,記為ab（mod m）.此時a與b的

5、差能被m整除，記為a-b 0（mod m）.因此同余問題常常轉(zhuǎn)化為整除問題求解。下面，我以一個例題來反應同余在小學數(shù)學教學中的應用：例題、a除以5余1，b除以5余4，如果3ab，那么3ab除以5余幾？這道題目出現(xiàn)在小學奧數(shù)中，小學生一般的解答方法是：方法一：湊數(shù)法。取a為6，取b為9，這樣a.b滿足了條件a除以5余1，b除以5余4，3a-b=9,9/5余數(shù)為4。方法二、設a=5x+1 b=5y+4 3a-b=15x-5y-1=15x-5y-5+4=5(3x-y-1)+1 3ab除以的余數(shù)是4 a=5x+1 （x為正的整數(shù)） b=5y+4（ y為正的整數(shù) ）(3a-b)/5 =(15x+3-5y

6、-4)/5 =3x-y-1/5 =(3x-y-1)+4/5 根據(jù)x,y均為正的整數(shù),并且3a>b，所以余數(shù)為4。而在初等數(shù)論中的解法：解：a1（mod5），3a3（mod 5），或者3a8（mod 5）（1）又 b4（mod 5），（2）（1）（2）得：3ab844（mod 5）因此，3ab除以5余4在小學生解法中我們可以看出，兩種方法，尤其是第二種，都是以同余知識出發(fā)去處理問題，只是在形式表達上相對于大學里初等數(shù)論練習中較為簡單化。在小學的奧數(shù)思維訓練中，同余思想的應用更是數(shù)不勝數(shù)，如“抽屜原理”是同余應用中最典型的例子，可以說，同余理論是近世代數(shù)中一個很重要的數(shù)學模型。除此之外，其他

7、很多數(shù)學知識都涉及到了同余，比如像歐拉函數(shù)，它也是初等數(shù)論中的重要函數(shù)之一，在證明過程中就大量地體現(xiàn)了同余的思想。學過初等數(shù)論的人應該都知道，小學數(shù)學和初等數(shù)論之間最大的不同在于小學數(shù)學在于如何應用定理、法則，而初等數(shù)論則要明白為什么這么應用。顯然，初等數(shù)論是更為深層次的學習，在難度上有了一個跨越。那么數(shù)論部分在小學數(shù)學考試題型中占據(jù)什么地位呢？可以說，翻開任何一本數(shù)學輔導書，數(shù)論的題型都占據(jù)了顯著的位置。有專家在小學各類數(shù)學競賽中研究發(fā)現(xiàn)，直接運用數(shù)論知識解題的題目分值大概占據(jù)整張試卷總分的30%左右，而在競賽的決賽試題中，這一分值比例更高。出題老師喜歡將數(shù)論題作為區(qū)分尖子生和普通學生的依據(jù)，這一部分學習的好壞將直