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文檔簡介
1、歷年高考題型總結(jié)及詳解歷年高考題型總結(jié)及詳解倒數(shù)倒數(shù)內(nèi)容簡介 :1.有關(guān)倒數(shù)考試方向及常考點.2.??键c方法總結(jié)及名師點撥.3.20142016 各地歷年高考題及解析.4.名校有關(guān)模擬題母題.【命題意圖】 導數(shù)是研究函數(shù)的重要工具,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可以描繪出函數(shù)圖象大致的變化趨勢,是進一步解決問題的依據(jù).分類討論思想具有明顯的邏輯特征,是整體思想一個重要補充,解決這類問題需要一定的分析能力和分類技巧.因此高考對這類題主要考查導數(shù)的運算、代數(shù)式化簡與變形,考查運算求解能力,運用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法分析與解決問題能力.【考試方向】 含有參數(shù)的函數(shù)導數(shù)試題,主要有兩個方面:一是根據(jù)給
2、出的某些條件求出這些參數(shù)值,基本思想方法為方程的思想;二是在確定參數(shù)的范圍(或取值)使得函數(shù)具有某些性質(zhì),基本解題思想是函數(shù)與方程的思想、分類討論的思想.含有參數(shù)的函數(shù)導數(shù)試題是高考考查函數(shù)方程思想、分類討論思想的主要題型之一.這類試題在考查題型上,通常以解答題的形式出現(xiàn),難度中等.【得分要點】1.研究函數(shù)單調(diào)區(qū)間, 實質(zhì)研究函數(shù)極值問題.分類討論思想常用于含有參數(shù)的函數(shù)的極值問題,大體上可分為兩類,一類是定區(qū)間而極值點含參數(shù),另一類是不定區(qū)間(區(qū)間含參數(shù))極值點固定, 這兩類都是根據(jù)極值點是否在區(qū)間內(nèi)加以討論, 討論時以是否使得導函數(shù)變號為標準,做到不重不漏.2.求可導函數(shù)單調(diào)區(qū)間時首先堅持
3、定義域優(yōu)先原則,必須先確定函數(shù)的定義域,尤其注意定義區(qū)間不連續(xù)的情況,此時單調(diào)區(qū)間按斷點自然分類;其次,先研究定義區(qū)間上導函數(shù)無零點或零點落在定義區(qū)間端點上的情況,此時導函數(shù)符號不變,單調(diào)性唯一;對于導函數(shù)的零點在定義區(qū)間內(nèi)的情形,最好列表分析導函數(shù)符號變化規(guī)律,得出相應(yīng)單調(diào)區(qū)間.3.討論函數(shù)的單調(diào)性其實質(zhì)就是討論不等式的解集的情況.大多數(shù)情況下, 這類問題可以歸結(jié)為一個含有參數(shù)的一元二次不等式的解集的討論, 在能夠通過因式分解求出不等式對應(yīng)方程的根時依據(jù)根的大小進行分類討論, 在不能通過因式分解求出根的情況時根據(jù)不等式對應(yīng)方程的判別式進行分類討論.討論函數(shù)的單調(diào)性是在函數(shù)的定義域內(nèi)進行的,千
4、萬不要忽視了定義域的限制.4.含參數(shù)的函數(shù)的極值(最值)問題常在以下情況下需要分類討論:(1)導數(shù)為零時自變量的大小不確定需要討論;(2)導數(shù)為零的自變量是否在給定的區(qū)間內(nèi)不確定需要討論;(3)端點處的函數(shù)值和極值大小不確定需要討論;(4)參數(shù)的取值范圍不同導致函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性的變化不確定需要討論.5.求可導函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟(1)確定函數(shù))(xf的定義域(定義域優(yōu)先);(2)求導函數(shù)( )fx;(3)在函數(shù))(xf的定義域內(nèi)求不等式( )0fx或( )0fx的解集(4)由( )0fx(( )0fx)的解集確定函數(shù))(xf的單調(diào)增(減)區(qū)間若遇不等式中帶有參數(shù)時,可分類討論求得單調(diào)
5、區(qū)間6由函數(shù))(xf在( , )a b上的單調(diào)性,求參數(shù)范圍問題,可轉(zhuǎn)化為( )0fx(或( )0fx)恒成立問題,要注意“”是否可以取到7. 求函數(shù)最值時,不可想當然地認為極值點就是最值點,要通過認真比較才能下結(jié)論;另外注意函數(shù)最值是個“整體”概念,而極值是個“局部”概念8. 函數(shù)、導數(shù)解答題中貫穿始終的是數(shù)學思想方法,在含有參數(shù)的試題中,分類與整合思想是必要的,由于是函數(shù)問題,所以函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想也是必要的,把不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題、 把方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點問題等, 轉(zhuǎn)化與化歸思想也起著同樣的作用,解決函數(shù)、導數(shù)的解答題要充分注意數(shù)學思想方法的應(yīng)用.9. 導數(shù)及其應(yīng)用通常圍繞
6、四個點進行命題第一個點是圍繞導數(shù)的幾何意義展開,設(shè)計求曲線的切線方程, 根據(jù)切線方程求參數(shù)值等問題, 這類試題在考查導數(shù)的幾何意義的同時也考查導數(shù)的運算、函數(shù)等知識,試題的難度不大;第二個點是圍繞利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)展開,設(shè)計求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值,已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)或者參數(shù)范圍等問題, 在考查導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的同時考查分類與整合思想、 化歸與轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學思想方法;第三個點是圍繞導數(shù)研究不等式、方程展開,涉及不等式的證明、不等式的恒成立、 討論方程根等問題, 主要考查通過轉(zhuǎn)化使用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)并把函數(shù)性質(zhì)用來分析不等式和方程等問題的能力, 該點和第二個點一般是解答題
