相似三角形A字模型含詳細(xì)答案-經(jīng)典

1、教師輔導(dǎo)教案授課課時(shí)：課時(shí)授課日期：年月日學(xué)員姓名年級(jí)輔導(dǎo)科目數(shù)學(xué)學(xué)科教師班主任授課時(shí)間教學(xué)課題教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重難點(diǎn)課前檢查作業(yè)完成情況：優(yōu)口良口中口差口建議：教學(xué)內(nèi)容、相似三角形的性質(zhì)1 .相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等ABC與ABC'相似，則有/A=/A1/B=/B'，/C=/C'.2 .相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例ABC與AABC，相似，則有空=里=半=女（k為相似比）ABBCAC3 .相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線，高線和對(duì)應(yīng)角的平分線成比例，都等于相似比.ABC與ABC相似，AM是ABC中BC邊上的中線，AM'是A'B'C中B。邊上的中線，則有ABBCA

2、CAM/=*=k=b（k為相似比）.ABBCACAM ABC與AABC相似，AH是AABC中BC邊上的高線，A'HAA'b'CBC'邊上的高線，則有ABBCAC,AH=k=一；（k為相似比）.ABBCACAH ABC與ABC相似，AD是AABC中/BAC的角平分線，AD'是A'BC'中/BAC'的角平分線,ABBCAC.AD,則有一=一=;=k=一;一；（k為相似比）.ABBCACAD4 .相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比.ABC與ABC'相似，則有AB-t=BC-i=-AC-p=k（k為相似比）.應(yīng)用比例的等比性質(zhì)有ABBC

3、ACAB=B=AC=AB+BC+AC=kABBCACABBCAC5 .相似三角形面積的比等于相似比的平方.ABC與ABC，相似，AH是ABC中BC邊上的高線，AH'是A，BC'中BC,邊上的高線，則有ABBCACAH=k=ABBCACAHk為相似比）.進(jìn)而可得S»AABCSaaBC1BCAH211BCAH2BCAHBCAH、相似三角形的判定1 .平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.2 .如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.可簡(jiǎn)單說成:兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似.3 .如果一個(gè)三

4、角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.4 .如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的你對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似.可簡(jiǎn)單地說成:三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似.5 .如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，這兩個(gè)直角三角形相似.6 .直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形相似（常用但要證明）7 .如果一個(gè)等腰三角形和另一個(gè)等腰三角形的頂角相等或一對(duì)底角相等，那么這兩個(gè)等腰三角形相似;如果它們的腰和底對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)等腰三角形也相似.那么三、相似證明中的基本模型A字形圖A字型，DE/BC;結(jié)論:AD

5、AEDEABACBC'【例1】李老師在編寫下面這個(gè)題目的答案時(shí)，不小心打亂了解答過程的順序，你能幫他調(diào)整過來嗎？證明步驟正確的順序是（已知：如圖，在ABC中，點(diǎn)D,E,F分別在邊AB,AC,BC上，且DE/BC,DF/AC,求證：ADEsDBF.證明：又:DF/AC,:DE/BC,./A=ZBDF,./ADE=ZB,.AD®DBF.A.B.C.D.【解答】證明：:DE/BC,./ADE=ZB,又.DF/AC,./A=ZBDF,.AD®DBF.故選：B.所以,CBCA所以,CP_CQCA-CB1216解得t=患.綜上所述，當(dāng)t=4.8或超時(shí)，CPQ與CBA相似.故答案

6、為4.8或需.、.AFADDF圖反A字型，/ADEWB或/1=ZB結(jié)論：-AE=-ACABBC【例2】如同，在ABC中，點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上，下列條件中不能判斷ABCAED的是（）A.ADABAEACB.ADAC=杷ABC./ADE=ZCD./AED=/B【解答】解：/DAE=/CAB,當(dāng)/AED=/B或/ADE=/C時(shí)，AB8AED;當(dāng)患普即胃噌時(shí)ABCsAED.【練1】如圖，在ABC中，/ACB=90,BC=16cm,AC=12cm,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/秒的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/秒的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為與ABC相似.【解答】解：CP和CB是對(duì)應(yīng)

