第1節(jié)定積分的概念與性質(zhì)ppt課件

1、第六章第六章陶陶 寶寶數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院微積分學(xué)習(xí)注意事項(xiàng)微積分學(xué)習(xí)注意事項(xiàng) 1、課前預(yù)習(xí)、認(rèn)真聽講、課后復(fù)習(xí)、多做作業(yè). 2、微積分作業(yè)規(guī)范： 字跡工整，卷面整潔，題目之間空行.3、平時(shí)成績(jī)考核:曠課一次扣10分,三次曠課取消考試資格!作業(yè)一次不交扣10分,三次不交取消考試資格!一、曲邊梯形的面積一、曲邊梯形的面積第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 由連續(xù)曲線由連續(xù)曲線 y = f (x) ( f (x) 0), 直線直線 x=a, x=b (ab)及及x軸所圍成的平面圖形的面積軸所圍成的平面圖形的面積)(xfy byoxa? Sabxyoabxyo用矩形面積近似取

2、代曲邊梯形面積用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積曲邊梯形面積（四個(gè)小矩形）（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）,1210bxxxxxann 個(gè)個(gè)分分點(diǎn)點(diǎn)，曲邊梯形如圖所示，曲邊梯形如圖所示，內(nèi)插入若干內(nèi)插入若干在區(qū)間在區(qū)間,baabxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為，個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間分成分成把區(qū)間把區(qū)間，上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)在每個(gè)小區(qū)間在每個(gè)小區(qū)間iiixx ,1 iiixfS )( 為為高高的的小小矩矩形形面面積積為為為為底底，以以)(,1iiifxx 分割分割近

3、似近似iniixfS )(1 曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積的近似值為iniixfS )(lim10 時(shí)時(shí)，趨趨近近于于零零即即小小區(qū)區(qū)間間的的最最大大長(zhǎng)長(zhǎng)度度當(dāng)當(dāng)分分割割無無限限加加細(xì)細(xì))0(,max,21 nxxx曲邊梯形面積為曲邊梯形面積為求和求和取極限取極限（1 1分割分割（3 3求和求和（4 4極限極限（2 2近似近似2. 變速直線運(yùn)動(dòng)的路程變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)某物體作變速直線運(yùn)動(dòng)設(shè)某物體作變速直線運(yùn)動(dòng), ,( ),vv t 且且( )0,v t 求在一段時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程求在一段時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程s.s.解決步驟解決步驟: :1) 1) 分割分割. .1,iiitt 任

4、任取取將它分成將它分成1,(1, 2,),iittin 在每個(gè)小段上物體經(jīng)在每個(gè)小段上物體經(jīng)2) 2) 近似近似. .(),iv 以以代代替替變變速速得得()iiisvt 01,1,TTn 在在中中任任意意插插入入個(gè)個(gè)分分點(diǎn)點(diǎn)(1, 2,)isin(1, 2, )in 已知速度已知速度n 個(gè)小段個(gè)小段過的路程為過的路程為3) 近似和近似和.1()niiisvt 4) 取極限取極限 .01lim()niiisvt 1(max)ii nt 上述兩個(gè)問題的共性上述兩個(gè)問題的共性: : 解決問題的方法步驟相同解決問題的方法步驟相同 : :“分割分割 , , 近似近似 , , 求和求和 , , 極限極限

5、 ” ” 所求量極限結(jié)構(gòu)式相同所求量極限結(jié)構(gòu)式相同: : 特殊乘積和式的極限特殊乘積和式的極限設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在,ba上上有有界界，記記,max21nxxx ，如如果果不不論論對(duì)對(duì),ba在在,ba中中任任意意插插入入若若干干個(gè)個(gè)分分點(diǎn)點(diǎn)，bxxxxxann 1210把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成 n個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間， 各各小小區(qū)區(qū)間間的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度依依次次為為1 iiixxx，), 2 , 1( i, 在在各各小小區(qū)區(qū)間間上上任任取取一一點(diǎn)點(diǎn) 作作和和iinixfS )(1 ， 二、定積分的定義二、定積分的定義定義定義怎怎樣樣的的分分法法，也也不不論論在在小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 上上點(diǎn)點(diǎn)i

