初中數(shù)學(xué)競賽定理大全

1、歐拉（Euler）線:同一三角形的 垂心、重心、外心三點(diǎn)共線，這條直線稱為三角 形的歐拉線;且外心與重心的距離等于垂心與重心距離的一半。歐技全、九點(diǎn)圓：任意三角形三邊的 中點(diǎn)，二高的垂足及三頂點(diǎn) 與 點(diǎn)共圓，這個圓稱為三角形的九點(diǎn)圓;其圓心為三角形外心與 垂心 所連 線段的中點(diǎn)， 的T。rzTv/ N外心 /外心重心重心重心2Q0厘米*00厘米垂心間線段的中點(diǎn)，共九個 其半徑等于三角形外接圓半徑 OA = 1.07 厘米。8 =1.07厘米I OK2.43 厘米）15 / 18二9PC = 1202PA = 7納xAPB= 120n費(fèi)爾馬點(diǎn):已知P為銳角4ABC內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)/APB= Z BPC

2、= Z CPA= 120 時,PA+ PB+ PC的值最小，這個點(diǎn)P稱為 ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)。EE = 3.48 厘米CE = 3.00睡米 內(nèi)£= 3.06厘大EP = 4.92 廛米CP = 3.63 星米AP = 2.33 用米海倫(Heron)公式：海倫(HemM公式，1在ABC中，邊BC.CA.的長分別為高、d % 若p=/ (a+b+c),則幺 BC的面積S=./P <P) (pb) (pc) ,Jp (p-AB) (p-BC) (p-CA) = a94 厘米- BC AD = 9,94 陲米2塞瓦（Cevaj） 定理：在 ABC中，過 ABC的頂點(diǎn)作相交于一點(diǎn)P的直

3、線，分別交邊 BG CA AB 與點(diǎn) D、E、F,則（BD/DC） （CE/EA） （AF/FB）= 1;其逆亦真ABD密格爾（Miquel）點(diǎn)：若AE、AF、ED FB四條直線相交于 A、E 構(gòu)成四個三角形，它們是 ABF、AAECX 則這四個三角形的外接圓共點(diǎn)，這個點(diǎn)稱: v7/密格爾（Miquel）云/二BD /CE /AF BD = 44。厘米DC = 3.79«CE = 2.73J ER = 2.80SM 具F = 3.41厘米 FB = 3瓦厘米k C、D、E、F 六點(diǎn)， BCE ADCF,為密格爾點(diǎn)。/ JrJF-1._ 一 -'葛爾剛（Gergonne） 點(diǎn):

4、 ABC的內(nèi)切圓分別切邊 AB、BG CA于點(diǎn)D、E、F, 則AE、BF CD三線共點(diǎn)，這個點(diǎn)稱為葛爾剛點(diǎn)。西摩松（Simson） 線：已知P為 ABC外接圓周上任意一點(diǎn)，PD± BC, PUACPiaAB, D、E、F為垂足，則D、E F三點(diǎn)共線，這條直線叫做 西摩松線。黃金分割: 把一條線段（AB講成兩條線段，使其中較大的線段（AC誕原線段（AB） 與較小線段（BCH勺比例中項(xiàng)，這樣的分割稱為 黃金分割。AC2 = 14.0 庠米CB-AB = 14.0 厘米帕普斯（Pappus） 定理:已知點(diǎn)Ai、A2、且AiB2與A2A3在直線11上，已知點(diǎn)Bl、B2、B3在直線12上,Bi

5、交于點(diǎn)X,AiB3與A3Bi交于點(diǎn)Y,A2B3于A3B2交于點(diǎn)Z,則X、Y、Z三點(diǎn)共線。笛沙格(DesargueS) 定理: 已知在 ABC與ABC'中，AA'、BB'、CC三線相交于點(diǎn) O,BC與B'C'、CA與C'A'、AB與A'B'分別相交于點(diǎn)X、Y、Z,則X、丫、Z三點(diǎn)共線；其逆亦真摩萊(Morley)三角形：在已知4ABC三內(nèi)角的三等分線中，分別與BG CA、AB相鄰的每兩線相交于點(diǎn)D、E、F,則4DEF是正三角形，這個正三角形稱為 摩萊三角形。9 / i8帕斯卡（Paskal）定理:已知圓內(nèi)接六邊形ABCDE用

6、勺邊AB、DE延長線交于點(diǎn)G,邊BC EF延長線交于點(diǎn)H,邊CD FA延長線交于點(diǎn)K,則H、G、K三點(diǎn)共線。17 / 18托勒密（Ptolemy） 定理：在圓內(nèi)接四邊形中，AB - CD+ AD - BC= AC- BD（任意四邊形都可！哇哈哈）AB CD + DA BC = 37.33 厘米ACDB = 37,33 厘米 C斯圖爾特（Stewart）定理:設(shè)P為 ABC邊BC上一點(diǎn)，且BP: PC= n： m,則m (AB2)+n (AC2)=m (BP2)+n (PC2)+ (m + n) (AP2)梅內(nèi)勞斯定理:在 ABC中，若在BC CA、AB或其延長線上被同一條直線截于點(diǎn) X、Y、Z

