四年級(jí)數(shù)學(xué)綜合培優(yōu)班(下)

1、目目 錄錄第一講第一講. . 行程問題（一）行程問題（一）1 1第二講第二講. . 行程問題（二）行程問題（二）6 6第三講第三講. . 行程問題（三）行程問題（三）1313第四講第四講. . 定義新運(yùn)算定義新運(yùn)算1919第五講第五講. . 單元測(cè)試（一）單元測(cè)試（一）2424第六講第六講. . 整數(shù)巧算（一）整數(shù)巧算（一）2727第七講第七講. . 整數(shù)巧算（二）整數(shù)巧算（二）3333第八講第八講. . 植樹問題植樹問題3939第九講第九講. . 等差數(shù)列等差數(shù)列4545第十講第十講. . 單元測(cè)試（二）單元測(cè)試（二）5151第十一講第十一講. . 周期問題周期問題5454第十二講第十二講.

2、 . 容斥原理容斥原理5959第十三講第十三講. . 最優(yōu)化問題最優(yōu)化問題5959第十四講第十四講. . 單元測(cè)試（三）單元測(cè)試（三）5959第一講第一講 行程問題（一）行程問題（一）【知識(shí)要點(diǎn)知識(shí)要點(diǎn)】我們把研究路程、速度、時(shí)間這三者之間關(guān)系的問題稱為行程問題。行程問題主要包括相遇問題、相背問題和追及問題。本節(jié)課我們來(lái)學(xué)習(xí)一些常用的、基本的行程問題。解答行程問題時(shí)，要理清路程、速度和時(shí)間之間的關(guān)系，緊扣基本數(shù)關(guān)系“路程=速度時(shí)間”來(lái)思考，對(duì)具體問題要作仔細(xì)分析，弄清出發(fā)地點(diǎn)、時(shí)間和運(yùn)動(dòng)結(jié)果?！镜湫屠}典型例題】例一 甲乙兩人分別從相距20千米的兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲每小時(shí)走6千米，乙每小時(shí)

3、走4千米。兩人幾小時(shí)后相遇？例二 甲每小時(shí)行7千米，乙每小時(shí)行5千米，兩人于相隔18千米的兩地同時(shí)相背而行，幾小時(shí)后兩人相隔54千米？例三 甲乙兩人分別從相距24千米的兩地同時(shí)向東而行，甲騎自行車每小時(shí)行13千米，乙步行每小時(shí)走5千米。幾小時(shí)后甲可以追上乙？例四 甲、乙兩人以每分鐘60米的速度同時(shí)、同地、同向步行出發(fā)。走15分鐘后甲返回原地取東西，而乙繼續(xù)前進(jìn)。甲取東西用去5分鐘的時(shí)間，然后改騎自行車以每分鐘360米的速度追乙。甲騎車多少分鐘才能追上乙？例五 甲、乙兩沿運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的跑道跑步，甲每分鐘跑290米，乙每分鐘跑270米，跑道一圈長(zhǎng)400米。如果兩人同時(shí)從起跑線上同方向跑，那么甲經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)

4、間才能第一次追上乙？【經(jīng)典練習(xí)經(jīng)典練習(xí)】1、甲乙兩艘輪船分別從A、B兩港同時(shí)出發(fā)相向而行，甲船每小時(shí)行駛18千米，乙船每小時(shí)行駛15千米，經(jīng)過(guò)6小時(shí)兩船在途中相遇。兩地間的水路長(zhǎng)多少千米？2、汽車以每小時(shí)30千米的速度從甲地出發(fā)，6小時(shí)后能到達(dá)乙地。汽車出發(fā)1小時(shí)后原路返回甲地取東西，然后立即從甲地出發(fā)。為了能在原來(lái)時(shí)間內(nèi)到達(dá)乙地，汽車必須以每小時(shí)多少千米的速度駛向乙地？3、一條環(huán)形跑道長(zhǎng)400米，小強(qiáng)每分鐘跑300米，小星每分鐘跑250米，兩人同時(shí)同地同向出發(fā)，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間小強(qiáng)第一次追上小星？【課后作業(yè)課后作業(yè)】1、一輛汽車和一輛摩托車同時(shí)分別從相距900千米的甲、乙兩地出發(fā)，汽車每小時(shí)行4

5、0千米，摩托車每小時(shí)行50千米。8小時(shí)后兩車相距多少千米？2、甲車每小時(shí)行6千米，乙車每小時(shí)行5千米，兩車于相隔10千米的兩地同時(shí)相背而行，幾小時(shí)后兩人相隔65千米？相距900千米的甲、乙兩地出發(fā)，汽車每小時(shí)行40千米，摩托車每小時(shí)行50千米。8小時(shí)后兩車相距多少千米？3、兄弟二人同時(shí)從家出發(fā)去學(xué)校，哥哥每分鐘走80米，弟弟每分鐘走60米。出發(fā)10分鐘后，哥哥返回家中取文具，然后立即騎車以每分鐘310米的速度去追弟弟。哥哥騎車幾分鐘追上弟弟？4、小王家離工廠3千米，他每天騎車以每分鐘200米的速度上班，正好準(zhǔn)時(shí)到工廠。有一天，他出發(fā)幾分鐘后，因遇熟人停車2分鐘，為了準(zhǔn)時(shí)到廠，后面的路必須每分鐘

