能帶理論第六章自由電子論電子的輸運性質(zhì)ppt課件

1、第六章 自由電子論 電子的輸運性質(zhì) 掌握費密能、熱容量、接觸電勢差、電子與聲子的相互作用、金屬電導(dǎo)率；了解玻耳茲曼方程、電阻率的統(tǒng)計模型等。教學(xué)目的：1 費密能量1 1 電子氣的費密能和熱容量電子氣的費密能和熱容量 金屬中的傳導(dǎo)電子好比理想氣體，相互之間沒有相互作用，各自獨立地在平均勢場中運動，通常取平均勢場為能量零點。要使自由電子逸出體外，必須克服電子的脫出功，因此金屬中自由電子的能態(tài)，可以從在一定深度的勢阱中運動的粒子能態(tài)估算，通常設(shè)勢阱深度是無限的，設(shè)金屬中自由電子的平均勢能為零，金屬外電子的平均勢能為無窮大，則金屬中自由電子的薛定諤方程為：zyxEzyxm,222用分離變量方法解此薛定

2、諤方程，設(shè) zyxzyx321,22222222zyxkkkmmkE代入薛定諤方程可得三個方程： 000322322222212212zkdzzdykdyydxkdxxdzyx設(shè)金屬體是邊長為L的立方體，周期性邊界條件為：zyxLzyxzyxzLyxzyxzyLx, 滿足自由粒子薛定諤方程和周期性邊界條件的波函數(shù)是平面行波形式的波函數(shù)： rkkriAe而波矢k的分量必須滿足： 2 ,2 ,2 LnkLnkLnkzzyyxxzyxnnn,n為整數(shù)，包括零。22222222zyxkkkkmmkE將波函數(shù)代入薛定諤方程可得波矢為k的量子態(tài)的能量： 對于波矢為k的行進波狀態(tài)，電子有確定的動量： rkr

3、rpkkk i 在以kx, ky, kz為坐標軸的空間，即波矢空間，每個量子態(tài)k在波矢空間占據(jù)的體積為： 32222LLLL 在k空間中量子態(tài)對應(yīng)的點是均勻分布的，因此單位體積中的量子態(tài)數(shù)為：32L 由于自由電子的能量和波矢的平方成正比，因而，在波矢空間自由電子的能量等于某個定值的曲面是一個球面。在能量E到E+dE之間的區(qū)域，是半徑為k到k+dk兩個球面之間的球殼層，它的體積為：dkk24dEEhmVdZc2/12/3224 2/12/12/3224CEEhmVdEdZENc2/3224hmVCc利用能量E和波矢k之間的色散關(guān)系可得因此能態(tài)密度為：其中常數(shù)： 考慮對應(yīng)于一個確定的k，可以容納自

4、旋相反的兩個電子，其中量子態(tài)的數(shù)目為：dkkVdZc23482 11TBkFEEeEfiiNEf 自旋為1/2的電子是費米子，自由電子氣體中的電子遵從泡利不相容原理，服從費米狄拉克統(tǒng)計，在熱平衡時，電子處于能量為E的狀態(tài)的幾率為： 其中EF具有能量的量綱，稱為費米能，實際上等于這個系統(tǒng)中電子的化學(xué)勢。由系統(tǒng)中電子總數(shù)N決定： dEENEfdN 2/302/3202380FcEEhmVdEENEfNF3/222032nmEF系統(tǒng)中能量在E和E+dE之間的電子數(shù)為：在絕對零度，當(dāng)EEF時，f(E)= 0。其中積分上限表示絕對零度時系統(tǒng)的費米能。因而：令n=N/Vc，表示系統(tǒng)的電子濃度，那么： 3/

