第一章 離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)-1

1、第一章第一章 離散離散時(shí)間時(shí)間信號(hào)與系信號(hào)與系統(tǒng)統(tǒng)信息與電氣工程學(xué)院信息與電氣工程學(xué)院辦公室：主樓辦公室：主樓710710室室/ /研究院研究院2 2號(hào)樓號(hào)樓715 715 電電 話：話：5687803 5687803 學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo) 了解序列的概念及其幾種典型序列的定義了解序列的概念及其幾種典型序列的定義, ,掌握序列的基本運(yùn)算，判斷序列的周期性。掌握序列的基本運(yùn)算，判斷序列的周期性。 了解線性了解線性/ /移不變移不變/ /因果因果/ /穩(wěn)定的離散時(shí)間系穩(wěn)定的離散時(shí)間系統(tǒng)的概念并會(huì)判斷，線性移不變系統(tǒng)及其統(tǒng)的概念并會(huì)判斷，線性移不變系統(tǒng)及其因果性因果性/ /穩(wěn)定性判斷的充要條件。穩(wěn)定性判

2、斷的充要條件。 掌握對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域抽樣，掌握奈掌握對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域抽樣，掌握奈奎斯特抽樣定理，了解抽樣的恢復(fù)過(guò)程。奎斯特抽樣定理，了解抽樣的恢復(fù)過(guò)程。離散時(shí)間信號(hào)是對(duì)模擬信號(hào)離散時(shí)間信號(hào)是對(duì)模擬信號(hào) xa(t) 進(jìn)行進(jìn)行等間隔采樣獲得的，采樣間隔為等間隔采樣獲得的，采樣間隔為T(mén) T，得到：得到：nnTxtxanTta ),()(一、離散時(shí)間信號(hào)一、離散時(shí)間信號(hào)序列的概念序列的概念0txa(t)0 xa(nT)tT2T這里這里 n n 取整數(shù)。對(duì)于不同的取整數(shù)。對(duì)于不同的 n n 值，值，xa(nT) 是是一個(gè)有序的數(shù)字序列，該數(shù)字序列就是離散時(shí)間信一個(gè)有序的數(shù)字序列，該數(shù)字序列就是離

3、散時(shí)間信號(hào)。號(hào)。注意，這里的注意，這里的n n取整數(shù)，非整數(shù)時(shí)無(wú)定義取整數(shù)，非整數(shù)時(shí)無(wú)定義，另，另外，在數(shù)值上它等于信號(hào)的采樣值，即外，在數(shù)值上它等于信號(hào)的采樣值，即nnTxnxa ),()(,.9 , 8 ,7 , 3 , 2, 1.)(nx 離散時(shí)間信號(hào)的表示方法：公式表示法、圖形離散時(shí)間信號(hào)的表示方法：公式表示法、圖形表示法、集合符號(hào)表示法，如表示法、集合符號(hào)表示法，如二、常用序列二、常用序列1. 1. 單位抽樣序列單位抽樣序列 ( (n)n)0, 00, 1)(nnn0 0 1/1/ t t ( (t)t)0 0(1)(1)t t ( (t)t)1 1n n0 0 ( (n)n)2.

4、2. 單位階躍序列單位階躍序列u(n)u(n)0, 00, 1)(nnnut0u(t)10nu(n) ( (n)n)與與u(n)u(n)之間的關(guān)系之間的關(guān)系) 1()()(nunun0)()(kknnu令令n-k=m，有有nmmnu)()(3. 3. 矩形序列矩形序列R RN N(n)(n)nNnnRN其它, 010, 1)(N為矩形序列的長(zhǎng)度0nR4(n)123)()()(NnununRN10)()(NmNmnnR4. 4. 實(shí)指數(shù)序列實(shí)指數(shù)序列)()(nuanxn，a為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)0n0a1a-1或或-1a0,序列的幅值擺動(dòng)序列的幅值擺動(dòng)0n-1a00na0 時(shí)，序列右移時(shí)，序列右移延遲延遲

