第2講控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型ppt課件

1、歡迎各位來到課堂！第2講程向紅控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1 引言2.2 時域數(shù)學(xué)模型2.3 頻域數(shù)學(xué)模型2.4 信號流圖與梅遜公式數(shù)學(xué)模型的幾種表示方式數(shù)學(xué)模型時域模型頻域模型方框圖和信號流圖形狀空間模型2.1 引言描畫系統(tǒng)或元件的動態(tài)特性的數(shù)學(xué)表達式叫做系統(tǒng)或元件的數(shù)學(xué)模型 深化了解元件及系統(tǒng)的動態(tài)特性，準確建立它們的數(shù)學(xué)模型稱建模 物理模型 任何元件或系統(tǒng)實踐上都是很復(fù)雜的，難以對它作出準確、全面的描畫，必需進展簡化或理想化。簡化后的元件或系統(tǒng)為該元件或系統(tǒng)的物理模型。簡化是有條件的，要根據(jù)問題的性質(zhì)和求解的準確要求，來確定出合理的物理模型。物理模型 任何元件或系統(tǒng)實

2、踐上都是很復(fù)雜的，難以對它作出準確、全面的描畫，必需進展簡化或理想化。簡化后的元件或系統(tǒng)為該元件或系統(tǒng)的物理模型。簡化是有條件的，要根據(jù)問題的性質(zhì)和求解的準確要求，來確定出合理的物理模型。電子放大器 看成 理想的線性放大環(huán)節(jié)。通訊衛(wèi)星 看成 質(zhì)點 。建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法有 ：分析法對系統(tǒng)各部分的運動機理進展分析，物理規(guī)律、化學(xué)規(guī)律。實驗法人為施加某種測試信號，記錄根本輸出呼應(yīng)。分析法建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的幾個步驟：建立物理模型。列寫原始方程。利用適當?shù)奈锢矶扇缗ｎD定律、基爾霍夫電流和電壓定律、能量守恒定律等選定系統(tǒng)的輸入量、輸出量及形狀變量僅在建立形狀模型時要求，消去中間變量，建立適當?shù)妮?/p>

3、入輸出模型或形狀空間模型。實驗法基于系統(tǒng)辨識的建模方法黑黑匣匣子子輸輸入入（已已知知）輸輸出出（已已知知）知知識和辨識目的實驗設(shè)計-選擇實驗條件模型階次-適宜于運用的適當?shù)碾A次參數(shù)估計-最小二乘法模型驗證將實踐輸出與模型的計算輸出進展比較，系統(tǒng)模型需保證兩個輸出之間在選定意義上的接近2.2 控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型2.2.1線性元件的微分方程 圖2-1為由一RC組成的四端無源網(wǎng)絡(luò)。試列寫以U1t為輸入量，U2(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程。U U1 1R R1 1R R2 2U U2 2C C1 1C C2 2圖圖2 2- -1 1 R RC C組組成成的的四四端端網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)絡(luò)例2-1 1111cUi

4、RU dtiiCUc)(12111 2221ccUiRU dtiCUc2221 22cUU 由、得解： 設(shè)回路電流i1、i2，根據(jù)克?；舴蚨桑袑?方程如下：dtdUCdtdUCic22222由導(dǎo)出 dtdUCdtdUCidtdUCicc22112111將i1、i2代入、，那么得 22211cUiRRU222222111)(UdtdUCRdtdUCdtdUCRc22222222211)(UdtdUCRdtdUCUiRdtdCR22222212112222211UdtdUCRdtdUCRdtdUCRdtUdCRCR1222221112222121)(UUdtdUCRCRCRdtUdCCRR這就

5、是RC組成的四端網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型，是一個二階線性微分方程。 試證明圖2-2(a)、(b)所示的機、電系統(tǒng)是類似系統(tǒng)(即兩系統(tǒng)具有一樣的數(shù)學(xué)模型)。 圖圖2 2- -2 2 機機電電相相似似系系統(tǒng)統(tǒng)B B1 1B B2 2K K1 1K K2 2X Xr rX Xc c( (a a) ) 機機械械系系統(tǒng)統(tǒng)R R2 2C C2 2R R1 1C C1 1U Ur rU Uc c( (b b) ) 電電氣氣系系統(tǒng)統(tǒng)例2-2對電氣網(wǎng)絡(luò)(b)，列寫電路方程如下：c2c2cr1cr1XBXK)X-X(B)X-(XKrrcXKBXKKBB1121c21X)(X)(rUidtCiRidtCiR112211 c2

