自然主義與數(shù)學(xué)本體論

1、自然主義與數(shù)學(xué)本體論葉峰（北京大學(xué)哲學(xué)系） 摘要：自然主義是一種一般的哲學(xué)世界觀。它蘊(yùn)含著對(duì)本體論、認(rèn)識(shí)論等哲學(xué)問(wèn)題的答案。本文將從說(shuō)明什么是自然主義的基本信念開(kāi)始，然后闡述它蘊(yùn)含的對(duì)關(guān)于抽象數(shù)學(xué)對(duì)象的本體論問(wèn)題的回答。它將是反實(shí)在論的回答，即它否認(rèn)抽象數(shù)學(xué)對(duì)象客觀存在。最后，本文將說(shuō)明這種反實(shí)在論的自然主義將如何回答它所面臨的兩個(gè)重要問(wèn)題，即解釋數(shù)學(xué)語(yǔ)言的意義在于什么、數(shù)學(xué)知識(shí)是關(guān)于什么的知識(shí)，還有解釋數(shù)學(xué)在科學(xué)中的可應(yīng)用性。這是作者本人提出的一種徹底的自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)的一個(gè)部分。 1 自然主義的基本信念 這里所說(shuō)的“自然主義”，指的是在二十世紀(jì)的分析哲學(xué)傳統(tǒng)中的自然主義傾向?？梢哉f(shuō)，某種

2、一般性的自然主義傾向已經(jīng)被分析哲學(xué)傳統(tǒng)中的多數(shù)哲學(xué)家接受。但即使在分析哲學(xué)傳統(tǒng)之中，在“自然主義”這個(gè)標(biāo)簽下也有種種不同的哲學(xué)觀點(diǎn)與派別。甚至在數(shù)學(xué)哲學(xué)中，自然主義也有多種形式 Maddy （2005）討論了數(shù)學(xué)哲學(xué)中的自然主義的三種形式，但還不包括我們這里提出這種自然主義數(shù)學(xué)哲學(xué)。比如，蒯因是自然主義的主要倡導(dǎo)者之一，但他同時(shí)又是數(shù)學(xué)實(shí)在論者 。與他相反Penelope Maddy在最近十年來(lái)也以倡導(dǎo)一種形式的自然主義為己任，但她似乎更傾向于數(shù)學(xué)反實(shí)在論 見(jiàn)Maddy （2007）。在數(shù)學(xué)哲學(xué)中，以前的種種自然主義更多地強(qiáng)調(diào)，我們應(yīng)該尊重科學(xué)家們與數(shù)學(xué)家們的科學(xué)實(shí)踐與數(shù)學(xué)實(shí)踐。這些自然主義強(qiáng)

3、調(diào)，沒(méi)有所謂的在科學(xué)之上的“第一哲學(xué)”。它們認(rèn)為，哲學(xué)家的任務(wù)僅僅是對(duì)科學(xué)與數(shù)學(xué)實(shí)踐作解釋，而不是從所謂的“第一哲學(xué)”出發(fā)，指導(dǎo)科學(xué)與數(shù)學(xué)實(shí)踐，或者為數(shù)學(xué)與科學(xué)提供基礎(chǔ)。這是以前自稱為“自然主義”的各種數(shù)學(xué)哲學(xué)的共同點(diǎn)與標(biāo)志。但在此之下他們又得出了實(shí)在論或反實(shí)在論的不同的結(jié)論。在分析哲學(xué)傳統(tǒng)中的心靈哲學(xué)中也有各種形式的自然主義。在那里，“自然主義” 主要指的是與心-物二元論相對(duì)立的一種基本哲學(xué)態(tài)度 當(dāng)然也與唯心論相對(duì)立，但今天似乎沒(méi)哲學(xué)家認(rèn)真看待唯心論了。，其中包括各種形式的“物理主義” 見(jiàn)Papineau (1993), Kim (2006)。因此，“自然主義”可能是一個(gè)已經(jīng)被用得太濫的標(biāo)簽

4、。 但是，我們認(rèn)為，對(duì)“自然主義”的各種理解其實(shí)都包含了一個(gè)共同的核心，即各種形式的自然主義者都公開(kāi)地承認(rèn)的一些基本信念。在此基礎(chǔ)之上，有些自然主義者可能加上了其它的信念。但就數(shù)學(xué)哲學(xué)而言，我們相信，各種形式的自然主義都公開(kāi)地認(rèn)可的這些基本信念，就足以確定一種真正自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)。至于那些在“自然主義”這個(gè)標(biāo)簽之下的種種不同的數(shù)學(xué)哲學(xué)，我們認(rèn)為，要么它們隱含地違背了自己公開(kāi)宣示的一些自然主義基本信念，要么它們沒(méi)有將自己公開(kāi)宣示的一些自然主義基本信念貫徹到底。因此，它們不是徹底地自我一致的自然主義。所以，盡管“自然主義”這個(gè)標(biāo)簽已經(jīng)被用得太濫，我們還是將我們所提出的這種數(shù)學(xué)哲學(xué)稱為自然主義數(shù)學(xué)

5、哲學(xué)，或者稱為徹底的自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)，以強(qiáng)調(diào)它是徹底地貫徹了自然主義的基本信念。 本小節(jié)將提出并討論我們所理解的、作為自然主義的核心的，自然主義的基本信念。它們是各種形式的自然主義都公開(kāi)地承諾的基本信念。這里我們不打算為自然主義的基本信念作辯護(hù)。我們只是從這些基本信念出發(fā)，考察它們的推論。我們的目的在于說(shuō)明它們蘊(yùn)含著關(guān)于數(shù)學(xué)的本體論問(wèn)題的怎樣的回答。 自然主義的基本信念也就是現(xiàn)代科學(xué)的基本世界觀，是許多人（至少表面上）承認(rèn)的。另一方面，當(dāng)然也有許多人反對(duì)自然主義。本書不打算反駁那些反自然主義的觀點(diǎn)。就數(shù)學(xué)哲學(xué)來(lái)說(shuō)，我們相信，反自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)，也應(yīng)該首先嘗試提出一個(gè)自身協(xié)調(diào)一致的數(shù)學(xué)哲學(xué)理

6、論，回答關(guān)于數(shù)學(xué)的哲學(xué)問(wèn)題。 我們將自然主義的基本信念概括為如下正、反兩個(gè)方面的要點(diǎn)：（1） 人類是自然進(jìn)化的產(chǎn)物，是自然世界的一部分；人的心靈，心靈的屬性、認(rèn)知能力與過(guò)程等等，原則上可歸約為大腦神經(jīng)元的結(jié)構(gòu)、屬性、活動(dòng)過(guò)程或功能，而且也是自然進(jìn)化的產(chǎn)物。（2） 沒(méi)有超自然的、獨(dú)立于物質(zhì)的認(rèn)知主體；哲學(xué)問(wèn)題的提出不應(yīng)該預(yù)設(shè)一個(gè)超自然的、獨(dú)立于物質(zhì)的心靈或認(rèn)知主體，我們也不應(yīng)該從這樣一個(gè)心靈或認(rèn)知主體的角度去回答哲學(xué)問(wèn)題。 （1）中的“原則上可歸約”的確切涵義，是目前分析哲學(xué)中的心靈哲學(xué)中各種自然主義理論之間正在爭(zhēng)論的問(wèn)題。這里我們不假設(shè)對(duì)它的任何一種具體的回答，而只強(qiáng)調(diào)這些回答的共同的一面，即

7、斷言沒(méi)有獨(dú)立于物質(zhì)世界的心靈，沒(méi)有在任何意義上都不可歸約為神經(jīng)元的、只屬于心的、特殊的心靈屬性、能力等等。這將在下面的自然主義的基本信念的推論（3）、（4）、（5）、（6）等等中得到具體化?；谶@種對(duì)“原則上可歸約”的寬泛的理解，（1）應(yīng)該是所有自稱是自然主義者的哲學(xué)家都能接受的。否認(rèn)它直接意味著接受某種形式的心-物二元論甚至唯心論等等。比如，蒯因就稱人類是“物質(zhì)世界中的物質(zhì)性的居民” “physical denizens in the physical world”，見(jiàn)Quine (1995), p. 16。因此他應(yīng)該接受這個(gè)自然主義的基本信念。 （2）其實(shí)是（1）的推論。既然人的心靈是自然