6、怎樣的取法，怎樣的取法，若若 iinixf )(lim10 存存在在， ，,1iiixx iinibaxfxxf )(limd)(10 被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量：積積分分區(qū)區(qū)間間,ba稱這個(gè)極限為函數(shù)稱這個(gè)極限為函數(shù))(xf 在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分，記為記為積分上限積分上限積分下限積分下限說明：說明： baxxfd)( battfd)( bauufd)(1. baxxfd)(是是一一個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)值值, ,它它只只與與被被積積函函數(shù)數(shù))(xf與與積積分分區(qū)區(qū)間間,ba有有關(guān)關(guān), ,而而與與積積分分變變量量用用什什么么字字母母無無關(guān)關(guān), ,如如 2. 可積的

7、充分條件：可積的充分條件： 閉閉區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)的的函函數(shù)數(shù)必必在在,ba是是可可積積的的； ,ba上上有有有有限限個(gè)個(gè)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)的的有有界界函函數(shù)數(shù)在在,ba也也可可積積. . 思考題思考題將和式極限：將和式極限：12(1)limsinsinsinsinnnnnnnnn 表示成定積分表示成定積分.思考題解答思考題解答原式原式 nnnnnnnnsin)1(sin2sinsin1lim ninnin1sin1limnninin 1sinlim1.sin10 xdxix i 三、定積分的幾何意義三、定積分的幾何意義, 0)( xf baSxxfd)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)

8、( xf baSxxfd)(曲邊梯形面積的相反數(shù)曲邊梯形面積的相反數(shù))(xfy byoxa)(xfy byoxa1S2S3S4S4321d)(SSSSxxfba 若要求陰影部分的面積若要求陰影部分的面積, 則為則為.d| )(| baxxf 例例1 1 利用定義計(jì)算定積分利用定義計(jì)算定積分.d102xx 解解每每個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度均均為為n1， 取取右右端端點(diǎn)點(diǎn)nii ，(ni, 2 , 1 ) iininxfS )(1 nnini121 niin1231，6)12)(1(13 nnnnxx d 102 nnS lim.31 ,1n ,0 , n即即將將1 , 0n等分，分點(diǎn)為等分，

9、分點(diǎn)為nixi ，(ni, 2 , 1 )xyo112xy d22204aaaxx d2222aaaaxx 推廣：推廣：四、定積分的基本性質(zhì)四、定積分的基本性質(zhì)規(guī)定規(guī)定:（1）當(dāng)當(dāng)ba 時(shí)時(shí)，0d)( baxxf； （2）當(dāng)當(dāng)ab 時(shí)時(shí)， abbaxxfxxfd)(d)(. 在下面的性質(zhì)中在下面的性質(zhì)中, ,假定定積分都存在假定定積分都存在, ,且不考慮且不考慮積分上下限的大小積分上下限的大小性質(zhì)性質(zhì)1 1 bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(（此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)和的情況）（此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)和的情況）性質(zhì)性質(zhì)2 2 babaxxfkxxkfd)(d)(

10、k為常數(shù)為常數(shù))性質(zhì)性質(zhì)1,21,2合稱線性性合稱線性性. . 說明：不論說明：不論a, b, c的相對(duì)位置如何的相對(duì)位置如何, 上式總成立上式總成立.例如例如, , cba cbbacaxxfxxfxxfd)(d)(d)( cbcabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(這個(gè)性質(zhì)稱為定積分的區(qū)間可加性這個(gè)性質(zhì)稱為定積分的區(qū)間可加性. .那么那么性質(zhì)性質(zhì)3 3 bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(.d)(d)( bccaxxfxxf證略證略.由于由于性質(zhì)性質(zhì)4 41dd.bbaaxxba則則0d)( xxfba. . )(ba 證證性質(zhì)性質(zhì)5 5如如果果在在區(qū)區(qū)間間 ,ba上上0)

