自動(dòng)控制原理課件第四軌跡

1、1第四章第四章 根軌跡法根軌跡法 4.1 根軌跡的基本概念根軌跡的基本概念 4.2 繪制根軌跡的規(guī)則繪制根軌跡的規(guī)則4.3 廣義根軌跡廣義根軌跡 4.4 線(xiàn)性系統(tǒng)的根軌跡分析法線(xiàn)性系統(tǒng)的根軌跡分析法2 根軌跡法是一種圖解方法，它是經(jīng)典控根軌跡法是一種圖解方法，它是經(jīng)典控制理論中對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和綜合的基本方法制理論中對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和綜合的基本方法之一。由于根軌跡圖直觀描述了系統(tǒng)的閉環(huán)之一。由于根軌跡圖直觀描述了系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)在極點(diǎn)在s平面上的分布，特別是對(duì)于高階系統(tǒng)平面上的分布，特別是對(duì)于高階系統(tǒng)和多回路系統(tǒng)，應(yīng)用根軌跡法分析自動(dòng)控制和多回路系統(tǒng)，應(yīng)用根軌跡法分析自動(dòng)控制系統(tǒng)比用其他方法更為方便

2、，因此在工程實(shí)系統(tǒng)比用其他方法更為方便，因此在工程實(shí)踐中獲得了廣泛應(yīng)用。踐中獲得了廣泛應(yīng)用。 本章主要介紹根軌跡的概念，繪制根軌本章主要介紹根軌跡的概念，繪制根軌跡的基本規(guī)則和用根軌跡分析自動(dòng)控制系統(tǒng)跡的基本規(guī)則和用根軌跡分析自動(dòng)控制系統(tǒng)性能的方法。性能的方法。3 4.1 根軌跡的概念根軌跡的概念 一一根軌跡圖根軌跡圖 根軌跡圖是根軌跡圖是閉環(huán)極點(diǎn)閉環(huán)極點(diǎn)隨隨開(kāi)環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)由由零變化到無(wú)窮大時(shí)在零變化到無(wú)窮大時(shí)在 S 平面上的變化軌跡。平面上的變化軌跡。例例4-1已知一單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為已知一單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 試分析該閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程的根隨系統(tǒng)開(kāi)試

3、分析該閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程的根隨系統(tǒng)開(kāi)環(huán)根增益環(huán)根增益 Kr 的變化在的變化在 s 平面上的分布情況。平面上的分布情況。 4 解解 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為特征方程的根是特征方程的根是設(shè)設(shè) Kr 的變化范圍是的變化范圍是0, ，當(dāng)當(dāng) Kr=0 時(shí)時(shí), s1=0; s2=-2當(dāng)當(dāng) 0 Kr1時(shí)，時(shí)， s1與與s2為不相等的兩個(gè)負(fù)實(shí)根；為不相等的兩個(gè)負(fù)實(shí)根；當(dāng)當(dāng) Kr =1 時(shí)，時(shí)， s1 =s2= -1為等實(shí)根；為等實(shí)根；5 當(dāng)當(dāng)1 Kr 時(shí)，時(shí)， 為一對(duì)共軛復(fù)為一對(duì)共軛復(fù)根，其實(shí)部都等于根，其實(shí)部都等于-1，虛部隨，虛部隨Kr值的增加而值的增加而增加；

4、增加； 當(dāng)當(dāng)Kr時(shí)，時(shí)，s1、s2的實(shí)部都等于的實(shí)部都等于-1，虛部趨，虛部趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處向無(wú)窮遠(yuǎn)處 。 該系統(tǒng)特征方程的根隨開(kāi)環(huán)系統(tǒng)參數(shù)該系統(tǒng)特征方程的根隨開(kāi)環(huán)系統(tǒng)參數(shù) Kr 從零變從零變到無(wú)窮時(shí)在到無(wú)窮時(shí)在S平面上變化的軌跡如平面上變化的軌跡如圖圖4-1所示。所示。6圖圖4- -1 例例4- -1的根軌跡的根軌跡7 當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)Kr為某一確定的值時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征為某一確定的值時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在方程的根在s平面上變化的位置便可確定，由此可進(jìn)平面上變化的位置便可確定，由此可進(jìn)一步分析系統(tǒng)的性能。一步分析系統(tǒng)的性能。Kr值的變化對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)特征值的變化對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的影響可在根軌