6、2c11UCUCc11ciURU rc2c121UUU)i(R R 解： 對機械網(wǎng)絡(luò)：輸入為Xr，輸出為Xc，根據(jù)力平衡，可列出其運動方程式 利用、求出 代入將兩邊微分得1)211 (21)211 (RCCRRUcCCUrirrccUCURUCCURR1121211)11()(力-電壓類似機系統(tǒng)a和電系統(tǒng)b具有一樣的數(shù)學(xué)模型，故這些物理系統(tǒng)為類似系統(tǒng)。即電系統(tǒng)為即系統(tǒng)的等效網(wǎng)絡(luò)類似系統(tǒng)提示了不同物理景象之間的類似關(guān)系。為我們利用簡單易實現(xiàn)的系統(tǒng)如電的系統(tǒng)去研討機械系統(tǒng).由于普通來說，電的或電子的系統(tǒng)更容易，經(jīng)過實驗進展研討。機械電阻R1電阻R2彈性系數(shù)K1彈性系數(shù)K2電氣阻尼B1阻尼B21/C

7、11/C2圖2-3 所示為電樞控制直流電動機的微分方程，要求取電樞電壓Ua(t)v為輸入量，電動機轉(zhuǎn)速mtrad/s為輸出量，列寫微分方程。圖中Ra()、La(H)分別是電樞電路的電阻和電感，Mc(NM)是折合到電動機軸上的總負載轉(zhuǎn)距。激磁磁通為常值。圖圖2 2- -3 3 電電樞樞控控制制直直流流電電動動機機原原理理圖圖S SM M負載- - -L La aR Ra aE Ea aW Wm mJ Jm m, ,f fm mU Ua ai if fi ia a例2-3解： 電樞控制直流電動機的任務(wù)本質(zhì)是將輸入的電能轉(zhuǎn)換為機械能，也就是由輸入的電樞電壓Ua(t)在電樞回路中產(chǎn)生電樞電流ia(t)

8、，再由電流iat與激磁磁通相互作用產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)距Mm(t)，從而拖動負載運動。因此，直流電動機的運動方程可由以下三部分組成。 電樞回路電壓平衡方程電磁轉(zhuǎn)距方程電動機軸上的轉(zhuǎn)距平衡方程 電樞回路電壓平衡方程：Ea是電樞反電勢，它是當電樞旋轉(zhuǎn)時產(chǎn)生的反電勢，其大小與激磁磁通及轉(zhuǎn)速成正比，方向與電樞電壓Ua(t)相反，即Ea=Cemt Ce反電勢系數(shù)v/rad/saaaaaaEtiRdttdiLtU)()()(電磁轉(zhuǎn)距方程： -電動機轉(zhuǎn)距系數(shù) Nm/A是電動機轉(zhuǎn)距系數(shù) -是由電樞電流產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)距Nm電動機軸上的轉(zhuǎn)距平衡方程： Jm轉(zhuǎn)動慣量電動機和負載折合到電動機軸上的 kgm fm-電動機和負載折合

9、到電動機軸上的粘性摩擦系數(shù)Nm/rad/s)()(tiCtMammmC)(tMm)()()()(tMtMtfdttdJcmmmmm 、求出ia(t)，代入同時亦代入得： )()()()()()()()(2tMRdttdMLtUCtCCfRdttdJRfLdttdJLcacaammemmammamamma在工程運用中，由于電樞電路電感La較小，通常忽略不計，因此可簡化為)()()()(21tMKtUKtdttdTcammmemmamamCCfRJRTemmaCCRafRK2 emmamCCfRCK1電動機機電時間常數(shù)s 假設(shè)電樞電阻Ra和電動機的轉(zhuǎn)動慣量Jm都很小而忽略不計時 還可進一步簡化為)