5、當(dāng)當(dāng) n00 時(shí)，序列左移時(shí)，序列左移超前超前x(n)n0n0 x(n-2)4. 序列的翻轉(zhuǎn)序列的翻轉(zhuǎn)n0 x(-n)v x(-n)是是x(n)的翻轉(zhuǎn)序列。的翻轉(zhuǎn)序列。x(-n)是以縱是以縱軸（軸（n=0）為對(duì)稱(chēng)軸將序列為對(duì)稱(chēng)軸將序列x(n)加以翻轉(zhuǎn)。加以翻轉(zhuǎn)。x(n)n05. 尺度變換尺度變換x(n)n0n0 x(2n)(mnx)(nx是是序列每隔序列每隔m m點(diǎn)取一點(diǎn)形成的，相當(dāng)于點(diǎn)取一點(diǎn)形成的，相當(dāng)于時(shí)間軸時(shí)間軸n n壓縮了壓縮了m m倍。倍。抽取序列抽取序列mnx)(nx是是序列相鄰抽樣序列相鄰抽樣點(diǎn)間補(bǔ)（點(diǎn)間補(bǔ)（m m1)1)個(gè)零值點(diǎn)，表示零值插值。個(gè)零值點(diǎn)，表示零值插值。插值序列插

6、值序列6. 6. 累加（等效積分）累加（等效積分）nkkxny)()(7. 7. 差分運(yùn)算差分運(yùn)算 前向差分前向差分 后向差分后向差分) 1()()()() 1()(nxnxnxnxnxnx8. 8. 卷積和卷積和mmnhmxnhnxny)()()()()(等效為翻褶、移位、相乘和相加四個(gè)步驟。等效為翻褶、移位、相乘和相加四個(gè)步驟。1.2 線性移不變系統(tǒng)線性移不變系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng)Tx(n)y(n)()(nxTny在時(shí)域離散系統(tǒng)中，最重要、最常用的是線性時(shí)不變系統(tǒng)。在時(shí)域離散系統(tǒng)中，最重要、最常用的是線性時(shí)不變系統(tǒng)。系統(tǒng)系統(tǒng)可定義為將輸入序列可定義為將輸入序列x(n)映射成輸出序列映射成輸出序列

7、y(n)的的唯一變換或運(yùn)算，并用唯一變換或運(yùn)算，并用T表示，即表示，即1.2.1 線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)若系統(tǒng)滿足若系統(tǒng)滿足可加性可加性與與比例性比例性, ,則稱(chēng)此系統(tǒng)為則稱(chēng)此系統(tǒng)為離散時(shí)間線性系統(tǒng)離散時(shí)間線性系統(tǒng)。),()(11nxTny)()(22nxTny)()()()()()(212121nbynaynxbTnxaTnbxnaxT其中其中a a、b b為任意常數(shù)。為任意常數(shù)。設(shè)設(shè)增量線性系統(tǒng)增量線性系統(tǒng)對(duì)增量線性系統(tǒng)，任意兩個(gè)輸入的差是兩個(gè)輸對(duì)增量線性系統(tǒng)，任意兩個(gè)輸入的差是兩個(gè)輸入差的線性函數(shù)入差的線性函數(shù)1.2.2 時(shí)不變系統(tǒng)（移不變系統(tǒng)）時(shí)不變系統(tǒng)（移不變系統(tǒng)）時(shí)不變系統(tǒng)Tx(n)y(

8、n)()(nxTny若若則則)()(00nnxTnnyn n0 0為任意整數(shù)。為任意整數(shù)。輸入移動(dòng)任意位（如輸入移動(dòng)任意位（如n n0 0位），其輸出也移動(dòng)這么多位），其輸出也移動(dòng)這么多位，而幅值卻保持不變。位，而幅值卻保持不變。1.2.3 線性時(shí)不變系統(tǒng)輸入與輸出線性時(shí)不變系統(tǒng)輸入與輸出之間的關(guān)系之間的關(guān)系T(n)h(n)一個(gè)既滿足疊加原理，又滿足時(shí)不變條件的系統(tǒng)，一個(gè)既滿足疊加原理，又滿足時(shí)不變條件的系統(tǒng)，被稱(chēng)為被稱(chēng)為線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng)(linear shift invariant,LTI)。線性時(shí)不變系統(tǒng)可用它的單位抽樣響應(yīng)來(lái)表征。線性時(shí)不變系統(tǒng)可用它的單位抽樣響應(yīng)來(lái)表征。 單

