二項式定理題型及解法

1、二項式定理題型及解法1 .二項式定理：（ab）nC：anC；an1b2 .基本概念：二項式展開式：右邊的多項式叫做二項式系數(shù)：展開式中各項的系數(shù)rnrrCnabCnbn(nN),(ab)n的二項展開式.rCn(r0,1,2,n)o項數(shù)：共（r1）項,通項：展開式中的第3.注意關(guān)鍵點：是關(guān)于a與b的齊次多項式r1項C；anrbr叫做二項式展開式的通項。用rnrr一Ir1Cnab表小.項數(shù)：展開式中總共有順序：注意正確選擇（n1）項。a,b,其順序不能更改。指數(shù)：a的指數(shù)從n逐項減到0,是降哥排列。于n。系數(shù)：注意正確區(qū)分二項式系數(shù)與項的系數(shù)，與b的系數(shù)（包括二項式系數(shù)）。（ab）n與（ba）n是

2、不同的。b的指數(shù)從0逐項增到n,是升哥排列。各項的次數(shù)和等二項式系數(shù)依次是C：,Cn,Cn2,C：,Cn.項的系數(shù)是a4 .常用的結(jié)論：令a1,bx,（1令a1,bx,（15 .性質(zhì)：二項式系數(shù)的對稱性:x)nC；C：xC：x2C；xx)nC0C：xC'x2C：xCnxn(nNnnn1)Cnx(n與首末兩端“對距離”的兩個二項式系數(shù)相等二項式系數(shù)和：令ab1,則二項式系數(shù)的和為C變形式CnC"C：C：:c：2n1。C2，即C；.cnCnckk1Cn,一CnCnC：2n,奇數(shù)項的二項式系數(shù)和在二項式定理中，令a=偶數(shù)項的二項式系數(shù)和1,b1,則CnC：C2C3從而得到：c0C2

3、42rC4C；c：C3C：,)、nn1)Cn12(12n奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和(anx)、na)1,C0anx0C0a則a01,則a0得，a0得,a1a1a1a21)n0,2n1C1an1xC2anC：axn1C；a222xn2xC；aC；aa。axa2a3an(a1)nnanx02a2x2a2xnanxa1xa。a2a4a5a3an(a1)nan(a1)n(a1)n2(a1)n(a1)n二項式系數(shù)的最大項：如果二項式的哥指數(shù)如果二項式的哥指數(shù)大值.（奇數(shù)項的系數(shù)和（偶數(shù)項的系數(shù)和n是偶數(shù)時，則中間一項的二項式系數(shù)是奇數(shù)時，則中間兩項的二項式系數(shù)nC：取得最大值.n1n1Cn2,Cn2

4、同時取得最系數(shù)的最大項：求（abx）n展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法。設(shè)展開式中各項系數(shù)分別A1Ar，.為A1,A2,An1,設(shè)第r1項系數(shù)最大，應(yīng)有1，從而解出r來.A1Ar26.二項式定理的H一種考題的解法：【題型一：二項式定理的逆用】【例1】：C：c26Cn362cn6n1.解：(16)nC0cn6C262Cn363C：6n與已知的有一些差距cnC26C；62C6n11(C16C：62C：6n)16(C6Cn62Cn6n1)1部16)n1n1-(71)6【練1】：Cn3C：9C；3n1C；解：設(shè)Sncn3C：9C；3na,則3SnC13Cn32C333C：3n01QC2。23Q3C

5、nQnnCnCn3Cn3Cn3J''Cn31(13)1Sn(13)n14n133n【題型二：利用通項公式求X的系數(shù)】【例2】：在二項式虜女了的展開式中倒數(shù)第3項的系數(shù)為45,求含有X3的項的系數(shù)？解：由條件知Cn245,即C；45,n2n900,解得n9(舍去)或n10,由1210r2rTr1C；(x4)10r(x3)rC；0x'+,由題意-r3,解得r6,43則含有x3的項是第7項T61C2x3210x3,系數(shù)為210?！揪?】：求(x22)9展開式中x9的系數(shù)？2x解：Tr1C；(x2)9r()rC；x182r(l)rxrC9(1)rx183r，令183r9,則r3

6、2x221,21故x的系數(shù)為C9(一)一。22【題型三：利用通項公式求常數(shù)項】【例3】：求二項式(x2110,一，一=)的展開式中的常數(shù)項?2.x解：Tr1C；0(x2)10r(6)rC1r。g)rx202r，令20|r0,得r1【練3】：求一項式(2x)6的展開式中的常數(shù)項？2x11.r6/、r/*rr/、rr6rr62r斛：Tr1C6(2x)(1)(一)(1)C62(-)x,令62r2x2T4(1)3C3201R8,所以T9Cw(-)820,得r3,所以45256【練4】：若(x21)n的二項展開式中第5項為常數(shù)項，則nx4n442、n4.1.4442n12斛：T5Cn(x)(-)C：x，