7、邊時(shí)，CPgCBA1612解得t=4.8;CP和CA是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，CPgCAB,故選：A.【例3】如圖，P是4ABC的邊AB上的一點(diǎn).（不與A、B重合）當(dāng)/ACP=Z_上時(shí)，4APC與4ABC是否相似；當(dāng)ACAP、AB滿足世時(shí)，ACP與ABC相似./ACABA.APAC,/A=ZA,【解答】解：/A=ZA,AACP=ZB,.ACWABC;ACAB.ACP與ABC;故答案為：b；ACAB【練習(xí)1】如圖，D、E為ABC的邊AC、AB上的點(diǎn)，當(dāng)/ADE=/B時(shí)，AD®ABC.其中D、E分別對(duì)應(yīng)B、C.（填一個(gè)條件）.【解答】解：當(dāng)/ADE=ZB,/EAD=ZCAB,.AD®ABC.

8、故答案為/ADE=ZB.【練習(xí)2】如圖，在ABC中，DE分別在AB與AC上，且AD=5,DB=7,AE=6,EC=4.求證：ADEsACB.【解答】證明：AD=5,DB=7,AE=6,EC=4,AB=5+7=12,AC=6+4=10,仙-5_L杷-/AC102AB122/V三二皇ACAB'又,一/A=/A,.AD®ACB.【練習(xí)3】如圖，AB=AC,/A=36,BD是/ABC的角平分線，求證：ABCBCD.【解答】證明：.AB=AC,/A=36°,/ABC=ZC=72,BD是角平分線，/ABD=ZDBC=36,-/A=ZCBD,又./C=/C,.ABCBCD.【練習(xí)

9、4已知：如圖，ABC中，ZACD=ZB,求證：AB8ACD.【解答】證明：.一/ACD=ZB,/A=/A,.ABCACD.【練習(xí)5】如圖，已知AD?AC=AB?AE求證：AD&ABC.【角軍答】證明：AD?AC=AE?ABABAC在ABCAADE中.=工ABAC/A=/A,.ABCADE.【練習(xí)6】已知：如圖，在4ABC中，D,E分別為AB、AC邊上的點(diǎn),且ADWAE,連接DE.若AC=4,AB=5.求證：AD&ACB【解答】證明：AC=3,AB=5,AD旦5整星AD-皿，/A=ZA,.AD®ACB.圖雙A字型【例4】如圖，在ABC中，D,E分別是AB,AC上的點(diǎn)，/

10、AED=ZABC,/BAC的平分線AF交DE于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)F.(1)試寫出圖中所有的相似三角形，并說明理由AG3GF2器的值.BC【解答】解：（1）ZAED=ZABC,/EAD=/BAC,.ABCAED./AED=ZABC,/EAG=ZBAF,.AE8ABF./EDG=/ACF,/DAG=ZCAF,.ADGsACF.（2）二嫗旦GF2,一虹5.ADGsACF,.邁塞=3.BCGF5【練習(xí)1】如圖，在ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，AE=4,AB=6,AD:AC=2:3,4ABC的角平分線AF交DE于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)F.(1)請(qǐng)你直接寫出圖中所有的相似三角形;(2)求AG與GF的比.

11、【解答】解：（1）ADGACFAGaAFB,ADEsACB;（2）幽-4=g-=-,AB63AC3ABAC'又./DAE=ZCAB,.AD®ACB,/ADG=ZC,.AF為角平分線，.ZDAG=ZFAE.ADGsACF,AGAT2=一AFAC3AGGF=2.四1圖內(nèi)含正方形A字形，結(jié)論"二a=；(a為正方形邊長(zhǎng))AHBC'【例5】如圖，ABC,是一張銳角三角形的硬紙片，AD是邊BC上的高，BC=40cm,AD=30cm,從這張硬紙片上剪下一個(gè)長(zhǎng)HG是寬HE的2倍的矩形EFGH使它的一邊EF在BC上，頂點(diǎn)G、H分別在AC,AB上，AD與HG的交點(diǎn)為M.(1)求

