偏微分方程理論學(xué)習(xí)總結(jié)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上偏微分方程理論學(xué)習(xí)總結(jié)任榮珍 院系：理學(xué)院 班級(jí)：19 班 學(xué)號(hào)：偏微分方程理論學(xué)習(xí)總結(jié)偏微分方程這一門學(xué)科在我腦海中的印象不是很深，本科時(shí)學(xué)的是常微分方程，在課堂上聽(tīng)到老師提起過(guò)偏微分方程，因此，在研究生階段選課時(shí)就選了這門課，以前不了解偏微分，再選了這門課之后對(duì)偏微分也算有一定的了解，接下來(lái)我想就我這學(xué)期學(xué)習(xí)了這門課做一個(gè)簡(jiǎn)單的總結(jié)。下面就來(lái)介紹有關(guān)偏微分方程的發(fā)展簡(jiǎn)介：談到偏微分方程，我們就會(huì)想到本科時(shí)學(xué)的常微分方程，而偏微分方程的發(fā)展沒(méi)有常微分方程的發(fā)展早，所以要談偏微分方程就先來(lái)談一下常微分方程。十七世紀(jì)微積分創(chuàng)立之后，常微分方程理論立刻就發(fā)展起來(lái)，當(dāng)時(shí)應(yīng)用

2、常微分方程解決幾何與理學(xué)中的新問(wèn)題，結(jié)果是在天體理學(xué)中不僅能得到并解釋早已知曉的那些事實(shí)，而且得到了新的發(fā)現(xiàn)(例如，海王星的發(fā)現(xiàn)就是在對(duì)微分方程分析的基礎(chǔ)上作出的)。而偏微分方程的研究要晚的多，對(duì)物理學(xué)中出現(xiàn)的偏微分方程研究在十八世紀(jì)中葉導(dǎo)致了分析學(xué)的一個(gè)新的分支數(shù)學(xué)物理方程的建立。J.達(dá)朗貝爾(DAlembert)(1717-1783)、L.歐拉(Euler)(1707-1783)、D.伯努利(Bernoulli)(1700-1782)、J.拉格朗日(Lagrange)(1736-1813)、P.拉普拉斯(Laplace)(1749-1827)、S.泊松(Poisson)(1781-1840

3、)、J.傅里葉(Fourier)(1768-1830)等人的工作為這一學(xué)科分支奠定了基礎(chǔ)，它們?cè)诳疾炀唧w的數(shù)學(xué)物理問(wèn)題中，所提出的思想與方法，竟適用于眾多類型的微分方程，成為十九世紀(jì)末偏微分方程一般理論發(fā)展的基礎(chǔ)。十九世紀(jì)，偏微分方程發(fā)展的序幕是由法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉拉開(kāi)的，他于1822年發(fā)表的熱的解析理論是數(shù)學(xué)史上的經(jīng)典文獻(xiàn)之一。而十九世紀(jì)偏微分方程的另一個(gè)重要發(fā)現(xiàn)是圍繞著位勢(shì)方程來(lái)進(jìn)行的，這方面的代表人物格林(G.Green)是一位磨坊工出身、自學(xué)成才的英國(guó)數(shù)學(xué)家，位勢(shì)方程也稱為拉普拉斯方程：偏微分方程是儲(chǔ)存自然信息的載體，自然現(xiàn)象的深層次性質(zhì)可以通過(guò)數(shù)學(xué)手段從方程中推導(dǎo)出來(lái)，而本學(xué)期學(xué)習(xí)的偏

