第六章 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)ppt課件

1、信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第六章第六章 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) 南京航空航天大學(xué)南京航空航天大學(xué) 電子信息工程學(xué)院電子信息工程學(xué)院 信息與通信工程系信息與通信工程系 吳迪吳迪 講師講師 6.1引言引言 系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)移函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)移函數(shù)H(s)，定義為系統(tǒng)零，定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)象函數(shù)狀態(tài)響應(yīng)象函數(shù)R(s)與激勵(lì)的象函數(shù)與激勵(lì)的象函數(shù)E(s)之比。之比。它是由系統(tǒng)本身決定的，而與其輸入、輸出并它是由系統(tǒng)本身決定的，而與其輸入、輸出并沒(méi)有關(guān)系。它是反映系統(tǒng)特性的重要函數(shù)。沒(méi)有關(guān)系。它是反映系統(tǒng)特性的重要函數(shù)。 )()(sHth若系統(tǒng)穩(wěn)定 ：)()()()

2、(jHthjHsHjsjss 頻域形式域形式主要內(nèi)容主要內(nèi)容系統(tǒng)函數(shù)的表示法系統(tǒng)函數(shù)的表示法 (極零點(diǎn)表示極零點(diǎn)表示 )系統(tǒng)函數(shù)極點(diǎn)、零點(diǎn)與系統(tǒng)頻率特性的關(guān)系系統(tǒng)函數(shù)極點(diǎn)、零點(diǎn)與系統(tǒng)頻率特性的關(guān)系 系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 6.2 系統(tǒng)函數(shù)的表示法系統(tǒng)函數(shù)的表示法 一線(xiàn)性非時(shí)變系統(tǒng)可用線(xiàn)性常系數(shù)微分方程表示，所以H(s)的一般形式可表示為：01110111)(asasasabsbsbsbsHnnnnmmmm這種形式不能直觀(guān)地看出系統(tǒng)的特性，所以，常根據(jù)不同的需要用圖示的方法來(lái)表示，常用的有三種：1、頻率特性、頻率特性若系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么：若系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么： )()()(,)()(jjsej

3、HjHjHsH 相頻特性幅頻特性，)()(jH例如：RLC并聯(lián)電路CjLjRjZ111)()1 (122LCLRjRLjRLCRRLjRLQLC00,1令)(11)(00QjRjZ則：)(100Q令1211)(tgeRjRjZ12)(,1)(tgRjZ12)(,1)(tgRjZ當(dāng) : - - 0 0 0 : 0 0 - )(100Q2、復(fù)軌跡、復(fù)軌跡將將H(j)寫(xiě)成實(shí)部和虛部的形式：寫(xiě)成實(shí)部和虛部的形式：H(j)=U()+jV()以為以為U()橫坐標(biāo)，橫坐標(biāo)，V()為縱坐標(biāo)作出的圖稱(chēng)為復(fù)軌跡。為縱坐標(biāo)作出的圖稱(chēng)為復(fù)軌跡。上例中)()(111)(22jvuRjRjRjZ)2(1) 1 (122R

4、vRu2222222)1 ()2(/ )() 1 (uRuRvuuR代入得由為圓方程222)2()2(RvRu當(dāng) : - - 0 0 0 : 0 0 - 復(fù)軌跡順時(shí)針?lè)较蛑貜?fù)兩次。3、極零點(diǎn)表示、極零點(diǎn)表示01110111)()()(asasasabsbsbsbsDsNsHnnnnmmmm個(gè)極點(diǎn)稱(chēng)個(gè)根：有個(gè)零點(diǎn)稱(chēng)個(gè)根：有若npppnsDmzzzmsNnm,0)(,0)(2121nmnmabHpspspszszszsHsH021210,)()()()()(則 可見(jiàn)一個(gè)系統(tǒng)的極點(diǎn)零點(diǎn)確定后，系統(tǒng)函數(shù)就基本確定了。若再確定H0，則H(s)就完全確定。但H0為常數(shù)與變量s無(wú)關(guān)，僅是一個(gè)比例因子而已。我