8、進(jìn)化的產(chǎn)物，原則上可歸約為大腦神經(jīng)元的活動(dòng)與功能，他們就不是超自然的、獨(dú)立于物質(zhì)的。因此，我們的涉及心靈的哲學(xué)問(wèn)題，都應(yīng)該是關(guān)于作為自然世界的一部分的人的問(wèn)題，尤其是關(guān)于大腦的問(wèn)題，而不是關(guān)于一個(gè)假設(shè)的、超自然的認(rèn)知主體的問(wèn)題。比如，考慮一個(gè)懷疑論者提出的問(wèn)題“你如何知道眼前的這些事物存在”或“我如何知道我的手存在”。懷疑論者的“你”、“我”顯然不是指作為自然世界的一部分的某個(gè)大腦。如果它們指的是作為自然世界的一部分的某個(gè)大腦，那么對(duì)這些問(wèn)題的回答應(yīng)該是自然主義的回答，應(yīng)該是描述那個(gè)大腦（以及與之相連接的身體）如何從一個(gè)受精卵由基因控制發(fā)育而成，如何在與環(huán)境中的相互作用中（即學(xué)習(xí)中）成熟，如何

9、特別地從環(huán)境通過(guò)感官獲得某種相關(guān)的信息而認(rèn)識(shí)到大腦之外的某個(gè)事物，比如，通過(guò)眼睛接收眼前的事物發(fā)出的光波而認(rèn)識(shí)到那個(gè)事物，或者通過(guò)神經(jīng)系統(tǒng)直接感受到與大腦相聯(lián)接的手，等等等等。這些顯然不是懷疑論者所期待的回答。顯然，懷疑論者引誘聽(tīng)眾假設(shè)，“你”、“我”是指某個(gè)不屬于這個(gè)自然世界的超自然的認(rèn)知主體。懷疑論者首先預(yù)設(shè)存在這樣一個(gè)超自然的認(rèn)知主體，然后設(shè)想這個(gè)超自然的認(rèn)知主體與某個(gè)“外部世界”相隔離、相對(duì)立，然后在這些預(yù)設(shè)前提之下問(wèn)，那個(gè)超自然的認(rèn)知主體如何能夠認(rèn)識(shí)那個(gè)“外部世界”。而在懷疑論者那里，這個(gè)超自然的認(rèn)知主體的存在性，似乎比大腦、手、眼前的事物等等的存在性更確定得多。所謂“更確定的多”，

10、當(dāng)然還是指相對(duì)于那個(gè)超自然的認(rèn)知主體更確定得多，而不是相對(duì)于那個(gè)大腦更確定得多。自然主義者不接受懷疑論者的問(wèn)題中的關(guān)于超自然的認(rèn)知主體的預(yù)設(shè)。在自然主義者看來(lái)，是懷疑論者的大腦在“引誘”聽(tīng)眾的大腦去假設(shè)，在自己的大腦背后還有一個(gè)不屬于這個(gè)物質(zhì)世界的、與這個(gè)物質(zhì)世界相對(duì)立的“自我”。自然主義者當(dāng)然承認(rèn)他們自己也是這個(gè)自然世界的一部分。他們對(duì)懷疑論者與懷疑論者的聽(tīng)眾的描述，是一些大腦對(duì)另外一些大腦的觀察與描述。如果拒絕預(yù)設(shè)在自己的這個(gè)大腦背后還有一個(gè)超自然的“自我”，懷疑論者的問(wèn)題就無(wú)法被提出來(lái)。 在自然主義者看來(lái)，人類的大腦容易產(chǎn)生一種普遍的幻覺(jué)，即將自己視為這個(gè)自然世界之外的、不屬于這個(gè)世界的

11、、與這個(gè)世界相對(duì)立的、也在本質(zhì)上不同于這個(gè)物質(zhì)世界中的事物的一個(gè)“主體” 這應(yīng)該也就是佛教哲學(xué)中說(shuō)的“我執(zhí)”。因此，包括一些自稱是自然主義者的哲學(xué)家，也常常還是不自覺(jué)地從一個(gè)超自然的、獨(dú)立于物質(zhì)的認(rèn)知主體的角度，去提出或嘗試回答哲學(xué)問(wèn)題，常常還是不自覺(jué)地處處預(yù)設(shè)一個(gè)超自然的認(rèn)知主體，而不是將問(wèn)題理解為相對(duì)于作為自然世界一部分的人或大腦的問(wèn)題。也就是說(shuō)，他們常常不自覺(jué)地忘記了（2），而采納了上面所描述的懷疑論者的提出與嘗試回答問(wèn)題的視角或預(yù)設(shè)。我們認(rèn)為，這尤其包括了蒯因，而且那就是為什么他從自然主義出發(fā)，會(huì)得出數(shù)學(xué)實(shí)在論而不是反實(shí)在論 見(jiàn)Ye（2007e）。從自然主義的基本信念（1）與（2）出發(fā)

12、會(huì)得出一些重要的推論。其中的一些推論似乎沒(méi)有得到一些自認(rèn)的自然主義者的重視，尤其是當(dāng)他們忘記了（2）的時(shí)候。這就是他們的哲學(xué)理論與他們自己公開(kāi)承認(rèn)的自然主義的基本信念潛在地相沖突的根源，或者是他們未能徹底地貫徹自然主義的基本信念的原因。 首先，從自然主義的基本信念（1）與（2）出發(fā)會(huì)得出關(guān)于認(rèn)識(shí)論的一個(gè)推論。在自然主義者看來(lái)，既然我們?nèi)祟愂亲匀贿M(jìn)化的產(chǎn)物，既然沒(méi)有超自然的認(rèn)知主體，認(rèn)識(shí)論問(wèn)題，即關(guān)于一個(gè)認(rèn)知主體如何認(rèn)識(shí)事物的問(wèn)題，就只能是關(guān)于作為自然世界的一部分的人的大腦如何認(rèn)識(shí)事物的問(wèn)題。因此，自然主義的基本信念有這樣的關(guān)于認(rèn)識(shí)論的推論：（3） 認(rèn)識(shí)論問(wèn)題，是關(guān)于大腦有怎樣的由基因決定的內(nèi)在

13、結(jié)構(gòu)，如何在學(xué)習(xí)中成熟，如何通過(guò)感官接受環(huán)境的信息，如何在大腦中表示、處理這些信息等等的問(wèn)題。（4） 回答認(rèn)識(shí)論問(wèn)題，不應(yīng)假設(shè)一個(gè)與所謂的“外部世界”相對(duì)立的、超自然的認(rèn)知主體；也不應(yīng)假設(shè)認(rèn)知主體有任何不可在原則上歸約為大腦的內(nèi)在結(jié)構(gòu)與功能的認(rèn)知能力。 蒯因曾經(jīng)從自然主義的立場(chǎng)說(shuō)過(guò)，認(rèn)識(shí)論是心理學(xué)的一個(gè)分支。（3）是這一說(shuō)法的一種表達(dá) 所以在這一點(diǎn)上蒯因是一個(gè)徹底的自然主義者。但是，當(dāng)他提出所謂的“整體主義認(rèn)識(shí)論”的時(shí)候，似乎偏離了自然主義的基本信念。參見(jiàn)Ye（2007e）。從今天的心理學(xué)發(fā)展的角度看，與認(rèn)識(shí)論問(wèn)題相關(guān)的是認(rèn)知心理學(xué)，因此應(yīng)該說(shuō)，認(rèn)識(shí)論是認(rèn)知心理學(xué)的一個(gè)分支。當(dāng)然，作為一種哲學(xué)

14、理論的認(rèn)識(shí)論，它所感興趣的問(wèn)題與普通心理學(xué)家所感興趣的問(wèn)題會(huì)有所不同。比如，如何從大腦的認(rèn)知功能的角度說(shuō)明數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)容在于什么，數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)容如何與數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性相關(guān)聯(lián)，數(shù)學(xué)知識(shí)的規(guī)范性與客觀性是基于什么等等。這些是哲學(xué)家們感興趣的問(wèn)題，但可能都不是普通心理學(xué)家感興趣的問(wèn)題。所以，真正重要的不是認(rèn)識(shí)論的學(xué)科歸屬問(wèn)題。真正重要的是：在自然主義的框架下，認(rèn)識(shí)論問(wèn)題是關(guān)于大腦的問(wèn)題，而不是關(guān)于一個(gè)超自然的心靈的問(wèn)題；對(duì)認(rèn)識(shí)論問(wèn)題的回答應(yīng)該以現(xiàn)代科學(xué)對(duì)大腦的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與功能的認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ)，這包括認(rèn)知心理學(xué)、腦科學(xué)等等對(duì)大腦的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與功能的認(rèn)識(shí)，也包括試圖模擬大腦的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與功能的人工智能研究所提示的對(duì)