5、222032nmEFEF1/323FknBFFkET0相應(yīng)于費米能的波矢稱為費米波矢在波矢空間半徑為kF的球面稱為費米面，相應(yīng)的動量稱為費米動量相應(yīng)的速度稱為費米速度相應(yīng)于費米能的溫度稱為費米溫度絕對零度時電子氣系統(tǒng)每個電子的平均能量，即平均動能為：1/323Fpn 1/323Fvnm005310FEKEEdNNEEF費米面上的能態(tài)密度為：02/123FFFENCEEN2. 金屬中電子氣的熱容量 dEeECdEENEfNTBkFEE02/101 dEeECdEENEEfUTBkFEE02/301 dEeEITBkFEE01當(dāng)系統(tǒng)處于有限溫度時，由 可以確定系統(tǒng)的費米能，自由電子氣的內(nèi)能為：上述

6、兩個積分都可以寫成下列形式： ETkEEBFz0011 1TdkeETzkTdzkeETzkTdzkeETzkIBzFBBzFBBzFBTBkFETBkFEzTdkeETzkTdzkeETzkBzFBBzFBTBkFE0011 其中分別為CE1/2和E3/2，作變量變換那么 11111zzee 001dzeTzkETzkETkdEEIzBFBFBEF1TkEBF 0201 2dzezETkdEEIzFBEF令可得在上式右方第二項中，考慮到 可將積分限都取作無窮大，由于被積函數(shù)的分母使對積分的貢獻主要來自z小的范圍，因此可以將被積函數(shù)的分子展開為z的冪級數(shù)，只取z的一次項得：12120dzezz

7、222/38132FBFETkCEN222/585152FBFETkCEU由定積分公式 可得因而 2020121FBFFETkEE 2020125153FBFETkNEUCUNkk TETVVBBF T202022FTRZ電子的熱容量為： 如果每個原子有Z個價電子，對于1摩爾金屬，N0kB=R為氣體常數(shù)，那么稱為電子比熱系數(shù)。1 接觸電勢差2 2 接觸電勢差接觸電勢差 熱電子發(fā)射熱電子發(fā)射 具有不同功函數(shù)fA和fB的兩種塊金屬費米能級的高度差為fBfA，當(dāng)它們相互接觸或者用導(dǎo)線聯(lián)結(jié)時，就會帶電產(chǎn)生不同的電勢VA和VB，功函數(shù)的不同直接反映了它們費米能級的高低不同，當(dāng)它們通過相互接觸或通過導(dǎo)線可

8、以交換電子時，就會發(fā)生電子從費米能級較高的A金屬流向費米能級較低的B金屬，使A表面帶正電，B表面帶負電，從而使它們產(chǎn)生靜電勢：VA0， VB0。這樣金屬A和B的電子將分別產(chǎn)生附加的靜電勢能 -qVA0，結(jié)果使兩塊金屬的費米能級拉平，電子不再流動。 qVqVBABAVVABqBA1 在這種平衡條件下，電勢差VAVB就是兩塊金屬的接觸電勢差：2. 熱電子發(fā)射 金屬中的傳導(dǎo)電子由于受正離子的吸引一般不會離開金屬，只有在外界給它提供足夠的能量時，傳導(dǎo)電子才有可能脫離金屬。按照自由電子氣模型，自由電子在深度為E0的勢阱中運動，費米能級為EF，自由電子離開金屬至少需要從外界獲得的能量為：FEE 0稱為脫出

9、功。 當(dāng)金屬絲被加熱到很高溫度時，有一部分電子獲得的能量多于f，它們就有可能逸出金屬，產(chǎn)生熱電子發(fā)射電流，其電流密度的實驗規(guī)律為： TkBeATj/2 上式稱為里查孫杜師曼公式。其中A為常數(shù)。根據(jù)自由電子的速度分布計算熱發(fā)射電流。 mkEkkk1 dhmd33282k dehmdnTBkFEm1122/23由自由電子的色散關(guān)系可得其速度為： zyxdkdkdkdk單位體積中，在中的量子態(tài)數(shù)為： d 則在內(nèi)統(tǒng)計平均自由電子數(shù)為：FFEEEm0221TkB deehmdnTkmTkEBBF2/322221m離開金屬的電子能量必須大于E0，由于而因此分布函數(shù)分母中的1可以忽略： 值是任意的。因此沿x