10、(tm)()(tUtCame)(tUa系統(tǒng)最根本的數(shù)學(xué)模型是它的微分方程式。建立微分方程的步驟如下：確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量將系統(tǒng)劃分為假設(shè)干環(huán)節(jié)，從輸入端開場，按信號傳送的順序，根據(jù)各變量所遵照的物理學(xué)定律，列出各環(huán)節(jié)的線性化原始方程。消去中間變量，寫出僅包含輸入、輸出變量的微分方程式。電動機的轉(zhuǎn)速 與電樞電壓 成正比，于是 電動機可作為測速發(fā)電機運用。2.2.2 線性微分方程的求解 2.2.3 非線性元件微分方程的線性化 具有延續(xù)變化的非線性函數(shù)的線性化，可用切線法或小偏向法。在一個小范圍內(nèi)，將非線性特性用一斷直線來替代。分段定常系統(tǒng) 一個變量的非線性函數(shù) y=f(x)列列出出方方程程求求

11、解解方方程程求求解解微微分分方方程程初初條條輸輸入入量量在x0處延續(xù)可微，那么可將它在該點附件用臺勞級數(shù)展開 2 )0)(0(! 21)0)(0()0()(xxxfxxxfxfxfy增量較小時略去其高次冪項，那么有 令y=kx k比例系數(shù)，函數(shù)在x0點切線的斜率兩個變量的非線性函數(shù)y=f(x1,x2)，同樣可在某任務(wù)點x10,x20附近用臺勞級數(shù)展開為 0 xxx)0)(0()0()(0 xxxfxfxfyy )201(2)20,10()20)(10(21)20,10(2)101(1)20,10(! 21)202(2)20,10()101(1)20,10()20,10()2, 1(222222

12、xxxxxfxxxxxxxxfxxxxxfxxxxxfxxxxxfxxfxxfy0yyy略去二級以上導(dǎo)數(shù)項，并令yy-f(x10,x20) 這種小偏向線性化方法對于控制系統(tǒng)大多數(shù)任務(wù)形狀是可行的，平衡點附近，偏向普通不會很大，都是“小偏向點。 20221011xxxxxx2211222010112010),(),(xKxKxxxxfxxxxfy10y12上線性化。求用線性化方程來計算當x=5，y=10時z值所產(chǎn)生的誤差。解：由于研討的區(qū)域為5x7、10y12，應(yīng)選擇任務(wù)點x0=6，y0=11。于是z0=x0y0=611=66.求在點x0=6，y0=11，z0=66附近非線性方程的線性化表達式。

13、將非線性方程在點x0,y0,z0處展開成泰勒級數(shù)，并忽略其高階項，那么有)()(000yybxxazz11000yxzayyxx6000 xyzbyyxx因此，線性化方程式為： z-66=11(x-6)+6(y-11)z=11x+6y-66當x=5,y=10時，z的準確值為z=xy=510=50由線性化方程求得的z值為z=11x+6y=55+60-66=49因此，誤差為50-49=1，表示成百分數(shù) %2501例2-4試把非線性方程 z=xy 在區(qū)域5x7 、 數(shù)學(xué)工具拉普拉斯變換與反變換 拉氏變換定義 設(shè)函數(shù)f(t)滿足 t0時，f(t)分段延續(xù) 那么f(t)的拉氏變換存在，其表達式記作 拉氏

14、變換根本定理線性定理 位移定理 延遲定理 終值定理 dtetfst0)(dtetftfLsFst0)()()()()()()(22112211sFasFatfatfaL)()(asFtfeLat)()(sFetfLs)(lim)(lim0ssFtfst數(shù)學(xué)工具拉普拉斯變換與反變換初值定理 微分定理 積分定理 拉氏反變換F(s)化成以下因式分解方式： a. F(s)中具有不同的極點時，可展開為 )(lim)(lim0ssFtfst)0()()(fssFdttdfL)0()0()()(222fsfsFsdttfdLsfssFdttfL)0()()(1sfsfssFdttfL)0()0()()(22

15、12)()()()()()()(2121nmpspspszszszsksAsBsF nnpsapsapsasF 2211)(kpskkpssAsBa)()()(b.F(s)含有共扼復(fù)數(shù)極點時，可展開為 nnpsapsapspsasasF 332121)()(11)()()(2121pspspspssAsBasac.F(s)含有多重極點時，可展開為 )()()()()()(11111111nnrrrrrrpsapsapsbpsbpsbsF 1)()()(1psrrpssAsBb111)()()(psrrpssAsBdsdb11)()()(!1psrjjjrpssAsBdsdjb1)()()()!