15、大腦的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與功能的認(rèn)識(shí)。 這里還要預(yù)先說(shuō)明一下，稱認(rèn)識(shí)論是心理學(xué)的一個(gè)分支并不否認(rèn)認(rèn)知過(guò)程中的規(guī)范性。相反，從自然主義的角度看，既然一切都是自然進(jìn)化的產(chǎn)物，沒(méi)有超自然的主體，因此，各種規(guī)范性，包括真理、語(yǔ)義指稱、意義、邏輯規(guī)則的邏輯有效性、乃至于倫理規(guī)范性等等，都應(yīng)該可以在自然主義的框架下得到解釋，即通過(guò)歸約為某種自然規(guī)律性得到解釋，也就是說(shuō)，都應(yīng)該可以被自然化。這將是自然主義哲學(xué)的最主要的任務(wù)。本小節(jié)后面將要討論真理、語(yǔ)義指稱、以及邏輯規(guī)則的邏輯有效性的自然化問(wèn)題。這里只是要指出，一些哲學(xué)家，如弗雷格，對(duì)所謂的心理主義的批評(píng)并不適用于這種自然主義。比如，這些批評(píng)認(rèn)為，心理主義混淆了一個(gè)推

16、理規(guī)則的客觀上的邏輯有效性，與一個(gè)推理規(guī)則常常被人使用這一心理事實(shí)。但是，自然主義哲學(xué)的主要任務(wù)之一就是要在自然主義的框架下解釋它們之間的區(qū)別。這也就是將其中的規(guī)范性自然化。 （4）同樣是（3）的推論，是從反面表達(dá)（3）。在自然主義看來(lái)，沒(méi)有傳統(tǒng)意義上的所謂“內(nèi)在于心的東西”與“外部世界中的事物”之間的絕對(duì)區(qū)別。所謂“內(nèi)在的”只能是指腦腔中的，或?qū)儆谏窠?jīng)元的，而神經(jīng)元本身是自然世界的一部分，是從其它自然事物進(jìn)化或發(fā)育產(chǎn)生的，而且是通過(guò)感覺(jué)器官，通過(guò)光波、聲波等等，與其他事物直接相聯(lián)系的。自然主義者拒絕將認(rèn)知主體與外部世界隔離開(kāi)的那種認(rèn)識(shí)論圖景。認(rèn)知主體就是自然世界中的大腦。而且，在自然主義者看

17、來(lái)，認(rèn)知主體，即大腦，與其他事物之間的聯(lián)系，最終都是物理性的聯(lián)系，比如，通過(guò)光波、聲波等物理作用而建立起來(lái)的聯(lián)系。換句話說(shuō)，“認(rèn)識(shí)”是作為自然事物的大腦與其它自然事物之間的自然聯(lián)系，就像兩個(gè)物理系統(tǒng)之間通過(guò)物理上的相互作用建立起來(lái)的聯(lián)系。我們還會(huì)繼續(xù)使用“內(nèi)部”、“外部”這些詞匯，如“外部事物”、大腦中的“內(nèi)在表征”等等 見(jiàn)下面關(guān)于語(yǔ)義指稱關(guān)系的討論。但它們將是相對(duì)于一個(gè)大腦而言的。而且，一個(gè)大腦也可以通過(guò)一些間接的手段觀察、認(rèn)識(shí)自己，或自己的一部分。因此，“外部事物”只是指一個(gè)大腦的認(rèn)識(shí)對(duì)象，不一定是“腦殼之外的”。用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)，認(rèn)識(shí)關(guān)系，作為自然事物之間的關(guān)系，對(duì)某些事物可以是自反的 當(dāng)

18、然一般不是對(duì)稱的。 這也意味著，自然主義者拒絕關(guān)于心靈如何認(rèn)識(shí)（或稱“把握”）獨(dú)立于心靈、也獨(dú)立于物質(zhì)世界的抽象對(duì)象或概念的那些思辨。這些思辨都假設(shè)心靈有一種在原則上不可還原為大腦與環(huán)境中的事物的相互作用的，神秘的直覺(jué)能力，使得心靈能夠以某種方式直接地“把握”那些獨(dú)立于心靈、也獨(dú)立于物質(zhì)世界的抽象對(duì)象或概念，即與那些抽象對(duì)象或概念建立起某種非物質(zhì)性的“認(rèn)識(shí)”關(guān)系。這與（4）相沖突。這同時(shí)意味著，自然主義拒絕以這種思辨為基礎(chǔ)來(lái)解釋人類心靈如何認(rèn)識(shí)抽象數(shù)學(xué)對(duì)象的那種形式的數(shù)學(xué)實(shí)在論。這實(shí)際上是將上數(shù)學(xué)哲學(xué)中所熟知的數(shù)學(xué)實(shí)在論的認(rèn)識(shí)論難題 見(jiàn)Benacerraf（1973），參見(jiàn)葉峰（2005）。，

19、以自然主義的方式表達(dá)出來(lái)。它蘊(yùn)涵著，自然主義應(yīng)該是與數(shù)學(xué)實(shí)在論相沖突的。 最后，這些并不排除，在回答認(rèn)識(shí)論問(wèn)題的時(shí)候，我們可以利用我們通過(guò)自己的大腦的內(nèi)省所獲得的關(guān)于大腦如何工作的知識(shí)。自然主義只是強(qiáng)調(diào)，我們不應(yīng)該將自己視為一個(gè)超自然的主體，我們應(yīng)該時(shí)時(shí)意識(shí)到自己是這個(gè)物質(zhì)世界的一部分，是進(jìn)化、生理發(fā)育、與學(xué)習(xí)（即與環(huán)境的交互作用）的結(jié)果，而且，我們與其它事物之間的聯(lián)系最終都是物質(zhì)性的聯(lián)系，是神經(jīng)元通過(guò)光波等等與其它物質(zhì)性的事物之間的聯(lián)系。這樣，我們就不會(huì)將心靈與“外部世界”隔離開(kāi)，然后幻想心靈如何“把握”那個(gè)“外部世界”中的非物質(zhì)性的抽象實(shí)體。這種幻想是當(dāng)一個(gè)人采納了主觀的視角，將自己當(dāng)作這

20、個(gè)世界之外的、處于這個(gè)世界的對(duì)立面的“主體”的時(shí)候，很自然地產(chǎn)生的。一個(gè)客觀的科學(xué)觀察者，在觀察一個(gè)大腦如何工作、如何與環(huán)境中的其它事物相互作用的時(shí)候，不會(huì)去問(wèn)那個(gè)大腦如何“把握”獨(dú)立于那個(gè)大腦、又獨(dú)立于物質(zhì)世界的抽象對(duì)象或概念。那是沒(méi)有科學(xué)意義的。 關(guān)于語(yǔ)義指稱問(wèn)題，自然主義也有類似的推論。首先，語(yǔ)詞不會(huì)自己指稱事物。只有通過(guò)大腦（或心靈）理解并解釋語(yǔ)詞，才能將語(yǔ)詞與語(yǔ)詞所指稱的事物相聯(lián)結(jié)。一般將大腦（或心靈）中能夠表示外部事物或事物的狀態(tài)的，稱為內(nèi)在表征（inner representation），它們包括大腦（或心靈）中能夠表示外部事物的概念，能夠表示事物的狀態(tài)的思想等等。概念用語(yǔ)詞表達(dá)

21、。比如，普通名詞“狗”表達(dá)一個(gè)概念，這個(gè)概念又表示狗這一類事物。這里所說(shuō)的概念、思想，都是指在一個(gè)個(gè)體大腦（或心靈）中具體地存在著的內(nèi)在表征。它們本身是具體事物，不是指實(shí)在論者所設(shè)想的、作為一個(gè)獨(dú)立于心靈的抽象實(shí)體的、公共的概念或思想。比如，一個(gè)大腦（或心靈）中表示狗的概念，有可能包含了這個(gè)大腦（或心靈）對(duì)一些狗的樣例的形象的知覺(jué)記憶，或關(guān)于狗的一些特征的描述，它們決定了這個(gè)概念表示狗這一類事物。這個(gè)意義上的概念是當(dāng)前的認(rèn)知心理學(xué)與心靈哲學(xué)研究的對(duì)象 見(jiàn)Murphy (2002)，Laurence and Margolis (1999)。 大腦（或心靈）中也有表示語(yǔ)詞本身的概念。比如，一個(gè)人學(xué)

22、習(xí)了“狗”這個(gè)詞以后，就有了表示“狗”這個(gè)詞的一個(gè)概念，它可能包含了關(guān)于“狗”這個(gè)詞的形狀的記憶，由此決定了它表示所有“狗”這個(gè)文字符號(hào)的具體例子。因此，假設(shè)我們用“狗”代表表示“狗”這個(gè)文字符號(hào)的例子的一個(gè)概念，而用狗代表表示狗這一類事物的概念 英文文獻(xiàn)中習(xí)慣上用全部由大寫字母構(gòu)成的詞，比如DOG，代表相應(yīng)的詞“dog”在大腦中所表達(dá)的概念。中文里沒(méi)有大小寫之分。我們這里用尖括弧將一個(gè)詞括起來(lái)以代表相應(yīng)的概念。，那么語(yǔ)詞與事物的聯(lián)系是這樣的：文字“狗”的例子 Ü“狗”«狗Þ 狗的類其中，箭頭Þ表示概念與所表示的對(duì)象之間的表示關(guān)系，“狗”與狗都是存在于一

