2004年考研數(shù)學(xué)三真題及解析

1、考研數(shù)學(xué)(三)真題、填空題(本題共 6 小題，每小題 4 分，滿分 24 分.把答案填在題中橫線上)sinx一(1)若lim(cosx-b)=5,貝 Ua=,b=x0ex-a(2)設(shè)函數(shù) f(u,v)由關(guān)系式“刈，y=x+g(y)確定，其中函數(shù) g(y)可微，且 g(y),0,則墓=2xex設(shè)f(x)=，-121,x-22，則1f(x-1)dx=2(4)2,、2,、2,一次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)+(x2x3)+(x3+x1)的秩為設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為入的指數(shù)分布，則PXAJDX=2(6)設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(a,b)，總體Y服從正態(tài)分布N(。o2),X1,X2，Xi和YI

2、，Y2,工2分別是來自總體X和Y的簡單隨機樣本，則、_2n2_2E(Xi-X)+Z(Yj-Y)lyjmE=ni+n2-2LJ二、選擇題(本題共 6 小題，每小題 4 分，？茜分 24 分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(7)函數(shù)f(x)=|x|s1n(x-2)在下列哪個區(qū)間內(nèi)有界x(x-1)(x-2)2(A)(-1,0).(B)(0,1).(C)(1,2).(8)設(shè) f(x)在(*,+0)內(nèi)有定義，且limf(x)=a,XT二(D)(2,3).g(x)fe),x*0,則0,x=0(A) x=0 必是 g(x)的第一類間斷點.(B)x=0 必是

3、g(x)的第二類間斷點.(C) x=0 必是 g(x)的連續(xù)點.(D) g(x)在點 x=0 處的連續(xù)性與 a 的取值有關(guān).(9)設(shè) f(x)=|x(1-x)|,則(A) x=0 是 f(x)的極值點，但(0,0)不是曲線 y=f(x)的拐點.(B) x=0 不是 f(x)的極值點，但(0,0)是曲線 y=f(x)的拐點.(C) x=0 是 f(x)的極值點，且(0,0)是曲線 y=f(x)的拐點.(D) x=0 不是 f(x)的極值點，(0,0)也不是曲線 y=f(x)的拐點.(10)設(shè)有下列命題：若工(U2nT+u2n)收斂，則工Un收斂.QO(2)若un收斂，則un書ooo收斂.nn1c

4、o(3)若lim皿1,則工un發(fā)散.n：unnooOOQO(4)若(un+vn)收斂,則un,Evn都收斂.nnn=1則以上命題中正確的是(A)(1)(2).(B)(2)(3).(C)(3)(4).(D)(1)(4).(11)設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，且f(a)0,f(b)0,則下列結(jié)論中錯誤的是(A)當(dāng)|A|=a(a#0)時，|B尸a.(B)當(dāng)|A|=a(a#0)時，|B尸a.(C)當(dāng)|A|#0時，|B|=0.(D)當(dāng)|A尸0時，|B|=0.若P|X|f(a).(B)至少存在一點X0w(a,b),使得f(X0)f(b).(C)至少存在一點x0E(a,b),使得f仇)=0.(D)至少存在一點x

5、0(a,b),使得f(X0)=0.(12) 設(shè)n階矩陣A與B等價，則必有(13).*_設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣A#0,5,&,&,&是非齊次線性方程組Ax=b的互不相等的解，則對應(yīng)的齊次線性方程組(A)不存在.(B)(C)含有兩個線性無關(guān)的解向量.(D)Ax=0的基礎(chǔ)解系僅含一個非零解向量.含有三個線性無關(guān)的解向量(14) 設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(0,1),對給定的戶(0,1),數(shù)u0滿足PXu=a,QOcos2x2).x+y)da,其中D是由圓x2+y2=4和(x+1)2+y2=1所圍成的平面區(qū)域(如圖).(17)(本題滿分 8 分)設(shè) f(x),g(x)在a,b上