7、中的兩個設(shè)問, 考查的核心是導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法和函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用; 第四個點是圍數(shù)性質(zhì)并把函數(shù)性質(zhì)用來分析不等式和方程等問題的能力, 該點和第二個點一般是解答題中的兩個設(shè)問, 考查的核心是導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法和函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用10. 函數(shù)的單調(diào)性問題與導數(shù)的關(guān)系(1)函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系:設(shè)函數(shù)( )yf x在某個區(qū)間內(nèi)可導,若( )0fx,則( )f x為增函數(shù);若/( )0fx ,則( )f x為減函數(shù).(2)用導數(shù)函數(shù)求單調(diào)區(qū)間方法求單調(diào)區(qū)間問題,先求函數(shù)的定義域,在求導函數(shù),解導數(shù)大于 0 的不等式,得到區(qū)間為增區(qū)間,解導數(shù)小于 0 得到的區(qū)間為減區(qū)間,注意單調(diào)區(qū)間一定要寫出區(qū)間
8、形式,不用描述法集合或不等式表示,且增(減)區(qū)間有多個,一定要分開寫,用逗號分開,不能寫成并集形式,要說明增(減)區(qū)間是誰,若題中含參數(shù)注意分類討論;(3) 已知在某個區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)問題先求導函數(shù),將其轉(zhuǎn)化為導函數(shù)在這個區(qū)間上大于(增函數(shù)) (小于(減函數(shù)) )0 恒成立問題,通過函數(shù)方法或參變分離求出參數(shù)范圍,注意要驗證參數(shù)取等號時,函數(shù)是否滿足題中條件,若滿足把取等號的情況加上,否則不加.(4)注意區(qū)分函數(shù)在某個區(qū)間上是增(減)函數(shù)與函數(shù)的增(減)區(qū)間是某各區(qū)間的區(qū)別,函數(shù)在某個區(qū)間上是增(減)函數(shù)中的區(qū)間可以是該函數(shù)增(減)區(qū)間的子集.11.函數(shù)的極值與導數(shù)(1)函數(shù)極值的概念設(shè)函
9、數(shù)( )yf x在0 x附近有定義,若對0 x附近的所有點,都有0( )()f xf x,則稱0()f x是函數(shù)( )f x的一個極大值,記作y極大值=0()f x;設(shè)函數(shù)( )yf x在0 x附近有定義,若對0 x附近的所有點,都有0( )()f xf x,則稱0()f x是函數(shù)( )f x的一個極小值,記作y極小值=0()f x.注意:極值是研究函數(shù)在某一點附近的性質(zhì),使局部性質(zhì);極值可有多個值,且極大值不定大于極小值;極值點不能在函數(shù)端點處取.(2)函數(shù)極值與導數(shù)的關(guān)系當函數(shù)( )yf x在0 x處連續(xù)時,若在0 x附近的左側(cè)/( )0fx ,右側(cè)/( )0fx ,那么0()f x是極大
10、值;若在0 x附近的左側(cè)/( )0fx ,右側(cè)/( )0fx ,那么0()f x是極小值.注意:在導數(shù)為 0 的點不一定是極值點,如函數(shù)3yx,導數(shù)為/23yx,在0 x 處導數(shù)為 0,但不是極值點;極值點導數(shù)不定為 0,如函數(shù)|yx在0 x 的左側(cè)是減函數(shù),右側(cè)是增函數(shù),在0 x 處取極小值,但在0 x 處的左導數(shù)0(0)( 0)limxxx =-1,有導數(shù)0(0)(0)limxxx =1,在0 x 處的導數(shù)不存在.(3)函數(shù)的極值問題求函數(shù)的極值,先求導函數(shù),令導函數(shù)為 0,求出導函數(shù)為 0 點,方程的根和導數(shù)不存在的點,再用導數(shù)判定這些點兩側(cè)的函數(shù)的單調(diào)性,若左增由減,則在這一點取值極大
11、值,若左減右增,則在這一點取極小值,要說明在哪一點去極大(?。┲担灰阎獦O值求參數(shù), 先求導, 則利用可導函數(shù)在極值點的導數(shù)為 0, 列出關(guān)于參數(shù)方程,求出參數(shù),注意可導函數(shù)在某一點去極值是導函數(shù)在這一點為 0 的必要不充分條件,故需將參數(shù)代入檢驗在給點的是否去極值;已知三次多項式函數(shù)有極值求參數(shù)范圍問題, 求導數(shù), 導函數(shù)對應(yīng)的一元二次方程有解,判別式大于 0,求出參數(shù)的范圍.12.最值問題(1)最值的概念對函數(shù)( )yf x有函數(shù)值0()f x使對定義域內(nèi)任意x,都有( )f x 0()f x(( )f x 0()f x)則稱0()f x是函數(shù)( )yf x的最大(?。┲?注意:若函數(shù)存在最
12、大(?。┲担瑒t值唯一;最大值可以在端點處取;若函數(shù)的最大值、最小值都存在,則最大值一定大于最小值.最大值不一定是極大值,若函數(shù)是單峰函數(shù),則極大(?。┲稻褪亲畲螅ㄐ。┲?(2)函數(shù)最問題對求函數(shù)在某一閉區(qū)間上, 先用導數(shù)求出極值點的值和區(qū)間端點的值, 最大者為最大值,最小者為最小值,對求函數(shù)定義域上最值問題或值域,先利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值,從而弄清函數(shù)的圖像,結(jié)合函數(shù)圖像求出極值;對已知最值或不等式恒成立求參數(shù)范圍問題,通過參變分離轉(zhuǎn)化為不等式( )f x()( )g a(x是自變量,a是參數(shù))恒成立問題,( )g amax( )f x(min( )f x) ,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,
13、注意函數(shù)最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系.1.(2016 高考山東理數(shù))已知221( )ln,Rxf xa xxax.()討論( )f x的單調(diào)性; (II)略考點:應(yīng)用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【名師點睛】本題主要考查導數(shù)的計算、應(yīng)用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、分類討論思想.解答本題,準確求導數(shù)是基礎(chǔ),恰當分類討論是關(guān)鍵,易錯點是分類討論不全面、不徹底、不恰當,或因復雜式子變形能力差,而錯漏百出.本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、基本計算能力、分類討論思想等.2.(2016 高考天津理數(shù))設(shè)函數(shù)3( )(1)f xxaxb,Rx,其中Rba,()求)(xf的單調(diào)區(qū)間;(II)略; ()略.【答案】()當0a時,