23、個(gè)個(gè)體大腦（或心靈）中的概念，«則表示大腦（或心靈）的記憶中兩個(gè)概念之間的聯(lián)結(jié)。這里，大腦（或心靈）中的概念與外部事物之間的表示關(guān)系，是語(yǔ)義關(guān)系中真正重要的環(huán)節(jié)。 然后，從自然主義的角度看，既然心靈原則上可歸約為大腦，概念、思想等內(nèi)在表征也原則上是由大腦中的神經(jīng)元結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)的，而且（5） 概念等內(nèi)在表征與它們所表示的外部事物之間的表示關(guān)系，是自然事物之間的關(guān)系，即大腦中的實(shí)現(xiàn)概念的神經(jīng)元結(jié)構(gòu)與環(huán)境中的事物之間的聯(lián)系，它們最終只能通過(guò)大腦與環(huán)境中的事物之間的物理聯(lián)系來(lái)實(shí)現(xiàn)。（6） 心靈沒(méi)有什么原則上不可歸約為物理聯(lián)系的所謂意向性能力，使得心靈中的概念能夠神秘地表示獨(dú)立于物質(zhì)世界、也獨(dú)立于

24、心靈的事物，或使得語(yǔ)言中的詞項(xiàng)能夠神秘地指稱那些事物。 既然語(yǔ)詞與事物之間的語(yǔ)義指稱關(guān)系是通過(guò)概念與事物之間的表示關(guān)系來(lái)實(shí)現(xiàn)的，它也在根本上是自然世界中作為物質(zhì)對(duì)象的具體的語(yǔ)音文字與其它物質(zhì)對(duì)象之間的關(guān)系。是大腦通過(guò)眼睛、耳朵識(shí)別具體的語(yǔ)音文字，將語(yǔ)音文字與大腦中由神經(jīng)元實(shí)現(xiàn)的概念等內(nèi)在表征相聯(lián)系，再通過(guò)身體，將概念與它們所表示的事物相聯(lián)系，才使得語(yǔ)詞指稱事物。這種聯(lián)系，也最終只能由自然世界中的物理聯(lián)系來(lái)實(shí)現(xiàn)。 在現(xiàn)代心靈哲學(xué)中，在自然主義的框架下描述這種概念與外部事物之間的表示關(guān)系的理論，稱為意向性自然化或概念內(nèi)容自然化（naturalizing intentionality, natura

25、lizing content）理論。它意味著用普通的科學(xué)語(yǔ)言，特別地，不用“指稱”、“意指”、“表示”、“關(guān)于”、乃至“相信”等等這些所謂的意向性詞匯（intentional terms），來(lái)描述、刻畫概念與它們所表示的對(duì)象之間的這種表示關(guān)系，也就是將表示關(guān)系處理為自然事物之間的自然關(guān)系，就像普通的科學(xué)理論所研究的那些自然事物之間的關(guān)系。表示關(guān)系自然化也蘊(yùn)涵著語(yǔ)詞與事物之間的指稱關(guān)系的自然化。 將概念的表示關(guān)系自然化，也就是將表示關(guān)系中的規(guī)范性自然化。一個(gè)人很可能在行為上多次地將不是狗的東西，比如遠(yuǎn)處草叢中的黃鼠狼，或者一個(gè)外表像狗但內(nèi)部是機(jī)器的機(jī)器狗，歸入他的表示狗的概念之下。但我們認(rèn)為那是

26、犯錯(cuò)誤。一個(gè)概念有它所謂的“真正地表示”的事物，它們不一定是事實(shí)上常常被歸入這個(gè)概念的事物。這是表示關(guān)系中的規(guī)范性。將意向性自然化，就是要用自然化的、不含意向性詞匯的語(yǔ)言，來(lái)說(shuō)明所謂的一個(gè)概念“真正地表示”的事物是什么，也就是將表示關(guān)系中的規(guī)范性自然化。 已經(jīng)有數(shù)種意向性自然化理論被提出來(lái)，但它們也都存在著一些問(wèn)題 見(jiàn)Adams (2003)，Neander (2004)。對(duì)此，我們也提出了一種新的意向性自然化理論，它似乎能夠解決現(xiàn)有的理論中的主要問(wèn)題 見(jiàn)Ye (2007a, 2007b, 2007c)。但意向性自然化還是一個(gè)需要更深入地研究的課題，我們的新理論也只涉及了一部分類型的內(nèi)在表征，

27、包括一些類型的可用簡(jiǎn)單詞項(xiàng)表達(dá)的概念。這里不能詳細(xì)介紹這種新理論或其它理論。但是，我們將假設(shè)，意向性自然化是可能的。這包括假設(shè)一種關(guān)于概念的結(jié)構(gòu)的理論，以及一些自然化的、決定概念如何依其結(jié)構(gòu)表示事物的語(yǔ)義規(guī)則 參見(jiàn)Ye (2007a, 2007b, 2007c)。 這里要注意的是，意向性自然化理論只考慮那些可以表示與大腦有物質(zhì)性的聯(lián)系的具體事物的概念。而且，既然心靈沒(méi)有什么原則上不可歸約為物理聯(lián)系的意向性能力，使得心靈中的概念能夠表示獨(dú)立于物質(zhì)世界、也獨(dú)立于心靈的抽象事物，那么，不表示具體事物的那些概念，如數(shù)學(xué)概念，就不表示任何對(duì)象。這是在自然主義的框架中看數(shù)學(xué)實(shí)在論的指稱難題。它也應(yīng)該蘊(yùn)涵著

28、，自然主義是與數(shù)學(xué)實(shí)在論相沖突的。 另一方面，數(shù)學(xué)概念不表示事物不意味著它們沒(méi)有意義或沒(méi)有認(rèn)知功能。表示大腦之外的事物僅僅是大腦中的概念的認(rèn)知功能中的一種。那些不表示事物的概念，包括數(shù)學(xué)概念，還有其它的認(rèn)知功能。描述數(shù)學(xué)語(yǔ)言的意義，恰恰在于描述數(shù)學(xué)概念的這些不同于表示事物的認(rèn)知功能。 特別地，那些不直接表示具體事物的概念，包括數(shù)學(xué)概念，還可以通過(guò)與其它直接表示具體事物的概念相結(jié)合，來(lái)與大腦之外的具體事物產(chǎn)生聯(lián)系。因此，可以直接表示具體事物的概念與它們所表示的事物之間的表示關(guān)系，是數(shù)學(xué)概念與其它具體事物之間的聯(lián)系的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)概念與其它具體事物之間的這種間接的聯(lián)系，恰恰是我們的自然主義數(shù)學(xué)哲學(xué)要描

29、述的。 所以，大腦中的概念可分為兩類：可直接表示具體事物的概念與不直接表示具體事物的概念。前者將稱作實(shí)際概念（realistic concepts），后者將稱為抽象概念（abstract concepts）。所以，數(shù)學(xué)概念是抽象概念。要注意的是，這里的抽象概念仍舊指大腦之中的由神經(jīng)元結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)的內(nèi)在表征，是具體地存在于大腦之中的事物。與之相對(duì)應(yīng)，我們將稱實(shí)在論者所相信存在的，獨(dú)立于心靈的概念為“作為抽象實(shí)體的概念”。注意，實(shí)在論者可能相信，有一個(gè)作為抽象實(shí)體的、公共的、可同時(shí)被不同的心靈“把握”的、名詞“狗”所表達(dá)的概念狗。這樣一個(gè)概念本身是一個(gè)抽象實(shí)體，但它表示的是具體事物。所以，作為抽象實(shí)體

30、的概念也可以是實(shí)際概念或抽象概念。我們當(dāng)然不認(rèn)為有這樣的公共的概念。限于篇幅這里不能討論不必承認(rèn)這樣的作為抽象實(shí)體的概念的理由參見(jiàn)Ye（2007b）。 如果意向性能夠自然化，那么“真”作為大腦中的思想與其它事物的狀態(tài)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系也可以被自然化。大腦中的思想可以由概念構(gòu)成，由陳述句表達(dá)。比如，“狗是哺乳動(dòng)物”表達(dá)由兩個(gè)概念狗與哺乳動(dòng)物構(gòu)成的一個(gè)思想。這兩個(gè)概念分別表示兩類事物，即狗的類與哺乳動(dòng)物的類。因此，這個(gè)思想是真的，假如這兩類事物客觀上有著包含關(guān)系。既然概念狗和哺乳動(dòng)物與狗和哺乳動(dòng)物這兩類事物之間的表示關(guān)系可以被刻畫為自然事物之間的自然關(guān)系，即可以被自然化，這里的“真”，作為大腦中的一個(gè)