4、微分方程理論的第一篇就介紹了線性橢圓形方程，橢圓形方程它的方法是先驗(yàn)估計(jì)加泛函分析手段，在線性橢圓形這一塊以6章來(lái)詳細(xì)介紹線性橢圓形方程，在這一篇中講到了很多內(nèi)容和知識(shí)點(diǎn)，下面我就來(lái)介紹一些關(guān)于線性橢圓形方程的一些定理及應(yīng)用在第一章預(yù)備知識(shí)這一塊主要學(xué)習(xí)了若干技巧和一些重要的不等式，若干技巧分單位分解定理、齊次化邊界條件、振動(dòng)方法等單位分解定理：(設(shè)是開(kāi)集組，是緊集，滿足，則存在函數(shù)，使得，且在的領(lǐng)域內(nèi))、；接下來(lái)介紹一些重要的不等式：一、 基本不等式(1) 不等式對(duì)任意的，有(2) 帶的不等式對(duì)任意的和，有(3) 不等式設(shè)是下凸的，則對(duì)有限區(qū)間及可積函數(shù)均成立(4) 不等式對(duì)任意,，有(5)

5、 帶的不等式對(duì)任意和，有(6) 不等式 ， ，(7)一般的不等式， (7) 不等式設(shè)，則，使(8) 幾何與算術(shù)平均不等式對(duì)任意，有(9) 空間的內(nèi)插不等式， ，二、內(nèi)插不等式(1) (恒等式)記號(hào)為在點(diǎn)的外法向?qū)?shù)。(2) (內(nèi)插不等式)設(shè)，是光滑函數(shù)，在上，則其中是僅依賴于的常數(shù)，且三、不等式設(shè)，則對(duì)，有其中僅依賴于及這些重要的不等式在以后的文章寫(xiě)作中也會(huì)用到，而且這是偏微分方程中最基本的知識(shí)。偏微分方程理論與其他數(shù)學(xué)分支如泛函分析、函數(shù)論、拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)、復(fù)分析的緊密聯(lián)系，偏微分方程理論廣泛應(yīng)用數(shù)學(xué)這些領(lǐng)域中的基本概念、基礎(chǔ)思想和基本方法，并且它本身也給這些學(xué)科分支的研究問(wèn)題的范圍與方向以影

6、響，極值原理及其應(yīng)用就是這種相互影響的經(jīng)典范例，下面就來(lái)介紹一下弱極值原理及解的上下界估計(jì)、強(qiáng)極值原理、弱解的極值原理、極值原理等等弱極值原理: 假設(shè)是函數(shù)，滿足微分不等式 其中滿足橢圓性假設(shè)條件，及有界，且 ，則特別地，若，則有解的上下界模的估計(jì)：假設(shè)是方程的解，其中滿足橢圓形假設(shè)條件，及有界，且在內(nèi)，則存在僅依賴于及系數(shù)，的常數(shù)，使得弱極值原理斷言，在一定條件下函數(shù)一定在的邊界取得它的最大值或最小值，但并不排除在內(nèi)也能取得最大(小)值，下面所講的強(qiáng)極值原理說(shuō)明，在一定條件下，若不恒為常數(shù)，則一定不能再內(nèi)部達(dá)到最大值，下面就介紹強(qiáng)極值原理。強(qiáng)極值原理：若函數(shù)在內(nèi)滿足，且在一個(gè)內(nèi)點(diǎn)處達(dá)到非負(fù)的

7、最大值，則為常數(shù)。接下來(lái)介紹弱解的極值原理，并由此獲得問(wèn)題弱解的存在性，這里我們采用迭代法。為了更精確地?cái)⑹鋈鯓O值原理，我們需要引進(jìn)上、下解的概念定義1：稱為方程的弱下解(弱上解、弱解)，如果對(duì)任意，有其中事實(shí)上式對(duì)于任意，也成立弱解的極值原理：設(shè)的系數(shù)滿足式與式，且在內(nèi)幾乎處處成立，如果是方程的弱下解，則對(duì)于任意，我們有其中僅依賴于，以及，但與的下界無(wú)關(guān)。上面介紹的是一些關(guān)于線性橢圓形的不等式極值原理及應(yīng)用，下面我們來(lái)介紹有關(guān)線性橢圓形中有關(guān)解的估計(jì)、存在性及連續(xù)性梯度的邊界估計(jì)：定理1.1假設(shè)滿足其中系數(shù)，有界，也有界，且滿足橢圓性假設(shè)條件，滿足外球條件，則存在僅依賴于，及的常數(shù)，使得解的