14、單調(diào)遞增區(qū)間為),(;當0a時,單調(diào)遞減區(qū)間為)331 ,331 (aa,單調(diào)遞增區(qū)間為)331 ,(a,),331 (a.【解析】 ()解:由baxxxf3) 1()(,可得axxf2) 1( 3)( .下面分兩種情況討論:【名師點睛】1.求可導函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟(1)確定函數(shù))(xf的定義域(定義域優(yōu)先);(2)求導函數(shù)( )fx;(3)在函數(shù))(xf的定義域內(nèi)求不等式( )0fx或( )0fx的解集(4)由( )0fx(( )0fx)的解集確定函數(shù))(xf的單調(diào)增(減)區(qū)間若遇不等式中帶有參數(shù)時,可分類討論求得單調(diào)區(qū)間2 由函數(shù))(xf在( , )a b上的單調(diào)性, 求參數(shù)范圍問題,
15、 可轉(zhuǎn)化為( )0fx(或( )0fx)恒成立問題,要注意“”是否可以取到20162016 高考真題及名校模擬題高考真題及名校模擬題母題母題【母題1】 ()討論函數(shù)xx2f(x)x2e的單調(diào)性, 并證明當0 x 時,(2)20 xxex;()證明:當0,1)a時,函數(shù)2x =(0)xeaxagxx( )有最小值.設(shè)( )g x的最小值為( )h a,求函數(shù)( )h a的值域【答案】 ()詳見解析; ()21( ,.24e.考點: 函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值.【名師點睛】求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟:(1)確定函數(shù) f(x)的定義域;(2)求導數(shù) f(x);(3)由 f(x)0(f(x)0)解出相應(yīng)的 x
16、 的范圍當 f(x)0 時,f(x)在相應(yīng)的區(qū)間上是增函數(shù);當 f(x)0 時,f(x)在相應(yīng)的區(qū)間上是減函數(shù),還可以列表,寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間注意:求函數(shù)最值時,不可想當然地認為極值點就是最值點,要通過認真比較才能下結(jié)論;另外注意函數(shù)最值是個“整體”概念,而極值是個“局部”概念【母題 2】設(shè)函數(shù)( )a xf xxebx,曲線( )yf x在點(2,(2)f處的切線方程為(1)4yex,(1)求a,b的值;(2)求( )f x的單調(diào)區(qū)間.【答案】 ()2a ,be; (2))(xf的單調(diào)遞增區(qū)間為(,) .【解析】 (1)因為bxxexfxa)(,所以bexxfxa)1 ()(.依題設(shè),, 1
17、)2(, 22)2(efef即, 1, 222222ebeebeaa解得eba , 2;(2)由()知exxexfx2)(.由)1 ()(12xxexexf即02xe知,)(xf 與11xex同號.令11)(xexxg,則11)(xexg.所以,當) 1 ,(x時,0)( xg,)(xg在區(qū)間) 1 ,(上單調(diào)遞減;當), 1 ( x時,0)( xg,)(xg在區(qū)間), 1 ( 上單調(diào)遞增.故1) 1 (g是)(xg在區(qū)間),(上的最小值,從而),(, 0)(xxg.綜上可知,0)( xf,),(x,故)(xf的單調(diào)遞增區(qū)間為),(.考點:導數(shù)的應(yīng)用.【名師點睛】用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性時,首先
18、應(yīng)確定函數(shù)的定義域,然后在函數(shù)的定義域內(nèi),通過討論導數(shù)的符號,來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間在對函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時,除了必須確定使導數(shù)等于 0 的點外,還要注意定義區(qū)間內(nèi)的間斷點【母題 3】設(shè)函數(shù) f(x)=ax2-a-lnx,其中 a R.()討論 f(x)的單調(diào)性;()確定 a 的所有可能取值,使得11( )xf xex在區(qū)間(1,+)內(nèi)恒成立(e=2.718為自然對數(shù)的底數(shù)).考點:導數(shù)的計算、利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,最值、解決恒成立問題.【名師點睛】本題考查導數(shù)的計算、利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,最值、解決恒成立問題,考查學生的分析問題解決問題的能力和計算能力求函數(shù)的單調(diào)性,基本方法是求( )fx,
19、解方程( )0fx , 再通過( )fx的正負確定( )f x的單調(diào)性; 要證明函數(shù)不等式( )( )f xg x,一般證明( )( )f xg x的最小值大于 0,為此要研究函數(shù)( )( )( )h xf xg x的單調(diào)性本題中注意由于函數(shù)( )h x有極小值沒法確定,因此要利用已經(jīng)求得的結(jié)論縮小參數(shù)取值范圍比較新穎,學生不易想到有一定的難度【母題 4】已知函數(shù)),()(23Rbabaxxxf.(1)試討論)(xf的單調(diào)性;(2)若acb(實數(shù) c 是 a 與無關(guān)的常數(shù)) ,當函數(shù))(xf有三個不同的零點時,a 的取值范圍恰好是),23()23, 1 ()3,(,求 c 的值.【答案】 (1
20、)當0a 時, f x在, 上單調(diào)遞增;當0a 時, f x在2,3a ,0,上單調(diào)遞增,在2,03a上單調(diào)遞減;當0a 時, f x在,0,2,3a上單調(diào)遞增,在20,3a上單調(diào)遞減(2)1.c 【考點定位】利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、極值、函數(shù)零點【名師點晴】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟:確定函數(shù) yf(x)的定義域;求導數(shù) yf(x),令 f(x)0,解此方程,求出在定義區(qū)間內(nèi)的一切實根;把函數(shù) f(x)的間斷點(即 f(x)的無定義點)的橫坐標和上面的各實數(shù)根按由小到大的順序排列起來,然后用這些點把函數(shù) f(x)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間;確定 f(x)在各個區(qū)間內(nèi)的符號,根據(jù)符號判定函數(shù)在每個相