6、多行100米。小王是在離工廠多遠(yuǎn)處遇到熟人的？5、甲乙兩車分別從相距480千米的A、B兩城同時(shí)出發(fā)，相向而行，已知甲車從A城到B城需6小時(shí)，乙車從B城到A城需12小時(shí)。兩車出發(fā)后多少小時(shí)相遇？6、光明小學(xué)有一條長(zhǎng)200米的環(huán)形跑道，亮亮和晶晶同時(shí)從起跑線起跑。亮亮每秒跑6米，晶晶每秒跑4米，問：亮亮第一次追上晶晶時(shí)兩人各跑了多少米？第二講第二講 行程問題（二）行程問題（二）【知識(shí)要點(diǎn)知識(shí)要點(diǎn)】通過(guò)前面對(duì)行程應(yīng)用題的學(xué)習(xí)，同學(xué)們可以發(fā)現(xiàn)，行程問題大致分為以下三種情況：（1）相向而行：相遇時(shí)間=距離速度和（2）相背而行：相背距離=速度時(shí)間（3）同向而行：追及時(shí)間=追及距離速度差如果上述的幾種情況交

7、織在一起，組成的應(yīng)用題將會(huì)豐富多彩、千變?nèi)f化。解答這些問題時(shí)，我們還是要理清題中已知條件與所求問題之間的關(guān)系，把復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系，把一復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為幾個(gè)簡(jiǎn)單的問題逐一進(jìn)行解決?！镜湫屠}典型例題】例一 王欣和陸亮兩人同時(shí)從相距2000米的兩地相向而行，王欣每分鐘行110米，陸亮每分鐘行90米。如果一只狗與王欣同時(shí)同向而行，每分鐘行500米，遇到陸亮后，立即回頭向王欣跑去；遇到王欣后再回頭向陸亮跑去。這樣不斷來(lái)回，直到王欣和陸亮相遇為止，狗共行了多少米？例二 甲、乙兩車同時(shí)從東、西兩地相向開出，甲車每小時(shí)行56千米，乙車每小時(shí)行48千米。兩車在距中點(diǎn)32千米處相遇，東、西兩地

8、相距多少千米? 例三 兩地相距460千米，甲列車開出2小時(shí)后，乙列車與甲列車相向開出，經(jīng)過(guò)4小時(shí)與甲列車相遇。已知甲列車每小時(shí)比乙列車多行10千米，求甲列車每小時(shí)行多少千米？例四 小明和小軍同時(shí)從學(xué)校和少年宮出發(fā)，相向而行，小明每分鐘走90米，兩人相遇后，小明再走4分鐘到達(dá)少年宮，小軍再走270米到達(dá)學(xué)校。小軍每分鐘走多少米？例五 甲、乙兩地相距48千米，其中一部分是上坡路，其余是下坡路。某人騎自行車從甲地到乙地后沿路返回，去時(shí)用了4小時(shí)12分，返回時(shí)用了3小時(shí)48分。已知自行車上坡時(shí)每小時(shí)行10千米，求自行車下坡時(shí)每小時(shí)行多少千米？【經(jīng)典練習(xí)經(jīng)典練習(xí)】1、小玲每分鐘行100米，小平每分鐘行8

9、0米，兩人同時(shí)從學(xué)校和少年宮出發(fā)，相向而行，并在離中點(diǎn)120米處相遇。學(xué)校到少年宮有多少米？2、甲、乙二車同時(shí)從A、B兩地出發(fā)相向而行，甲車每小時(shí)行45千米。兩車相遇后，乙車再行135千米到A地，甲車再行2小時(shí)到B地。求乙車行全程共用了幾小時(shí)？3、南北兩鎮(zhèn)之間全是山路，某人上山每小時(shí)走2千米，下山時(shí)每小時(shí)走5千米。從南鎮(zhèn)到北鎮(zhèn)要走38小時(shí)，從北鎮(zhèn)到南鎮(zhèn)要走32小時(shí)。兩鎮(zhèn)之間的路程是多少千米？從南鎮(zhèn)到北鎮(zhèn)的上山路和下山路各是多少千米？【課后作業(yè)課后作業(yè)】1、A、B兩地相距400千米，甲、乙兩車同時(shí)從兩地相對(duì)開出，甲車每小時(shí)行38千米，乙車每小時(shí)行42千米。一只燕子以每小時(shí)50千米的速度和甲車同時(shí)

10、出發(fā)向乙車飛去，遇到乙車又折回向甲車飛去。這樣一直飛下去，燕子飛了多少千米，兩車才能相遇？2、一輛汽車和一輛摩托車同時(shí)從甲、乙兩地相對(duì)開出，汽車每小時(shí)行40千米，摩托車每小時(shí)行65千米，當(dāng)摩托車行到兩地中點(diǎn)處時(shí)，與汽車還相距75千米。甲、乙兩地相距多少千米？3、甲、乙兩地相距216千米，客貨兩車同時(shí)從甲、乙兩地相向而行。已知客車每小時(shí)行58千米，貨車每小時(shí)行50千米，到達(dá)對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回。兩車第二次相遇時(shí)，客車比貨車多行多少千米？4、甲、乙兩地相距680千米，快車從甲地向乙地開出，2小時(shí)后，慢車從乙地與快車相向開出，并經(jīng)過(guò)5小時(shí)與快車相遇。已知快車每小時(shí)比慢車多行8千米，求快車每小時(shí)行多少