6、連續(xù)，且滿足xxfaf(t)dtfag(t)dt,xwa,b),bbxf(x)dx0)；dR(II)推導(dǎo)=Q(1-Ed)(其中 R 為收益)，并用彈性Ed說明價格在何范圍內(nèi)變化時,dP降低價格反而使收益增加.(19)(本題滿分 9 分)設(shè)級數(shù)468-(-二：x二：)242462468的和函數(shù)為 S(x).求：(I) S(x)所滿足的一階微分方程；(II) S(x)的表達(dá)式.(20)(本題滿分 13 分)設(shè)的=(1,2,0)T,%=(1,a+2,3a)T,%=(-1,-b-2,，+2b)T,B=(1,3,-3)T,試討論當(dāng)a,b為何值時，(i)0 不能由 eq,02,3Q線性表小;(n)B 可由

7、偽，0t2,0(3 唯一地線性表示，并求出表示式(in)B 可由 a,a2,3Q線性表不，但表木式不唯一,并求出表本式(21)(本題滿分 13 分)設(shè)n階矩陣證明:bb1b-.b1,(I)求A的特征值和特征向量；(n)求可逆矩陣P,使彳導(dǎo)PAP為對角矩陣.(22)(本題滿分 13 分)1_1_1.設(shè)A,B為兩個隨機事件，且P(A)=一,P(B|A)=一,P(A|B)=一,令4321,A生，1,B發(fā)生，X=一小,Y=，一小,0,A不發(fā)生，0,B不發(fā)生.求(I)二維隨機變量(X,Y)的概率分布；(n)X與Y的相關(guān)系數(shù)很Y；22.(m)Z=X+Y的概率分布.(23)(本題滿分 13 分)設(shè)隨機變量X

8、的分布函數(shù)為F(x,a,)=1J,xa，0,X0,B1.設(shè)X1,X2，Xn為來自總體X的簡單隨機樣本，(I)當(dāng)a=1時，求未知參數(shù)B的矩估計量；(n)當(dāng) a=1 時，求未知參數(shù)B的最大似然估計量(出)當(dāng)0=2時，求未知參數(shù)a的最大似然估計量2004年考研數(shù)學(xué)(三)真題解析一、填空題(本題共 6 小題，每小題 4 分，滿分 24 分.把答案填在題中橫線上)(1)若limsinx(cosx-b)=5,則 a=1,b=4x0ex-a【分析】本題屬于已知極限求參數(shù)的反問題.【詳解】因為lim網(wǎng)上(cosxb)=5,且limsinx.(cosxb)=0,所以x)0ex-ax0lim(exa)=0,得 a

9、=1.極限化為x0sinx.xlim(cosx-b)=lim-(cosxb)=1b=5,得 b=-4.x0ex-ax0 x【評注】一般地，已知limf3=A,g(x)(1)若 g(x)t0,則 f(x)t0；(2)若 f(x)t0,且A豐0,則 g(x)t0.(2)設(shè)函數(shù) f(u,v)由關(guān)系式 fxg(y),y=x+g(y)確定，其中函數(shù) g(y)可微，且 g(y)豐0,：2f=g(v)fufvg2(v)【分析】令 u=xg(y),v=y,可得到 f(u,v)的表達(dá)式，再求偏導(dǎo)數(shù)即可【詳解】令 u=xg(y),v=y,則 f(u,v)=+g(v),g(v)ff1：2fg(v)-5：:ug(v)

10、fufvg2(v)【分析】本題屬于求分段函數(shù)的定積分，先換元:的積分性質(zhì)即可.211詳解令 x1=t,(1f(x-1)dx=J-f(t)dt=_1f(x)dt922211=2xexdx，i1(-1)dx=0(一)2一22所以,2xex設(shè)f(x)=,_1-Mx2，貝Uf(x-1)dx=2x-1=t,再利用對稱區(qū)間上奇偶函數(shù)【評注】一般地，對于分段函數(shù)的定積分，按分界點劃分積分區(qū)間進行求解222,一次型f（Xi,X2,X3）=（Xi+X2）十（X2X3）+（X3+X1）的秩為 2.【分析】二次型的秩即對應(yīng)的矩陣的秩，亦即標(biāo)準(zhǔn)型中平方項的項數(shù)，于是利用初等變換或配方法均可得到答案.【詳解一因為f（X