21、應(yīng)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性已知函數(shù)的零點個數(shù)問題處理方法為:利用函數(shù)的單調(diào)性、極值畫出函數(shù)的大致圖像,數(shù)形結(jié)合求解已知不等式解集求參數(shù)方法: 利用不等式解集與對應(yīng)方程根的關(guān)系找等量關(guān)系或不等關(guān)系.【母題 5】設(shè)函數(shù)2( )f xxaxb.()討論函數(shù)(sin )fx在(,)2 2 內(nèi)的單調(diào)性并判斷有無極值,有極值時求出極值;()記2000( )fxxa xb,求函數(shù)0(sin )(sin )fxfx在2 2 ,上的最大值 D;()在()中,取000ab,求24azb滿足D1時的最大值.【答案】 ()極小值為24ab; ()00|Daabb; ()1.【解析】 ()2(sin )sinsinsin (si
22、n)fxxaxbxxab,22x. (sin )(2sin)cosfxxax,22x.因為22x,所以cos0, 22sin2xx .當2,abR 時,函數(shù)(sin )fx單調(diào)遞增,無極值.當2,abR時,函數(shù)(sin )fx單調(diào)遞減,無極值.【考點定位】1.函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值;2.絕對值不等式的應(yīng)用.【名師點睛】函數(shù)、導數(shù)解答題中貫穿始終的是數(shù)學思想方法,在含有參數(shù)的試題中,分類與整合思想是必要的,由于是函數(shù)問題,所以函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想也是必要的,把不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題、 把方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點問題等, 轉(zhuǎn)化與化歸思想也起著同樣的作用,解決函數(shù)、導數(shù)的解答題要充分注意數(shù)學
23、思想方法的應(yīng)用.【母題 6】已知函數(shù)( )n,nf xxxxR,其中*n,n2N.(I)討論( )f x的單調(diào)性;(II)設(shè)曲線( )yf x=與x軸正半軸的交點為 P,曲線在點 P 處的切線方程為( )yg x=,求證:對于任意的正實數(shù)x,都有( )( )f xg x;(III)若關(guān)于x的方程( )=a(a)f x為實數(shù)有兩個正實根12xx,求證:21|-|21ax xn0.()設(shè) g(x)為 f(x)的導函數(shù),討論 g(x)的單調(diào)性;()證明:存在 a(0,1),使得 f(x)0 恒成立,且 f(x)0 在區(qū)間(1,)內(nèi)有唯一解.【解析】()由已知,函數(shù) f(x)的定義域為(0,)g(x)
24、f (x)2(x1lnxa)所以 g(x)222(1)xxx當 x(0,1)時,g(x)0,g(x)單調(diào)遞減當 x(1,)時,g(x)0,g(x)單調(diào)遞增()由 f (x)2(x1lnxa)0,解得 ax1lnx令(x)2xlnxx22x(x1lnx)(x1lnx)2(1lnx)22xlnx則(1)10,(e)2(2e)0于是存在 x0(1,e),使得(x0)0令 a0 x01lnx0u(x0),其中 u(x)x1lnx(x1)由 u(x)11x0 知,函數(shù) u(x)在區(qū)間(1,)上單調(diào)遞增故 0u(1)a0u(x0)u(e)e21即 a0(0,1)當 aa0時,有 f (x0)0,f(x0)
25、(x0)0再由()知,f (x)在區(qū)間(1,)上單調(diào)遞增當 x(1,x0)時,f (x)0,從而 f(x)f(x0)0當 x(x0,)時,f (x)0,從而 f(x)f(x0)0又當 x(0,1時,f(x)(xa0)22xlnx0故 x(0,)時,f(x)0綜上所述,存在 a(0,1),使得 f(x)0 恒成立,且 f(x)0 在區(qū)間(1,)內(nèi)有唯一解.【考點定位】 本題主要考查導數(shù)的運算、 導數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用、 函數(shù)的零點等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力、創(chuàng)新意識,考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想.【名師指點】本題第()問隱藏二階導數(shù)知識點,由于連續(xù)兩次求導后,參
26、數(shù) a 消失,故函數(shù)的單調(diào)性是確定的,討論也相對簡單.第()問需要證明的是:對于某個 a(0,1),f(x)的最小值恰好是 0, 而且在(1, )上只有一個最小值.因此, 本題仍然要先討論 f(x)的單調(diào)性,進一步說明對于找到的 a,f(x)在(1,)上有且只有一個等于 0 的點,也就是在(1,)上有且只有一個最小值點.屬于難題.7.【2015 高考新課標 1,文 21】 (本小題滿分 12 分)設(shè)函數(shù) 2lnxf xeax.(I)討論 f x的導函數(shù) fx的零點的個數(shù);(II)證明:當0a 時 22lnf xaaa.【答案】 (I)當0a 時,( )fx沒有零點;當0a 時,( )fx存在唯
27、一零點.(II)見解析【解析】試題分析: (I)先求出導函數(shù),分0a與0a 考慮 fx的單調(diào)性及性質(zhì),即可判斷出零點個數(shù); (II)由(I)可設(shè)( )fx在()0 +,的唯一零點為0 x,根據(jù) fx的正負,即可判定函數(shù)的圖像與性質(zhì),求出函數(shù)的最小值,即可證明其最小值不小于22lna aa+,即證明了所證不等式.試題解析: (I)( )f x的定義域為()0 +,()2( )=20 xafxexx-.當0a 時,( )0fx,( )fx沒有零點;當0a 時,因為2xe單調(diào)遞增,ax-單調(diào)遞增,所以( )fx在()0 +,單調(diào)遞增.又( )0fa,當 b 滿足04ab且14b 時,(b)0f時,(
28、 )fx存在唯一零點.(II)由(I) ,可設(shè)( )fx在()0 +,的唯一零點為0 x,當()00 xx,時,( )0fx.故( )f x在()00 x,單調(diào)遞減,在()0+x,單調(diào)遞增,所以當0 xx=時,( )f x取得最小值,最小值為0()f x.由于0202=0 xaex-,所以00022()=2ln2ln2af xaxaaaxaa+.故當0a 時,2( )2lnf xaaa+.考點:常見函數(shù)導數(shù)及導數(shù)運算法則;函數(shù)的零點;利用導數(shù)研究函數(shù)圖像與性質(zhì);利用導數(shù)證明不等式;運算求解能力.【名師指點】導數(shù)的綜合應(yīng)用是高考考查的重點和熱點,解決此類問題,要熟練掌握常見函數(shù)的導數(shù)和導數(shù)的運算
