積分中值定理 (2)

1、積分中值定理積分中值定理第1頁，共22頁。對(duì)定積分的對(duì)定積分的補(bǔ)充規(guī)定補(bǔ)充規(guī)定:（1）當(dāng)當(dāng)ba 時(shí)時(shí)，0)( badxxf；（2）當(dāng)當(dāng)ba 時(shí)時(shí)， abbadxxfdxxf)()(.說明說明 在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大小考慮積分上下限的大小一、基本內(nèi)容一、基本內(nèi)容第2頁，共22頁。證證 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.（此性質(zhì)可以推廣到有限

2、多個(gè)函數(shù)作和的情況）（此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)作和的情況）性質(zhì)性質(zhì)1 1第3頁，共22頁。 babadxxfkdxxkf)()( (k為為常常數(shù)數(shù)).證證 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk性質(zhì)性質(zhì)2 2第4頁，共22頁。 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.補(bǔ)充補(bǔ)充：不論：不論 的相對(duì)位置如何的相對(duì)位置如何, 上式總成立上式總成立.cba,例例 若若, cba cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()( badxxf)( cbcadxxfdxxf)()(.)()(

3、 bccadxxfdxxf（定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性）（定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性）則則假假設(shè)設(shè)bca 性質(zhì)性質(zhì)3 3第5頁，共22頁。dxba 1dxba ab .則則0)( dxxfba. . )(ba 證證, 0)( xf, 0)( if), 2 , 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10 . 0)( badxxf性質(zhì)性質(zhì)4 4性質(zhì)性質(zhì)5 5如果在區(qū)間如果在區(qū)間,ba上上0)( xf，第6頁，共22頁。例例 1 1 比比較較積積分分值值dxex 20和和dxx 20的的大大小小.解解令令,)(xexfx 0, 2 x, 0

4、)( xf, 0)(02 dxxexdxex 02,02dxx 于是于是dxex 20.20dxx 第7頁，共22頁。性質(zhì)性質(zhì)5 5的推論：的推論：證證),()(xgxf , 0)()( xfxg, 0)()( dxxfxgba, 0)()( babadxxfdxxg于于是是 dxxfba )( dxxgba )(.則則dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba 如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上)()(xgxf ，（1）第8頁，共22頁。dxxfba )(dxxfba )(.)(ba 證證, )()()(xfxfxf ,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa 即即dxxfb

5、a )(dxxfba )(.說明：說明： 可積性是顯然的可積性是顯然的.|)(xf|在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的性質(zhì)性質(zhì)5 5的推論：的推論：（2）第9頁，共22頁。設(shè)設(shè)M及及m分分別別是是函函數(shù)數(shù)證證,)(Mxfm ,)( bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍）（此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍）則則 )()()(abMdxxfabmba . .)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性質(zhì)性質(zhì)6 6第10頁，共22頁。例例 2 2 估估計(jì)計(jì)積積分分dxx 03sin31的的值值.解解,sin31)(3

6、xxf , 0 x, 1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx第11頁，共22頁。例例 3 3 估估計(jì)計(jì)積積分分dxxx 24sin的的值值.解解,sin)(xxxf 2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx 2,4 x, 0 )(xf在在2,4 上上單單調(diào)調(diào)下下降降,故故4 x為極大點(diǎn)，為極大點(diǎn)，2 x為極小點(diǎn)為極小點(diǎn),第12頁，共22頁。,22)4( fM,2)2( fm,442 ab,422sin4224 dxxx.22sin2124 dxxx第13頁，共22頁。如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在閉閉區(qū)

7、區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)，證證Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知?jiǎng)t則在在積積分分區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少少存存在在一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn) ，使使dxxfba )()(abf . . )(ba 性質(zhì)性質(zhì)7 7（定積分中值定理）（定積分中值定理）積分中值公式積分中值公式第14頁，共22頁。在在區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少少存存在在一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn) ，使使,)(1)( badxxfabfdxxfba )()(abf .)(ba 在在區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少少存存在在一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn) ，即即積分中值公式的幾何解釋：積分中值公式的幾何