10、方向的熱發(fā)射電流密度為：122mxyz 設(shè)0 x軸垂直金屬表面，自由電子沿x方向離開金屬，這就要求沿x方向的動能必須大于 ，而和的數(shù)TkBeATj/2TkEBBTkEmExxTkmBTkEmExxTkmzyTkEBBFBBFBBFemTkmTkehmqdemTkehmqdeddehmqj/322/322/30020222= 22= 2TkTkEEBBBFeATehTkmq/2/32 4 0這就是里查孫杜師曼公式。3 3 玻耳茲曼方程玻耳茲曼方程 kf f T費米分布函數(shù) 是系統(tǒng)處于統(tǒng)計平衡狀態(tài)時，電子占據(jù)量子態(tài)的幾率。在恒定外場的作用下，電子達到一個新的定態(tài)統(tǒng)計分布。這種定態(tài)統(tǒng)計分布也可以用一

11、個與平衡時相似的分布函數(shù)來描述。 一旦確定了分布函數(shù) kf ，就可以直接計算電流密度。這種通過非平衡情況下的分布函數(shù)來研究輸運過程的方法，就是分布函數(shù)法。在自由電子模型中，電子的輸運過程與在外場力作用下產(chǎn)生的漂移和電子和聲子的碰撞有關(guān)。漂移項漂移項 BkEkkEqqdtd11 dtdtftfdtddtdtftftkkkkkkkkkk,2,2,2,2 0112BkBkEkkkkEqEqq在存在恒定電場E和磁場B時，電子的狀態(tài)改變?yōu)椋?分布函數(shù)相應(yīng)的變化，可以看成在k空間流體密度tf,2kdtd /k和流速滿足的連續(xù)性方程： 代入運動方程可得上式右邊第二項為零： tfdtdttf,kkkk tf,

12、 kttfdtdtfttdtdftf , ,kkkkkkktfdtdttfd,kkkk因而，分布函數(shù)由電磁場引起的變化為： tt 這個結(jié)果可以從另一個角度考慮。在 到達k的電 子，在t時刻必然在的分布函數(shù)值可得因而tdtdkk位置，對比同一時刻在k和tdtdkk tfdtdtfttfd,rkkrkkr kkr tf, ktf, k 由于分布函數(shù)的變化 完全是由k空間一點“漂移到另一點的結(jié)果，因此分布函數(shù) 的這種變化，通常稱為漂移項。tf, rk 存在溫度梯度時，分布函數(shù)就與r空間的坐標相關(guān)，變成類似的從連續(xù)性方程分析可得： 碰撞項碰撞項 ,kk 38/2kk df 由于晶格振動可以用聲子描述，

13、因此布洛赫電子和晶格之間的相互作用，可以用電子和聲子之間的散射來描述。一般用躍遷幾率函數(shù) 來描述單位時間內(nèi)由狀態(tài)k躍遷到k的幾率。如果只考慮自旋不變的躍遷，單位體積在k空間dk內(nèi)的電子數(shù)為： t 這些電子在時間 內(nèi)將由于向所有其它可能的狀態(tài)k躍遷而減少的數(shù)目為：ttfddtf ,18,8,233kkkkkk tfd,183kk其中表示k態(tài)未被占據(jù)的幾率 3 3882,1,kkkkkkkd tdtftf 3 3882,1,kkkkkkkd tdtftf t將上式對所有狀態(tài)積分，就得到在 時間內(nèi)k空間dk體積內(nèi)失去電子的數(shù)目： 另一方面，由于從其它所有狀態(tài)躍遷到dk中來的電子，使dk內(nèi)的電子數(shù)增加

14、，這一部分的表達式顯然可以通過將上式中積分函數(shù)的k和k對調(diào)直接寫出： 38/2kk df tdabdtf33828/, 2kkk f,tk 38,1,kkkkkkdtftfb 38,1,kkkkkkdtftfa abtfc t這兩部分之差就是在 時間內(nèi)k空間dk體積內(nèi)電子數(shù)的變化： 其中，是由于碰撞散射引起的分布函數(shù)的變化，因此由碰撞引起的分布函數(shù)的變化率為：a和b為： abtfdtdtfttf,rkkrkkrkrk abfdtdfrkkrkkkr, abfqkEk 考慮到漂移項和碰撞項的貢獻，分布函數(shù)的變化率為： 這就是玻耳茲曼方程。對于定態(tài)問題，例如恒定的電磁場或溫度梯度下的輸運過程，分布