29、法則、 掌握通過利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、 極值研究函數(shù)的圖像與性質(zhì).對函數(shù)的零點問題,利用導數(shù)研究函數(shù)的圖像與性質(zhì),畫出函數(shù)圖像草圖,結(jié)合圖像處理;對恒成立或能處理成立問題,常用參變分離或分類討論來處理.8.【2015 高考重慶,文 19】已知函數(shù)32( )f xaxx(aR)在 x=43處取得極值.()確定a的值,()若( )( )xg xf x e,討論的單調(diào)性.【答案】 ()12a =, ()g( ) x在(, 4)( 1,0)-和內(nèi)為減函數(shù),( 4, 1)(0,)-+和內(nèi)為增函數(shù).【解析】試題分析: ()先求出函數(shù)( )f x的導函數(shù)2( )32fxaxx=+,由已知有4()03f-
30、=可得關(guān)于a的一個一元方程,解之即得a的值,()由()的結(jié)果可得函數(shù)321g( )2xxxxe驏琪=+琪桫,利用積的求導法則可求出g ( ) x=1(1)(4)2xx xxe+,令g ( )0 x=,解得0,1=-4xxx= - 或.從而分別討論-4x ,41x- -,-10 x時g ( ) x的符號即可得到函數(shù)g( ) x的單調(diào)性試題解析: (1)對( )f x求導得2( )32fxaxx=+因為( )f x在43x = -處取得極值,所以4()03f-=,即16416832 ()09333aa+ -=-=,解得12a =.(2)由(1)得,321g( )2xxxxe驏琪=+琪桫,故2323
31、23115g ( )222222xxxxxx exxexxx e驏驏驏琪琪琪=+=+琪琪琪桫桫桫1(1)(4)2xx xxe=+令g ( )0 x=,解得0,1=-4xxx= - 或.當-4x 時,g ( )0 x,故g( ) x為減函數(shù),當41x- ,故g( ) x為增函數(shù),當-10 x時,g ( )0 x時,g ( )0 x,故g( ) x為增函數(shù),綜上知g( ) x在(, 4)( 1,0)-和內(nèi)為減函數(shù),( 4, 1)(0,)-+和內(nèi)為增函數(shù).【考點定位】1. 導數(shù)與極值,2. 導數(shù)與單調(diào)性.【名師指點】 本題考查函數(shù)導數(shù)的概念和運算, 運用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及導數(shù)與函數(shù)極值之間的關(guān)系
32、, 利用函數(shù)的極值點必是導數(shù)為零的點, 使導函數(shù)大于零的 x 的區(qū)間函數(shù)必增,小于零的區(qū)間函數(shù)必減進行求解, 本題屬于中檔題, 注意求導的準確性及使導函數(shù)大于零或小于零的 x 的區(qū)間的確定.9.【2015 高考新課標 2,理 12】設(shè)函數(shù)( )fx是奇函數(shù)( )()f x xR的導函數(shù),( 1)0f ,當0 x 時,( )( )0 xfxf x,則使得( )0f x 成立的x的取值范圍是()A(, 1)(0,1) B( 1,0)(1,)C(, 1)( 1,0) D(0,1)(1,)【答案】A【考點定位】導數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)的圖象與性質(zhì)【名師指點】聯(lián)系已知條件和結(jié)論,構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學中一種常用
33、的方法,解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問題,設(shè)法建立起目標函數(shù),并確定變量的限制條件,通過研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題,??墒箚栴}變得明了,屬于難題10.【2015 高考新課標 1,理 12】設(shè)函數(shù)( )f x=(21)xexaxa,其中 a1,若存在唯一的整數(shù)0 x,使得0()f x0,則a的取值范圍是()(A)-32e,1)(B)-32e,34)(C)32e,34)(D)32e,1)【答案】D【解析】設(shè)( )g x=(21)xex,yaxa,由題知存在唯一的整數(shù)0 x,使得0()g x在直線yaxa的下方.因為( )(21)xg xex,所以當12x 時,( )g x0,當12x
34、時,( )g x0,所以當12x 時,max ( )g x=12-2e,當0 x 時,(0)g=-1,(1)30ge,直線yaxa恒過(1,0)斜率且a,故(0)1ag ,且1( 1)3geaa ,解得32ea1,故選 D.【考點定位】本題主要通過利用導數(shù)研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決不等式成立問題【名師指點】對存在性問題有三種思路,思路 1:參變分離,轉(zhuǎn)化為參數(shù)小于某個函數(shù)(或參數(shù)大于某個函數(shù)) ,則參數(shù)該于該函數(shù)的最大值(大于該函數(shù)的最小值) ;思路 2:數(shù)形結(jié)合,利用導數(shù)先研究函數(shù)的圖像與性質(zhì),再畫出該函數(shù)的草圖,結(jié)合圖像確定參數(shù)范圍,若原函數(shù)圖像不易做,?;癁橐粋€函數(shù)存在一點在另一個函數(shù)上方
35、,用圖像解;思路 3:分類討論,本題用的就是思路 2.11.【2015 高考新課標 2,理 21】 (本題滿分 12 分)設(shè)函數(shù)2( )mxf xexmx()證明:( )f x在(,0)單調(diào)遞減,在(0,)單調(diào)遞增;()若對于任意12, 1,1x x ,都有12()()1f xf xe,求m的取值范圍【答案】()詳見解析; () 1,1【解析】()( )(1)2mxfxm ex若0m ,則當(,0)x 時,10mxe ,( )0fx ;當(0,)x時,10mxe ,( )0fx 若0m ,則當(,0)x 時,10mxe ,( )0fx ;當(0,)x時,10mxe ,( )0fx 所以,( )
36、f x在(,0)單調(diào)遞減,在(0,)單調(diào)遞增() 由()知, 對任意的m,( )f x在 1,0單調(diào)遞減, 在0,1單調(diào)遞增, 故( )f x在0 x 處取得最小值所以對于任意12, 1,1x x ,12()()1f xf xe的充要條件是:(1)(0)1,( 1)(0)1,ffeffe即1,1,mmemeeme , 設(shè) 函 數(shù)( )1tg tete , 則( )1tg te當0t 時,( )0g t ;當0t 時,( )0g t 故( )g t在(,0)單調(diào)遞減,在(0,)單調(diào)遞增又(1)0g,1( 1)20gee,故當 1,1t 時,( )0g t 當 1,1m 時,( )0g m ,()
