第4節(jié)無窮小與無窮大的階的比較ppt課件

1、4 4無窮小與無窮大的階的比較無窮小與無窮大的階的比較一、無窮小一、無窮小定義定義7.17.10limsin0,xx .)(0時時的的無無窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)則則稱稱xxxf1lim0,xx .1時的無窮小時的無窮小是當(dāng)是當(dāng) xx, 0)(lim);()(000 xfxUxfxx內(nèi)有定義，若內(nèi)有定義，若在在設(shè)設(shè) .0sin時的無窮小時的無窮小是當(dāng)是當(dāng) xx例例.過過程程的的無無窮窮小小類類似似可可以以定定義義其其它它極極限限例例.,00 xxxxxx觀察下列無窮小收斂到零的速度：觀察下列無窮小收斂到零的速度：x2xxsin1 . 001. 00998. 001. 00001. 001. 0001.

2、 06101 001. 0.sin,02都都是是無無窮窮小小時時當(dāng)當(dāng)xxxx 不同的無窮小收斂到零的速度不同，如何描述？不同的無窮小收斂到零的速度不同，如何描述？定義定義7.2 (7.2 (無窮小量階的比較無窮小量階的比較) ). 0)(,)(, )(00 xgxxxxgxf空空心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)某某個個且且在在時時的的無無窮窮小小為為設(shè)設(shè);, 0)()(lim. 10的的高高階階無無窮窮小小是是稱稱若若gfxgxfxx ;, 0)()(lim. 20是是同同階階無無窮窮小小與與稱稱若若gflxgxfxx ;, 1)()(lim.30是是等等價價的的無無窮窮小小與與稱稱若若gfxgxfxx )(

3、0 xxgf記記為為：.),0, 0()()(lim00階階無無窮窮小小是是稱稱若若kfkllxxxfkxx 中中，實實際際上上，在在過過程程 000,xxxx.1)(xxg 比較標(biāo)準(zhǔn)選為比較標(biāo)準(zhǔn)選為定義定義7.3 (7.3 (無窮小量階的量化比較無窮小量階的量化比較) ).)()(0的階的階為標(biāo)準(zhǔn)，確定無窮小為標(biāo)準(zhǔn)，確定無窮小以以xfxxxg ,時時當(dāng)當(dāng) x例例1 1解解.tan4 ,0:3的的四四階階無無窮窮小小為為時時當(dāng)當(dāng)證證明明xxxx 430tan4limxxxx30)tan(lim4xxx , 4 .tan4 ,03的的四四階階無無窮窮小小為為時時故故當(dāng)當(dāng)xxxx 例例2 2.si

4、ntan,0的的階階數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于求求時時當(dāng)當(dāng)xxxx 解解30sintanlimxxxx )cos1tan(lim20 xxxxx ,21 .sintan的三階無窮小的三階無窮小為為xxx 例例3 3 確定下列無窮小的階確定下列無窮小的階)0(x,63xx ,11xx ,21cos1,cos120lim xxxx2 2階階 1 1階階) (無無窮窮小小量量者者低低階階3. 1633630lim的的階階為為xxxxxx )1( . 1)11(211limlim00 kxxxxxxxkxkx二、無窮大二、無窮大,| )(|,|, 00Mxfxx 都有都有當(dāng)當(dāng) ，內(nèi)內(nèi)有有定定義義，若若對對在在設(shè)設(shè)0

5、);()(00 MxUxf 定義定義7.47.4.)(0時時的的無無窮窮大大是是則則稱稱xxxf )(lim0 xfxx).)(lim( xfx或或記作記作 .,00類類似似其其它它過過程程： xxxxxx特別：特別：., 0)(, 0)(負(fù)負(fù)無無窮窮大大正正無無窮窮大大， xfxf注意：無窮大量和無界量的區(qū)別注意：無窮大量和無界量的區(qū)別. .xxy1sin1 .,1sin1,0,但但不不是是無無窮窮大大是是一一個個無無界界變變量量時時當(dāng)當(dāng)例例如如xxyx ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1( kkxk 取取,22)( kxyk.)(,Mxykk 充充分分大大時時當(dāng)當(dāng)), 3 , 2

6、 , 1 , 0(21)2( kkxk 取取, kxk充充分分大大時時當(dāng)當(dāng) kkxyk2sin2)(但但.0M 不是無窮大無界!.11lim1 xx證證明明證證, 0 M,11Mx 要要使使,11Mx 只只要要,1M 取取,110時時當(dāng)當(dāng)Mx .11Mx 就就有有.11lim1 xx11 xy例例 4 4 定義定義7.5 (7.5 (無窮小量階的比較無窮小量階的比較) ),)(, )(0時時的的無無窮窮大大為為設(shè)設(shè)xxxgxf;, 0)()(lim. 10的的高高階階無無窮窮大大是是稱稱若若fgxgxfxx ;, 0)()(lim. 20是是同同階階無無窮窮大大與與稱稱若若gflxgxfxx