11、1,X2,X3）=（X1+X2）2+（X2-X3）2+（X3+X1）2_2_2_2=2X12X22X32X1X22X1X3-2X2X3211A=121U-12【詳解二】因為f(X1,X2,X3)=(X1+X2)2+(X2-X3)2+(X3+X1)2_2_2_2=2X12X22X32X1X22X1X32X2X311232=2(X12X22X3)2(X2-X3)232=2y122,11其中y二X1X2X3,22所以二次型的秩為 2.1入的指數(shù)分布，則PXAVDX=-.e【分析】根據(jù)指數(shù)分布的分布函數(shù)和方差立即得正確答案1【詳解】由于DX=，X的分布函數(shù)為故111PXDX-1-PXDX-1-PXL1

12、-F（戶.X入e【評注】本題是對重要分布，即指數(shù)分布的考查，屬基本題型.F(X)0,X0,X三0.于是二次型的矩陣為由初等變換得1-12、1 -1203-3T03-3、03一3-118x0-4.sin2limf(x)=，limf(x)=0,limf(x)=0,x04x1x2所以，函數(shù) f(x)在(-1,0)內(nèi)有界，故選(A).【評注】一般地，如函數(shù) f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則 f(x)在閉區(qū)間a,b上有界；如函數(shù) f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，且極限lim+f(x)與limf(x)存在，則函數(shù) f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有界.xaxb-(8)設(shè) f(x)在(q,+叼內(nèi)有定義，且li

13、mf(x)=a,x二g(x)=f(x),0，則0,x=0(A) x=0 必是 g(x)的第一類間斷點.(B)x=0 必是 g(x)的第二類間斷點.(C) x=0 必是 g(x)的連續(xù)點.(D) g(x)在點 x=0 處的連續(xù)性與 a 的取值有關(guān).D1【分析】考查極限limg(x)是否存在，如存在，是否等于 g(0)即可，通過換兀u=,x0 x可將極限limg(x)轉(zhuǎn)化為limf(x).x_.0 x產(chǎn):i11【詳斛】因為limg(x)=limf(-)=limf(u)=a(令u=),又 g(0)=0,所以,x0 x0 xu)二x當(dāng) a=0 時，limg(x)=g(0),即 g(x)在點 x=0 處

14、連續(xù)，當(dāng) a#0 時，x0【詳解】因為En1-1ni一z(Xi-X)2=o2,i11n2_E=。2,limg(x)*g(0),即 x=0 是 g(x)的第一類間斷點，因此，g(x)在點 x=0 處的連續(xù)性x.0與 a 的取值有關(guān)，故選(D).【評注】本題屬于基本題型，主要考查分段函數(shù)在分界點處的連續(xù)性(9)設(shè) f(x)=|x(1-x)|,則(A) x=0 是 f(x)的極值點，但(0,0)不是曲線 y=f(x)的拐點.(B) x=0 不是 f(x)的極值點，但(0,0)是曲線 y=f(x)的拐點.(C) x=0 是 f(x)的極值點，且(0,0)是曲線 y=f(x)的拐點.(D) x=0 不是

15、 f(x)的極值點，(0,0)也不是曲線 y=f(x)的拐點.C【分析】由于 f(x)在 x=0 處的一、二階導(dǎo)數(shù)不存在，可利用定義判斷極值情況，考查 f(x)在 x=0 的左、右兩側(cè)的二階導(dǎo)數(shù)的符號，判斷拐點情況【詳解】設(shè) 060,而 f(0)=0,所以 x=0 是 f(x)的極小值點.顯然，x=0 是 f(x)的不可導(dǎo)點.當(dāng) xW(-5,0)時，f(x)=B(1-x),f(x)=20,當(dāng) xW(0,初時，f(x)=x(1-x),f(x)=2：unnqQOOOQO(4)若工(un+Vn)收斂，則Z5,工Vn都收斂.n1n1n1則以上命題中正確的是(A)(1)(2).(B)(2)(3).(C)