37、0gm,即式成立 當1m 時,由( )g t的單調(diào)性,( )0g m ,即1meme;當1m 時,()0gm,即1meme綜上,m的取值范圍是 1,1【考點定位】導數(shù)的綜合應(yīng)用【名師指點】()先求導函數(shù)( )(1)2mxfxm ex,根據(jù)m的范圍討論導函數(shù)在(,0)和(0,)的 符 號 即 可 ;( )12()()1f xf xe恒 成 立 , 等 價 于12max()()1f xf xe由12,x x是兩個獨立的變量,故可求研究( )f x的值域,由()可得最小值為(0)1f,最大值可能是( 1)f 或(1)f,故只需(1)(0)1,( 1)(0)1,ffeffe,從而得關(guān)于m的不等式,因不
38、易解出,故利用導數(shù)研究其單調(diào)性和符號,從而得解12.【2015 高考江蘇,19】 (本小題滿分 16 分)已知函數(shù)),()(23Rbabaxxxf.(1)試討論)(xf的單調(diào)性;(2)若acb(實數(shù) c 是 a 與無關(guān)的常數(shù)) ,當函數(shù))(xf有三個不同的零點時,a的取值范圍恰好是),23()23, 1 ()3,(,求 c 的值.【答案】 (1)當0a 時, f x在, 上單調(diào)遞增;當0a 時, f x在2,3a ,0,上單調(diào)遞增,在2,03a上單調(diào)遞減;當0a 時, f x在,0,2,3a上單調(diào)遞增,在20,3a上單調(diào)遞減(2)1.c 當0a 時,2,0,3ax 時, 0fx,20,3ax時
39、, 0fx,所以函數(shù) f x在,0,2,3a上單調(diào)遞增,在20,3a上單調(diào)遞減(2)由(1)知,函數(shù) f x的兩個極值為 0fb,324327afab,則函數(shù) f x有三個零點等價于 32400327affbab,從而304027aab或304027aba 又bca,所以當0a 時,34027aac或當0a 時,34027aac設(shè) 3427g aaac,因為函數(shù) f x有三個零點時,a的取值范圍恰好是33, 31,22 ,則在, 3 上 0g a ,且在331,22上 0g a 均恒成立,從而310gc ,且3102gc ,因此1c 此時, 3221111f xxaxaxxaxa ,因函數(shù)有三
40、個零點,則2110 xaxa 有兩個異于1的不等實根,所以2214 1230aaaa ,且21110aa ,解得33, 31,22a 綜上1c 【考點定位】利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、極值、函數(shù)零點【名師指點】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟:確定函數(shù) yf(x)的定義域;求導數(shù) yf(x),令 f(x)0,解此方程,求出在定義區(qū)間內(nèi)的一切實根;把函數(shù) f(x)的間斷點(即 f(x)的無定義點)的橫坐標和上面的各實數(shù)根按由小到大的順序排列起來,然后用這些點把函數(shù) f(x)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間;確定 f(x)在各個區(qū)間內(nèi)的符號,根據(jù)符號判定函數(shù)在每個相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性已知函數(shù)的零點個數(shù)問題處理方法為:利用
41、函數(shù)的單調(diào)性、極值畫出函數(shù)的大致圖像,數(shù)形結(jié)合求解已知不等式解集求參數(shù)方法:利用不等式解集與對應(yīng)方程根的關(guān)系找等量關(guān)系或不等關(guān)系.13.【2015 高考山東,理 21】設(shè)函數(shù) 2ln1f xxa xx,其中aR.()討論函數(shù) f x極值點的個數(shù),并說明理由;()若 0,0 xf x 成立,求a的取值范圍.【答案】 (I) :當0a 時,函數(shù) f x在1, 上有唯一極值點;當809a時,函數(shù) f x在1, 上無極值點;當89a 時,函數(shù) f x在1, 上有兩個極值點;(II)a的取值范圍是0,1.(2)當0a 時,28198aaaaa 當809a時,0 , 0g x 所以, 0fx,函數(shù) f x
42、在1, 上單調(diào)遞增無極值;當89a 時,0 設(shè)方程2210axaxa 的兩根為1212,(),x x xx因為1212xx 所以,1211,44xx 由110g 可得:111,4x 所以,當11,xx 時, 0,0g xfx,函數(shù) f x單調(diào)遞增;當12,xx x時, 0,0g xfx,函數(shù) f x單調(diào)遞減;當2,xx時, 0,0g xfx,函數(shù) f x單調(diào)遞增;因此函數(shù) f x有兩個極值點(3)當0a 時,0 由110g 可得:11,x 當21,xx 時, 0,0g xfx,函數(shù) f x單調(diào)遞增;當2,xx時, 0,0g xfx,函數(shù) f x單調(diào)遞減;因此函數(shù) f x有一個極值點綜上:當0a
43、 時,函數(shù) f x在1, 上有唯一極值點;當809a時,函數(shù) f x在1, 上無極值點;當89a 時,函數(shù) f x在1, 上有兩個極值點;(II)由(I)知,(1)當809a時,函數(shù) f x在0,上單調(diào)遞增,因為 00f所以,0,x時, 0f x ,符合題意;(2)當819a時,由 00g,得20 x 所以,函數(shù) f x在0,上單調(diào)遞增,又 00f,所以,0,x時, 0f x ,符合題意;(3)當1a 時,由 00g,可得20 x 所以20,xx時,函數(shù) f x單調(diào)遞減;又 00f所以,當20,xx時, 0f x 不符合題意;(4)當0a 時,設(shè) ln1h xxx因為0,x時, 11011xh
44、 xxx 當11xa 時,210axa x此時, 0,f x 不合題意.綜上所述,a的取值范圍是0,1【考點定位】1、導數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用;2、分類討論的思想.【名師指點】本題考查了導數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用,著重考查了分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的思想方法,意在考查學生結(jié)合所學知識分析問題、解決問題的能力,其中最后一問所構(gòu)造的函數(shù)體現(xiàn)了學生對不同函數(shù)增長模型的深刻理解.14.【2015 高考重慶,理 20】 設(shè)函數(shù) 23xxaxf xaRe(1)若 f x在0 x 處取得極值,確定a的值,并求此時曲線 yf x在點 1,1f處的切線方程;(2)若 f x在3,上為減函數(shù),求a的取值范圍?!?/p>
