部編版2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)第2講二次函數(shù)探究—二次函數(shù)與等腰三角形的綜合問(wèn)題教案

1、二次函數(shù)與等腰三角形的綜合問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)二次函數(shù)綜合；等腰三角形的性質(zhì)與判定；相似三角形的性質(zhì)；教學(xué)目標(biāo)1 .熟練運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決二次函數(shù)綜合問(wèn)題2 .靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)重點(diǎn)巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決綜合問(wèn)題；教學(xué)難點(diǎn)靈活運(yùn)用技巧及方法解決綜合問(wèn)題；知識(shí)講解考點(diǎn)1二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)1 . 一般地，如果 y=ax2+bx+c （a, b , c是常數(shù)且aw0）,那么y叫做x的二次函數(shù)，它是關(guān)于自變量的二次式，二次項(xiàng)系數(shù)必須是非零實(shí)數(shù)時(shí)才是二次函數(shù)，這也是判斷函數(shù)是不是二次函數(shù)的重要依據(jù).當(dāng)b=c=0時(shí)，二次函數(shù)y=ax2是最簡(jiǎn)單的二次函數(shù).2 .二次函數(shù)y=ax2+bx+c （a, b, c是常

2、數(shù)，aw0）的三種表達(dá)形式分別為：一般式：y=ax2+bx+c,通常要知道圖像上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)才能得出此解析式；頂點(diǎn)式：y=a （x-h） 2+k,通常要知道頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸才能求出此解析式；交點(diǎn)式：y=a （xxi） （xx2）,通常要知道圖像與 x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo) xi, x2才能求出此解析式；對(duì)于y=ax2+bx+c而言，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（,4ac -b ）.對(duì)于 y=a （xh） 2+k2a 4a而言其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h, k）, ?由于二次函數(shù)的圖像為拋物線，因此關(guān)鍵要抓住拋物線的三要素：開(kāi)口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn).考點(diǎn)2 等腰三角形的性質(zhì)1 .等腰三角形的兩個(gè)底角度數(shù) 才目等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等邊對(duì)等

3、角”）。2 .等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高重合（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等腰三角形的三線合一性質(zhì)”）。3 .等腰三角形的兩底角的平分線相等（兩條腰上的中線相等，兩條腰上的高相等）。4 .等腰三角形底邊上的垂直平分線到兩條腰的距離相等。5 .等腰三角形的一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半。6 .等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰距離之和等于一腰上的高（需用等面積法證明）。7 .等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，（不是等邊三角形的目情況下）只有一條對(duì)稱軸，頂角平分線所在的直線是它的對(duì)稱軸，等邊三角形有三條對(duì)稱軸。8 .等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方9 .等腰三角形的腰與它的高的直接的關(guān)

4、系是：腰大于高。間接的關(guān)系是：腰的平方等于高的平方加底的一半的平方?？键c(diǎn)3 探究等腰三角形的一般思路探究等腰三角形的存在性問(wèn)題時(shí)，具體方法如下：（1）假設(shè)結(jié)論成立；（2）找點(diǎn)：當(dāng)所給定長(zhǎng)未說(shuō)明是等腰的底還是腰時(shí)，需分情況討論，具體方法如下：當(dāng)定長(zhǎng)為腰時(shí)，找已知直線上滿足條件的點(diǎn)時(shí)，以定長(zhǎng)的某一端點(diǎn)為圓心，以定長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，若所畫(huà)弧與數(shù)軸或拋物線有交點(diǎn)且交點(diǎn)不是定長(zhǎng)的另一端點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)；若所畫(huà)弧與數(shù)軸或拋物線無(wú)交點(diǎn)或交點(diǎn)是定長(zhǎng)的另一端點(diǎn)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)不存在；當(dāng)定長(zhǎng)為底邊時(shí)，根據(jù)尺規(guī)作圖作出定長(zhǎng)的垂直平分線，若作出的垂直平分線與數(shù)軸或拋物線有交點(diǎn),則交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，若作出的垂直平分線