16、(3)(4).(D)(1)(4).B【分析】可以通過舉反例及級數(shù)的性質(zhì)來說明 4 個命題的正確性.【詳解】是錯誤的，如令un=(1)n,顯然，Zun分散，而Z(u2nv+u2n)收斂.f(x)在 x=0 的某空心鄰域內(nèi)的一階導(dǎo)數(shù)的符號來判斷(2)是正確的，因為改變、增加或減少級數(shù)的有限項，不改變級數(shù)的收斂性QO1 可得到un不趨向于零(nT哨,所以un發(fā)散.n11.二二一一,顯然，Zun,Zvn都發(fā)散，而nn=1n=1Z(un+vn)收斂.故選(B).n1【評注】本題主要考查級數(shù)的性質(zhì)與收斂性的判別法，屬于基本題型(11)設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，且f(a)0,f(b)C0,則下列結(jié)論中錯誤的

17、是(A)至少存在一點x0w(a,b),使得f(x0)f(a).(B)至少存在一點X0w(a,b),使得f(XO)f(b).(C)至少存在一點x0w(a,b),使得f(X0)=0.(D)至少存在一點xo(a,b),使得f(xo)=0.【分析】利用介值定理與極限的保號性可得到三個正確的選項，由排除法可選出錯誤選項【詳解】首先，由已知f(x)在a,b上連續(xù)，且f(a)0,f(b)0,由極限的保號性，至少存在一點x0w(a,b)xax-a使彳導(dǎo)f(x0)f(a)A0,即f(xo)f(a).同理，至少存在一點XQe(a,b)xo-a使得f(xo)f(b).所以，(A)(B)(C)都正確，故選(D).【評

18、注】本題綜合考查了介值定理與極限的保號性，有一定的難度(12)設(shè)n階矩陣A與B等價，則必有(A)當(dāng)|A|=a(a#0)時，|B|=a.(B)當(dāng)|A|=a(a#0)時，|B|=a.(C)當(dāng)|A|#0時，|B|=0.(D)當(dāng)|A|=0時，|B|=0.D【分析】利用矩陣A與B等價的充要條件：r(A)=r(B)立即可得.【詳解】因為當(dāng)|A|=0時，r(A)n,又A與B等價，故r(B)n,即|B|=0,故選(D).(3)是正確的，因為由，人1(4)是錯誤的，如令Un=，Vnn【評注】本題是對矩陣等價、行列式的考查，屬基本題型.-*_一(13)設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣A于0,若互不相等的解，則對應(yīng)的齊次線性

19、方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系(A)不存在.(B)僅含一個非零解向量.(C)含有兩個線性無關(guān)的解向量.(D)含有三個線性無關(guān)的解向量.B【分析】要確定基礎(chǔ)解系含向量的個數(shù)，實際上只要確定未知數(shù)的個數(shù)和系數(shù)矩陣的秩.【詳解】因為基礎(chǔ)解系含向量的個數(shù)=n-r(A),而且n,r(A)=n,r(A*)=n,r(A)=n-1,0,r(A)n1.*根據(jù)已知條件A#0,于是r(A)等于n或n-1.又Ax=b有互不相等的解即解不惟一，故r(A)=n-1.從而基礎(chǔ)解系僅含一個解向量，即選(B).*【評汪】本題是對矩陣A與其伴隨矩陣A的秩之間的關(guān)系、線性方程組解的結(jié)構(gòu)等多個知識點的綜合考查(14)設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分

20、布N(0,1),對給定的(0,1),數(shù) Ua 滿足PXAUa=a,若P|X|x=a,則x等于(A)Ua.(B)Ua.(C)Uj(D)U.C1_222【分析】利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的對稱性和幾何意義即得【詳解】由P|X|x=.故正確答案為(C).2【評注】本題是對標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì)，嚴(yán)格地說它的上分位數(shù)概念的考查.三、解答題(本題共 9 小題，滿分 94 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(15)(本題滿分 8 分)21cosx、求lim(一 2-一 2).x0sinxx【分析】先通分化為“0”型極限，再利用等價無窮小與羅必達(dá)法則求解即可022.221cosxx-sinxcosx【