31、思想的屬性，或作為一個(gè)思想與環(huán)境中的事物的狀態(tài)之間的關(guān)系，也是自然化的屬性或關(guān)系。這是真理的自然化。也就是說(shuō)，在自然主義的框架下，“真”作為一個(gè)屬性或關(guān)系，是自然事物的自然屬性或自然事物之間的關(guān)系，就像一般科學(xué)理論研究的其他自然事物的屬性或關(guān)系。而且，這實(shí)際上是對(duì)應(yīng)論式的真理論（correspondence truth），不過(guò)其中的對(duì)應(yīng)關(guān)系是自然事物之間一個(gè)自然關(guān)系，是基于大腦中的概念與它們所表示的事物之間的自然化的表示關(guān)系。 這里只是以最簡(jiǎn)單的包含兩個(gè)概念的思想來(lái)說(shuō)明一個(gè)自然化的、對(duì)應(yīng)式的真理論，如何可以由關(guān)于概念的自然化的表示理論導(dǎo)出。一個(gè)完備的自然化的真理論，就像一個(gè)完備的自然化的概念理

32、論一樣還有待進(jìn)一步探索。這里我們也假設(shè)這是可能的。它應(yīng)該包括對(duì)思想的結(jié)構(gòu)的描述。一個(gè)一般的思想是由概念及其它思想用邏輯概念構(gòu)造而成的。所以，一個(gè)自然化的真理論應(yīng)該包括以自然化的方式描述邏輯概念的意義，它們對(duì)復(fù)雜的思想的自然化的“真”屬性的影響等等。 同樣地，這個(gè)自然化的“真”屬性只適用于那些由可以直接表示具體事物的實(shí)際概念構(gòu)成的思想。特別地，既然數(shù)學(xué)概念不直接表示任何事物，由數(shù)學(xué)概念構(gòu)成的數(shù)學(xué)思想也不直接表示任何事物的狀態(tài)。這個(gè)自然化的“真”屬性不適用于數(shù)學(xué)思想。同時(shí)，這也不意味著數(shù)學(xué)思想沒(méi)有意義。數(shù)學(xué)思想同樣可以間接地與具體事物的狀態(tài)相聯(lián)系。這也是我們的自然主義數(shù)學(xué)哲學(xué)要研究的。 我們同樣將

33、可依自然化的對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)應(yīng)于具體事物的事態(tài)的思想稱為實(shí)際思想（realistic thoughts），而將那些不表示具體事物的事態(tài)的思想，如數(shù)學(xué)思想，稱為抽象思想（abstract thoughts）。自然化的“真”屬性只適用實(shí)際思想。同樣地，這里的抽象思想本身還是大腦中的具體事物。實(shí)在論者則是相信有作為抽象實(shí)體的、公共的、可被不同的心靈“把握”的思想。一般所說(shuō)的一個(gè)語(yǔ)句表達(dá)的命題，如果字面意義上存在的話，應(yīng)該是這樣的公共的思想。與前面提到的作為抽象實(shí)體的概念一樣，自然主義者不認(rèn)為我們有必要承認(rèn)這種作為抽象實(shí)體的、公共的、可被不同的心靈“把握”的思想存在。 “真”被自然化以后，邏輯有效性也可隨之

34、被自然化。一個(gè)推理規(guī)則是大腦對(duì)思想作從前提到結(jié)論的推理變換的一個(gè)模式。它是有效的，假如對(duì)同一模式的推理變換，當(dāng)作為前題的思想都是真的時(shí)候，作為結(jié)論的思想也是真的。這是普通的，基于對(duì)應(yīng)論的真理論的，對(duì)有效性的刻畫。顯然，這種對(duì)邏輯有效性的解釋不是心理主義的解釋。一個(gè)大腦中很可能常常發(fā)生不有效的推理變換。邏輯有效性中的規(guī)范性來(lái)源于自然化的“真”關(guān)系中的規(guī)范性，而它又來(lái)源于自然化的概念與事物之間的表示關(guān)系中的規(guī)范性。 這個(gè)關(guān)于推理規(guī)則的有效性的刻畫假設(shè)了“真”屬性可以被用于前提和結(jié)論，因此這些前提和結(jié)論應(yīng)該是能夠直接表示具體事物的事態(tài)的實(shí)際思想。但是，一個(gè)對(duì)數(shù)學(xué)思想作的推理，可以與一個(gè)對(duì)實(shí)際思想作的

35、推理具有相同的模式。所以我們常常也說(shuō)一個(gè)對(duì)數(shù)學(xué)思想的作推理是有效的。 關(guān)于意義問(wèn)題，我們最后還要說(shuō)明一下，這里我們側(cè)重于談?wù)摳拍詈退枷耄皇钦Z(yǔ)詞和語(yǔ)句。由前面所述，語(yǔ)詞或句子是先與概念或思想相聯(lián)系，然后才與它們所表示的事物或事態(tài)相聯(lián)系。但是，由于同一個(gè)語(yǔ)詞或句子可以被不同的大腦理解，可以在不同的大腦中與不同的概念或思想象聯(lián)系，所以，討論語(yǔ)詞和句子的指稱、真值的時(shí)候，還還考慮另外一些因素，即一些社會(huì)性的因素。一個(gè)語(yǔ)詞的指稱，應(yīng)該由該語(yǔ)詞在語(yǔ)言共同體中的各個(gè)大腦中所表達(dá)的概念共同地決定。這是語(yǔ)言哲學(xué)中應(yīng)該考慮的因素。由于我們這里感興趣的是數(shù)學(xué)哲學(xué)，我們將忽略這一點(diǎn)。比如，假設(shè)在經(jīng)歷了一個(gè)地球上的

36、大災(zāi)難以后，地球上只有一個(gè)數(shù)學(xué)家與科學(xué)家活著，那么當(dāng)這個(gè)人做數(shù)學(xué)研究或?qū)?shù)學(xué)應(yīng)用于科學(xué)的時(shí)候，就沒(méi)有因一個(gè)詞或句子在不同的大腦可以與不同的概念或思想象聯(lián)結(jié)而導(dǎo)致的一些問(wèn)題?；蛘呶覀兛梢约僭O(shè)，一個(gè)共同體中的大腦之間有著最充分的交流，使得各個(gè)大腦永遠(yuǎn)是將具有非常相似的結(jié)構(gòu)的概念或思想與同一個(gè)語(yǔ)詞或句子相聯(lián)結(jié)。這樣，也沒(méi)有因一個(gè)詞或句子在不同的大腦可以與不同的概念或思想象聯(lián)結(jié)而導(dǎo)致的問(wèn)題。對(duì)于一般的語(yǔ)言，這可能是太理想化的假設(shè)，但恰恰對(duì)于數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)說(shuō)這并不太過(guò)分，因?yàn)槲覀儼l(fā)明數(shù)學(xué)語(yǔ)言的目的之一就是要避免由于對(duì)詞義的不同理解所可能帶來(lái)的概念上混亂。 更進(jìn)一步，由于我們將盡可能地忽略心理學(xué)上的細(xì)節(jié)，我們

37、將假設(shè)大腦中的一個(gè)數(shù)學(xué)概念或思想的結(jié)構(gòu)，就如同語(yǔ)言中的一個(gè)數(shù)學(xué)詞項(xiàng)或語(yǔ)句的邏輯結(jié)構(gòu)。所以，以后我們有時(shí)可能將大腦中的數(shù)學(xué)概念與思想就當(dāng)作語(yǔ)言中的詞項(xiàng)與語(yǔ)句，也就是說(shuō)，我們有時(shí)假設(shè)這些詞項(xiàng)、語(yǔ)句等等就在大腦之中。這種假設(shè)在直觀上是合理的。它也許在心理學(xué)上是極不準(zhǔn)確的。但我們這里關(guān)心的是關(guān)于數(shù)學(xué)的那些哲學(xué)問(wèn)題，這種假設(shè)似乎不影響我們對(duì)那些問(wèn)題的分析與回答。 最后，作為自然化的認(rèn)知關(guān)系、語(yǔ)義指稱關(guān)系、與“真”關(guān)系的推論，我們有（7） 真正存在著的事物都是這個(gè)物質(zhì)性的自然世界之中的事物，即宇宙之中與大腦有直接或間接的物理聯(lián)系的事物。（8） 沒(méi)有所謂獨(dú)立于物質(zhì)世界的抽象對(duì)象、抽象概念；即使有，它們也是不