5、們還是以RLC并聯(lián)電路為例將j換成s)(1111111)(212pspsscLCsRCssCsCsLRsZLCRCRCLCRCRCpzCH1)21(21214)1(1,0,1222, 110則：001,21且設(shè)：，令：LCRC2202, 121,jppp為一對(duì)共軛復(fù)根則：6.3 系統(tǒng)函數(shù)極點(diǎn)和零點(diǎn)的分布 極點(diǎn)、零點(diǎn)或位于s平面的實(shí)軸上，或以一對(duì)共軛復(fù)根的形式出現(xiàn)，或是r階重根也稱(chēng)r階極點(diǎn)或零點(diǎn)），總之它們是對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸的。 1、系統(tǒng)函數(shù)一般有n個(gè)有限極點(diǎn)和m個(gè)有限零點(diǎn)； 0)(2nnmmsssasblimsHlimmn時(shí)、階零點(diǎn)；處有一個(gè)說(shuō)明在)(mnsnnmmsssasblimsHlimnm)

6、(3時(shí)、階極點(diǎn)；處有一個(gè)說(shuō)明在)(nms4、極、零點(diǎn)數(shù)目相等；5、穩(wěn)定系統(tǒng)的極點(diǎn)必位于左半平面，虛軸上可有一階極點(diǎn)存在；6、兩個(gè)特殊的點(diǎn)s=0，s= 根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論，認(rèn)為它們是在虛軸上的，因此系統(tǒng)穩(wěn)定在s=0，s=只能有一階極點(diǎn)，即：若mn 那么 m-n1。7、雖然系統(tǒng)函數(shù)對(duì)零點(diǎn)沒(méi)有限制只要對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸），但在網(wǎng)絡(luò)理論中，阻抗和導(dǎo)納互為倒數(shù)，因此，對(duì)于這種情況對(duì)零點(diǎn)的限制與極點(diǎn)相同。6.4 系統(tǒng)函數(shù)極點(diǎn)、零點(diǎn)與系統(tǒng)頻率系統(tǒng)函數(shù)極點(diǎn)、零點(diǎn)與系統(tǒng)頻率特性的關(guān)系特性的關(guān)系 一、H(s)的矢量表示 nmnmabHpspspszszszsHsH021210,)()()()()(則其中的s，z，p都可用矢

7、量表示，進(jìn)一步(s-z)，(s-p)也可表示為矢量。對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng)： jssH)()()()()()(21210nmpjpjpjzjzjzjHjH顯然(j-z)，(j-p)也是可以表示為矢量的，將它們表示為模和復(fù)角的形式： jjeAeApj稱(chēng)極點(diǎn)矢量，簡(jiǎn)記為)()(jjeBeBzj稱(chēng)零點(diǎn)矢量，簡(jiǎn)記為)()(H(j)可寫(xiě)為： )()(110)(21210)()(112121jjnkkmiijnmejHeABHeAAABBBHjHnkkmiinmnkkmiinkkmiiABHjH11110)()(，其中當(dāng)沿虛軸變化時(shí)|H(j)|，()也隨之變化。因此，由系統(tǒng)函數(shù)的矢量圖可以估計(jì)出系統(tǒng)的幅頻特性和相

8、頻特性曲線(xiàn)。例：系統(tǒng)函數(shù)的極、零點(diǎn)分布如圖所示，估計(jì)其幅頻與相頻特性曲線(xiàn)。解：)()(210pspssHsH)(90(211021021)()(jeAABHpjpjjHjH212211901,jjjeApjeApjeBj其中：1、=0+ B1=0 , H(j)|=0 ; (1+2)=0 , ()=902、 , B1,A2 ,A1 , |H(j)| , (1+2) , () 3、Im(p1), A1Min, |H(j)|出現(xiàn)峰值。Im(p1) 10()迅速減小。同理零點(diǎn)的虛部時(shí)|H(j)|出現(xiàn)谷點(diǎn)，()迅速增大 4、Im(p1) 時(shí)， A1,A2,B1, |H(j)| 01,290, ()=-(