45、答案】 (1)0a ,切線方程為30 xey-=; (2)9,)2.當1xx時,g( )0 x ,故( )f x為減函數(shù);當12xxx,故( )f x為增函數(shù);當2xx時,g( )0 x ,故( )f x為減函數(shù);由( )f x在3,)上為減函數(shù),知2263636aax,解得92a 故 a 的取值范圍為9,)2.【考點定位】復合函數(shù)的導數(shù),函數(shù)的極值,切線,單調(diào)性考查綜合運用數(shù)學思想方法分析與解決問題的能力【名師指點】 導數(shù)及其應(yīng)用通常圍繞四個點進行命題 第一個點是圍繞導數(shù)的幾何意義展開,設(shè)計求曲線的切線方程, 根據(jù)切線方程求參數(shù)值等問題, 這類試題在考查導數(shù)的幾何意義的同時也考查導數(shù)的運算、
46、函數(shù)等知識,試題的難度不大;第二個點是圍繞利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)展開,設(shè)計求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值,已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)或者參數(shù)范圍等問題, 在考查導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的同時考查分類與整合思想、 化歸與轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學思想方法;第三個點是圍繞導數(shù)研究不等式、方程展開,涉及不等式的證明、不等式的恒成立、 討論方程根等問題, 主要考查通過轉(zhuǎn)化使用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)并把函數(shù)性質(zhì)用來分析不等式和方程等問題的能力, 該點和第二個點一般是解答題中的兩個設(shè)問, 考查的核心是導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法和函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用;第四個點是圍數(shù)性質(zhì)并把函數(shù)性質(zhì)用來分析不等式和方程等問題的能力, 該點和第二個點一般是
47、解答題中的兩個設(shè)問, 考查的核心是導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法和函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用; 本題涉及第一個點和第二個點, 主要注意問題的轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化為不等式恒成立,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的性質(zhì)15.【2015 高考四川,理 21】已知函數(shù)22( )2()ln22f xxaxxaxaa ,其中0a .(1)設(shè)( )g x是( )f x的導函數(shù),評論( )g x的單調(diào)性;(2) 證明: 存在(0,1)a, 使得( )0f x 在區(qū)間(1,+ )內(nèi)恒成立, 且( )0f x 在(1,+ )內(nèi)有唯一解.【答案】 (1)當104a時,( )g x在區(qū)間11 411 4(0,),(,)22aa上單調(diào)遞增,在區(qū)間11 411 4(,
48、)22aa上單調(diào)遞減;當14a 時,( )g x在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞增.(2)詳見解析.【解析】 (1)由已知,函數(shù)( )f x的定義域為(0,),( )( )222ln2(1)ag xfxxaxx,所以222112()2()2224( )2xaag xxxx.當104a時,( )g x在區(qū)間11 411 4(0,),(,)22aa上單調(diào)遞增,在區(qū)間11 411 4(,)22aa上單調(diào)遞減;當14a 時,( )g x在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞增.(2)由( )222ln2(1)0afxxaxx,解得11 ln1xxax .令2211111 ln1 ln1 ln1 ln( )2()ln2()2()
49、1111xxxxxxxxxxxxxxxxx .則211(2)2(1)10, ( )2()011e eeeee ,.故存在0(1, )xe,使得0()0 x.令000101 ln, ( )1 ln (1)1xxau xxx xx ,.由1( )10u xx 知,函數(shù)( )u x在區(qū)間(1,)上單調(diào)遞增.所以001110()(1)( )2011 1111u xuu eeaxee.即0(0,1)a .【考點定位】本題考查導數(shù)的運算、導數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用、函數(shù)的零點等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力、創(chuàng)新意識,考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合,化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想.【考點定位】本題考查導
50、數(shù)的運算、導數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用、函數(shù)的零點等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力、創(chuàng)新意識,考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合,化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想.【名師指點】本題作為壓軸題,難度系數(shù)應(yīng)在 0.3 以下.導數(shù)與微積分作為大學重要內(nèi)容,在中學要求學生掌握其基礎(chǔ)知識,在高考題中也必有體現(xiàn).一般地,只要掌握了課本知識,是完全可以解決第(1)題的,所以對難度最大的最后一個題,任何人都不能完全放棄,這里還有不少的分是志在必得的.解決函數(shù)題需要的一個重要數(shù)學思想是數(shù)形結(jié)合,聯(lián)系圖形大膽猜想. 在本題中,結(jié)合待證結(jié)論,可以想象出( )f x的大致圖象,要使得( )0f x 在區(qū)間(1,+ )內(nèi)恒成