5、跡上直觀地看到，因此系統(tǒng)參方程的影響可在根軌跡上直觀地看到，因此系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響也一目了然。所以用根軌跡圖數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響也一目了然。所以用根軌跡圖來(lái)分析自動(dòng)控制系統(tǒng)是十分方便的。來(lái)分析自動(dòng)控制系統(tǒng)是十分方便的。8 上例中，根軌跡圖是用解析法作出的，上例中，根軌跡圖是用解析法作出的，這對(duì)于二階系統(tǒng)并非難事，但對(duì)于高階系統(tǒng)，這對(duì)于二階系統(tǒng)并非難事，但對(duì)于高階系統(tǒng)，求解特征方程的根就比較困難了。如果要研求解特征方程的根就比較困難了。如果要研究系統(tǒng)參數(shù)的變化對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程根的究系統(tǒng)參數(shù)的變化對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程根的影響，就需要大量反復(fù)的計(jì)算。影響，就需要大量反復(fù)的計(jì)算。 1948年伊文斯

6、解決了這個(gè)問(wèn)題，提出了年伊文斯解決了這個(gè)問(wèn)題，提出了根軌跡法根軌跡法。該方法不需要求解閉環(huán)系統(tǒng)的特。該方法不需要求解閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程，只需依據(jù)征方程，只需依據(jù)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)便可繪制系便可繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。統(tǒng)的根軌跡圖。9 通常系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)是已知的，因此通常系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)是已知的，因此建立開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)與閉環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系，建立開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)與閉環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系，有助于閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的繪制。設(shè)控制系統(tǒng)如有助于閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的繪制。設(shè)控制系統(tǒng)如圖圖4-2所示，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為所示，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為 (4-1)圖圖4-2 控制系統(tǒng)控制系統(tǒng) 二、開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)與閉環(huán)零、極點(diǎn)之

7、間的關(guān)系二、開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)與閉環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系 10前向通路傳函前向通路傳函G(s)和反饋通路傳函和反饋通路傳函H(s)可分別表示為：可分別表示為： 式中式中:K1為前向通路增益，為前向通路增益，K1r為前向通路根軌跡增益；為前向通路根軌跡增益； K2為反饋通路增益，為反饋通路增益，K2r為反饋通路根軌跡增益。為反饋通路根軌跡增益。 （4-2）（4-3）11 系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 (4-4) 為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益， 為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益； m= =f前向零點(diǎn)前向零點(diǎn)+ +l反饋零點(diǎn)反饋零點(diǎn) 為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)數(shù)為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)數(shù)， 為開(kāi)環(huán)

8、系統(tǒng)的極點(diǎn)數(shù)為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)數(shù)。 將式（將式（4-2）、（）、（4-3）和（）和（4-4）代入（）代入（4-1）可得）可得 （4-5）12可得以下結(jié)論：可得以下結(jié)論：(1)閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益等于開(kāi)環(huán)系統(tǒng)前向通路根軌閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益等于開(kāi)環(huán)系統(tǒng)前向通路根軌 跡增益。跡增益。對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增 益就等于開(kāi)環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益。益就等于開(kāi)環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益。(2)閉環(huán)零點(diǎn)由開(kāi)環(huán)前向通路傳函的零點(diǎn)和反饋通路閉環(huán)零點(diǎn)由開(kāi)環(huán)前向通路傳函的零點(diǎn)和反饋通路 傳函的極點(diǎn)組成；傳函的極點(diǎn)組成；對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點(diǎn)對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點(diǎn) 就是開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。就是開(kāi)環(huán)

9、零點(diǎn)。(3)閉環(huán)極點(diǎn)與開(kāi)環(huán)零點(diǎn)、開(kāi)環(huán)極點(diǎn)以及根軌跡增益閉環(huán)極點(diǎn)與開(kāi)環(huán)零點(diǎn)、開(kāi)環(huán)極點(diǎn)以及根軌跡增益 Kr均有關(guān)。均有關(guān)。（4-5）13 根軌跡法的基本任務(wù)在于：根軌跡法的基本任務(wù)在于：如何由已知的如何由已知的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)的分布及根軌跡增益，通過(guò)圖開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)的分布及根軌跡增益，通過(guò)圖解的方法找出閉環(huán)極點(diǎn)解的方法找出閉環(huán)極點(diǎn),并根據(jù)閉環(huán)極點(diǎn)的分并根據(jù)閉環(huán)極點(diǎn)的分布對(duì)系統(tǒng)性能進(jìn)行分析。布對(duì)系統(tǒng)性能進(jìn)行分析。一旦閉環(huán)極點(diǎn)確定，一旦閉環(huán)極點(diǎn)確定，閉環(huán)傳遞函數(shù)的形式便不難確定，因?yàn)殚]環(huán)閉環(huán)傳遞函數(shù)的形式便不難確定，因?yàn)殚]環(huán)零點(diǎn)可由零點(diǎn)可由式（式（4-5）直接得到。在已知閉環(huán)傳直接得到。在已知閉環(huán)傳遞函數(shù)的