9、1+2) -90 下面我們?cè)賮?lái)看一下前面的并聯(lián)諧振電路。我們已經(jīng)求出： 120011)(11)(tgeRjRQjRjZ)(1,10000QRLQLC，其中再?gòu)南到y(tǒng)函數(shù)的極零點(diǎn)分布來(lái)考察：前面已求得：)(1)(21pspsscsZ2202, 11,0jpz001,21，LCRC于是我們可以作出它的極點(diǎn)、零點(diǎn)分布圖，并根據(jù)前面的例子可作出其幅頻和相頻曲線(xiàn)的略圖。對(duì)照兩圖不難得出如下結(jié)論：曲線(xiàn)形狀相同。但極值點(diǎn)出現(xiàn)在220處，與原圖不符，因此稱(chēng)略圖。越接近于0極點(diǎn)越靠近虛軸越準(zhǔn)確。當(dāng)=0系統(tǒng)為純電抗網(wǎng)絡(luò)，無(wú)損耗）零點(diǎn)時(shí)， |H(j)| 0 ；極點(diǎn)時(shí)， |H(j)| 在零點(diǎn)、極點(diǎn)附近()則會(huì)出現(xiàn)180

10、 的躍變。二、全通網(wǎng)絡(luò)二、全通網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定系統(tǒng)的極點(diǎn)不能在右穩(wěn)定系統(tǒng)的極點(diǎn)不能在右半平面，但零點(diǎn)可在右半半平面，但零點(diǎn)可在右半平面。如果極點(diǎn)零點(diǎn)關(guān)于平面。如果極點(diǎn)零點(diǎn)關(guān)于虛軸鏡象對(duì)稱(chēng)，那么虛軸鏡象對(duì)稱(chēng)，那么|H(j)|=H0常數(shù)于頻常數(shù)于頻率無(wú)關(guān)，稱(chēng)全通網(wǎng)絡(luò)。率無(wú)關(guān)，稱(chēng)全通網(wǎng)絡(luò)。如下圖，畫(huà)出了有兩個(gè)極如下圖，畫(huà)出了有兩個(gè)極點(diǎn)和兩個(gè)零點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)，顯點(diǎn)和兩個(gè)零點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)，顯然然A1=B1 , A2=B2，所以，所以，|H(j)|=H0 （常數(shù)）。（常數(shù)）。還可以看出：)(2)(360,180,1802121212211這種網(wǎng)絡(luò)的幅頻特性與頻率無(wú)關(guān)為常數(shù)，而相位與頻率有關(guān)，因此常作為相位效正電路使用。三、最

11、小相移網(wǎng)絡(luò)三、最小相移網(wǎng)絡(luò)全部極點(diǎn)和零點(diǎn)位于左半平面包括虛軸全部極點(diǎn)和零點(diǎn)位于左半平面包括虛軸稱(chēng)最小相移網(wǎng)絡(luò)，否則為非最小相移網(wǎng)絡(luò)。稱(chēng)最小相移網(wǎng)絡(luò)，否則為非最小相移網(wǎng)絡(luò)。最小相移網(wǎng)絡(luò)的相位變化量要比非最小相最小相移網(wǎng)絡(luò)的相位變化量要比非最小相移網(wǎng)絡(luò)的相位變化量小，因此得名移網(wǎng)絡(luò)的相位變化量小，因此得名 。90900:0:)()(21127090180:0:)()(2116.6 系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 關(guān)于系統(tǒng)穩(wěn)定性的問(wèn)題，同學(xué)們并關(guān)于系統(tǒng)穩(wěn)定性的問(wèn)題，同學(xué)們并不陌生我們已多次提到。由于，不穩(wěn)定不陌生我們已多次提到。由于，不穩(wěn)定的系統(tǒng)不能有效地工作，所以，設(shè)計(jì)一的系統(tǒng)不能有效地工作，所以，設(shè)計(jì)

12、一個(gè)系統(tǒng)一般都希望系統(tǒng)是穩(wěn)定的。這樣個(gè)系統(tǒng)一般都希望系統(tǒng)是穩(wěn)定的。這樣判別一個(gè)系統(tǒng)是否穩(wěn)定就成為一個(gè)設(shè)計(jì)判別一個(gè)系統(tǒng)是否穩(wěn)定就成為一個(gè)設(shè)計(jì)者必須考慮的問(wèn)題。本節(jié)首先討論系統(tǒng)者必須考慮的問(wèn)題。本節(jié)首先討論系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件，然后進(jìn)一步介紹穩(wěn)定的充分必要條件，然后進(jìn)一步介紹線(xiàn)性非時(shí)變系統(tǒng)穩(wěn)定的判別方法。線(xiàn)性非時(shí)變系統(tǒng)穩(wěn)定的判別方法。 一、系統(tǒng)的穩(wěn)定及其充分必要條件 1、系統(tǒng)的穩(wěn)定與沖激響應(yīng)、系統(tǒng)的穩(wěn)定與沖激響應(yīng)2、系統(tǒng)的穩(wěn)定與系統(tǒng)函數(shù)、系統(tǒng)的穩(wěn)定與系統(tǒng)函數(shù)H(s) H(s) 的所有極點(diǎn)在的所有極點(diǎn)在s平面的左半平面則系平面的左半平面則系統(tǒng)穩(wěn)定；在虛軸上有一階極點(diǎn)則臨界穩(wěn)定；在統(tǒng)穩(wěn)定；在虛軸上有