9、位取樣響應(yīng)，也稱(chēng)單位沖激響應(yīng)單位取樣響應(yīng)，也稱(chēng)單位沖激響應(yīng)，是指輸入為是指輸入為單位沖激序列時(shí)系統(tǒng)的輸出，一般用單位沖激序列時(shí)系統(tǒng)的輸出，一般用h(n)h(n)來(lái)表示：來(lái)表示：)()()(nhnTny根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加性質(zhì)根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加性質(zhì) )()()(mmnTmxnymmnhmxny)()()(又根據(jù)時(shí)不變性質(zhì)又根據(jù)時(shí)不變性質(zhì)設(shè)系統(tǒng)的輸入用設(shè)系統(tǒng)的輸入用x(n)x(n)表示，而表示，而mmnmxnx)()()(因此，系統(tǒng)輸出為因此，系統(tǒng)輸出為 )()()()(mmnmxTnxTny通常把上式稱(chēng)為通常把上式稱(chēng)為離散卷積或線性卷積離散卷積或線性卷積。這一關(guān)系常用。這一關(guān)系常用符號(hào)符號(hào)“* *

10、”表示：表示：)()()()()(nhnxmnhmxnym線性時(shí)不變系統(tǒng)的一個(gè)重要特性是它的線性時(shí)不變系統(tǒng)的一個(gè)重要特性是它的輸入與輸出序列之間存在著線性卷積關(guān)系：輸入與輸出序列之間存在著線性卷積關(guān)系：v用單位取樣響應(yīng)用單位取樣響應(yīng)h(n)h(n)來(lái)描述系統(tǒng)來(lái)描述系統(tǒng)h(n)x(n)y(n)()()()()(nhnxmnhmxnym線性卷積的計(jì)算線性卷積的計(jì)算計(jì)算它們的卷積的步驟如下：計(jì)算它們的卷積的步驟如下： (1)(1)折疊：折疊：先在啞變量坐標(biāo)軸先在啞變量坐標(biāo)軸k k上畫(huà)出上畫(huà)出x(k)x(k)和和h(k)h(k)，將將h(k)h(k)以縱坐標(biāo)為對(duì)稱(chēng)軸折疊成以縱坐標(biāo)為對(duì)稱(chēng)軸折疊成 h(-

11、k)h(-k)。 (2)(2)移位：移位：將將h(-k)h(-k)移位移位n n，得得h(n-k)h(n-k)。當(dāng)當(dāng)n n為正為正數(shù)時(shí)，右移數(shù)時(shí)，右移n n；當(dāng)當(dāng)n n為負(fù)數(shù)時(shí)，左移為負(fù)數(shù)時(shí)，左移n n。 (3)(3)相乘：相乘：將將h(n-k)h(n-k)和和x(k)x(k)的對(duì)應(yīng)取樣值相乘。的對(duì)應(yīng)取樣值相乘。 (4)(4)相加：相加：把所有的乘積累加起來(lái)，即得把所有的乘積累加起來(lái)，即得y(n)y(n)。 )()()()()(nhnxmnhmxnym線性卷積滿足以下運(yùn)算規(guī)律：線性卷積滿足以下運(yùn)算規(guī)律：交換律交換律)()()()(nxnhnhnxh(n)x(n)y(n)x(n)h(n)y(n)

12、結(jié)合律結(jié)合律分配律分配律)()()()()()(2121nhnhnxnhnhnxh1(n)x(n)y(n)h2(n)h1(n) h2(n)x(n)y(n)h1(n)x(n)y(n)h2(n)+h1(n)+ h2(n)x(n)y(n)()()()()()()(2121nhnxnhnxnhnhnx)()()()()(nnxmnmxnxm)()()()()(000nnxmnnmxnnnxmv序列本身與單位取樣序列的線性卷積等于序列本身與單位取樣序列的線性卷積等于序列本身：序列本身：v如果序列與一個(gè)移位的單位取樣序列如果序列與一個(gè)移位的單位取樣序列 ( (n-nn-n0 0) )進(jìn)行線性卷積，就相當(dāng)于