7、令2n120,得n6.x【題型四：利用通項公式，再討論而確定有理數(shù)項】【例4】：求二項式（JX次）9展開式中的有理項？1127rZ,(0r9)得3或r9,解：Tr1C；（x2）9r（X3）r（1）rC；x，令竺6所以當(dāng)r3時，工J14,T4(1)3C3x484x4,6當(dāng)r9時，2J-3,T10(1)3C；x3x3。6【題型五：奇數(shù)項的二項式系數(shù)和=偶數(shù)項的二項式系數(shù)和】21【例5】：若（衣/）展開式中偶數(shù)項系數(shù)和為256,求.x解：設(shè)（JI）n展開式中各項系數(shù)依次設(shè)為a0,a1,an,3_2，x則有a。an將一得:有題意得,2(a12n1a3a5256)28,0,，令x1,則有a0n2,a1a

8、3a5aa22n1a3(1)nan【練51:若（3ix解：C：C：5-12）n的展開式中,所有的奇數(shù)項的系數(shù)和為xCn4C2rCnCn32r1,“'Cn所以中間兩個項分別為n6,n7,T511024,on12,求它的中間項.2n11024,解得n11c'N：)=59)5462x4,T61462x【題型六：最大系數(shù)，最大項】1【例6】：已知（-2x）n,若展開式中第5項，第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項2式系數(shù)最大項的系數(shù)是多少？解：C：Cn2C5,n221n980,解出nMn14,當(dāng)n7時，展開式中二項式系數(shù)最大的70,當(dāng)n14時，展開式中二Tn1,也就是第

9、n1項。135“1項是T4和T5T4的系數(shù)C；（一）423，丁5的系數(shù)C；（一）3242221rr項式系數(shù)最大的項是丁8,T8的系數(shù)C；4（）7273432。2【練6】：在（ab）2n的展開式中，二項式系數(shù)最大的項是多少？解：二項式的哥指數(shù)是偶數(shù)2n,則中間一項的二項式系數(shù)最大，即T2n12x1n【練71:在（一）n的展開式中，只有第5項的二項式最大，則展開式中的常數(shù)項是多少？23xn1o解：只有第5項的一項式最大，則n15,即n8,所以展開式中常數(shù)項為第七項等于Cg（-）27【例7】：寫出在（ab）7的展開式中，系數(shù)最大的項？系數(shù)最小的項？解：因為二項式的哥指數(shù)7是奇數(shù)，所以中間兩項（第4,

10、5項）的二項式系數(shù)相等，且同時取得最大值，從而有T4C3a4b3的系數(shù)最小，T5C4a3b4系數(shù)最大。1C【例8】：若展開式刖二項的二項式系數(shù)和等于79,求（一2x）n的展開式中系數(shù)最大的項?201211211212解：由CnCnCn79,解出n12,假設(shè)Tr1項最大,（2x）（-）12（14x）12r10,展開式Ar1ArCl24C124，化簡得至U9,4r10.4,又；0r12,Ar1Ar2C；24rC；214r1中系數(shù)最大的項為T11，有T11(1)12C112)410x1016896x10【練8】：在(12x)10的展開式中系數(shù)最大的項是多少？解：假設(shè)Tr1項最大,vTr1C；o2rx

11、rAr1Ar1.0rArAr210,rCr02rC：2二解得2(1；7,展開式中系數(shù)最大的項為T8r)r2(10r)C；27x7,化簡得到6.315360x7.7.3,又【題型七：含有三項變兩項】25【例9】：求當(dāng)(x3x2)的展開式中x的一次項的系數(shù)？解法：(x23x2)5(x22)3x5,Tr1C5r(x22)5r(3x)，當(dāng)且僅當(dāng)r1時，T.1的展開式中才有x的一次項，此時Tr1T2C5(x22)43x,所以x得一次項為c5c：243x它的系數(shù)為C5c：243240。2555_05_14_5_05_14_55解法：(x3x2)(x1)(x2)(C5xC5xC5)(C5xCsx2C52)5

12、_5故展開式中含x的項為C5xC52C5x2240x,故展開式中x的系數(shù)為240.【練9】：求式子(x32)的常數(shù)項？解：(x12)3(加J)6,設(shè)第r1項為常數(shù)項，則岡川Tr1C；(1)rx6rdr(1)6C6x|62r，得62r0,rlxl3,3_3T31(1)C620o【題型八：兩個二項式相乘】【例10】：求(12x)3(1x)4展開式中x2的系數(shù).解：(12x)3的展開式的通項是CT(2x)mCT2mxm,(1x)4的展開式的通項是c4(x)nc41nxn,其中m0,1,2,3,n0,1,2,3,4,令mn2,則m0且n2,m1且n1,m2且n0,因此(12x)3(1x)42自6左米/