38、可能被物質(zhì)的大腦認(rèn)識(shí)到或指稱到。因此我們相信，徹底的自然主義蘊(yùn)涵數(shù)學(xué)反實(shí)在論。換句話說(shuō)，假如抽象數(shù)學(xué)對(duì)象客觀地存在，那么，從自然主義的角度，關(guān)于它們的認(rèn)識(shí)論問(wèn)題與指稱問(wèn)題將是不可解的。這是自然主義蘊(yùn)含的對(duì)數(shù)學(xué)的本體論問(wèn)題的回答。 從人是自然世界的一部分，到認(rèn)知過(guò)程是大腦與環(huán)境的交互活動(dòng)，語(yǔ)義關(guān)系也是大腦與環(huán)境中的事物之間的自然關(guān)系，再到關(guān)于抽象實(shí)體的反實(shí)在論的結(jié)論，這些是自然主義的基本信念及其推論。自然主義數(shù)學(xué)哲學(xué)就是要在這個(gè)背景下描述與解釋我們的數(shù)學(xué)實(shí)踐。 2 自然主義數(shù)學(xué)哲學(xué)的任務(wù) 由于數(shù)學(xué)概念與思想不表示任何事物或它們的事態(tài)，在大腦中構(gòu)造數(shù)學(xué)概念，考慮數(shù)學(xué)思想，對(duì)它們進(jìn)行推理等等，類似于

39、想象一些事物，編織關(guān)于想象中的事物的故事等等。在這個(gè)意義上，我們也常說(shuō)數(shù)學(xué)對(duì)象是虛構(gòu)的對(duì)象、數(shù)學(xué)思維活動(dòng)是想象事物的活動(dòng)等等。將數(shù)學(xué)理論與虛構(gòu)的故事相比擬的想法很早就被人提出過(guò)比如Renyi (1967)。但Renyi對(duì)目前活躍的數(shù)學(xué)哲學(xué)研究幾乎沒(méi)有任何影響。它意味著，數(shù)學(xué)公理是我們關(guān)于想象中的事物的基本假設(shè)；數(shù)學(xué)證明是從這些基本假設(shè)出發(fā)，推導(dǎo)它們邏輯地蘊(yùn)涵的結(jié)論；數(shù)學(xué)應(yīng)用則是用虛構(gòu)的事物模擬真實(shí)的事物。將數(shù)學(xué)對(duì)象視為虛構(gòu)的事物，也是對(duì)關(guān)于數(shù)學(xué)對(duì)象的本體論問(wèn)題的一種反實(shí)在論的回答。 從另一個(gè)角度說(shuō)，針對(duì)實(shí)在論者對(duì)抽象數(shù)學(xué)對(duì)象的客觀存在性的信念我們可以問(wèn)，我們能不能想象抽象數(shù)學(xué)對(duì)象，就像我們想象

40、像孫悟空那樣的事實(shí)上不存在但如果存在的話則應(yīng)該是具體對(duì)象的事物，或者像我們想象像外星人那樣的可能存在的具體事物。似乎我們應(yīng)該承認(rèn)，我們也可以想象一些抽象數(shù)學(xué)對(duì)象，而不論它們是否真的存在。換句話說(shuō)，即使抽象數(shù)學(xué)對(duì)象真的存在，我們也可以不談?wù)撍鼈?，而談?wù)撐覀冏约合胂笾械某橄髷?shù)學(xué)對(duì)象，就像我們可以不談?wù)撜娴耐庑侨?，而談?wù)撐覀冏约合胂笾械耐庑侨恕Ｈ缓?，一個(gè)自然的想法是，數(shù)學(xué)理論就是描述這些我們自己想象出來(lái)的抽象數(shù)學(xué)對(duì)象，而數(shù)學(xué)應(yīng)用就是用想象的對(duì)象模擬真實(shí)的事物。用想象的對(duì)象模擬真實(shí)的事物，就像人們所說(shuō)的用虛構(gòu)的故事中的人物來(lái)揭示真實(shí)的人性。這似乎是可行的，而且，能夠成功地用一個(gè)故事來(lái)揭示真實(shí)的人性，并

41、不需要故事中的人物真實(shí)存在。故事依舊僅僅是虛構(gòu)的故事。 這樣，實(shí)在論者所面臨的認(rèn)識(shí)論難題、指稱難題等等就似乎都不存在了。既然故事是我們自己編的，當(dāng)然不存在關(guān)于故事中的陳述的認(rèn)識(shí)論問(wèn)題；既然故事中的對(duì)象是我們虛構(gòu)的，也不存在如何指稱到它們的問(wèn)題。這是一個(gè)數(shù)學(xué)反實(shí)在論者針對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)在論的信念的一個(gè)最自然、最容易想到的回應(yīng)。 這種對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)踐的解釋，與一種樸素的數(shù)學(xué)反實(shí)在論或形式主義在本質(zhì)上是一致的。說(shuō)數(shù)學(xué)對(duì)象是我們的想象，數(shù)學(xué)公理是關(guān)于我們的想象的假設(shè)，與說(shuō)數(shù)學(xué)只是從公理推導(dǎo)定理沒(méi)有實(shí)質(zhì)性的差別。所以，它也應(yīng)該面臨著一樣的問(wèn)題，即如何解釋數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性。困難主要在于，數(shù)學(xué)故事中的虛構(gòu)的對(duì)象并非準(zhǔn)確地模

42、擬了真實(shí)的事物。特別地，在數(shù)學(xué)應(yīng)用中，我們常常是用無(wú)窮、連續(xù)的數(shù)學(xué)模型來(lái)模擬宇宙中的有限、離散的事物，而無(wú)窮的數(shù)學(xué)對(duì)象并非準(zhǔn)確地模擬了有限、離散的真實(shí)事物。自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)當(dāng)然需要解決這個(gè)問(wèn)題。但另一方面，如果我們將這個(gè)具體的問(wèn)題暫時(shí)放在一邊，這種對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)踐的直觀描述還是有吸引力的，尤其是假如我們注意到了這個(gè)事實(shí)：一個(gè)故事確實(shí)可以有用，且以某種形式包含了真理，而同時(shí)故事中提到的事物又不必在字面意義上存在，故事中的陳述不必是字面意義上的真理。這似乎就是我們作為一個(gè)反實(shí)在論者所需要的。下面，一方面我們要澄清一些關(guān)于這種對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)踐的疑慮；另一方面，我們也要指出這種直觀的描述的不足之處，由此引出一個(gè)

43、自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)所應(yīng)該做的。 很自然地，對(duì)于將數(shù)學(xué)理論與故事作比擬會(huì)有些疑慮，但大部分直觀的疑慮是容易澄清的。比如，一種疑慮是，抽象數(shù)學(xué)對(duì)象是不屬于時(shí)空的、是永恒的，因此不能是生活于時(shí)空歷史中的人虛構(gòu)出來(lái)的。這當(dāng)然是假設(shè)了抽象數(shù)學(xué)對(duì)象是真正地獨(dú)立于我們的心靈存在的。假設(shè)抽象數(shù)學(xué)對(duì)象客觀存在，當(dāng)然它們不是我們虛構(gòu)的。但是，我們應(yīng)該可以想象某些事物是不屬于時(shí)空的、是永恒的。如果我們甚至不能想象任何事物是不屬于時(shí)空的、永恒的，那么顯然更談不上我們可以認(rèn)識(shí)那些事物。一個(gè)相關(guān)的疑慮是，有無(wú)窮多的、乃至不可數(shù)的抽象數(shù)學(xué)對(duì)象，我們不可能虛構(gòu)出無(wú)窮多的對(duì)象來(lái)。這當(dāng)然也是循環(huán)論證。如果無(wú)窮多的抽象數(shù)學(xué)對(duì)象都獨(dú)

44、立于我們的心靈真實(shí)存在，我們作為有限的人當(dāng)然不能一個(gè)個(gè)地想象完它們，但我們只是在想象有無(wú)窮多的抽象數(shù)學(xué)對(duì)象。事實(shí)上，我們?cè)谙胂笠粋€(gè)無(wú)窮序列的時(shí)候，僅僅是在想象一個(gè)尾巴變得模糊的序列，或僅僅是用“如此等等”這些詞來(lái)表達(dá)我們的想象。 還有一個(gè)相關(guān)的疑慮是這樣的 見(jiàn)Burgess (2004)。：關(guān)于具體事物的判斷，我們知道在什么情況下它是真的，在什么情況下它僅僅是想象，比如，對(duì)一個(gè)偵探的關(guān)于某人作了案的判斷，我們知道在什么情況下它是真的，在什么情況下它僅僅是想象；但對(duì)于數(shù)學(xué)判斷，似乎沒(méi)有這樣的區(qū)別，因?yàn)閿?shù)學(xué)判斷如果是真的就必然是真的。然而，假如對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象沒(méi)有“一個(gè)想象是真的”與“一個(gè)想象僅僅是想象