5、與數(shù)軸或拋物線無(wú)交點(diǎn)，則滿足條件的點(diǎn)不存在。以上方法即可找出所有符合條件的點(diǎn)；(3)計(jì)算：在求點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，大多時(shí)候利用相似三角形求解，如果圖形中沒(méi)有相似三角形，可以通過(guò)添 加輔助.線構(gòu)造相似三角形，有時(shí)也可利用直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解。15例題精析例1如圖，拋物線y =-± x2+21 x-4與x軸相交于點(diǎn)A、B,與 y軸相交于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱軸 5:與x軸相交于點(diǎn)M。P是拋物線在 x軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P、M、C不在同一條直線上）。分別過(guò)點(diǎn)A、B 作直線CP的垂線，垂足分別為D、E,連接MD、ME。（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)（直接寫(xiě)出結(jié)果），并證明AMD E是等腰三角形；（2） AMD

6、 E能否為等腰直角三角形？若能，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不能，說(shuō)明理由；（3）若將“P是拋物線在 x軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P,、M、C不在同一條直線上）”改為“P是拋物線在x軸下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”， 其他條件不變，AMD E能否為等腰直角三角形？若能，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫(xiě)出結(jié)果），若不能，說(shuō)明理由。例2如圖，已知拋物線 y= - L2+bx+4與x軸相交于 A B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C,若已知A點(diǎn)的坐標(biāo)4為 A ( - 2, 0).(1)求拋物線的解析式及它的對(duì)稱軸方程；(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)，連接 AC BC并求線段BC所在直線的解析式；(3)試判斷 AOC與ACOB是否相似？并說(shuō)明理由；(4)在拋物

7、線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使4ACQ為等腰三角形？若不存在， 求出符合條件的 Q點(diǎn)坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.例3如圖，已知拋物線 y=ax2+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為 A (3, 0),與y軸的交點(diǎn)為B (0, 3),其頂點(diǎn)為C,對(duì)稱軸為x=1.(1)求拋物線的解析式；(2)已知點(diǎn)M為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) ABM為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn) M的坐標(biāo);(3)將4AOB沿x軸向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度(0v m< 3)得到另一個(gè)三角形，將所得的三角形與 ABC重疊部分的面積記為S,用m的代數(shù)式表示S.例4在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，拋物線y=x2- ( m+力x+mn ( m> n)與x軸相交

8、于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A位 于點(diǎn)B的右側(cè))，與y軸相交于點(diǎn)C.(1)若m=2 n=1,求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若A B兩點(diǎn)分別位于y軸的兩側(cè)，C點(diǎn)坐標(biāo)是(0, - 1),求/ ACB的大??；(3)若m=2 4ABC是等腰三角形，求 n的值.例5如圖，拋物線y=ax2+bx+c (aw0)的圖象過(guò)點(diǎn) M( - 2,我)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為N ( - 1, 國(guó)至)，且與x3軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn).(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) PBC為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn) P的坐標(biāo)；(3)在直線AC上是否存在一點(diǎn) Q,使4QBM的周長(zhǎng)最??？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.課程

9、小結(jié)有針對(duì)性的對(duì)等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)及二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)，有助于為研究二次函數(shù)與等腰三角形的綜合問(wèn)題提供有利的依據(jù)。在探究二次函數(shù)與等腰三角形的綜合問(wèn)題時(shí)， 抓住已有的信息及條件在函數(shù)圖像中構(gòu)造出等腰三角形，并能運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題， 掌握此類(lèi)問(wèn)題的解題思路及技巧是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。例1【規(guī)范解答】(1)拋物線解析式為 y= - -x2+ x - 4,令y=0,即-X2+ x -4=0,解得x=1或5555x=5, .A (1, 0), B (5, 0).分別延長(zhǎng) AD與 EM 交于點(diǎn) F； , AD± PG BEX PC, . AD/ BE,/ MAFh

10、 MBE在AMF與ABME中，/ MAFW MBE MA=MB/ AMFh BME AM降 BME(ASA),. ME=MF即點(diǎn) M為RtEDF斜邊EF的中點(diǎn)，MD=ME即 MDE等腰三角形(2)能；拋物線解析式為 y= - -x2+ x -4=- (x-3) 2+二匹，對(duì)稱軸是直線 x=3, M (3, 0);5555令x=0,得y=-4,，C (0, -4) AMD時(shí)等腰直角三角形，有 3種可能的情形；若DEL EM由DEL BE,可知點(diǎn)E、M B在一條直線上， 而點(diǎn)B、M在x軸上，因此點(diǎn)E必然在x軸上, 由DEL BE可知點(diǎn)E只能與點(diǎn)O重合，即直線PC與y軸重合，不符合題意，故此種情況不