16、1(11111psrrrpssAsBdsdrb其他各極點的留數(shù)確定方法與上同。2.3 控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型2.3.1 傳送函數(shù)是在用拉氏變換求解線性常微分方程的過程中引申出來的概念。微分方程是在時域中描畫系統(tǒng)動態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型，在給定外作用和初始條件下，解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出呼應(yīng)。系統(tǒng)構(gòu)造和參數(shù)變化時分析較費事。用拉氏變化法求解微分方程時，可以得到控制系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型傳送函數(shù)。定義：線性定常系統(tǒng)的傳送函數(shù)，定義為零初使條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。)()(sRsC零初始條件輸入信號的拉氏變換輸出信號的拉氏變換傳遞函數(shù)式中c(t)是系統(tǒng)輸出量，r(t)是系統(tǒng)輸

17、入量，和是與系統(tǒng)構(gòu)造和參數(shù)有關(guān)的常系數(shù)。設(shè)r(t)和c(t)及其各階系數(shù)在t=0是的值均為零，即零初始條件，那么對上式中各項分別求拉氏變換，并令R(s)Lc(t)，R(s)=Lr(t)，可得s的代數(shù)方程為：于是，由定義得系統(tǒng)傳送函數(shù)為： )()()()()()()()(1111011110trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtdammmmmmnnnnnn )()(11101110sRasbsbsbsCasasasammmmnnnn 設(shè)線性定常系統(tǒng)由下述n階線性常微分方程描畫： 求例2-2機械系統(tǒng)與電路系統(tǒng)的傳送函數(shù) 和解： -機械系統(tǒng)傳送函數(shù)mmmmb

18、sbsbsbsM 1110)(nnnnasasasasN 1110)()()(sXsXrc)()(sUsUrcrcccXKXBXKKXBB112121)()()()()()()()(112121sXKsSXBsXKKsSXBBrrcc)()()()()(11101110sNsMasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm 212111)()()(KKsBBKsBsXsXrcrrccUCURUCCURR1121211)11()(例2-5 -電系統(tǒng)的傳送函數(shù)性質(zhì)1 傳送函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，mn，且所具有復(fù)變量函數(shù)的一切性質(zhì)。性質(zhì)2 G(s)取決于系統(tǒng)或元件的構(gòu)造和參數(shù)，與輸

19、入量的方式幅度與大小無關(guān)。 )(1)()()11()()(112121sUCsSURsUCCsSURRrrcc)11()(1)()(212111CCSRRCSRsUsUrcG G( (s s) )R R( (s s) )C C( (s s) )圖圖2 2- -6 6性質(zhì)3 G(s)雖然描畫了輸出與輸入之間的關(guān)系，但它不提供任何該系統(tǒng)的物理構(gòu)造。由于許多不同的物理系統(tǒng)具有完全一樣的傳送函數(shù)。 性質(zhì)4 假設(shè)G(s)知，那么可以研討系統(tǒng)在各種輸入信號作用下的輸出呼應(yīng)。性質(zhì)5 假設(shè)系統(tǒng)的G(s)未知，可以給系統(tǒng)加上知的輸入，研討其輸出，從而得出傳送函數(shù)，一旦建立G(s)可以給出該系統(tǒng)動態(tài)特性的完好描畫，與其它物理描畫不同。傳送函數(shù)數(shù)學(xué)模型 是表示輸出變量和輸入變量微分方程的運算模型operational mode性質(zhì)6 傳送函數(shù)與微分方程之間有關(guān)系。 )()()(sRsCsG假設(shè)將dtdS 置換 微分方程傳遞函數(shù) 性質(zhì)7 傳送函數(shù)G(s)的拉氏反變換是脈沖呼應(yīng)g(t) 脈沖呼應(yīng)脈沖過渡函數(shù)g(t)是系統(tǒng)在單 位脈沖輸入時的輸出呼應(yīng)。 在例1-1中，設(shè)當輸入為 單位階躍函數(shù),即 時,求輸出解： 根據(jù)例1得到的微分方程。 1)()(tLsRttdgtrdtgtrsRsCLsCLtc0011)()()()()()()()(FCFCKRKR20,1