11、千米？5、小強(qiáng)和小東同時(shí)從甲、乙兩地出發(fā)，相向而行。小強(qiáng)每小時(shí)行15千米，兩人相遇后，小強(qiáng)再走2小時(shí)到達(dá)乙地，小東再走45千米到達(dá)甲地。小東每小時(shí)行多少千米？6、一輛汽車把貨物從城運(yùn)往小區(qū)，往返共用15小時(shí)。去時(shí)所用的時(shí)間是返回的2倍，去時(shí)比回來(lái)時(shí)每小時(shí)慢12千米。這輛汽車往返共行了多少千米？第三講第三講 行程問題（三）行程問題（三）【知識(shí)要點(diǎn)知識(shí)要點(diǎn)】有關(guān)火車過(guò)橋、火車過(guò)隧道、兩列火車車頭相遇到車尾相離等問題，也是一種行程問題。在考慮速度、時(shí)間和路程三種數(shù)量關(guān)系時(shí)，必須考慮到火車本身的長(zhǎng)度。如果有些問題不容易一下子看出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的數(shù)量關(guān)系，可以利用作圖或演示的方法來(lái)幫助解題。解答火車行程問題

12、可記住以下幾點(diǎn)：1，火車過(guò)橋（或隧道）所用的時(shí)間=橋（隧道長(zhǎng)）火車車長(zhǎng)火車的速度；2，兩列火車相向而行，從相遇到相離所用的時(shí)間=兩火車車身長(zhǎng)度和兩車速度和；3，兩車同向而行，快車從追上到超過(guò)慢車所用的時(shí)間=兩車車身長(zhǎng)度和兩車速度差?！镜湫屠}典型例題】例一 一列火車長(zhǎng)180米，每秒鐘行25米。全車通過(guò)一條120米的山洞，需要多長(zhǎng)時(shí)間？例二 甲火車長(zhǎng)210米，每秒行18米；乙火車長(zhǎng)140米，每秒行13米。乙火車在前，兩火車在雙軌車道上行駛。甲火車從后面追上到完全超過(guò)乙火車要用多少秒？例三 有兩列火車，一車長(zhǎng)130米，每秒行23米；另一列火車長(zhǎng)250米，每秒行15米?，F(xiàn)在兩車相向而行，從相遇到離開

13、需要幾秒鐘？例四 一列火車通過(guò)2400米的大橋需要3分鐘，用同樣的速度從路邊的一根電線桿旁邊通過(guò)，只用了1分鐘。求這列火車的速度。例五 甲列車每秒行20米，乙列車每秒行14米，若兩列車齊頭并進(jìn)，則甲車行40秒超過(guò)乙車；若兩列車齊尾并進(jìn)，則甲車行30秒超過(guò)乙車。甲列車和乙列車各長(zhǎng)多少米？【經(jīng)典練習(xí)經(jīng)典練習(xí)】1、小明以每秒2米的速度沿鐵路旁的人行道跑步，身后開來(lái)一列長(zhǎng)188米的火車，火車每秒行18米。問：火車追上小明到完全超過(guò)小明共用了多少秒鐘？2、一列火車從小明身旁通過(guò)用了15秒，用同樣的速度通過(guò)一座長(zhǎng)100米的橋用了20秒。這列火車的速度是多少？3、一列快車長(zhǎng)200米，每秒行22米；一列慢車長(zhǎng)

14、160米，每秒行17米。兩列車齊頭并進(jìn)，快車超過(guò)慢車要多少秒？若齊尾并進(jìn)，快車超過(guò)慢車要多少秒？【課后作業(yè)課后作業(yè)】1、一列快車長(zhǎng)150米，每秒行22米；一列慢車長(zhǎng)100米，每秒行14米?？燔噺暮竺孀飞下嚨匠^(guò)慢車，共需幾秒鐘？2、A火車長(zhǎng)180米，每秒行18米；B火車每秒行15米。兩火車同方向行駛，A火車從追上B火車到超過(guò)它共用了100秒鐘，求B火車長(zhǎng)多少米？3、一列火車長(zhǎng)360米，每秒行18米。全車通過(guò)一座長(zhǎng)90米的大橋，需要多長(zhǎng)時(shí)間？4、有兩列火車，一列長(zhǎng)260米，每秒行18米；另一列長(zhǎng)216米，每秒行30米?，F(xiàn)兩列車相向而行，從相遇到相離需要幾秒鐘？5、一列火車長(zhǎng)210米，以每秒40