11、存在；若DE! DM與同理可知，此種情況不存在；若EML DM如答圖2所示設(shè)直線 PC與對(duì)稱軸交于點(diǎn) N, . EML DM MNL AM/ EMN= DMAB ADMW NEM43, / EMN= DMAEM=DM/ADM= NEM=135 ; .AD廬 NEM(ASQ ,. MN=MA拋物線解析式為 y=-9x2+25x -4=- (x- 3) 2+U,故對(duì)稱軸是直線 x=3, M (3, 0) , MN=MA=2 5555N (3, 2)設(shè)直線PC解析式為y=kx+b,二.點(diǎn)N (3, 2), C (0, -4)在拋物線上，皂,解得 k=2, b= - 4, 1. y=2x - 4,將

12、y=2x 4 代入拋物線解析式得 2x 4= 9x2+&x 41 b= - 455解得x=0或x=,當(dāng)x=0時(shí)，交點(diǎn)為點(diǎn) C;當(dāng)x=1時(shí)，y=2x - 4=32 2P (，3)綜上所述， MDEt歸成為等腰直角三角形，此時(shí)點(diǎn) P坐標(biāo)為(上，3)22(3)能；如答題3所示，設(shè)對(duì)稱軸與直線 PC交于點(diǎn)N;與(2)同理，可知若 MD助等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)只能是點(diǎn)M MDL ME MAL MNDMN=/ EMB在 DMNW EMB中，/ DMN=/EMB MD=MB/ MDN= MEB=45 ; .DMN EMB(ASA),MN=MB N (3, - 2)設(shè)直線PC解析式為y=kx+b,二

13、點(diǎn)N (3, -2), C (0, -4)在拋物線上，3k+b= - 2, 9 ,夕,解得 k=, b= - 4, 1. y=x - 4,Lb=- 433將y=2x - 4代入拋物線解析式得 Zx - 4= - 9x2+%x - 4,3355解得x=0或x=W1,6當(dāng)x=0時(shí)，交點(diǎn)為點(diǎn)C;當(dāng) x=-51 時(shí)，y=2x 4= 一 下1. P （盤(pán)，）639,69綜上所述， MDEt歸成為等腰直角三角形，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（圓，-下）69【總結(jié)與反思】（1）在拋物線解析式中，令 y=0,解一元二次方程，可求得點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；如答圖1所示，作輔助線，構(gòu)造全等三角形4AM四 BME得到點(diǎn)M為為RtEDF

14、斜邊EF的中點(diǎn)，從而得到MD=ME問(wèn)題得證；（2）首先分析，若 MD助等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)只能是點(diǎn)M如答圖2所示，設(shè)直線PC與對(duì)稱軸交于點(diǎn) N首先證明AD俸NEhM得到MN=AM從而求得點(diǎn)N坐標(biāo)為（3,2）;其次利用點(diǎn)N、點(diǎn)C坐標(biāo)，求出直線 PC的解析式；最后聯(lián)立直線PC與拋物線的解析式，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點(diǎn)P是拋物線在x軸下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，解題思路與（2）完全相同；例2【規(guī)范解答】(1) 拋物線y=-1x2+bx+4的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A (-2, 0),4- -X ( 2) 2+bx ( 2) +4=0,解彳導(dǎo):b=,，拋物線解析式為 y= -x2+x+4,424 2又y=-1x2+2

15、x+4=-1(x-3) 2+,，對(duì)稱軸方程為：x=3 .4 244(2)在 y= - -lx2+-x+4 中，令 x=0 ,得 y=4,. C (0, 4);令 y=0,即-1x2+3x+4=0 ,整理得 x2 - 6x4 24 216=0,解得：x=8 或 x= -2, . A ( 2, 0), B (8, 0).設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b ,把B (8, 0), C (0, 4)的坐標(biāo)分別代入解析式，得：、 匕一° ,解得k= 一工，b=4,.直線BC的解析式為：y= - -x+4 .lb=422(3)可判定 AOS ACO既立.理由如下：在 AOC與 COB中，OA=2