10、情況下，閉環(huán)系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)可利遞函數(shù)的情況下，閉環(huán)系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)可利用拉氏反變換的方法求出，或利用計(jì)算機(jī)直用拉氏反變換的方法求出，或利用計(jì)算機(jī)直接求解。接求解。14 三、根軌跡增益三、根軌跡增益Kr與開(kāi)環(huán)系統(tǒng)增益與開(kāi)環(huán)系統(tǒng)增益K的關(guān)系的關(guān)系 尾尾1 1型型首首1 1型型15 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益Kr與開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的增益與開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的增益K之間僅相差一個(gè)比例常數(shù)，這個(gè)比例常數(shù)只與開(kāi)環(huán)之間僅相差一個(gè)比例常數(shù)，這個(gè)比例常數(shù)只與開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中的零點(diǎn)和極點(diǎn)有關(guān)。傳遞函數(shù)中的零點(diǎn)和極點(diǎn)有關(guān)。 在例在例4-1中系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為中系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 K=KV:靜態(tài)速度誤差系數(shù)靜態(tài)速度誤差系

11、數(shù)其開(kāi)環(huán)增益為其開(kāi)環(huán)增益為對(duì)于本系統(tǒng)，根軌跡增益對(duì)于本系統(tǒng)，根軌跡增益 Kr 與開(kāi)環(huán)增益與開(kāi)環(huán)增益 K 間的間的關(guān)系為關(guān)系為Kr=2K，它們之間僅相差一個(gè)比例常數(shù)，它們之間僅相差一個(gè)比例常數(shù)2。16 四、根軌跡與系統(tǒng)性能四、根軌跡與系統(tǒng)性能以圖以圖4-1為例進(jìn)行說(shuō)明為例進(jìn)行說(shuō)明穩(wěn)定性穩(wěn)定性 如果系統(tǒng)特征方程的根都位于如果系統(tǒng)特征方程的根都位于S平面的平面的左半部，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。若根左半部，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。若根軌跡穿越虛軸進(jìn)入右半軌跡穿越虛軸進(jìn)入右半S平面，根軌跡與虛軸交平面，根軌跡與虛軸交點(diǎn)處的點(diǎn)處的K值，就是臨界穩(wěn)定的開(kāi)環(huán)增益值，就是臨界穩(wěn)定的開(kāi)環(huán)增益Kc。穩(wěn)態(tài)

12、性能穩(wěn)態(tài)性能 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)有一個(gè)極點(diǎn)，所開(kāi)環(huán)系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)有一個(gè)極點(diǎn)，所以屬以屬型系統(tǒng)，因而根軌跡上的型系統(tǒng)，因而根軌跡上的K值就是靜態(tài)速值就是靜態(tài)速度誤差系數(shù)。如果給定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求，則度誤差系數(shù)。如果給定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求，則可由根軌跡圖確定閉極點(diǎn)位置的允許范圍?？捎筛壽E圖確定閉極點(diǎn)位置的允許范圍。 17 動(dòng)態(tài)性能動(dòng)態(tài)性能u當(dāng)當(dāng)0Kr1時(shí)，特征方程為一對(duì)共軛復(fù)根，系統(tǒng)為時(shí)，特征方程為一對(duì)共軛復(fù)根，系統(tǒng)為欠阻尼欠阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為阻尼振蕩過(guò)程，振系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為阻尼振蕩過(guò)程，振蕩幅度或超調(diào)量隨蕩幅度或超調(diào)量隨Kr值的增加而加大，但調(diào)節(jié)時(shí)值的增加而加大，但調(diào)節(jié)時(shí)間不會(huì)有顯