13、一階極點(diǎn)則臨界穩(wěn)定；在s平面的右半平面有極點(diǎn)存在則不穩(wěn)定。平面的右半平面有極點(diǎn)存在則不穩(wěn)定。3、系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件、系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件所謂系統(tǒng)穩(wěn)定是指有限有界的激勵(lì)只能產(chǎn)所謂系統(tǒng)穩(wěn)定是指有限有界的激勵(lì)只能產(chǎn)生有限有界的響應(yīng)的系統(tǒng)。有限的激勵(lì)也生有限有界的響應(yīng)的系統(tǒng)。有限的激勵(lì)也包括激勵(lì)為零的情況。包括激勵(lì)為零的情況。用數(shù)學(xué)式子表達(dá)：用數(shù)學(xué)式子表達(dá)：若激勵(lì)若激勵(lì) |e(t)|Me -t 則響應(yīng)則響應(yīng) |r(t)|Mr -t 其中其中Me ，Mr 為有限的正實(shí)數(shù)。為有限的正實(shí)數(shù)。 有前面的討論我們可以直觀(guān)地看到要系統(tǒng)穩(wěn)定必須h(t)絕對(duì)可積。 dtth )(可以證明，它不僅是必要條件還是充

14、分條件。 dhMthMthtetrthtetree)()()()()()()()(dtehtrtethththsgnte)()()()(0)(0)(11)()(則是有界的顯然設(shè)dhdehr)()()()0(如果h(t)不絕對(duì)可積必引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定，所以，必須滿(mǎn)足 dtth )(4、漸近穩(wěn)定與臨界穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定與臨界穩(wěn)定h(t)絕對(duì)可積，應(yīng)滿(mǎn)足 0)(thlimth(t)可允許有孤立的沖激函數(shù)存在，除此之外h(t)也應(yīng)是有限的，即： 為有限的正整數(shù)MtMth)(滿(mǎn)足上述條件的系統(tǒng)稱(chēng)漸近穩(wěn)定。 另一種情況是H(s)在虛軸上有一階極點(diǎn)，是理想化的無(wú)耗系統(tǒng)，例如純LC網(wǎng)絡(luò)，其沖激響應(yīng)h(t)為直流或等

15、幅的正弦振蕩，顯然是不滿(mǎn)足絕對(duì)可積條件的。但響應(yīng)是有限的，并且這種系統(tǒng)是常見(jiàn)的低耗無(wú)源系統(tǒng)的近似，我們也把它看成是穩(wěn)定的。為了區(qū)別于漸近穩(wěn)定把這種情況稱(chēng)為臨界穩(wěn)定。5、反饋系統(tǒng)、反饋系統(tǒng)在自動(dòng)控制理論中反饋系統(tǒng)是一種很重在自動(dòng)控制理論中反饋系統(tǒng)是一種很重要的系統(tǒng)，是指將輸出或部分輸出反向要的系統(tǒng)，是指將輸出或部分輸出反向饋送到輸入端。因此這種系統(tǒng)的輸出不饋送到輸入端。因此這種系統(tǒng)的輸出不僅與輸入激勵(lì)有關(guān)還與輸出本身有關(guān)。僅與輸入激勵(lì)有關(guān)還與輸出本身有關(guān)。例如晶體管收音機(jī)中的自動(dòng)增益控制例如晶體管收音機(jī)中的自動(dòng)增益控制AGC電路就是一種反饋系統(tǒng)。下面電路就是一種反饋系統(tǒng)。下面是一個(gè)反饋系統(tǒng)簡(jiǎn)化了