21、詳解】lim(-)=lim2-2x0sinxxx-0 xsinx&,&,&,&是非齊次線性方程組Ax=b的x2-1sin22x=lim4-二limx0 x4x01?！?x-sin4x2二lim4x3x01-cos4x6x2=limg4x)2x06x【評注】本題屬于求未定式極限的基本題型，對于“-”型極限，應(yīng)充分利用等價無窮小替換來簡化計算0(16)(本題滿分 8 分)求H(4x2+y2+y)dcr,其中 D 是由圓x2+y2=4和(x+1)2+y2=1所圍成的平面區(qū)域(如圖).D【分析】首先，將積分區(qū)域 D 分為大圓D1=(x,y)|x2+y24減去小圓D2=(

22、x,y)|(x+1)2+y2M1,再利用對稱性與極坐標(biāo)計算即可【詳解】令D1=(x,y)|x2+y24,D2=(x,y)|(x+1)2+y20,xWa,b,故有x2y2d二D二.x2y2d，Il、x2y2d二DID22二2=.0嘰r2dr一二2d%2-2cosor2dr.16二3329；(3二-2)所以,(,x2y2y)d；：吟(3二一2).D9證明:af出一”出，a，b)，J出=agdfaxf(x)dxM(axg(x)dx.由題設(shè) G(x)至 0,xwa,b,bG(x)dx0,ab即faxF(x)dx0.bb因此xf(x)dx0);dR=Q(1-Ed)(其中 R 為收益)，并用彈性Ed說明價

23、格在何范圍內(nèi)變化時,dP收益增加(II)推導(dǎo)降低價格反而使由于L 一LPdQ,LPdQEd0,所以 Ed=-;由 Q=PQ 及 Ed=-可推導(dǎo)ddQdPdQdPPdQQdPdRdP=Q(1-Ed).【詳解】(I)Ed=PdQQdPP20-P(II)由 R=PQ,得dRdPdQPdQP加二Q(1G/XQO-Ed).P又由 Ed=1,得 P=10.20-P._dR-當(dāng) 10P1,于是一0,dP故當(dāng) 10P0 時，需求量對價格的彈性公式為PdQ=PdQQdP-QdP利用需求彈性分析收益的變化情況有以下四個常用的公式：dRdR1dR=(1-Ed)Qdp,7=(1-Ed)Q,-=(1-)p,dpdQEd

24、EREp=1-Ed(收益對價格的彈性).(19)(本題滿分 9 分)設(shè)級數(shù)(I)B 不能由內(nèi)，出,兩線性表不+242462468的和函數(shù)為 S(X).求：(I) S(x)所滿足的一階微分方程;(II)S(X)的表達(dá)式.【分析】對 S(X)進行求導(dǎo), 可得到S(x)所滿足的一階微分方程，解方程可得 S(x)的表達(dá)式.4X【詳解】(I)S(x)=X246X十248X+2468易見 S(0)=0,x3S(x)=2x524x7+,246X2一=x2s(x).因此 S(x)是初值問題x3y=xy+,y(0)=0的解.23一X(II)萬程 y=xy+的通解為2xdxy=e.X32一xdxedxC由初始條件

25、 y(0)=0,得 C=1.22xX2故y=+e2-1,因此和函數(shù)S(x)2Xe2-1.【評注】本題綜合了級數(shù)求和問題與微分方程問題,(20)(本題滿分 13 分)22002 年考過類似的題.試討論當(dāng)=(1,2,0)T,a?=(1,a+2,-3O)T,附=(-1,-b-2,a+2b)T,B=(1,3-3)T,a,b為何值時，(n)B 可由a,a2,的唯一地線性表示,并求出表示式；(in)B 可由 aI,ot2,奧線性表示，但表示式不唯一,并求出表示式.【分析】將B可否由X甌,內(nèi)線性表示的問題轉(zhuǎn)化為線性方程組k1al+k2c2+k3的=B是否有解的問題即易求解.【詳解】設(shè)有數(shù)k1，k2,k3，使