13、著變化。間不會(huì)有顯著變化。184.2 繪制根軌跡的規(guī)則繪制根軌跡的規(guī)則 一、繪制根軌跡的依據(jù)一、繪制根軌跡的依據(jù) 在上節(jié)已指出，根軌法的基本任務(wù)在于，如在上節(jié)已指出，根軌法的基本任務(wù)在于，如何由已知的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)的分布及開(kāi)環(huán)根軌跡增何由已知的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)的分布及開(kāi)環(huán)根軌跡增益，通過(guò)圖解的方法找出閉環(huán)極點(diǎn)。由例益，通過(guò)圖解的方法找出閉環(huán)極點(diǎn)。由例4-1可可看出，根軌跡是系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)根軌跡增益看出，根軌跡是系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)根軌跡增益Kr由由0變變到到時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在S平面上運(yùn)動(dòng)平面上運(yùn)動(dòng)的軌跡。因此，的軌跡。因此，系統(tǒng)的特征方程便是繪制根軌跡系統(tǒng)的特征方程便是繪制根軌跡

14、的依據(jù)的依據(jù)。系統(tǒng)的特征方程為。系統(tǒng)的特征方程為 19 當(dāng)系統(tǒng)有當(dāng)系統(tǒng)有m個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和n個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)時(shí)，特征個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)時(shí)，特征方程可寫(xiě)成方程可寫(xiě)成:式中，式中，zj為已知的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，為已知的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，pi為已知的開(kāi)環(huán)為已知的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，極點(diǎn)，Kr為可從為可從0變到變到的開(kāi)環(huán)根軌跡增益。的開(kāi)環(huán)根軌跡增益。上式稱(chēng)為上式稱(chēng)為根軌跡方程根軌跡方程，由根軌跡方程，可以畫(huà)，由根軌跡方程，可以畫(huà)出當(dāng)出當(dāng)Kr由由0變化到變化到時(shí)系統(tǒng)的根軌跡。時(shí)系統(tǒng)的根軌跡。20 在繪制根軌跡時(shí)，可變參數(shù)不限定是根軌跡增在繪制根軌跡時(shí)，可變參數(shù)不限定是根軌跡增益益Kr ，還可為系統(tǒng)的其它參數(shù)（如，還可為系統(tǒng)的其它參數(shù)（

15、如時(shí)間常數(shù)、時(shí)間常數(shù)、反饋系數(shù)反饋系數(shù)等）。這時(shí)只要把系統(tǒng)的特征方程化等）。這時(shí)只要把系統(tǒng)的特征方程化為上式，將感興趣的系統(tǒng)參數(shù)取代根軌跡增益為上式，將感興趣的系統(tǒng)參數(shù)取代根軌跡增益Kr的位置都可以繪制根軌跡。的位置都可以繪制根軌跡。21根軌跡方程是一個(gè)向量方程，用模和相角根軌跡方程是一個(gè)向量方程，用模和相角的形式（指數(shù)形式）表示的形式（指數(shù)形式）表示 由此可得到滿(mǎn)足系統(tǒng)特征方程的幅值條件由此可得到滿(mǎn)足系統(tǒng)特征方程的幅值條件和相角條件為和相角條件為幅值條件：幅值條件：相角條件：相角條件：22 設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 滿(mǎn)足幅值條件的表達(dá)式為滿(mǎn)足幅值條件的表達(dá)式為 或或 滿(mǎn)足

16、相角條件的表達(dá)式為滿(mǎn)足相角條件的表達(dá)式為23 綜上分析，可以得到如下結(jié)論：綜上分析，可以得到如下結(jié)論： 繪制根軌跡的相角條件與系統(tǒng)開(kāi)環(huán)根軌跡增繪制根軌跡的相角條件與系統(tǒng)開(kāi)環(huán)根軌跡增益益Kr值的大小無(wú)關(guān)。在值的大小無(wú)關(guān)。在s平面上，所有滿(mǎn)足相平面上，所有滿(mǎn)足相角條件點(diǎn)的集合就構(gòu)成系統(tǒng)的根軌跡圖。角條件點(diǎn)的集合就構(gòu)成系統(tǒng)的根軌跡圖。即相即相角條件是繪制根軌跡的充分必要條件。角條件是繪制根軌跡的充分必要條件。 繪制根軌跡的幅值條件與系統(tǒng)開(kāi)環(huán)根軌跡增繪制根軌跡的幅值條件與系統(tǒng)開(kāi)環(huán)根軌跡增益益Kr值的大小有關(guān)。即值的大小有關(guān)。即Kr值的變化會(huì)改變系值的變化會(huì)改變系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)在統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)在s平面上的位