15、函數(shù)不隨時間改變，玻耳茲曼方程變成： 如果分布函數(shù)與r空間的坐標r無關(guān)，在外電場E中玻耳茲曼方程簡化為：玻耳茲曼方程玻耳茲曼方程 4 4 弛豫時間的統(tǒng)計理論弛豫時間的統(tǒng)計理論 一般情況下，玻耳茲曼方程為微分積分方程，沒有簡單解析形式的解。解決具體問題時，常常采用近似方法。通常廣泛采用的為弛豫時間近似，即將碰撞項寫成： k0ffab指統(tǒng)計平衡時的費米分布函數(shù)其中f0 k稱為弛豫時間，是k的函數(shù)。 引入弛豫時間了描述碰撞項后，在外電場E中的玻耳茲曼方程變?yōu)椋?kkEk0fffq 上面方程的解，即為在外電場中定態(tài)的分布函數(shù)f，它顯然是外電場E的函數(shù)，我們將分布函數(shù)f按外電場E的冪級數(shù)展開： , ,2

16、1ff 分別表示包含E的一次冪、二次冪 項，零級項表示E = 0時的f值，就是統(tǒng)計平衡時的費米分布函數(shù)。210ffff kkEEkk2110fffqfq 方程兩邊E的同次冪的項應(yīng)該相等，因此有如下確定 , ,21ff的方程：1201fqffqfkkEE 由于費米分布函數(shù) 是能量E的函數(shù)，于是：f0 EfqEfEqfk001kEkE 對于弱場情況，分布函數(shù)只需要考慮到E的一次冪，即 10fff kkkkdcos1,8113 cos 1 4122kqUqkqdEEVNNat ddEEmddkkdsin 22sin 2 2/322kk對于電子從量子態(tài)k到 的彈性散射有：kk, 其中k為k和 之間的夾

17、角。將散射幾率代入： 對于費米面是球面的電子 dVNENmddEEmEEVNNatat sin cos 128 sin 22cos 141222/3222/3222qUqqUqkqq dVNECNat sin cos 122qUqq其中C為常數(shù)，N(E)為能態(tài)密度。下面分兩種情況討論。TkBq2222mTkNqNBqqUUq TENk1(1) 高溫時金屬的電阻率與費米能級附近的能態(tài)密度和溫度成正比。qBk T(2) 低溫時，金屬的電導(dǎo)率與溫度的5次方成正比。通常稱為布洛赫5次方定律。DFFTkqkq222sinmax被積函數(shù)中的角度部分：FFkqdkqdd2282sin2sin 8 sin c

18、os 133 4452014n1BFFxDk TTx dxCN EN ETkmeTqqTkqTkxDBBqmax令DTxqqmax那么代入積分得： 6 6 金屬的電導(dǎo)率金屬的電導(dǎo)率 313038/28/2 8/2kkkkkkjdfqdfqdfq 3028/2kEkkjdEfq Ej 3028/2kEkkkdEfq 在外電場中金屬的電流密度為： 第一項是平衡分布的電流密度，等于零。考慮第二項：這就是歐姆定律的一般公式。用分量表示：其中： mkE222Ef0根據(jù)費米分布函數(shù)的性質(zhì)，因為被積函數(shù)中出現(xiàn)因此對積分的貢獻主要來自費米能級附近，也就是說，金屬的電導(dǎo)率主要取決于費米能級附近電子的躍遷。這和費米凍結(jié)的物理圖象是一致的。m來描述： 對于各向同性的立方晶格金屬，假設(shè)導(dǎo)帶底電子可以用有效質(zhì)量由晶體的對稱性可知，此時電導(dǎo)率的二價張量變成一個標量： dEEfkkmqdkEfkkmqdEfkkmqzzyyxzzyyxx 032204222230222203= 3 8/