16、的框圖：是一個(gè)反饋系統(tǒng)簡(jiǎn)化了的框圖：容易看出各信號(hào)之間的關(guān)系為： )()()()()(sYsGsHsYsR所以反饋系統(tǒng)總的轉(zhuǎn)移函數(shù)為： )()(1)()()()(sHsGsGsRsYsT其中：G(s)H(s) 稱(chēng)開(kāi)環(huán)轉(zhuǎn)移函數(shù)，要判定反饋系統(tǒng)是否漸近穩(wěn)定就要看1+G(s)H(s)=0的根即系統(tǒng)特征方程的根的實(shí)部是否全為負(fù)。 二、羅斯二、羅斯霍維茨霍維茨RouthHurwitz判據(jù)判據(jù) 上面已經(jīng)指出判定系統(tǒng)是否漸近穩(wěn)上面已經(jīng)指出判定系統(tǒng)是否漸近穩(wěn)定要看系統(tǒng)特征方程的根系統(tǒng)函數(shù)的定要看系統(tǒng)特征方程的根系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)的實(shí)部是否全部具有負(fù)實(shí)部。極點(diǎn)的實(shí)部是否全部具有負(fù)實(shí)部。系統(tǒng)的特征方程可寫(xiě)為：系統(tǒng)的特

17、征方程可寫(xiě)為： 00111asasasannnn設(shè)它有n個(gè)根為 p1,p2,pn 那么上式可寫(xiě)為： 0) 1()()()()(212322112121nnnnnnnnnnnpppasppppasppasapspspsa) 1(03所有根之積三根積之和nnnnaaaa021二根積之和各根之和所以：因nnnnnaaaaa如果所有根的實(shí)部為負(fù)，我們可以得出以下結(jié)論：1、多項(xiàng)式各系數(shù)均為同號(hào)，且不為零；2、假設(shè) a0=0而其它系數(shù)不為零，則有一個(gè)根為零系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定；3、若全部偶次項(xiàng)或奇次項(xiàng)的系數(shù)為零，這是所有根的實(shí)部為零，所有根在虛軸上的必要條件，如果是單階的系統(tǒng)也屬臨界穩(wěn)定。所以在特征多項(xiàng)式中系數(shù)

18、不同號(hào)或有缺項(xiàng)，立即就可判定它有實(shí)部為非負(fù)的根，因而系統(tǒng)不穩(wěn)定或臨界穩(wěn)定。但反之不成立！（必要條件） 例如：系統(tǒng)的特征方程為 06223sss雖然系數(shù)同號(hào)且沒(méi)有缺項(xiàng)，但我們不能得出系統(tǒng)穩(wěn)定的結(jié)論。因?yàn)榭梢郧蟮盟?三個(gè)根： 2721,23j顯然系統(tǒng)不穩(wěn)定。對(duì)于這種情況要用下面介紹得羅斯判據(jù)來(lái)判別。 1、將特征多項(xiàng)式的系數(shù)按如下規(guī)律排成兩行： 2、以這兩行為基礎(chǔ)，計(jì)算并構(gòu)成如下的數(shù)值表：該表稱(chēng)羅斯霍維茨陣列 表中的前兩行就是第一步中由系數(shù)多項(xiàng)式排成的兩行。即 431211,nnnnnnnnnnaCaBaBaAaA其它各元素可由下列遞推公式求得： 1, 1,111111niACACABABABAAiiiiiiiiiiii這樣可得到n+1行，其中的第一列 01AAAnn、構(gòu)成的數(shù)列稱(chēng)羅斯霍維茨數(shù)列。 3、計(jì)算羅斯霍維茨數(shù)列中的符號(hào)變化次數(shù)，變化次數(shù)就等于實(shí)部為正的根的個(gè)數(shù)。s32 1 0s21 6 0s1-110s06 0目判別實(shí)部為正的根的數(shù)：例,062123sss因此，有兩個(gè)實(shí)部為正的根。 目判別實(shí)部為正的根的數(shù)：例,03222234sssss4123s3120s20()30s12-(3/)0s030目判別實(shí)部為正的根的數(shù)：例,0223332345ssssss5132s4132s3000s2當(dāng)計(jì)算到第三行時(shí)全為0，無(wú)法繼續(xù)計(jì)算。處理方法是用上一行的系數(shù)構(gòu)成