45、（或僅僅是一致的想象）”之間的差別，那么結(jié)果只能是：（1）只要能邏輯上一致地想象數(shù)學(xué)對(duì)象，那些想象就自動(dòng)地是真的；或者，（2）關(guān)于數(shù)學(xué)對(duì)象的想象只能僅僅是想象的，說(shuō)它是真的是無(wú)意義的。第三種情形，即數(shù)學(xué)對(duì)象存在（且可以被認(rèn)識(shí)）但我們不能想象數(shù)學(xué)對(duì)象，似乎是自相矛盾的。（2）當(dāng)然與數(shù)學(xué)對(duì)象是虛構(gòu)的對(duì)象的說(shuō)法是一致的。（1）事實(shí)上也與這種說(shuō)法不相沖突，因?yàn)椋?）意味著，對(duì)于數(shù)學(xué)對(duì)象來(lái)說(shuō)，可想象就已經(jīng)蘊(yùn)涵“真”，那么，再說(shuō)數(shù)學(xué)想象是“真的”其實(shí)就是多余的。 另一種疑慮提出，故事是隨意的虛構(gòu)而數(shù)學(xué)則應(yīng)該不是隨意的；數(shù)學(xué)在學(xué)科分類中是與科學(xué)同類，而不是與虛構(gòu)作品（fiction）同類 同上。事實(shí)上，虛構(gòu)

46、作品也能夠表達(dá)關(guān)于真實(shí)事物的真理。人們有時(shí)說(shuō)，一個(gè)虛構(gòu)的文學(xué)作品能夠比歷史實(shí)錄更深刻地揭示關(guān)于社會(huì)與人性的真理。在科學(xué)中我們也談?wù)撘恍┨摌?gòu)的事物，比如，在一本物理學(xué)教科書中談?wù)摰馁|(zhì)點(diǎn)、理想氣體等等，或者在一本經(jīng)濟(jì)學(xué)教科書中談?wù)摰奶摌?gòu)的工廠、公司等等。一篇文章或一本書是被歸類為虛構(gòu)作品（fiction）還是被歸類為非虛構(gòu)作品（non-fiction）作品，應(yīng)該是基于文章或書的主要目的是否在于表達(dá)某種真理，而不是基于其中所直接談?wù)摰膶?duì)象是真實(shí)的還是虛構(gòu)的。我們對(duì)一些最基本的數(shù)學(xué)對(duì)象的想象是有明確的目的的。比如，自然數(shù)是被用來(lái)與離散的物體（或相對(duì)于一個(gè)單位的物理量）作一一對(duì)應(yīng)，以此表示事物的數(shù)量與其

47、它物理屬性；初等幾何中的幾何圖形則是為了直接模擬物理世界中的各種形狀；抽象的集合則是為了模擬具體事物的聚合體。因此，數(shù)學(xué)不是隨意編撰的故事。將數(shù)學(xué)與虛構(gòu)的故事相比擬，是為了強(qiáng)調(diào)它們?cè)诒倔w論與認(rèn)識(shí)論方面的共同性，即它們不是直接地談?wù)摽陀^存在的對(duì)象，不是字面意義上的真理。當(dāng)然，也是由于在想象無(wú)窮數(shù)學(xué)對(duì)象的時(shí)候，那些想象可能超出了這個(gè)真實(shí)的世界，不能對(duì)應(yīng)于這個(gè)世界中的任何東西，因此只能僅僅是想象。這些都不排除數(shù)學(xué)與其它虛構(gòu)的故事在許多方面有重要的區(qū)別。 數(shù)學(xué)理論與一般的故事的區(qū)別在于兩個(gè)方面。一是上面已經(jīng)提到的，即數(shù)學(xué)想象有直接模擬具體事物的目的。二是數(shù)學(xué)“故事”中的概念是最大可能地精確、嚴(yán)密的。它

48、從最簡(jiǎn)單的概念，即從對(duì)最簡(jiǎn)單的事物的想象開(kāi)始，比如，從想象集合開(kāi)始，用嚴(yán)密的邏輯構(gòu)造編織出其它復(fù)雜的概念、思想，編織出整個(gè)極其復(fù)雜的數(shù)學(xué)故事。集合也許是我們所能想象的事物中最簡(jiǎn)單又具有一定的結(jié)構(gòu)的東西。它剔除了具體事物的任何物理、化學(xué)、生物等等方面的屬性，只保留了最簡(jiǎn)單的個(gè)體事物之間的等同性關(guān)系與個(gè)體事物與類的歸屬關(guān)系。數(shù)學(xué)就是用這種簡(jiǎn)單的想象中的事物，來(lái)精確嚴(yán)密地構(gòu)造其它復(fù)雜的想象中的事物，來(lái)模擬真實(shí)的事物。這好比用一些精確、簡(jiǎn)單的小磚塊來(lái)構(gòu)造一個(gè)復(fù)雜但嚴(yán)密的大廈。這使得數(shù)學(xué)既可以模擬相當(dāng)復(fù)雜的事物，又可以保持所想象、構(gòu)造的東西的精確性、嚴(yán)密性。 將數(shù)學(xué)對(duì)象視為虛構(gòu)的對(duì)象并不降低數(shù)學(xué)的重要性

49、。想象能力是人類最重要的智能上的能力之一。在規(guī)劃我們的所有的未來(lái)的行動(dòng)的時(shí)候，我們都會(huì)想象虛構(gòu)的場(chǎng)景。用精確的數(shù)學(xué)中的想象的事物來(lái)模擬真實(shí)事物，使得我們能夠?qū)?shù)學(xué)模型作精確、嚴(yán)密的計(jì)算與推理，更是人類的重要發(fā)明。對(duì)將數(shù)學(xué)與虛構(gòu)故事比擬的這些疑慮，都是基于這樣一個(gè)直觀的想法：我們的思想必須是字面意義上真的，必須對(duì)應(yīng)于某種客觀實(shí)在，才能對(duì)我們有認(rèn)知價(jià)值；僅僅是虛構(gòu)的思想是沒(méi)有價(jià)值的。但事實(shí)上，我們?cè)谌粘Ｉ睢⒐ぷ髦?，談?wù)撎摌?gòu)的事物的時(shí)候可能要遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于直接談?wù)撜鎸?shí)的事物的時(shí)候。比如，在物理學(xué)課堂中我們談?wù)撡|(zhì)點(diǎn)、理想氣體等等虛構(gòu)的事物；在心理學(xué)課堂中我們可能談?wù)撘粋€(gè)虛構(gòu)的、理想化的人物的心理發(fā)展，等等

50、。在多數(shù)情況下我們并不直接地談?wù)撨@個(gè)世界中的真實(shí)事物。正是這種談?wù)撎摌?gòu)的事物的能力，使得我們能夠表達(dá)我們關(guān)于這個(gè)世界中的真實(shí)事物的一般性的知識(shí)、一般性的規(guī)律。我們可以談?wù)撎摌?gòu)的事物來(lái)表達(dá)我們的一般性的理論，然后將理論應(yīng)用于具體的事物。 以上是對(duì)數(shù)學(xué)反實(shí)在論的一些直觀的解釋與辯護(hù)。它們有一定的說(shuō)服力，但很可能不足以說(shuō)服持有數(shù)學(xué)實(shí)在論信念的人。數(shù)學(xué)實(shí)在論者可能會(huì)承認(rèn)，質(zhì)點(diǎn)、理想氣體、或一個(gè)虛構(gòu)的、理想化的人物都不真正存在，但認(rèn)為數(shù)學(xué)對(duì)象與它們不同。因此，數(shù)學(xué)實(shí)在論者的任務(wù)就是要說(shuō)明究竟不同在哪里，究竟為何數(shù)學(xué)對(duì)象必須是真實(shí)的存在，而不能僅僅是虛構(gòu)的。這里我們不打算反駁數(shù)學(xué)實(shí)在論，也不打算論證數(shù)學(xué)實(shí)

51、在論者的任務(wù)不可能完成。相反，我們要指出，上面的對(duì)數(shù)學(xué)反實(shí)在論的直觀的解釋與辯護(hù)還是不夠的。由此，我們將引出自然主義的數(shù)學(xué)反實(shí)在論自身應(yīng)該解決的問(wèn)題。 首先，將數(shù)學(xué)與虛構(gòu)的故事相比擬，將數(shù)學(xué)對(duì)象視為“虛構(gòu)的對(duì)象”、“想象的事物”等等，僅僅是一種比喻式的說(shuō)法。這種比喻式的說(shuō)法也許可以幫助我們認(rèn)識(shí)到，數(shù)學(xué)實(shí)在論的信念并不像它初看起來(lái)的那樣自明，但是，一種比喻式的說(shuō)法本身還不是對(duì)數(shù)學(xué)的本性的真實(shí)的解說(shuō)。比如，這種比喻式的說(shuō)法一方面說(shuō)數(shù)學(xué)對(duì)象不存在，一方面又說(shuō)我們用虛構(gòu)的數(shù)學(xué)對(duì)象模擬真實(shí)的事物。我們?nèi)绾文軌蛴貌淮嬖诘臇|西來(lái)模擬真實(shí)的東西？能否說(shuō)既然我們能夠用數(shù)學(xué)對(duì)象模擬其它事物，數(shù)學(xué)對(duì)象就在某種意義上