7、;, 1)()(lim.30是是等等價價的的無無窮窮大大與與稱稱若若gfxgxfxx )(0 xxgf記記為為：.),0, 0()()(lim00階階無無窮窮大大是是稱稱若若kfkllxxxfkxx 定義定義7.6 (7.6 (無窮大量階的量化比較無窮大量階的量化比較) ).)(10為標(biāo)準(zhǔn)為標(biāo)準(zhǔn)即以即以xx .),0, 0()(lim階階無無窮窮大大是是稱稱若若kfkllxxfkx .為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)即即以以kx例例4 42 2階無窮大階無窮大)(13235 xxxx2 2階無窮大階無窮大2132lim1132lim33235 xxxxxxxxx 2212213lim121xxxx 解解 ：)1(

8、)1(2322 xxxx（1）（2）判斷下列無窮大的階三、三、 表示與性質(zhì)表示與性質(zhì)定義定義7.77.7：. 0)( ,)(,0 xgxUgfo且且內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在.|)()(| , 0 ,0MxgxfMxx 使使得得若若存存在在時時當(dāng)當(dāng)“有有界界”記記為為特特別別地地， (1)(,| )(|OxfMxf)( )()( , 0)()(lim00 xxxgoxfxgxfxx 就記為就記為若若“無無窮窮小小”記記為為特特別別地地 )1()(, 0)(lim,0oxfxfxx).()()( 0 xxxgOxf 就就記記為為（2）（1）定義定義7.87.8：有有當(dāng)當(dāng), 0 , 0 nx);)()(

9、)(mnxoxoxonmn （2）（1）)()()(mnmnxoxoxo 有有當(dāng)當(dāng), 0 , nx);)()()(mnxoxOxOnmn )()()(mnmnxOxOxO （3）有有時時當(dāng)當(dāng),o(1) ,0 xx);()()( ooo ).()(kkoo 四、等價代換定理四、等價代換定理證明：證明：).()(lim )()()()(lim)()(limxhxgxhxgxgxfxhxf 某某鄰鄰域域有有定定義義，在在若若函函數(shù)數(shù)0)(),(, )(xxhxgxf定理定理7.1 7.1 則則若若且且,)()(lim),()(0axhxfxgxfxx .)()(lim0axgxfxx 則則若若,)(

10、)(lim0axfxhxx . 0)(, 0)(,)()(lim0 xgxfaxgxhxx. 1ln)1(limln()1ln(lim)1ln(lim10100 exxxxxxxxx)1ln(lnlim)1(loglim00tattttat aln例5例6. 11lim0 xexxtax 1xaxx1lim0 )0()1ln( xxx)0(1 xxexxexxxxx11)1()1ln(00limlim ).1)1( , 11)1(lim0 xxxxx 例例7 7.)1ln(lim0 xxx例例8 8.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 時時當(dāng)

11、當(dāng)821/)2(lim220 xxx原原式式常用等價無窮小常用等價無窮小: :,0時時當(dāng)當(dāng) x,1)1(xx ,211xx .21)1(2xx ,sinxx,21cos12xx ,arcsinxx,)1ln(xx ,tanxx,arctanxx,1xex 正確使用：正確使用：注意注意多用于乘除慎用于加減多用于乘除慎用于加減五、冪指函數(shù)的極限五、冪指函數(shù)的極限. 0)(,)()( xuxuxv)(ln)(lim)(ln)()(lim)(limxuxvxuxvxveexu )(ln(lim)(lim)(lnlim)(limxuxvxuxvee )(lim)(limln:xvxu等價于求極限等價于求

12、極限,)(lim),(lim存存在在時時當(dāng)當(dāng)xvxu也連續(xù)也連續(xù)連續(xù)時，連續(xù)時，vuvu ,.)(lim, 1)(lim xvxu型型 1. 0)(lim, 0)(lim xvxu. 0)(lim,)(lim xvxu型型00型型0 )(0)(00)()(limxvxvxxxuxu 型型 1 vuuvuu)1(11)1(1 為無窮小量，為無窮小量，時時記記 1 , 1 AuuA eAAA 10)1(lim則則存存在在，如如果果 )1(lim vu .lim euv 2)1(coslimxxx )11(coslim2 xxx.212lim1coslim22020 tttttt.121ee 原原式式例例9 9解解 1: 1:221)11(cos1ln1coslnlimlimxxxxxx .211cos20lim ttt.121ee 原原式式xxxxxxxxeex1coslnlim1cosln222lim)1(coslim 解解2.2.20)1(cos1lnlimttt xxnxxxnaaa121