15、米的速度過(guò)一座橋，從上橋到離開橋共用20秒。橋長(zhǎng)多少米？6、快車每秒行18米，慢車每秒行10米。兩列火車同時(shí)同方向齊頭并進(jìn)，行10秒鐘后快車超過(guò)慢車；如果兩列火車齊尾并進(jìn)，則7秒鐘后快車超過(guò)慢車。求兩列火車的車長(zhǎng)。第四講第四講 定義新運(yùn)算定義新運(yùn)算【知識(shí)要點(diǎn)知識(shí)要點(diǎn)】我們學(xué)過(guò)常用的運(yùn)算加、減、乘、除等，如62=8，62=12等。都是2和6，為什么運(yùn)算結(jié)果不同呢？主要是運(yùn)算方式不同，實(shí)質(zhì)上是對(duì)應(yīng)法則不同。由此可見，一種運(yùn)算實(shí)際就是兩個(gè)數(shù)與一個(gè)數(shù)的一種對(duì)應(yīng)方法。對(duì)應(yīng)法則不同就是不同的運(yùn)算。當(dāng)然，這個(gè)對(duì)應(yīng)法則應(yīng)該是對(duì)應(yīng)任意兩個(gè)數(shù)。通過(guò)這個(gè)法則都有一個(gè)唯一確定的數(shù)與它們對(duì)應(yīng)。我們將定義一些新的運(yùn)算形式

16、，它們與我們常用的加、減、乘、除運(yùn)算是不相同的，這就是定義新運(yùn)算。【典型例題典型例題】例一 設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定：ab表示a的3倍減去b的2倍，即：ab = a3b2。試計(jì)算：（1）56；（2）65。例二 對(duì)于兩個(gè)數(shù)a與b，規(guī)定ab=abab，試計(jì)算62。例三 如果23=234，54=5678，按此規(guī)律計(jì)算35。例四 觀察算式：1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44。那么7*4=？，210*2=？例五 24=8，53=13，35=11，97=25。按此規(guī)律計(jì)算：?！窘?jīng)典練習(xí)經(jīng)典練習(xí)】1、設(shè)a、b都表示數(shù)，

17、規(guī)定：a*b=3a2b。試計(jì)算：（1）（5*6）*7 （2）5*（6*7）2、如果24=24（24），36=36（36），計(jì)算84。3、有一個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)“”，使下列算式成立：62=12，43=13，34=15，51=8。按此規(guī)律計(jì)算：84?！菊n后作業(yè)課后作業(yè)】1、設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定：ab=6a2b。試計(jì)算34。2、有兩個(gè)整數(shù)是A、B，AB表示A與B的平均數(shù)。已知A6=17，求A。3、對(duì)于兩個(gè)數(shù)a與b，規(guī)定：ab=ab（ab）。計(jì)算35。4、如果52=56，23=234，計(jì)算：34。5、如果1！=1，2！=12=2，3！=123=6，按此規(guī)律計(jì)算5！。6、設(shè)a，b表示兩個(gè)不同的數(shù)，規(guī)定ba

18、ba34求2)34(第五講第五講 單元測(cè)試（一）單元測(cè)試（一）1、甲騎自行車從A地到B地，每小時(shí)行16千米。1小時(shí)后，乙也騎自行車從A地到B地，每小時(shí)行20千米，結(jié)果兩人同時(shí)到達(dá)B地。A、B兩地相距多少千米？2、甲乙兩人同時(shí)從相距36千米的A、B兩城同向而行，乙在前甲在后，甲每小時(shí)行15千米，乙每小時(shí)行6千米。幾小時(shí)后甲可追上乙？3、甲每小時(shí)行9千米，乙每小時(shí)行7千米，甲從南莊向南行，同時(shí)乙從北莊向北行。經(jīng)過(guò)3小時(shí)后，兩人相隔60千米。南北兩莊相距多少千米？4、甲、乙二人同時(shí)從東村到西村，甲每分鐘行120米，乙每分鐘行100米，結(jié)果甲比乙早5分鐘到達(dá)西村。東村到西村的路程是多少米？5、甲、乙兩

19、個(gè)車隊(duì)同時(shí)從相隔330千米的兩地相向而行，甲隊(duì)每小時(shí)行60千米，乙隊(duì)每小時(shí)行50千米。一個(gè)人騎摩托車以每小時(shí)行80千米的速度在兩車隊(duì)中間往返聯(lián)絡(luò)，問兩車隊(duì)相遇時(shí)，摩托車行駛了多少千米？6、乙、慢兩車同時(shí)從甲、乙兩地相向而行，4小時(shí)相遇。已知快車每小時(shí)行65千米，慢車每小時(shí)行25千米。求慢車行完全程共用了多少小時(shí)？7、一列火車通過(guò)200米的大橋需要80秒，同樣的速度通過(guò)144米長(zhǎng)的隧道需要72秒。求火車的速度和車長(zhǎng)。8、王叔叔沿鐵路邊散步，他每分鐘走50米，迎面駛來(lái)一列長(zhǎng)280米的列車，他與列車車頭相遇到車尾相離共用了半分鐘，求這列火車的速度。9、火車通過(guò)長(zhǎng)為82米的鐵橋用了22秒，如果火車的速