51、立,且( )0f x 在(1,+ )內(nèi)有唯一解,則這個解0 x應(yīng)為極小值點,且極小值為 0,當0(1,)xx時,( )f x的圖象遞減;當0(,)xx時,( )f x的圖象單調(diào)遞增,順著這個思想,便可找到解決方法.16.【2015 高考新課標 1,理 21】已知函數(shù) f(x)=31, ( )ln4xaxg xx .()當 a 為何值時,x 軸為曲線( )yf x的切線;17.【2015 高考北京,理 18】已知函數(shù) 1ln1xf xx()求曲線 yf x在點 00f,處的切線方程;()求證:當0 1x,時, 323xf xx;()設(shè)實數(shù)k使得 33xf xk x對0 1x,恒成立,求k的最大值
52、【答案】 ()20 xy, ()證明見解析, ()k的最大值為 2.【解析】試題分析:利用導數(shù)的幾何意義,求出函數(shù)在0 x處的函數(shù)值及導數(shù)值,再用直線方程的點斜式寫出直線方程;第二步要證明不等式 323xf xx在0 1x,成立,可用作差法構(gòu)造函數(shù)1( )ln1xF xx32 ()3xx,利用導數(shù)研究函數(shù)F(x)在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)性,由于( )0F x,( )F x在(0,1)上為增函數(shù),則( )(0)0F xF, 問題得證; 第三步與第二步方法類似, 構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,但需要對參數(shù)k作討論,首先0,2k符合題意,其次當2k時,不滿足題意舍去,得出k的最大值為 2.(0,1)x,3
53、( )2 ()3xf xx成立;()使 33xf xk x成立,0 1x,等價于31( )ln()013xxF xk xx,0 1x,;422222( )(1)11kxkF xkxxx,當0,2k時,( )0F x,函數(shù)在(0,1)上位增函數(shù),( )(0)0F xF,符合題意;當2k時,令402( )0,(0,1)kF xxk,x0(0,)x0 x0(,1)x( )F x-0+( )F x極小值( )(0)F xF,顯然不成立,綜上所述可知:k的最大值為 2.考點:1.導數(shù)的幾何意義;2.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,證明不等式;3.含參問題討論.【名師指點】本題考查導數(shù)的幾何意義和利用導數(shù)研究函
54、數(shù)性質(zhì)問題,本題第一步為基礎(chǔ),第二、三步屬于中等略偏難問題,首先利用導數(shù)的幾何意義求出切線斜率和切點坐標,寫出切線方程,其次用作差法構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,證明不等式,最后一步對參數(shù)k進行分類討論研究.16.【2015 高考廣東,理 19】設(shè)1a ,函數(shù)aexxfx)1 ()(2(1) 求)(xf的單調(diào)區(qū)間 ;(2) 證明:)(xf在, 上僅有一個零點;【答案】 (1), ; (2)見解析; (3)見解析【解析】 (1)依題 2221110 xxxfxxexexe, f x在, 上是單調(diào)增函數(shù);(2)1a , 010fa 且 22110af aaeaaa , f x在0,a上有零點
55、,又由(1)知 f x在, 上是單調(diào)增函數(shù), f x在, 上僅有一個零點;20142014 高考真題及名校模擬題高考真題及名校模擬題母題母題1.2014安徽卷安徽卷 設(shè)函數(shù) f(x)1(1a)xx2x3,其中 a0.(1)討論 f(x)在其定義域上的單調(diào)性;(2)當 x0,1時 ,求 f(x)取得最大值和最小值時的 x 的值解:(1)f(x)的定義域為(,),f(x)1a2x3x2.令 f(x)0,得 x11 43a3,x21 43a3,x1x2,所以 f(x)3(xx1)(xx2)當 xx2時,f(x)0;當 x1x0.故 f(x)在,1 43a3和1 43a3,內(nèi)單調(diào)遞減,在1 43a3,
56、1 43a3內(nèi)單調(diào)遞增(2)因為 a0,所以 x10,當 a4 時,x21.由(1)知,f(x)在0,1上單調(diào)遞增,所以 f(x)在 x0 和 x1 處分別取得最小值和最大值當 0a4 時,x21.由(1)知,f(x)在0,x2上單調(diào)遞增,在x2,1上單調(diào)遞減,所以 f(x)在 xx21 43a3處取得最大值又 f(0)1,f(1)a,所以當 0a1 時,f(x)在 x1 處取得最小值;當 a1 時,f(x)在 x0 和 x1 處同時取得最小值;當 1a1 時,對 x(0,a1有(x)0,(x)在(0,a1上單調(diào)遞減,(a1)1 時,存在 x0,使(x)nln(n1)證明如下:方法一:上述不等
57、式等價于12131n1x1x,x0.令 x1n,nN,則1n1lnn1n.下面用數(shù)學歸納法證明當 n1 時,12ln 2,結(jié)論成立假設(shè)當 nk 時結(jié)論成立,即12131k1ln(k1)那么,當 nk1 時,12131k11k2ln(k1)1k2ln(k1)lnk2k1ln(k2),即結(jié)論成立由可知,結(jié)論對 nN成立方法二:上述不等式等價于12131n1x1x,x0.令 x1n,nN,則 lnn1n1n1.故有 ln 2ln 112,ln 3ln 213,ln(n1)ln n1n1,上述各式相加可得 ln(n1)12131n1.3. 2014四川卷四川卷 設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d,點(an,b
58、n)在函數(shù) f(x)2x的圖像上(nN*)(1)若 a12,點(a8,4b7)在函數(shù) f(x)的圖像上,求數(shù)列an的前 n 項和 Sn;(2)若 a11, 函數(shù) f(x)的圖像在點(a2, b2)處的切線在 x 軸上的截距為 21ln 2, 求數(shù)列anbn的前 n 項和 Tn.解:(1)由已知得,b72a7,b82a84b7,所以 2a842a72a72,解得 da8a72,所以 Snna1n(n1)2d2nn(n1)n23n.(2)函數(shù) f(x)2x在點(a2,b2)處的切線方程為 y2a2(2a2ln 2)(xa2),其在 x 軸上的截距為 a21ln 2.由題意有 a21ln 221ln 2,解得 a22.所以 da2a11.從而 ann,bn2n,所以數(shù)列anbn的通項公式為anbnn2n,所以 Tn12222323n12n1n2n,2Tn1122322n2n1,因此,2TnTn11212212n1n
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