13、將序列本身移位進(jìn)行線性卷積，就相當(dāng)于將序列本身移位n n0 0：1.2.4 系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性在系統(tǒng)中，若輸出在系統(tǒng)中，若輸出y(n)y(n)只取決于只取決于n n時(shí)刻，以及時(shí)刻，以及n n時(shí)刻時(shí)刻以前的輸入，即以前的輸入，即),2(),1(),()(nxnxnxny稱(chēng)該系統(tǒng)是稱(chēng)該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)。對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)，具有因果性的充要條件是對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)，具有因果性的充要條件是系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)滿足：系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)滿足：0, 0)(nnh如如0, 00,)()(nnanuanhnn因果系統(tǒng)是指輸出的變化不領(lǐng)因果系統(tǒng)是指輸出的變化不領(lǐng)先于輸入的變化的系統(tǒng)。先于

14、輸入的變化的系統(tǒng)。穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)對(duì)一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要對(duì)一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是單位取樣響應(yīng)絕對(duì)可和，即條件是單位取樣響應(yīng)絕對(duì)可和，即nnh)(穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)是指對(duì)于每個(gè)有界輸入是指對(duì)于每個(gè)有界輸入x(n)x(n)，都產(chǎn)生有都產(chǎn)生有界輸出界輸出y(n)y(n)的系統(tǒng)。即如果的系統(tǒng)。即如果| |x(n)|M(Mx(n)|M(M為正常數(shù)為正常數(shù)) )，有有| |y(n)|+y(n)|+，則該系統(tǒng)被稱(chēng)為則該系統(tǒng)被稱(chēng)為穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)。 1.3 線性常系數(shù)差分方程線性常系數(shù)差分方程一個(gè)一個(gè)N 階線性常系數(shù)差分方程用下式表示：階線性常系數(shù)差分方程用下式表示：連續(xù)

15、時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng) 線性常系數(shù)微分方程線性常系數(shù)微分方程離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng) 線性常系數(shù)差分方程線性常系數(shù)差分方程N(yùn)kkMmmknyamnxbny10)()()(求解差分方程的基本方法有三種：求解差分方程的基本方法有三種：經(jīng)典法經(jīng)典法求齊次解、特解、全解求齊次解、特解、全解遞推法遞推法求解時(shí)需用初始條件啟動(dòng)計(jì)算求解時(shí)需用初始條件啟動(dòng)計(jì)算變換域法變換域法將差分方程變換到將差分方程變換到Z Z域進(jìn)行求解域進(jìn)行求解延時(shí)延時(shí)a0 x(n)x(n)a1x(n-1)-b1y(n-1)a0 x(n-1)a1-b1y(n) 1() 1()()(110nybnxan

16、xany差分方程表示法的另一優(yōu)點(diǎn)是可以直接得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)差分方程表示法的另一優(yōu)點(diǎn)是可以直接得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)1.4 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的抽樣連續(xù)時(shí)間信號(hào)的抽樣連續(xù)時(shí)間連續(xù)時(shí)間信號(hào)信號(hào)離散時(shí)間離散時(shí)間信號(hào)信號(hào)采樣采樣內(nèi)插內(nèi)插信號(hào)經(jīng)過(guò)采樣以后，將發(fā)生一些什么變化？例如，信號(hào)經(jīng)過(guò)采樣以后，將發(fā)生一些什么變化？例如，信號(hào)頻譜將發(fā)生怎樣變化；信號(hào)頻譜將發(fā)生怎樣變化；經(jīng)過(guò)采樣后信號(hào)內(nèi)容會(huì)不會(huì)有丟失；經(jīng)過(guò)采樣后信號(hào)內(nèi)容會(huì)不會(huì)有丟失；如果信號(hào)沒(méi)有被丟失，其反變換應(yīng)該怎樣進(jìn)行，即如果信號(hào)沒(méi)有被丟失，其反變換應(yīng)該怎樣進(jìn)行，即由數(shù)字信號(hào)恢復(fù)成模擬信號(hào)應(yīng)該具備那些條件等。由數(shù)字信號(hào)恢復(fù)成模擬信號(hào)應(yīng)該具備那些條件等。 1.4.1