7、，則(BX/XC). (CY/YA) (AZ/ZB)=1阿波羅尼期(ApMisY is)閱阿波羅尼斯(Apollonius)圓一動點(diǎn)p與兩定點(diǎn)A b的距離之比等于定比 m:n ,則點(diǎn)p的軌跡，是以 定比m：n內(nèi)分和外分定線段的兩個分點(diǎn)的連線為直徑的圓，這個圓被稱為 阿波 羅尼斯圓，簡稱“阿氏圓”。PA = 958厘米PB = 3.63 厘米PA-而.36人布拉美古塔(Brahmagupta)定理：在圓內(nèi)接四邊形 abcd中，AC，bd，自對角線的交點(diǎn) p向一邊作垂線,其延長線必平分對邊。廣勾股定理：在任一三角形中，(1)銳角對邊的平方，等于兩夾邊之平方和，減去某夾邊和另一夾邊在 此邊上的影射乘

8、積的兩倍.(2)鈍角對邊的平方，等于兩夾邊的平方和，加上某夾邊與另一夾邊在 此邊延長上的影射乘積的兩倍.加法原理：做一件事情，完成它有 N類辦法，在第一類辦法中有M1種不同的方法，在第二類辦法中有 M2種不同的方法，在第 N類辦法中有 M(N)種不同的 方法，那么完成這件事情共有M1+M2+ - +M(N)種不同的方法。比如說：從 北京到上海 有3種方法可以直接到達(dá)上海，1:火車ki2：飛機(jī)k23：輪船k3,那么從北京-上海的方法 n = k i+k2+k3乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一 步有mi種不同的方法，做第二步有m2不同的方法， ，做第n步有mn不同的方法.那么完成

9、這件 事共有N=m1 m2- m3mn種不同的方法.正弦定理在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(2R在同一個三角形中是恒量，是此三角形外接圓的直徑)這一定理對于任意三角形ABC都有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R ( R為三角形外接圓半徑)余弦定理：對于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與他們夾角的余弦的兩倍積，若三邊為a, b, c三角為A,B,C ,則滿足性質(zhì)：a2=b2+c2-2bc , Cos A b2=a2+c2-2ac , Cos B c2=a2+b2-2ab , Cos C Cos C

10、= (a 2+b2-c 2)/2ab Cos B= (a 2+c2-b 2)/2ac Cos A= (c A2+b'2-a ")/2bc解析幾何中的基本公式1、兩點(diǎn)間距離：若 A(Xi,yi),B(X2,y2),則 ABXi)2 (y2 yi)22、平行線間距離：若 11: Ax By C1 0, l2 : Ax By C2 0則：dCi C2A2 B2注意點(diǎn)：x, y對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)相等。3、點(diǎn)到直線的距離：P（x ,y ）, l: Ax By C 0貝U P至I l的距離為:Ax By CA2 B24、直線與圓錐曲線相交的弦長公式:y kx bF(x,y) 0消y： ax2

11、bx c 0 ,務(wù)必注意0.若l與曲線交于A(x1,y1), B(x2,y2)則：AB,(1-k2)(x2-x1)25、若 A(xi,yi), B(x2, y2), P(x,y）o P在直線AB上，且P分有向線段AB所成的比為變形后:x11y11x2y2，特別地：=1時，P為AB中點(diǎn)且x2xyy1、2 yx1yix22y226、若直線11的斜率為ki,直線12的斜率為k2,則11到12的角為，(0,注意：（1）(2)(3)適用范圍：k1, k2都存在且k1k2 -1 , tan若11與12的夾角為，則tank1k21 k1k2，（0,萬k2k11 k1k211到12的角，指從11按逆時針方向旋

12、轉(zhuǎn)到12所成的角,范圍（0,）11到12的夾角：指11、12相交所成的銳角或直角。11 12時,夾角、到角二一。2當(dāng)11與12中有一條不存在斜率時，畫圖，求到角或夾角。iX7、(1)傾斜角,(0,);(2) a,b夾角，0,；(3)直線l與平面 的夾角,0, 一 ；2(4) 11與12的夾角為，0,其中11/12時夾角 =0;2(5)二面角,(Q ;(6) 11 到 12 的角，(0,)8、直線的傾斜角與斜率k的關(guān)系a)每一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率。b)若直線存在斜率k,而傾斜角為，則k=tan9、直線11與直線12的的平行與垂直(1)若li, I2均存在斜率且不重合：li/l 2ki