20、度加快1倍，它通過(guò)162米鐵橋就用16秒求火車原來(lái)的速度和它的長(zhǎng)度10、對(duì)于兩個(gè)數(shù)A與B，規(guī)定：AB=AB2。試算64。11、如定義AB=(A+B)2，請(qǐng)計(jì)算：(19)87 12、如果14=1234，23=234，72=78，那么45等于多少？為什么？第六講第六講 整數(shù)巧算（一）整數(shù)巧算（一）【知識(shí)要點(diǎn)知識(shí)要點(diǎn)】速算與巧算是計(jì)算中的一個(gè)重要組成部分，掌握一些速算與巧算的方法，有助于提高我們的計(jì)算能力和思維能力。本節(jié)課我們學(xué)習(xí)四則運(yùn)算的巧算方法，這些方法主要根據(jù)四則運(yùn)算的運(yùn)算定律和運(yùn)算性質(zhì)，通過(guò)對(duì)算式適當(dāng)變形從而使計(jì)算簡(jiǎn)便。在巧算方法里，蘊(yùn)含著一種重要的解決問題的策略。那就是把所給的算式，根據(jù)運(yùn)

21、算定律和運(yùn)算性質(zhì)，或改變它的運(yùn)算順序，從而變成一個(gè)易于算出結(jié)果的算式。【典型例題典型例題】例一 計(jì)算下面各題。（1）632156232 （2）128+186+7286例二 計(jì)算下面各題。1. 248+（152127） 2. 324（12497） 3. 283+（358183）例三 計(jì)算2512548例四 計(jì)算15861793例五 計(jì)算下面各題。（1）1239616 （2）200（254）【經(jīng)典練習(xí)經(jīng)典練習(xí)】1、計(jì)算：1208569208283+691832、計(jì)算：6244831282383611953、計(jì)算：1000（1254）612366183【課后作業(yè)課后作業(yè)】1、計(jì)算：13285+682

22、318+6251318+3752、計(jì)算下面各題1 348+（252166） 3 462(262129)2 629+（320129） 4 662(315238)3、計(jì)算下面各題。1251584 2524 255641254、計(jì)算：1382769504063121042035、（13856）（456）6、241345678345（678241）第七講第七講 整數(shù)巧算（二）整數(shù)巧算（二）【知識(shí)要點(diǎn)知識(shí)要點(diǎn)】本節(jié)課，我們來(lái)學(xué)習(xí)一些比較復(fù)雜的用轉(zhuǎn)化法進(jìn)行的巧算。這些計(jì)算從表面上看似乎不能巧算，而如果把已知數(shù)適當(dāng)分解或轉(zhuǎn)化就可以使計(jì)算簡(jiǎn)便。對(duì)于一些較復(fù)雜的計(jì)算題我們要善于從整體上把握特征，通過(guò)對(duì)已知數(shù)適當(dāng)

23、的分解和變形，找出數(shù)據(jù)及算式間的聯(lián)系，靈活地運(yùn)用相關(guān)的運(yùn)算定律和性質(zhì)，從而使復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)化。【典型例題典型例題】例一 計(jì)算9+99+999+9999例二 計(jì)算32525例三 計(jì)算333334999222例四 計(jì)算200120012002200220022001例五 計(jì)算（1）（360+108）36 （2）（45075）15【經(jīng)典練習(xí)經(jīng)典練習(xí)】1、計(jì)算：1998+2997+4995+5994 262+266+270+268+2642、計(jì)算下面各題：9999222233333334 371827423、計(jì)算：1（720+96）242（450090）45【課后作業(yè)課后作業(yè)】1、計(jì)算：198+29

24、7+396+495 9+98+996+99972、計(jì)算： 3500125100006253、462824634、1921923683683681925、1993199319941994199419936、7336+10536+14636第八講第八講 植樹問題植樹問題【知識(shí)要點(diǎn)知識(shí)要點(diǎn)】植樹問題是小學(xué)階段非常重要的一類題型，它主要研究的是樹與間隔之間的關(guān)系，我們?cè)谥髮⒁獙W(xué)習(xí)的等差數(shù)列等很多數(shù)學(xué)問題時(shí)，會(huì)常常需要借助植樹問題的思路去理解和思考。植樹問題可以分為線段上的植樹與封閉路線上的植樹問題，每種植樹問題中棵數(shù)與段數(shù)（間隔數(shù)）的關(guān)系如下：1線段上的植樹問題可以分為以下三種情形：（1）如果植樹線

25、路的兩端都要植樹，那么植樹的棵數(shù)應(yīng)比要分的段數(shù)多1，即：棵數(shù)=段數(shù)1；（2）如果一端植樹，另一端不植樹，那么棵數(shù)與段數(shù)相等，即：棵數(shù)=段數(shù)；（3）如果兩端都不植樹，那么棵數(shù)應(yīng)比段數(shù)少1，即：棵數(shù)=段數(shù)1。2在封閉的路線上植數(shù)，棵數(shù)與段數(shù)相等，即：棵數(shù)=段數(shù)?！镜湫屠}典型例題】例一 城中小學(xué)在一條大路邊從頭至尾栽樹28棵，每隔6米栽一棵。這條路長(zhǎng)多少米？例二 在一個(gè)周長(zhǎng)是240米的游泳池周圍栽樹，每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵樹？例三 在一座長(zhǎng)800米的大橋兩邊掛彩燈，起點(diǎn)和終點(diǎn)都掛，一共掛了202盞，相鄰兩盞之間的距離都相等。求相鄰兩盞彩燈之間的距離。例四 一個(gè)木工鋸一根19米的木料，他先把