16、OC=4 OB=8又AOCW BOC=90 , 二 AOS COBOC OB(4)二拋物線的對(duì)稱軸方程為：x=3,可設(shè)點(diǎn)Q (3, t),則可求得：AC=/77=2泥,aq452 + ；2=65+S，cq=/s2+ (t-4) 2=7 (t- 4) 2+9當(dāng) AQ=CQ寸，有在5+；2=r & - 4 )沁, 25+t2=t2- 8t+16+9 ,解得 t=0 ,，Q (3, 0);當(dāng)AC=AQ寸，有425+；2=2泥,t2=-5,此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，此時(shí)ACQ能構(gòu)成等腰三角形；當(dāng) AC=CQ寸，有，（t - 4了2+9=2泥,整理得：t2-8t+5=0 ,解得：t=4 ±依,點(diǎn)

17、 Q坐標(biāo)為：Q (3, 4+S7), Q (3, 4-阮).綜上所述，存在點(diǎn) Q使 AC©等腰三角形，點(diǎn) Q的坐標(biāo)為：Q (3, 0), Q (3, 4+工)，Q (3, 4-VTD(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，利用配方法或利用公式x=-上求出對(duì)稱軸方程；2a(2)在拋物線解析式中，令 x=0,可求出點(diǎn)C坐標(biāo)；令y=0,可求出點(diǎn)B坐標(biāo).再利用待定系數(shù)法求出 直線BD的解析式；(3)根據(jù)地/ AOCW BOC=90 ,可以判定 AO6 COBCC 0B(4)本問(wèn)為存在型問(wèn)題.若 ACQ為等腰三角形，則有三種可能的情形，需要分類(lèi)討論，逐一計(jì)算， 避免漏解.例3【規(guī)范解答】 解：(

18、1)由題意可知，拋物線 y=ax2+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(-1, 0),則9a+3b4-c=0'a= _ 1* a-b+c=0 ,解得，b=2 故拋物線的解析式為 y=-x2+2x+3.l c-3c=3(2)當(dāng) MA=MB寸,M (0, 0);當(dāng) AB=AM寸,M (0, 3);當(dāng) AB=BM寸,M (0, 3+3&)或 M (0, 3 3、匹).所以點(diǎn) M的坐標(biāo)為：(0, 0)、(0, -3)、(0, 3+3近)、(0, 3-3&).(3)平移后的三角形記為 PEF.設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b ,則、如+'一。，解得1 一 .則直線AB的解析式為

19、y=-x+3.I b=3Ib=3 AOBgx軸向右平移 m個(gè)單位長(zhǎng)度(0V m< 3)得到 PEF,易得直線 EF的解析式為y= - x+3+m.設(shè)直線AC的解析式為y=k' x+b'，貝k -,解得，一.bkv +b =4 1b =6則直線AC的解析式為y= - 2x+6.連結(jié)BE,直線BE交AC于G則G (/ 3).!_J在 AOB沿x軸向右平移的過(guò)程中.當(dāng)0 Vme芭時(shí)，如圖1所示.設(shè) PE交AB于K, EF交AC于M.貝U BE=EK=m PK=PA=3- m12聯(lián)立(尸一2"6解得產(chǎn)"m,即點(diǎn)m(3-m 2m).y= _ x+3+d故 S=&

20、amp;pef Sa PARC- & armfIpe" - IpK2 - lAF?h= - 1 (3m) 2- lm?2m=- 2m2+3m2222 222當(dāng)售vm< 3時(shí)，如圖2所示.設(shè)PE交AB于K,交AC于H因?yàn)锽E=m所以PK=PA=3- mi,2又因?yàn)橹本€ AC的解析式為y= - 2x+6 ,所以當(dāng)x=m時(shí)，得y=6 - 2m所以點(diǎn)H (m, 6-2m).故 S=&pah Sapak=1pAPIH- 1PA2=- 1 (3 m) (6- 2m) - 1 (3m) 2=1 m2 - 3m+ .222222綜上所述，當(dāng) 0Vmic 2時(shí)，S=-且mf+3m