17、置。平面上的位置。 24在系數(shù)參數(shù)全部確定的情況下，凡能滿(mǎn)足相在系數(shù)參數(shù)全部確定的情況下，凡能滿(mǎn)足相角條件和幅值條件的角條件和幅值條件的s值，就是對(duì)應(yīng)給定參數(shù)值，就是對(duì)應(yīng)給定參數(shù)的特征根，即系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。的特征根，即系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。由于相角條件和幅值條件只與系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳由于相角條件和幅值條件只與系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有關(guān)，因此，已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函遞函數(shù)有關(guān)，因此，已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)便可繪制出根軌跡圖。數(shù)便可繪制出根軌跡圖。25二、繪制根軌跡的基本規(guī)則二、繪制根軌跡的基本規(guī)則 通常，我們把以開(kāi)環(huán)根軌跡增益通常，我們把以開(kāi)環(huán)根軌跡增益Kr為可變參為可變參數(shù)繪制的根軌跡叫做普通根軌跡（或一般根軌

18、數(shù)繪制的根軌跡叫做普通根軌跡（或一般根軌跡）。繪制普通根軌跡的基本規(guī)則主要有跡）。繪制普通根軌跡的基本規(guī)則主要有7條：條：1. 根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)；根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)；2. 根軌跡的分支數(shù)；根軌跡的分支數(shù)；3. 實(shí)軸上的根軌跡；實(shí)軸上的根軌跡；4. 根軌跡的漸近線(xiàn)；根軌跡的漸近線(xiàn)；5. 根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)；根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)；6. 根軌跡的起始角和終止角；根軌跡的起始角和終止角；7. 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。26 規(guī)則一規(guī)則一 根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn) 幅值條件可寫(xiě)成幅值條件可寫(xiě)成 當(dāng)當(dāng) ，必須有，必須有 , 我們把我們把開(kāi)環(huán)極點(diǎn)稱(chēng)為根軌跡的起點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)于開(kāi)

19、環(huán)根開(kāi)環(huán)極點(diǎn)稱(chēng)為根軌跡的起點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)于開(kāi)環(huán)根軌跡增益軌跡增益 。 當(dāng)當(dāng) ，必須有，必須有 ，我們把，我們把開(kāi)環(huán)零點(diǎn)稱(chēng)為根軌跡的終點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)于開(kāi)環(huán)根開(kāi)環(huán)零點(diǎn)稱(chēng)為根軌跡的終點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)于開(kāi)環(huán)根軌跡增益軌跡增益 。27 下面分三種情況討論下面分三種情況討論： 1當(dāng)當(dāng)m=n時(shí)時(shí)，即開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)與極點(diǎn)數(shù)相同時(shí)，根軌，即開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)與極點(diǎn)數(shù)相同時(shí)，根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)均有確定的值。跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)均有確定的值。 2當(dāng)當(dāng)mn時(shí)時(shí)，即開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)大于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)時(shí)，即開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)大于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)時(shí)， 除有除有n條根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)條根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)(稱(chēng)為有限極點(diǎn)稱(chēng)為有限極點(diǎn)) 外，外，還有還有m-n條根軌跡起始于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)

20、條根軌跡起始于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)(稱(chēng)為無(wú)稱(chēng)為無(wú) 限極點(diǎn)限極點(diǎn))。這種情況在實(shí)際的物理系統(tǒng)中雖不會(huì)。這種情況在實(shí)際的物理系統(tǒng)中雖不會(huì) 出現(xiàn)，但在參數(shù)根軌跡中，有可能出現(xiàn)在等效開(kāi)出現(xiàn)，但在參數(shù)根軌跡中，有可能出現(xiàn)在等效開(kāi) 環(huán)傳遞函數(shù)中。環(huán)傳遞函數(shù)中。28結(jié)論：結(jié)論：根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn) ，終止，終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)于開(kāi)環(huán)零點(diǎn) ；如果開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)；如果開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)n大于大于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)m，則有，則有n-m條根軌跡終止于條根軌跡終止于s平平面的無(wú)窮遠(yuǎn)處面的無(wú)窮遠(yuǎn)處(無(wú)限零點(diǎn)無(wú)限零點(diǎn))，如果開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)，如果開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)m大于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)大于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)n，則有，則有m-n條根軌跡起始于條根軌跡起始于s