26、一頭損壞部分鋸下來(lái)1米，然后鋸了5次，鋸成同樣長(zhǎng)的短木條。每根短木條長(zhǎng)多少米？例五 有一幢10層的大樓，由于停電電梯停開。某人從1層走到3層需要30秒，照這樣計(jì)算，他從3層走到10需要多少秒？【經(jīng)典練習(xí)經(jīng)典練習(xí)】1、在一條馬路一邊從頭至尾植樹36棵，每相鄰兩棵樹之間隔8米，這長(zhǎng)馬路有多長(zhǎng)？2、一個(gè)木工鋸一根長(zhǎng)17米的木料，他先把一頭損壞的部分鋸下來(lái)2米，然后鋸了4次，鋸成同樣長(zhǎng)的短木條，每根短木條長(zhǎng)幾米？3、時(shí)鐘4點(diǎn)敲4下，6秒鐘敲完。那么12點(diǎn)鐘敲12下，多少秒鐘敲完？【課后作業(yè)課后作業(yè)】1、同學(xué)們做早操，21個(gè)同學(xué)排成一排，每相鄰兩個(gè)同學(xué)之間的距離相等，第一個(gè)人到最后一個(gè)人的距離是40米，

27、相鄰兩個(gè)人隔多少米？2、一個(gè)魚塘的周長(zhǎng)是1500米，沿魚塘周圍每隔6米栽一棵楊樹，需要種多少棵楊樹？3、在一條長(zhǎng)100米的大路兩旁各栽一行樹，起點(diǎn)和終點(diǎn)都栽，一共栽52棵，相鄰的兩棵樹之間的距離相等。求相鄰兩棵樹之間的距離。4、一座長(zhǎng)400米的大橋兩旁掛彩燈，每?jī)蓚€(gè)相隔4米，從橋頭到橋尾一共裝了多少盞燈？5、有一根圓鋼長(zhǎng)22米，先鋸下2米，剩下的鋸成每根都是4米的小段，又鋸了幾次？6、一游人以等速在一條小路上散步，路邊相鄰兩棵樹的距離都相等，他從第一棵樹走到第10棵樹用了11分鐘，如果這個(gè)游人走22分鐘，應(yīng)走到第幾棵樹？第九講第九講 等差數(shù)列等差數(shù)列【知識(shí)要點(diǎn)知識(shí)要點(diǎn)】若干個(gè)數(shù)排成一列稱為數(shù)列

28、。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為一項(xiàng)。其中第一項(xiàng)稱為首項(xiàng)，最后一項(xiàng)稱為末項(xiàng)，數(shù)列中項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為項(xiàng)數(shù)。從第二項(xiàng)開始，后項(xiàng)與其相鄰的前項(xiàng)之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項(xiàng)與前項(xiàng)的差稱為公差。在這一章要用到兩個(gè)非常重要的公式：“通項(xiàng)公式”和“項(xiàng)數(shù)公式”。通項(xiàng)公式： 第n項(xiàng)=首項(xiàng)+（項(xiàng)數(shù)1）公差項(xiàng)數(shù)公式： 項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)首項(xiàng)）公差1【典型例題典型例題】例一 有一個(gè)數(shù)列：4，10，16，22，52，這個(gè)數(shù)列共有多少項(xiàng)？例二 有一等差數(shù)列：3，7，11，15，這個(gè)等差數(shù)列的第100項(xiàng)是多少？例三 有這樣一個(gè)數(shù)列：1，2，3，4，99，100。請(qǐng)求出這個(gè)數(shù)列所有項(xiàng)的和。例四 求等差數(shù)列2，4，6，48，50的和。例五

29、計(jì)算（2+4+6+100）（1+3+5+99）【經(jīng)典練習(xí)經(jīng)典練習(xí)】1、有一個(gè)等差數(shù)列：2，5，8，11，101，這個(gè)等差數(shù)列共有多少項(xiàng)？這個(gè)數(shù)列的第20項(xiàng)是多少？2、計(jì)算下面各題。（1）1+2+3+49+50（2）2+6+10+14+18+22（3）5+10+15+20+195+2003、（1+3+5+1999）（2+4+6+1998）【課后作業(yè)課后作業(yè)】1、等差數(shù)列中，首項(xiàng)=1，末項(xiàng)=39，公差=2，這個(gè)等差數(shù)列共有多少項(xiàng)？2、已知等差數(shù)列11，16，21，26，1001，這個(gè)等差數(shù)列共有多少項(xiàng)？3、一等差數(shù)列，首項(xiàng)=3，公差=2，項(xiàng)數(shù)=10，它的末項(xiàng)是多少？4、求等差數(shù)列2，6，10，14

30、的第100項(xiàng)。5、（1）6+7+8+74+75（2）100+99+98+61+60（3）9+18+27+36+261+2706、（2001+1999+1997+1995）（2000+1998+1996+1994）第十講第十講 單元測(cè)試（二）單元測(cè)試（二）1、89+94+92+95+93+94+88+96+872、計(jì)算19998+39996+49995+699963、計(jì)算：1，1999+2998+396+4972，450253，525254、99909993998599759976665、（10000100010010）106、有一個(gè)工人把長(zhǎng)12米的圓鋼鋸成了3米長(zhǎng)的小段，鋸斷一次要5分鐘。共需