12、證:ADBC試求出a;右不存在,當(dāng)HE=a,則30-aHG3040，HG=-S矩形HEFG=a(一a+30)=-a2+30a,當(dāng)a=一302X(-4)1,1454即當(dāng)HE=cm時(shí)從三角形硬紙片上剪下的矩形面積最大.(2)求這個(gè)矩形EFGH的周長(zhǎng);(3)是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)a,當(dāng)HE=a時(shí)從三角形硬紙片上剪下的矩形面積最大？若存在,請(qǐng)說明理由.【解答】(1)證明：二四邊形HEFG為矩形,HG/EF,而ADXBC,AMXBC,.AHGsABC,，幽ADBC'(2)解：設(shè)HE=x,HG=2x,貝U嚙二嗡，解得x=12,.,這個(gè)矩形EFGH的周長(zhǎng)=2x+4x=6x=72(cm);(3)存在.【練習(xí)

13、1】如圖，ABC,是一張銳角三角形的硬紙片，AD是邊BC上的高，BC=80cm,AD=60cm,從這張硬紙片上剪下一個(gè)長(zhǎng)HG是寬HE的2倍的矩形EFGH使它白一邊EF在BC上，頂點(diǎn)G、H分別在AC,AB上,AD與HG的交點(diǎn)為M.（1）試說明：細(xì)=里的理由；ADBC（2）求這個(gè)矩形EFGH的面積.【解答】（1）證明：二四邊形EFGH為矩形,EF/GH,/AHG=ZABC,又./HAG=ZBAC,.AHGsABC,，&L嗎ADBC(2)解：設(shè)HE=xcm,MD=HE=xcm,AD=60cm,AM=(60-x)cm,HG=2HE,HG=2xcm,AD-BC可得=.,60SOAC_EFBC-D

14、F解得，x=24,故HE=24,HG=2x=48,貝U矩形EFGH的面積=24X12=1152cm2.【例6】如圖，在ABC中，D為AC上一點(diǎn)，E為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且求證：AD=EB【解答】證明：過D點(diǎn)作DH/BC交AB于H,如圖,DH/BC,AHDAABC,.AD_DH0nADAC.=,即=,ACBC'DHBC'DH/BE,.BEDHDF,HDDF'而上二三ECDF-BE=ADHDDHAD=EB.【例71如圖，在ABC中，/BAC=90,BC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E,交CA的延長(zhǎng)線于D,交AB于點(diǎn)F,求證：AE2=EF?ED【解答】解：.一/BAC=90,/B+/C

15、=90,/D+/C=90,./B=ZD,.BC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E,/BAC=90.BE=EA/B=ZBAE,/D=ZBAE,./FEA=ZAED,.FEQAED,EP-AEAE2=EF?ED旋轉(zhuǎn)型”相似三角形，如圖.若圖中/1=72,/B=/D（或/C=ZE）,則ADEiAABC,該圖可看成把第一個(gè)圖中的ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)某一角度而形成的.例8如圖，在ABC與4ADE中，/BAC=ZD,要使ABC與4ADE相似，還需滿足下列條件中的（）MAB-MBC配AB.ACBC=-B=C=_D=-AD皿&DEADDEADAE【解答】解：.一/BAC=/D,二二三ADDE'.ABCADE

16、.故選：C.【練習(xí)1】如圖所示，在4ABC與4ADE中，AB?ED=AE?BC要使ABC與ADE相似，還需要添加一個(gè)條件,這個(gè)條件是/B=/E（答案不唯一）（只加一個(gè)即可）并證明.4【解答】解：條件，/B=/E.證明：:AB?ED=AE?BC'、，膽=些.1AEEC /B=ZE, .ABCAED.條件，=2;.ACAB證明：AB?ED=AE?BC,研二BU1AEEC L"=,=,ACAE.AB_BC_AC=.AEECAD .ABCAED.故答案為：/B=ZE（答案不唯一）.【練習(xí)2】如圖，已知：/BAC=ZEAD,AB=20.4,AC=48,AE=17,AD=40.求證：ABCAED.-【解答】證明：.AB=20.4,AC=48,AE=17,AD=40.AE=20.=1.2AC=.1S=1.2,/AE17AD40/.迪41EAEAD /BAC=ZEAD, .ABCAED.【練習(xí)3】如圖，在ABC和AADE中，已知/B=ZD,/BAD=/CAE,求證：即/DAE=ZBAC.又/B=/D, .ABCADE.【練習(xí)4】如圖，ABCDEP是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，/BAC=ZPDE=90.(1)若將DEP的頂點(diǎn)P放在BC上(如圖1),PD>PE分另1J與AC、AB相交于點(diǎn)F、G.求證：PB3FCP(2)若使DEP的頂點(diǎn)P與頂