52、存在了？換一個(gè)角度來(lái)考慮，當(dāng)科學(xué)家們用“虛構(gòu)的”數(shù)學(xué)對(duì)象來(lái)模擬真實(shí)事物的時(shí)候，他們做的判斷是字面意義上的真判斷嗎？如果是，那么它是否意味著數(shù)學(xué)對(duì)象必須至少在某種意義上存在？如果不是，那么為什么科學(xué)家們最終得出關(guān)于真實(shí)事物的判斷是字面意義上的真判斷？這些都是這種直觀的、比喻式的說(shuō)法還未回答的問(wèn)題。 最根本的問(wèn)題是，我們要追求的是對(duì)人類的數(shù)學(xué)實(shí)踐的字面意義上真的描述與解釋。既然抽象數(shù)學(xué)對(duì)象不存在，不論它們是虛構(gòu)的還是別的什么，我們?cè)诿枋?、解釋人類的?shù)學(xué)實(shí)踐的時(shí)候就不應(yīng)該繼續(xù)談?wù)摮橄髷?shù)學(xué)對(duì)象。比如，如果我們認(rèn)為神話的對(duì)象或宗教信仰的對(duì)象是虛構(gòu)的，那么，當(dāng)我們科學(xué)地描述、解釋人類的神話創(chuàng)造活動(dòng)或宗教信

53、仰活動(dòng)的時(shí)候，就不應(yīng)該像神話或宗教信仰的傳播者那樣，繼續(xù)像談?wù)撜鎸?shí)事物那樣談?wù)撋裨捴械娜宋锘蜃诮绦叛鲋械纳?。在描述宗教信仰的社?huì)功能的時(shí)候，我們不應(yīng)該說(shuō)，“神幫助了世人建立起一套社會(huì)規(guī)范”。類似地，描述數(shù)學(xué)的應(yīng)用時(shí)，我們也不應(yīng)該說(shuō)“科學(xué)家們使用了數(shù)學(xué)對(duì)象來(lái)模擬物理對(duì)象”。我們應(yīng)該說(shuō)明，在數(shù)學(xué)實(shí)踐中究竟什么真正存在，然后，我們應(yīng)該談?wù)撃切┱嬲嬖谥臇|西，對(duì)它們作字面意義上真的、科學(xué)的描述與解釋。 顯然，我們的大腦不會(huì)創(chuàng)造出“虛構(gòu)的事物”。所謂“虛構(gòu)的事物”只是一種非字面意義的說(shuō)法。我們的大腦只能創(chuàng)造出在大腦中存在的概念、思想、知覺(jué)形象等等內(nèi)在表征。在大腦的想象活動(dòng)中真正存在著的是想象活動(dòng)本身。

54、既然“虛構(gòu)的事物”不存在，真正存在的應(yīng)該是大腦在進(jìn)行虛構(gòu)活動(dòng)的時(shí)候，大腦中的概念、思想、推理等等。同樣地，既然數(shù)學(xué)對(duì)象不存在，在人類的數(shù)學(xué)實(shí)踐中真正存在的，應(yīng)該是大腦在進(jìn)行數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的時(shí)候，大腦中的數(shù)學(xué)概念、思想、及推理等等。因此，對(duì)人類的數(shù)學(xué)實(shí)踐的字面意義上真的描述與解釋，應(yīng)該是描述與解釋人類大腦的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)及其與環(huán)境中的事物之間的關(guān)系，也就是將人類的數(shù)學(xué)實(shí)踐，當(dāng)作包括人類大腦的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)及其與環(huán)境中的事物之間的聯(lián)系的自然現(xiàn)象，來(lái)作科學(xué)的描述與解釋。這就是在自然主義的框架下描述、解釋數(shù)學(xué)實(shí)踐所要做的。 人類大腦的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)這種自然現(xiàn)象包括許多方面。其中有一些方面應(yīng)該是屬于心理學(xué)領(lǐng)域的

55、，比如，大腦如何習(xí)得數(shù)學(xué)概念等等。自然主義數(shù)學(xué)哲學(xué)，作為一個(gè)哲學(xué)理論，關(guān)心的是其中的一些哲學(xué)家與邏輯學(xué)家們感興趣的問(wèn)題。這些問(wèn)題可以且目前只能用概念分析、邏輯分析的手段，基于我們對(duì)自己的大腦中的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的內(nèi)省的知識(shí)來(lái)回答。因?yàn)?，目前我們?duì)大腦的認(rèn)識(shí)還極其有限，我們不可能像其它科學(xué)領(lǐng)域中那樣，用實(shí)驗(yàn)的手段和構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的方式來(lái)回答這些問(wèn)題。另一方面，試圖回答這些問(wèn)題的時(shí)候，我們可以盡可能地忽略、回避心理學(xué)上的細(xì)節(jié)，而專注于我們從邏輯與哲學(xué)的角度感興趣的方面。這不可避免地使得我們對(duì)人類的數(shù)學(xué)實(shí)踐的描述與解釋不是非常精確的。但是，對(duì)所研究的對(duì)象進(jìn)行一定程度的簡(jiǎn)單化，忽略一些細(xì)節(jié)，是所有科學(xué)研究的

56、共同特點(diǎn)。比如，經(jīng)濟(jì)學(xué)描述、解釋人類的經(jīng)濟(jì)行為的時(shí)候同樣要忽略許多方面的細(xì)節(jié)。 從哲學(xué)與邏輯的角度，我們感興趣的問(wèn)題包括關(guān)于數(shù)學(xué)語(yǔ)言，或大腦中的數(shù)學(xué)概念與思想的意義問(wèn)題。既然數(shù)學(xué)概念與思想不表示任何事物或事態(tài)，描述它們的意義就應(yīng)該是描述它們?cè)诖竽X中在其他方面的認(rèn)知功能。我們感興趣的問(wèn)題包括關(guān)于數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)論問(wèn)題。既然數(shù)學(xué)知識(shí)不是關(guān)于大腦之外的抽象數(shù)學(xué)對(duì)象的知識(shí)，我們應(yīng)該解釋一個(gè)大腦的數(shù)學(xué)知識(shí)體現(xiàn)在哪些方面，是關(guān)于什么事物的知識(shí)，如何在大腦的認(rèn)知活動(dòng)中起作用等等。數(shù)學(xué)實(shí)踐中的客觀性與數(shù)學(xué)的先天性等問(wèn)題，可能也是典型的只被哲學(xué)家們感興趣的問(wèn)題。心理學(xué)家們也許不會(huì)關(guān)心這些問(wèn)題。從自然主義的角度回答客觀

57、性問(wèn)題，是要指出數(shù)學(xué)實(shí)踐中的各種客觀性的表現(xiàn)，說(shuō)明承認(rèn)客觀性不蘊(yùn)涵著任何與自然主義的基本信念相矛盾的東西，比如，不蘊(yùn)涵著承認(rèn)獨(dú)立于物質(zhì)世界的抽象對(duì)象、抽象概念等等。還有關(guān)于數(shù)學(xué)的先天性問(wèn)題，則首先要求在自然主義的框架下解釋先天性的意義，然后要回答人類的數(shù)學(xué)知識(shí)是否還是先天的，而且，不論這個(gè)答案是肯定還是否定，還要回答為什么人類有關(guān)于數(shù)學(xué)的先天性的強(qiáng)烈的直覺(jué)。 最后，要以這種自然主義的方式解釋數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性，就是要對(duì)“大腦成功地應(yīng)用了數(shù)學(xué)”這種自然現(xiàn)象作科學(xué)的解釋。大腦成功地應(yīng)用了數(shù)學(xué)，這是已知的、正在發(fā)生的自然現(xiàn)象。要解釋這種現(xiàn)象，就是要描述其中的規(guī)律、機(jī)制，用我們已知的、更具一般性的概念、原理等等，去說(shuō)明這種現(xiàn)象如何發(fā)生。當(dāng)然，這首先需要將數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性問(wèn)題，更清晰地表達(dá)為關(guān)于一類自然現(xiàn)象的規(guī)律性的問(wèn)題。這里我們要強(qiáng)調(diào)的是，它與其它科學(xué)領(lǐng)域?qū)ψ匀滑F(xiàn)象的解釋應(yīng)該在原則上是一樣的，應(yīng)該是字面意義上真的，對(duì)真實(shí)的自然事物的規(guī)律性的解釋。 這些是自然主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)的具體任務(wù)。在回答這些問(wèn)題的時(shí)候，我們可以假設(shè)大腦中的數(shù)學(xué)概念與思想有一些結(jié)構(gòu)，假設(shè)大腦有一些基本的認(rèn)知功能，包括構(gòu)造、處理概念與思想的功能。這些假設(shè)可能只能是非常抽象的、不可被實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的。但是，作為一種哲學(xué)理論，只要它們符合現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)中有限的關(guān)于大腦的知識(shí)，只要它們符合我們通過(guò)內(nèi)省獲得的關(guān)于大腦如何工作的知