31、要多少分鐘？7、六年級(jí)學(xué)生參加廣播操比賽，排了5路縱隊(duì)，隊(duì)伍長(zhǎng)20米，前后兩排相距1米。六年級(jí)有學(xué)生多少人？8、在圓形的水池邊，每隔3米種一棵樹，共種樹60棵，這個(gè)水池的周長(zhǎng)是多少米？9、劉師傅做一批零件，第一天做了30個(gè)，以的每天都比前一天多做2個(gè)，第15天做了48個(gè)，正好做完。這批零件共有多少個(gè)？10、有80把鎖的鑰匙搞亂了，為了使每把鎖都配上自己的鑰匙，至多要試多少次？11、求1199這199個(gè)連續(xù)自然數(shù)的所有數(shù)字之和。12、（2+4+6+2000）（1+3+5+1999）第十一講第十一講 周期問題周期問題【知識(shí)要點(diǎn)知識(shí)要點(diǎn)】周期問題是指事物在運(yùn)動(dòng)變化的發(fā)展過(guò)程中，某些特征循環(huán)往復(fù)出現(xiàn)，

32、其連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過(guò)的時(shí)間叫做周期。在數(shù)學(xué)上，不僅有專門研究周期現(xiàn)象的分支，而且平時(shí)解題時(shí)也常常碰到與周期現(xiàn)象有關(guān)的問題。這些數(shù)學(xué)問題只要我們發(fā)展某種周期現(xiàn)象，并充分加以利用，把要求的問題和某一周期的等式相對(duì)應(yīng)，就能找到解題關(guān)鍵?！镜湫屠}典型例題】例一 你能找出下面每組圖形的排列規(guī)律嗎？根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，算出每組第20個(gè)圖形分別是什么。（1）（2）例二 有一列數(shù)，按5、6、2、4、5、6、2、4排列。（1）第129個(gè)數(shù)是多少？（2）這129個(gè)數(shù)相加的和是多少？例三 假設(shè)所有的自然數(shù)排列起來(lái)，如下所示39應(yīng)該排在哪個(gè)字母下面？88應(yīng)該排在哪個(gè)字母下面？A B C D1 2 3 45 6 7 89

33、例四 1991年1月1日是星期二，（1）該月的22日是星期幾？該月28日是星期幾？（2）1994年1月1日是星期幾？例五 我國(guó)農(nóng)歷用鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬12種動(dòng)物按順序輪流代表年號(hào)，例如，第一年如果屬鼠年，第二年就屬牛年，第三年就是虎年。如果公元1年屬雞年，那么公元2001年屬什么年？【經(jīng)典練習(xí)經(jīng)典練習(xí)】1、有一列數(shù)：1，4，2，8，5，7，1，4，2，8，5，7（1）第58個(gè)數(shù)是多少？（2）這58個(gè)數(shù)的和是多少？2、假設(shè)所有自然數(shù)如下圖排列起來(lái)，36、43、78、2000應(yīng)分別排在哪個(gè)字母下面？ A B C D 1 2 3 4 8 7 6 5 9 10 11 12

34、3、如果公元3年屬豬年，那么公元2000年屬什么年？【課后作業(yè)課后作業(yè)】1、第28個(gè)圖形是什么？2、小青把積存下來(lái)的硬幣按先四個(gè)1分，再三個(gè)2分，最后兩個(gè)5分這樣的順序一直往下排。（1）他排到第111個(gè)是幾分硬幣？（2）這111個(gè)硬幣加起來(lái)是多少元錢？3、河岸上種了100棵桃樹，第一棵是蟠桃，后面兩棵是水蜜桃，再后面三棵是大青桃。接下去一直這樣排列。問：第100棵是什么桃樹？三種樹各有多少棵？4、2001個(gè)學(xué)生按下列方法編號(hào)排成五列：一 二 三 四 五1 2 3 4 59 8 7 610 11 12 1317 16 15 14 問：最后一個(gè)學(xué)生應(yīng)該排在第幾列？5、1990年9月22日是星期六，

35、1991年元旦是星期幾？6、如果公元6年屬虎年，那么公元21世紀(jì)的第一個(gè)虎年是哪一年？第十二講第十二講 容斥原理容斥原理【知識(shí)要點(diǎn)知識(shí)要點(diǎn)】容斥問題涉及到一個(gè)重要原理包含與排除原理，也叫容斥原理。即當(dāng)兩個(gè)計(jì)數(shù)部分有重復(fù)包含時(shí)，為了不重復(fù)計(jì)數(shù)，應(yīng)從它們的和中排除重復(fù)部分。容斥原理：對(duì)n個(gè)事物，如果采用不同的分類標(biāo)準(zhǔn)，按性質(zhì)a分類與性質(zhì)b分類（如圖），那么具有性質(zhì)a或性質(zhì)b的事物的個(gè)數(shù)=NaNbNab?！镜湫屠}典型例題】例一 一個(gè)班有48人，班主任在班會(huì)上問：“誰(shuí)做完語(yǔ)文作業(yè)？請(qǐng)舉手！”有37人舉手。又問：“誰(shuí)做完數(shù)學(xué)作業(yè)？請(qǐng)舉手！”有42人舉手。最后問：“誰(shuí)語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都沒有做完？”沒有人舉