8、梯度在上的估計(jì)：定理1.2假設(shè)是問(wèn)題的解，其中滿足橢圓假設(shè)條件，與有有界的導(dǎo)數(shù)，且，則存在僅依賴于 (出現(xiàn)在橢圓假設(shè)條件中)及，的模的常數(shù)，使得解的梯度在上的估計(jì)有時(shí)是無(wú)用的，因?yàn)殡y以估計(jì)，在這種情況下，我們考慮函數(shù)其中是一光滑的截割函數(shù)，在附近它恒為0，我們可以選擇，使它在某嚴(yán)格內(nèi)域上恒等于1，并且利用前述估計(jì)，得到借助，及表示的的界。一旦有了的界，利用同樣的方法可得到高階導(dǎo)數(shù)的界。例如，我們可以利用極值原理于， 待定以得到的二階導(dǎo)數(shù)的界，利用以得到局部的二階導(dǎo)數(shù)估計(jì)。估計(jì)：記定理2.1：設(shè)是問(wèn)題的光滑解，滿足橢圓性假設(shè)條件，且，有界，若，則存在僅依賴于及系數(shù)的常數(shù)與，使得若充分大，則存在，

9、使得注意，這個(gè)估計(jì)不要求或的任何光滑性。估計(jì)：現(xiàn)在對(duì)系數(shù)及增加一些光滑性的假設(shè)來(lái)推導(dǎo)的二階導(dǎo)數(shù)的估計(jì)。關(guān)于的假設(shè)：(1)對(duì)每點(diǎn),存在一個(gè)在切于的平面,使得在的某個(gè)小領(lǐng)域-內(nèi), 在局部坐標(biāo)系下可表示為我們假設(shè)軸指向在點(diǎn)的外法向量矢量。(2) 是函數(shù),且, .(3)存在不依賴于的,使得對(duì)任意,有方程的估計(jì)：因?yàn)橄旅娴淖C明稍微復(fù)雜點(diǎn)，我們首先論述一個(gè)特殊情況定理2.2：設(shè)是問(wèn)題的光滑解，其中滿足上述條件(1)(3),則存在僅依賴于的常數(shù)，使得我們接下來(lái)將用同樣的方法去推導(dǎo)解的估計(jì)引理2.1：設(shè)及是兩個(gè)實(shí)對(duì)稱的矩陣，假定正定，且其最小特征值不小于，則定理2.3：設(shè)是式的光滑解，滿足(1)(3), 滿足

10、橢圓性假設(shè)條件，且在上有有界的梯度，及有界，則存在僅依賴于系數(shù)及的常數(shù)，使得如果充分大，則存在，使得散度形式方程解的估計(jì)：引理2.2 設(shè)是一致連續(xù)的(即存在，使得對(duì)任意，有)，且，假定，則(1) (2)若僅有有限多個(gè)間斷點(diǎn)，則在內(nèi)幾乎處處有， 定理3.1(全局估計(jì))設(shè)是問(wèn)題的解(弱解或光滑解)，若滿足橢圓性假設(shè)條件，且對(duì)某，則存在僅依賴于，與的常數(shù)，使得下解的局部估計(jì)：定義2 稱為方程 的下解，若 引理3.1 若是方程 的解，是凸的，則是方程 的下解。定理3.2 設(shè)是方程 的非負(fù)下解(或弱下解)，系數(shù)滿足橢圓性假設(shè)條件，任選及，使得，則存在僅依賴于，及的，使得即在較小球內(nèi)的模由它在較大球內(nèi)的模