13、小華?二pc0o0c22c1o1c11c2o2c00x日J東雙寺1C32C4(1)C32C4(1)C32C4(1)【練10】：求(1阪)6(1;)10展開式中的常數(shù)項4x解：(13X)6(1mn方)10展開式的通項為C6vC；x;4m3ncmC1n0x12其中m0,1,2,6,n0,1,2,10，當(dāng)且僅當(dāng)4m3n,即m0,或n0,時得展開式中的常數(shù)項為C；C100C3c10C6C1804246。m3,3m或n4,n6,8,【練11：已知(1xx2)(x1c.一一,一一尸的展開式中沒有常數(shù)項x*一一.,nN且2n8,貝Un解:1C(x廠展開式的通項為cnxnrx3rcnxn4r,通項分別與前面的

14、三項相乘可得xcnxn4r,cnxn4r1,cnxn4r2”展開式中不含常數(shù)項,2n8n4r且n4r1且n4r2,即n4,8且n3,7且n2,6,n5.【題型九：奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和】【例11：在（x衣2006的二項展開式中，含x的奇次曷的項之和為S,當(dāng)xJ2時,S解：設(shè)(x72)2006=a0(x、.2)2006=a01&x1ax得2(a1xa3x3a?x2a?x5a§x：3a3x3a3x,a2005x2006a2006x2006ga2006x200520062006)(x.2)(x:2)(x點)2006展開式的奇次事項之和為S(x)1(x夜)2006(x拘200

15、632006當(dāng)x、見t,S(.2)1(、-2、2)2006(、,2.2)20062300822【題型十：賦值法】【例12】：設(shè)二項式（3次1n-）的展開式的各項系數(shù)的和為xp,所有二項式系數(shù)的和為s,若ps272,則n等于多少?解：若(33£1)x令x1得P2n16或2n2a0a1xa2xanxn,有Pa0a1an,SC0Cn2n,4n，又ps272，即4n2n27217(舍去)，n4。(2n17)(2n16)0解得n1.【練12：若3&-=的展開式中各項系數(shù)之和為x64,則展開式的常數(shù)項為多少?解：令x1,則3jxn1J一一，下的展開式中各項系數(shù)之和為x2n64,所以n6,

16、則展開式的常數(shù)項為【例解:【練解：C6(3>/x)3(2)13】：若(12x)2009/1令x一,可得a02在令x0可得a。13】：若(x2)50彳導(dǎo)a0a1540.1a0a1x2a2x3a3xa2009x2009(xR),則5a222舞的值為a211,因而5a5x32,令xa2a3a4a5adx1得a031.a2009-20092a2223a3x0,a12a200922a2x2009a1a2a3a2221.1axa4a2009-20092a0,則a1a2a3a4a5a51,【題型十一：整除性】【例14】:證明:32n28n證：32n2C8n；1891n.1n.1818由于各項均能被8n

17、9(n9Cnnnn64整除32n(8；82；822）能被64整除1)n1Cnn18n9818(n1)8n9(nCnCn1*N8n8n99C：18n）能被64整除以上是二項式定理應(yīng)用的十一種典型題型,可概括為三個方面的應(yīng)用:原理的應(yīng)用；通項公式的應(yīng)用（求指定項如第三項、倒數(shù)第二項、含有C：18nn1Q2Cn18二項式的展開式及組合先項x2項、常數(shù)項、有理項、無理項等，還可求系數(shù)最大的項)；賦值法的應(yīng)用。另外，在題型上還可以與數(shù)列、函數(shù)等知識相結(jié)合練習(xí)：1。已知(a+b)n展開式中各項的二項式系數(shù)之和為8192,則(a+b)n的展開式中項數(shù)共有A.14B.13Co12Do152。ab<0,a

18、+b=1,(a+b)9展開按a的降哥排列后第二項不大于第三項，則a的取值范圍是Do(1,+OO)n的最小值是()14A.,Bo,C.55n3.在2x2上的展開式中含常數(shù)項，則自然數(shù)3.xAo2B.3C.4D.54 .設(shè)(.2+x)10=a0+a1x+a2x2+a10x10,貝U(a0+a2+a4+a10)2-(a+a3+a9)2的值是(Ao1Bo1C.0Do(收-1)105 .設(shè)(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)n=a0+ax+a2x2+anxn,當(dāng)a0+a1+a2+an=254時，n等于D.8()Bo第2n+1項A.5B.6C.76 .在(1-x)4n+1展開式中系數(shù)最大的項是Ao第2n項Co第2n項和第2n+1項Do第2n+2項7.(1+x)3+(1+x)A.CM，+(1+x)9+(1+x)10展開式中B.C40Co311x3項的系數(shù)是D.CDo1(310-1),x3的系數(shù)為13.已知(a12)9的展開式中x3的系數(shù)為x；23114.|x|2展開式中的常數(shù)項是(|x|A.12B.-12C.20203115。電5.展開式中有理項的個數(shù)是15A.1Bo2C.38 .C；。2C204C3029C1