36、手。求這個(gè)班語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的人數(shù)。例二 某班有36個(gè)同學(xué)在一項(xiàng)測(cè)試中，答對(duì)第一題的有25人，答對(duì)第二題的有23人，兩題都答對(duì)的有15人。問多少個(gè)同學(xué)兩題都答得不對(duì)？例三 某班有56人，參加語(yǔ)文競(jìng)賽的有28人，參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有27人，如果兩科都沒有參加的有25人，那么同時(shí)參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩科競(jìng)賽的有多少人？NabNbNa例四 在1到100的自然數(shù)中，既不是5的倍數(shù)也不是6的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？例五 光明小學(xué)舉辦學(xué)生書法展覽。學(xué)校的櫥窗里展出了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的書法作品，其中有24幅不是五年級(jí)的，有22幅不是六年級(jí)的，五、六年級(jí)參展的書法作品共有10幅，其他年級(jí)參展的書法作品共有多少幅？【經(jīng)典練習(xí)經(jīng)

37、典練習(xí)】1、五（1）班有40個(gè)學(xué)生，其中25人參加數(shù)學(xué)小組，23人參加科技小組，有19人兩個(gè)小組都參加了。那么，有多少人兩個(gè)小組都沒有參加？2、在1到130的全部自然數(shù)中，既不是6的倍數(shù)又不是5的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？3、科技節(jié)那天，學(xué)校的科技室里展出了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的科技作品，其中有110件不是一年級(jí)的，有100件不是二年級(jí)的，一、二年級(jí)參展的作品共有32件。其他年級(jí)參展的作品共有多少件？【課后作業(yè)課后作業(yè)】1、五年級(jí)有122名學(xué)生參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)考試，每人至少有一門功課取得優(yōu)秀成績(jī)。其中語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的有65人，數(shù)學(xué)優(yōu)秀的有87人。語(yǔ)文、數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有多少人？2、學(xué)校文藝組每人至少會(huì)演奏一種樂器，已

38、知會(huì)拉手風(fēng)琴的有24人，會(huì)彈電子琴的有17人，其中兩種樂器都會(huì)演奏的有8人。這個(gè)文藝組一共有多少人？3、一個(gè)班有55名學(xué)生，訂閱小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)的有32人，訂閱中國(guó)少年報(bào)的有29人，兩種報(bào)紙都訂閱的有25人。兩種報(bào)紙都沒有訂閱的有多少人？4、一個(gè)旅行社有36人，其中會(huì)英語(yǔ)的有24人，會(huì)法語(yǔ)的有18人，兩樣都不會(huì)的有4人。兩樣都會(huì)的有多少人？5、在1到200的全部自然數(shù)中，既不是5的倍數(shù)又不是8的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？6、六（1）兒童節(jié)那天，學(xué)校的畫廊里展出了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的圖畫作品，其中有25幅畫不是三年級(jí)的，有19幅畫不是四年級(jí)的，三、四兩個(gè)年級(jí)參展的畫共有8幅。其他年級(jí)參展的畫共有多少幅？第十三講第

39、十三講 最優(yōu)化問題最優(yōu)化問題【知識(shí)要點(diǎn)知識(shí)要點(diǎn)】在日常生活和生產(chǎn)中，我們經(jīng)常會(huì)遇到下面的問題：完成一件事情，怎樣合理安排才能做到用的時(shí)間最少，效果最佳。這類問題在數(shù)學(xué)中稱為統(tǒng)籌問題。我們還會(huì)遇到“費(fèi)用最省”、“面積最大”、“損耗最小”等等問題，這些問題往往可以從極端情況去探討它的最大（?。┲担@類問題在數(shù)學(xué)中稱為極值問題。以上的問題實(shí)際上都是“最優(yōu)化問題”【典型例題典型例題】例一 用一只平底鍋煎餅，每次只能放兩個(gè)，剪一個(gè)餅需要2分鐘（規(guī)定正反面各需要1分鐘）。問煎3個(gè)餅至少需要多少分鐘？例二 媽媽讓小明給客人燒水沏茶。洗水壺需要1分鐘，燒開水需要15分鐘，洗茶壺需要1分鐘，洗茶杯需要1分鐘。要讓客人喝上茶，最少需要多少分鐘？例三 五（1）班趙明、孫勇、李佳三位同學(xué)同時(shí)到達(dá)學(xué)校衛(wèi)生室，等候校醫(yī)治病。趙明打針需要5分鐘，孫勇包紗布需要3分鐘，李佳點(diǎn)眼藥水需要1分鐘。衛(wèi)生室只有一位校醫(yī)，校醫(yī)如何安排三位同學(xué)的治病次序，才能使三位同學(xué)留在衛(wèi)生室的時(shí)間總和最短？例四 用18厘米長(zhǎng)的鐵絲圍成各種長(zhǎng)方形，要求長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度都是整厘米數(shù)。圍成的長(zhǎng)方形的面積最大是多少？例五 用3 6這四個(gè)數(shù)字分別組成兩個(gè)兩位數(shù)，使這兩個(gè)兩位數(shù)的乘積最大。【經(jīng)典練習(xí)經(jīng)典練習(xí)】1、小虎早晨要完成這樣幾件事：燒一