11、( xf， , 0)( xf, 0)( if), 2 , 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixfiinixf )(lim10 . 0)( badxxf推論推論1 1若若, ),()(baxxgxf , , .d)(d)( babaxxgxxf則則證證),()(xgxf , 0)()( xfxg, 0)()( dxxfxgba, 0)()( babadxxfdxxg于于是是 dxxfba )( dxxgba )(.推論推論1 1若若, ),()(baxxgxf , , .d)(d)( babaxxgxxf則則推論推論2 2 babaxxfxxfd)(d)()(ba 證證,)()()(x

12、fxfxf ,d)(d)(d)(xxfxxfxxfbababa 即即.d)(d)( babaxxfxxf解解例例2 2比比較較積積分分 10dxx與與 10d)1ln(xx的的大大小小. . , )1ln()(xxxf 令令,01111)( xxxxf則則，0 x于于是是)(xf單單調(diào)調(diào)增增加加, , ，0)0()( fxf，)1ln( xx .0 x于是于是.d)1ln(d1010 xxxx性質(zhì)性質(zhì)5 5估值定理）估值定理）設(shè)設(shè) M及及m分別是分別是)(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上的最大值及上的最大值及最小值，則最小值，則 . )(d)()(abMxxfabmba 例例 3 3 估計(jì)積分估計(jì)積分

13、dxxx 24sin的值的值.解解,sin)(xxxf 2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx 2,4 x, 0 )(xf在在2,4 上單調(diào)下降上單調(diào)下降,故故4 x為極大點(diǎn)，為極大點(diǎn)，2 x為極小點(diǎn)為極小點(diǎn),22)4( fM,2)2( fm,442 ab,422sin4224 dxxx.22sin2124 dxxx例例3 估計(jì)定積分值的范圍估計(jì)定積分值的范圍:221(1)ed ; xx解解 (1)設(shè)設(shè) ,為估計(jì)定積分的值為估計(jì)定積分的值,先求出先求出f(x)在區(qū)間在區(qū)間1,2上的最大值和最小值上的最大值和最小值.2( )e xf x2( )2 exf xx 令 ,得唯一駐

14、點(diǎn)x=0,( )0f x 且為極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn)最大值 M=f(0)=e0=122413eed3xx由定積分性質(zhì)3可知又 f(1)=e1, f(2)=e4,所以最小值 m=f(2)=e4.例例4. 試證試證:.2dsin120 xxx證證: 設(shè)設(shè))(xf,sinxx則在),0(2上 , 有)(xf2sincosxxxx)tan(xx2cosxx0)0()()(fxff2即2, 1)(xf), 0(x2故xxxfxd1d)(d2220002即2dsin120 xxx性質(zhì)性質(zhì)6 6積分中值定理）積分中值定理）設(shè)設(shè))(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù), ,則則存存在在,ba , ,使使 . )(d)(

15、abfxxfba 證證，Mxxfabmba d)(1 ，)(d)()( abMxxfabmba 由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知，,d)(1)( baxxfabf 使使, ,ba .)(d)(abfxxfba 即即估值定理估值定理 在在區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少少存存在在一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn) ，積分中值公式的幾何解釋：積分中值公式的幾何解釋：xyoab )( f使使得得以以區(qū)區(qū)間間,ba為為以以曲曲線線)(xfy 底底邊邊，為曲邊的曲邊梯形的面積為曲邊的曲邊梯形的面積等等于于同同一一底底邊邊而而高高為為)( f的的一一個(gè)個(gè)矩矩形形的的面面積積。一一般般稱稱 baxxfabd

16、)(1為為連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù))(xf在在 ,ba 上的平均值上的平均值. . 解解由積分中值定理知有由積分中值定理知有,2, xx使使dttfttxx 2)(3sin),2)(3sinxxf dttfttxxx 2)(3sinlim)(3sinlim2 f )(3lim2 f . 6 設(shè)設(shè))(xf在在 1, 0上上可可微微，且且滿滿足足 210d)(2)1(xxxff， 證證例例4 4* *設(shè)設(shè))()(xxfxF ， 則則)1()1(fF ， 210d)(2)1(xxxff試試證證: : 存存在在)1, 0( ，使使 .)()( ff ,d)(2210 xxF)(xF在在1, 0上上連連續(xù)續(xù)， 由積分中值定理，由積分中值定理， )21, 0( ，使使 210d)(2)1(xxFf)(212 F , )( F 于于是是)()1