8、解釋：xyoab )( f使使得得以以區(qū)區(qū)間間,ba為為以以曲曲線線)(xfy 底底邊邊，為曲邊的曲邊梯形的面積為曲邊的曲邊梯形的面積等等于于同同一一底底邊邊而而高高為為)( f的的一一個(gè)個(gè)矩矩形形的的面面積積。第15頁，共22頁。例例 4 4 設(shè)設(shè))(xf可可導(dǎo)導(dǎo)，且且1)(lim xfx， 求求dttfttxxx 2)(3sinlim.解解由積分中值定理知有由積分中值定理知有,2, xx使使dttfttxx 2)(3sin),2)(3sinxxf dttfttxxx 2)(3sinlim)(3sinlim2 f )(3lim2 f . 6 第16頁，共22頁。定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)（注意

9、估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用）（注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用）典型問題典型問題（）估計(jì)積分值；（）估計(jì)積分值；（）不計(jì)算定積分比較積分大?。ǎ┎挥?jì)算定積分比較積分大小二、小結(jié)二、小結(jié)第17頁，共22頁。思考題思考題 定定積積分分性性質(zhì)質(zhì)中中指指出出，若若)(),(xgxf在在,ba上上都都可可積積，則則)()(xgxf 或或)()(xgxf在在,ba上上也也可可積積。這這一一性性質(zhì)質(zhì)之之逆逆成成立立嗎嗎？為為什什么么？第18頁，共22頁。思考題解答思考題解答 由由)()(xgxf 或或)()(xgxf在在,ba上可上可積，不能斷言積，不能斷言)(),(xgxf在在,ba上都可積。上都可積。

10、 為無理數(shù)為無理數(shù)，為有理數(shù)為有理數(shù)xxxf0, 1)( 為無理數(shù)為無理數(shù)，為有理數(shù)為有理數(shù)xxxg1, 0)(顯顯然然)()(xgxf 和和)()(xgxf在在 1 , 0上上可可積積，但但)(),(xgxf在在 1 , 0上上都都不不可可積積。例例第19頁，共22頁。一、一、 填空題：填空題：1 1、 如果積分區(qū)間如果積分區(qū)間 ba ,被點(diǎn)被點(diǎn)c分成分成 bcca,與與，則，則定積分的可加性為定積分的可加性為 badxxf)(_；2 2、 如果如果 baxf,)(在在上的最大值與最小值分別為上的最大值與最小值分別為Mm與與，則，則 abdxxf)(有如下估計(jì)式：有如下估計(jì)式：_ _ _；3

11、 3、 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)ba ，我們規(guī)定，我們規(guī)定 badxxf)(與與 abdxxf)(的關(guān)的關(guān)系是系是_；4 4、 積分中值公式積分中值公式 badxxf)()( ,)(baabf 的幾何意義是的幾何意義是 _ _；練練 習(xí)習(xí) 題題第20頁，共22頁。5 5、 下列兩積分的大小關(guān)系是：下列兩積分的大小關(guān)系是：（1 1） 102dxx_ 103dxx（2 2） 21ln xdx_ 212)(lndxx（3 3）dxex 10_ 10)1(dxx二、二、 證明：證明： babadxxfkdxxkf)()(（是是常常數(shù)數(shù)k）. .三、三、 估計(jì)下列積分估計(jì)下列積分 333cot xdxxarc的值的值 . .四、證明不等式：四、證明不等式： 2121dxx . .第21頁，共22頁。六、用定積分定義和性質(zhì)求極限六、用定積分定義和性質(zhì)求極限: :1 1、)21.2111(limnnnn ; ;2.2.、 40sinlim xdxnn. .七、設(shè)七、設(shè))(xf及及 baxg,)(在在上連續(xù)，證明：上連續(xù)，證明：1 1、 若 在若 在 ba ,上上0)( x