21、;當(dāng)且v mx3 時(shí)，S=2m2-3m+5.22222圖1圖2【總結(jié)與反思】(1)根據(jù)對(duì)稱軸可知，拋物線 y=ax2+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(-1,0),根據(jù)待定 系數(shù)法可得拋物線的解析式為y= - x2+2x+3.(2)分三種情況：當(dāng) MA=M時(shí)；當(dāng)AB=AM寸；當(dāng)AB=BM寸；三種情況討論可得點(diǎn)M的坐標(biāo).(3)平移后的三角形記為 PEF.根據(jù)待定系數(shù)法可得直線 AB的解析式為y= - x+3.易得直線EF的解 析式為y= - x+3+m.根據(jù)待定系數(shù)法可得直線 AC的解析式.連結(jié)BE,直線BE交AC于G則G(1, 3).在 AOB沿x軸向右平移的過(guò)程中.分二種情況：當(dāng) 0vmc2時(shí)；

22、當(dāng)Wvm< 3時(shí)；討論可得用 m的代22數(shù)式表示S.例 4【規(guī)范解答】 解：(1) y=x2 - ( m+rj) x+mn= (x mj) (x n) ,. x=m或 x=n 時(shí)，y 都為 0,: m> n,且點(diǎn)A位于點(diǎn)B的右側(cè)，A (m, 0) , B (n, 0).m=2, n=1,A (2, 0) , B (1, 0).(2) .,拋物線 y=x2 ( m+rj) x+mn (m>n)過(guò) C (0, 1) ,， 1=mn n=-, m ,、,1B (n, 0) , B ( - -, 0) . AO=m BO=- -, CO=1I2ac=/aO2+OC2=ki2+l，bc

23、=/obZ+Oc2=AB=A°+B°=m；m- 1) 2= (J 2 “)2+ (W/+1) 2, . AE2=AC+BC, :" ACB=90 .m(3) A (m, 0) , B (n, 0) , C (0, mri),且 m=2A (2, 0) , B (n, 0) , C (0, 2n). AO=2 BO=|n|, CO=|2n|, . AC=.= 21 + n2 , BC加產(chǎn)遍n ' AB=x- Xb=2 -2;n.當(dāng)AC=B。寸，271 + n2=|n|，解得n=2(A B兩點(diǎn)重合，舍去)或r當(dāng)AC=AB寸，271 + n2=2 - n,解得n

24、=0 (B、C兩點(diǎn)重合，舍去)或n=n<0 時(shí)，一，n=2n,解當(dāng) BC=AB寸，|n|=2 - n,當(dāng) n>0 時(shí)，泥n=2 n,解得 n=, 1 2得n=-f 2綜上所述，n=-2,-，-近±1, 返二時(shí)， ABC是等腰三角形.322【總結(jié)與反思】(1)已知m, n的值，即已知拋物線解析式，求解y=0時(shí)的解即可.此時(shí) y=x2 ( m+n) x+mn= (xmj)(x-n),所以也可直接求出方程的解，再代入 m n的值，推薦此方式，因?yàn)楹髥?wèn)用到的可能性比較大.求/ ACB我們只能考慮討論三角形ABC勺形狀來(lái)判斷，所以利用條件易得-1=mn,進(jìn)而可以用m來(lái)表示A、B點(diǎn)的

25、坐標(biāo)，又 C已知，則易得 AR BG AC邊長(zhǎng).討論即可.(3) ABC是等腰三角形，即有三種情形，AB=AC AB=BC AC=BC由(2)我們可以用n表示出其三邊長(zhǎng)，則分別考慮列方程求解n即可.例5【規(guī)范解答】 解：(1)由拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為 N( - 1,可設(shè)其解析式為 y=a (x+1) 2+M,33將M ( - 2,百)代入，得V5=a ( - 2+1) 2+± 解得a=-亞，33故所求拋物線的解析式為y=- 亞x2-延x+正；(2)y= x2 2Ax+£, x=0 時(shí)，y=dQ 二 C (0, V3) - y=0 時(shí)，-立x2 2"x+/=0,331,-1解得 x=1 或 x=-3, A (1, 0), B(-3, 0), . BC=y0g2+QC 2=273 .設(shè)p( -1, m),顯然pa pc所以當(dāng) CP=CB寸，有 CP.1+ (m-逐)2=2花,解得 m=/3 + yn；當(dāng) BP=BCM,有 BP=/ -1+3) 2 + 茂=2日 解得 m=± 2<2.綜上，當(dāng) PBC為等腰三角