26、得ki仍+k2的+k3%=0.(*)記A=(，的，03).對矩陣(A,0)施以初等行變換，有11-1111-11(A,B)=2a+2-b-23T0a-b10-3aa+2b-3_/0a-b0_(i)當(dāng) a=0 時，有11-11(A,B)T00-b1.：00011可知r(A)手r(A,0).故方程組(*)無解,(n)當(dāng)a#0,且a#b時，有11(A,B)T0a00r(A)=r(A,0)=3,方程組(*)有唯一解:.1,1.ck1=1-一，k2=一,k3=0.aa此時 B 可由 3，%,%唯一地線性表示，其表示式為(m)當(dāng)a=b#0時，對矩陣(A,0)施以初等行變換B 不能由 a,為，區(qū)線性表示-1

27、1b1ta-b011001a1010a0010r(A)=r(A,0)=2,方程組(*)有無窮多解，其全部解為11k1=1一一,k2=+c,k3=c,其中c為任懸吊數(shù).aaB 可由 o),02,03 線性表示，但表示式不唯一,其表示式為一1、/、0=(1)%+(+c)兔+c%.(21)(本題滿分 13 分)設(shè)n階矩陣(I)求A的特征值和特征向量(n)求可逆矩陣P,使彳導(dǎo)P4AP為對角矩陣.【分析】這是具體矩陣的特征值和特征向量的計算問題，通常可由求解特征方程【詳解】(I)1二當(dāng)b#0時,-b入一1-b-b入一1=入-1-(n-1)b入一(1-b)n4得A的特征值為1=1+(n-1)b,=2n=1

28、b.對a=1+(n-1)b,一1(A,B)T0-1-ba-b11-11.1a1a【評注】本題屬于常規(guī)題型，a,曾考過兩次(1991,2000).1b1bb19bbbah|E-A|=0和齊次線性方程組(正A)x=0來解決.-b-b1111-n100-p0n0-n010-199aTa9a00n-n001-100-0j200-0解得自=（1,1,1，1）T,所以A的屬于入的全部特征向量為得基礎(chǔ)解系為n-1-1.-1-1、11,一11-1n-1-1-1-1n-1-1-1-一一一一T-1-1n-1-1-1-1n-1-12二當(dāng)b=0時，A=E,對任意可逆矩陣P,均有_1_一PAP=E【評注】本題通過考查矩

29、陣的特征值和特征向量而間接考查了行列式的計算，齊次線性方程組的求解和矩陣的對角化等問題，屬于有一點綜合性的試題.另外，本題的解題思路是容易的，只要注意矩陣中含有一個未知參數(shù)，從而一般要討論其不同取值情況.(22)(本題滿分 13 分)A-111人設(shè)A,B為兩個隨機事件，且P(A)=,P(B|A)=,P(A|B)=,令4321,A生，1,B發(fā)生，X=JY_j0,A不發(fā)生，0,B不發(fā)生.J求(I)二維隨機變量(X,Y)的概率分布；(n)X與Y的相關(guān)系數(shù)很丫;_22.(m)Z=X+Y的概率分布【分析】本題的關(guān)鍵是求出(X,Y)的概率分布，于是只要將二維隨機變量(X,Y)的各取值對轉(zhuǎn)化為隨機事件A和B表示即可.1【詳解】(I)因為P(AB)=P(A)P(B|A)=一,121則有PX=1,Y=1=P(AB)二一，121PX=1,Y=0=P(AB)=P(A)-P(AB)二61PX=0,Y=1=P(AB)=P(B)-P(AB)：122=0,Y=0=P(AB)=1-P(A-助二一尸P(B)-P(AB)N，、1112PX=0,Y=0-1),于是P(B)=3LP(A|B)6PX(或126123即(X,Y)的概率分布為:111(II)方法一：因為EX=P(A)=,EY=P(B)=6，E(XY)=12,2121EX=P(A)=,EY=P(B)=,463_2_25DX=EX2-