17、 采樣采樣S)(txa)( txa)()()(tPtxtxaaT0tT2T)(txa0tP(t)T0txa(t)最高頻率為最高頻率為fc 0理想采樣理想采樣)()()(tPtxtxaannTttP)()(naanTtnTxtx)()()()(txa)( txa)(),(tPtP一、理想采樣一、理想采樣xa(t)P(t)0txa(t)0t0tT1T定義定義單位沖擊函數(shù)單位沖擊函數(shù)1)( dtt0, 0)(ttt0 (t)(1)單位沖擊函數(shù)有一個(gè)重要的性質(zhì)：?jiǎn)挝粵_擊函數(shù)有一個(gè)重要的性質(zhì)：采樣性采樣性若若f f( (t t) )為連續(xù)函數(shù)，則有為連續(xù)函數(shù)，則有)0()()(fdtttf將上式推廣，可

18、得將上式推廣，可得)()()(00tfdttttft0 (t-t0)二、頻譜的周期延拓二、頻譜的周期延拓即即即即)()()()(tPtxtxjXaaa)()()(,tPtxtxaa)()(jXtxaa)()(jXtxaa)()(21)(jPjXjXaadejXjXtxdtetxtxjXtjaaatjaaa)(21)()()()()(-1)()(tPjP)(tP由于由于 是周期函數(shù)是周期函數(shù)nnTttP)()(可用傅立葉級(jí)數(shù)表示，即可用傅立葉級(jí)數(shù)表示，即ktjkkSeatP)(TS2采樣角頻率采樣角頻率 2222)(1)(1TTtjknTTtjkkdtenTtTdtetPTaSS系數(shù)系數(shù)22)(

19、1TTtjkkdtetTaSktjkktjkkSSeTeatP1)(T1)()(tPjPktjkSeT1tjkSe 1kSkTjP)(2)()(21對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性)(21StjkkeS移頻特性移頻特性kSSk)(1)(t根據(jù)根據(jù)0(S)S2S-S-2SS)( jP)()(21)(jPjXjXaakaSjXkT)()(221kSadkjXT)()(221采樣信號(hào)的傅氏變換為采樣信號(hào)的傅氏變換為 kSadkjXT)()(1kSajkjXT)(1kaTjkjXT)2(1即即kSaajkjXTjX)(1)(采樣信號(hào)的頻譜是原模擬信號(hào)頻譜采樣信號(hào)的頻譜是原模擬信號(hào)頻譜的周期延拓，其延拓周期為的周期延拓，其

20、延拓周期為 s s 。CS2CS2討論：討論： S/2 C)(jXa S2 S3 S 0- - S(c)- C C S/2 0(a)( jXa最高截最高截止頻率止頻率 S/2)(jXa 0- - S2 S S(b)CS2稱(chēng)稱(chēng)Nyquist采樣率采樣率2/S稱(chēng)稱(chēng)折疊頻率折疊頻率CS2 C S/2)(jXa S 0- SS0稱(chēng)稱(chēng)Nyquist范圍范圍采樣定理采樣定理 ：要想采樣后能夠不失真地還原出原信號(hào)，則采樣頻率必要想采樣后能夠不失真地還原出原信號(hào)，則采樣頻率必須大于兩倍原信號(hào)頻譜的最高截止頻率（須大于兩倍原信號(hào)頻譜的最高截止頻率（ s 2 C）。）。由上面的分析有，頻譜發(fā)生混疊的原因有兩個(gè)：由上面的分析有，頻譜發(fā)生混疊的原因有兩個(gè)：1.采樣頻率低采樣頻率低2.連續(xù)信號(hào)的頻譜沒(méi)有被限帶連續(xù)信號(hào)的頻譜沒(méi)有被限帶CS20C 2C 3C 4C 可選s =(34)C 低通采樣頻域分析頻域分析kSaajkjXTjX)(1)(且在 時(shí)，2S)(1)(