13、=k2 li I2kik2=- 1(2)若 11: Aix B1y Ci Q l2 : A2x B2y C20若Ai、A2、Bi、B2都不為零 iii2a 且 qA2B2 C2 li I2AiA2+BiB2=0; li與l2相交A更A2 B2 li與l2重合上且 J；A2 B2 C2注意：若A2或B2中含有字母，應(yīng)注意討論字母二0與0的情況io、直線方程的五種形式名稱方程斜截式：y=kx+b點(diǎn)斜式：y yk(x x )y y k(x x )江忠點(diǎn)應(yīng)分斜率不存在斜率存在(i)斜率不存在：x x(2 )斜率存在時為r2的位置關(guān)系有三種i# / i8兩點(diǎn)式：上叢二y x2 xi截距式：x iab以又

14、式:AxBy C0其中l(wèi)交x軸于(a,0),交y軸于(0,b)當(dāng)直線l在坐標(biāo)軸上，截距相等時應(yīng)分：(i)截距=0 設(shè)y=kx(2 )截距二a 0 設(shè)x _y .一 i ia a即 x+y=a(其中A、B不同時為零)22ii、直線 Ax By C 0與圓(x a) (y b)Aa Bb C、A B2' d相離dr相切0dr相交013、圓錐曲線定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)（一）橢圓定義I：若Fi, F2是兩定點(diǎn)，P為動點(diǎn)，且|PF； |PF2 常數(shù)）則P點(diǎn)的軌跡是橢圓。2a Fi F2定義H:若Fi為定點(diǎn)，l為定直線，動點(diǎn)P到Fi的距離與到定直線l 之比為常數(shù)e （0<e<i）,則P點(diǎn)

15、的軌跡是橢圓。的距離標(biāo)準(zhǔn)方程：瑪:D定義域：x0域：x b yi ：(a b 0)長=2b焦距：ba值長軸長=2a,短軸2c準(zhǔn)線方程：x焦半徑：PFiPFie(x2-)cPF22e(- c（注意涉及焦半徑用點(diǎn)PFi 2a |PF2 ,P坐標(biāo)表小，第一定23 / 18AF2A2Ra c注意：（1）圖中線段的幾何特征：AiFi A2F2 aBiFi|BiF2IIB2F2怛2巳a ,A2B2AB2IJa2b2等等。頂點(diǎn)與準(zhǔn)線距離、焦點(diǎn)與準(zhǔn)線距離分別與a, b,c有關(guān)。(2)PF1F2中經(jīng)常利用余弦定理、三角形面積公式 將有關(guān)線段PFi、PF2I、2c,有關(guān)角 F1PF2結(jié)合起來,建立 |PFi +P

16、F2、PFi| ? PF2 等關(guān)系(3)橢圓上的點(diǎn)有時常用到三角換元:x a cos y bsin(4)注意題目中橢圓的焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上，請補(bǔ)充當(dāng)焦點(diǎn)在y軸 上時，其相應(yīng)的性質(zhì)。二、雙曲線(一)定義：I若Fi, F2是兩定點(diǎn)，|PFi PF2I 2a F1F2 (a為常數(shù))， 則動點(diǎn)P的軌跡是雙曲線。II若動點(diǎn)P到定點(diǎn)F與定直線l的距離之比是常數(shù)e (e>1),則 動點(diǎn)P的軌跡是雙曲線。(二)圖形：)性質(zhì)22x y萬程：-2 % 1 (a Qb 0)a2 b22 y2 ab21 (a 0,b 0)定義域：xx a或x a； 值域?yàn)镽;實(shí)軸長=2a,虛軸長=2b焦距：2c2、一 a

17、準(zhǔn)線方程：x 一焦半徑：PF1PF22嗎X），PF1PF22a；注意：（1）圖中線段的幾何特征:AF1BF1頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離：2a一或ac;焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離：2ac 或cc2;兩準(zhǔn)線間的距離c2a2c(2)2若雙曲線方程為事a2 y_ b2漸近線方程:by -xa若漸近線方程為y雙曲線可設(shè)為2 x 2 a2 y b22若雙曲線與與a2 1有公共漸近線, b2可設(shè)為2 x-2 a2 y b20 ,焦點(diǎn)在x軸上， 0,焦點(diǎn)在y軸上）(3)特別地當(dāng)a b時 離心率e ,2 兩漸近線互相垂直，分別為y= x,此時雙曲線為等軸雙曲線，可設(shè)為 x2 y2；（4）注意 PF1F2中結(jié)合定義|PF1PF2I 2a 與余弦定理 cos F1PF2,將有關(guān)線段|PF1、 PF2、IF1F