11、來(lái)估計(jì)引理3.2 設(shè)是方程 的非負(fù)下解，則對(duì)任一，有其中不依賴于與。引理3.3 設(shè)是方程 的非負(fù)下解，則有推 論 設(shè)是方程 的解，則解的估計(jì)(1)算子的估計(jì)定義3 (1)稱 為方程的基本解. 其中是內(nèi)單位球的面積(2)設(shè)是有界可積的，則稱為的位勢(shì)定理4.1 設(shè)，則對(duì)任意，存在常數(shù)，使得對(duì)任意，有常數(shù)僅依賴于及。換句話說(shuō)，若是 的解，則(2)整體估計(jì)本節(jié)我們將研究的解，對(duì)系數(shù)作如下的假設(shè)：(1) ，在內(nèi)有界(不妨設(shè))；(2) 滿足橢圓性假設(shè)條件；(3)函數(shù)在上連續(xù)。引理 4.1假設(shè)系數(shù)，及滿足假設(shè)(1)(3)(以中心在原點(diǎn)的某個(gè)球代替)，選，則存在僅依賴于系數(shù)的界，的連續(xù)模，及的常數(shù)，,使得若，

12、且是方程在內(nèi)的解，在附近，則引理4.2 在引理4.1的假設(shè)下，存在常數(shù)，使得如果，是在內(nèi)的解，在附近，在上，則引理4.3 設(shè)，對(duì)每個(gè)，存在 (僅依賴于，)，使得對(duì)任意，有定理4.2 設(shè)是在具光滑邊界的有界域內(nèi)的光滑解，系數(shù)滿足條件(1),(2),(3)，令,則存在僅依賴于系數(shù)的界，的連續(xù)模，,，及的常數(shù),，使得若,充分大，我們可取(3)局部估計(jì)引理4.4 存在僅依賴于及的常數(shù)使得對(duì)所有及成立，其中不依賴于及.引理4.5 設(shè)是定義在上的非負(fù)有界函數(shù)，若對(duì)任意,有則定理4.3 設(shè)是方程的光滑解(或強(qiáng)解)，的系數(shù)滿足上面的條件(1),(2),(3),則對(duì)每個(gè)域, 存在僅依賴于系數(shù)的界, 的連續(xù)模，與

13、的常數(shù)，使得估計(jì)：(1) 位勢(shì)的估計(jì)命題1:(1) 若是內(nèi)有界可積函數(shù)，則，且 ； (2) 若在內(nèi)有界且是局部連續(xù)的(指數(shù)為，),則，且 ，其中是任一包含的光滑區(qū)域，在內(nèi)作零延拓，是上的單位外法向量。 (3) 在(2)的條件下，滿足，引理5.1 設(shè)，是兩個(gè)同心球，假設(shè)對(duì)某，且是在內(nèi)的位勢(shì)，則，且引理5.2 對(duì)某，設(shè)，假設(shè)對(duì)某，且是在內(nèi)的位勢(shì)，則且(2)整體估計(jì)引理5.3 設(shè)，且是 的解，若是任一包含的支集的球，則，且現(xiàn)在考慮一般的橢圓型方程問(wèn)題對(duì)系數(shù)作如下假設(shè)：(1) ，對(duì)某；(2) 滿足橢圓性假設(shè)條件(3)定理5.1(整體估計(jì)) 設(shè)是邊值問(wèn)題的解，其中系數(shù)滿足(1)與(2)，是光滑的(例如屬于)，則存在僅依賴于系數(shù)的模，及的常數(shù)，使得如果在內(nèi)，則我們可取。(3)內(nèi)部的估計(jì)設(shè)，記 對(duì)，定義(1) (2) (3) 定理5.2 (內(nèi)部估計(jì)) 設(shè)是方程在內(nèi)的解，且橢圓型算子的系數(shù)滿足(1)，(2)，則存在僅依賴于系數(shù)的模，及的常數(shù)，使得以上是第一篇所講到的內(nèi)容。第二篇也講到了一些極值原理及應(yīng)用，但是講的是有關(guān)線性拋物型方程的