21、平面的無(wú)窮遠(yuǎn)處平面的無(wú)窮遠(yuǎn)處(無(wú)限極點(diǎn)無(wú)限極點(diǎn))。29 根軌跡的分支數(shù)即根軌跡的條數(shù)。既然根根軌跡的分支數(shù)即根軌跡的條數(shù)。既然根軌跡是描述閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根（即閉環(huán)極軌跡是描述閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根（即閉環(huán)極點(diǎn)）在點(diǎn)）在S平面上的分布，那么，平面上的分布，那么，根軌跡的分支根軌跡的分支數(shù)就應(yīng)等于系統(tǒng)特征方程的階數(shù)。數(shù)就應(yīng)等于系統(tǒng)特征方程的階數(shù)。 由例由例4-1看出，系統(tǒng)開(kāi)環(huán)根軌跡增益看出，系統(tǒng)開(kāi)環(huán)根軌跡增益Kr(實(shí)實(shí)變量）與復(fù)變量變量）與復(fù)變量s有有一一對(duì)應(yīng)（實(shí)際上是一一對(duì)應(yīng)（實(shí)際上是1對(duì)對(duì)n的映射）的映射）的關(guān)系，當(dāng)?shù)年P(guān)系，當(dāng)Kr由由0到到連續(xù)變化時(shí)，描連續(xù)變化時(shí)，描述系統(tǒng)特征方程根的復(fù)變量

22、述系統(tǒng)特征方程根的復(fù)變量s在平面上的變化在平面上的變化也是連續(xù)的，因此，也是連續(xù)的，因此，n階系統(tǒng)的根軌跡就是階系統(tǒng)的根軌跡就是n條條連續(xù)的曲線(xiàn)。連續(xù)的曲線(xiàn)。 規(guī)則二規(guī)則二 根軌跡的分支數(shù)、連續(xù)性和對(duì)稱(chēng)性根軌跡的分支數(shù)、連續(xù)性和對(duì)稱(chēng)性30 由于實(shí)際的物理系統(tǒng)的參數(shù)都是實(shí)數(shù)，所由于實(shí)際的物理系統(tǒng)的參數(shù)都是實(shí)數(shù)，所以求解閉環(huán)特征方程得到的根只有實(shí)根和復(fù)數(shù)以求解閉環(huán)特征方程得到的根只有實(shí)根和復(fù)數(shù)根兩種情況。根兩種情況。若它的特征方程有復(fù)數(shù)根，一定若它的特征方程有復(fù)數(shù)根，一定是對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸的共軛復(fù)根，因此，根軌跡總是是對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸的共軛復(fù)根，因此，根軌跡總是對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸的。對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸的。繪制根軌跡時(shí)，我們只

23、需作出繪制根軌跡時(shí)，我們只需作出S上半平面的根軌跡，然后利用根軌跡的對(duì)稱(chēng)上半平面的根軌跡，然后利用根軌跡的對(duì)稱(chēng)性作出下半平面的根軌跡。性作出下半平面的根軌跡。 結(jié)論：結(jié)論：根軌跡的分支數(shù)等于系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)。根軌跡的分支數(shù)等于系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)。根軌跡是連續(xù)且對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸的曲線(xiàn)。根軌跡是連續(xù)且對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸的曲線(xiàn)。31舉例說(shuō)明：設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為舉例說(shuō)明：設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 其中其中 z1、z2、z3、p1、p4 為實(shí)零點(diǎn)和實(shí)極點(diǎn)，為實(shí)零點(diǎn)和實(shí)極點(diǎn)，p2、p3為共軛為共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，它們?cè)趶?fù)數(shù)極點(diǎn)，它們?cè)趕平面上的分布如平面上的分布如圖圖4-4所示，試分所示，試分析實(shí)軸上的根軌跡與開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)

24、的關(guān)系。析實(shí)軸上的根軌跡與開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)的關(guān)系。實(shí)軸上的根軌跡必須滿(mǎn)足繪制根軌跡的相角條件，即實(shí)軸上的根軌跡必須滿(mǎn)足繪制根軌跡的相角條件，即 規(guī)則三規(guī)則三 實(shí)軸上的根軌跡實(shí)軸上的根軌跡 若實(shí)軸上某線(xiàn)段若實(shí)軸上某線(xiàn)段右側(cè)右側(cè)的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)的個(gè)數(shù)的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則該線(xiàn)段是實(shí)軸上的根軌跡。之和為奇數(shù)，則該線(xiàn)段是實(shí)軸上的根軌跡。32實(shí)軸上的根軌跡實(shí)軸上的根軌跡若實(shí)軸的某一個(gè)區(qū)域是根軌跡，則必有：若實(shí)軸的某一個(gè)區(qū)域是根軌跡，則必有：其右邊其右邊（開(kāi)環(huán)實(shí)數(shù)零點(diǎn)數(shù)（開(kāi)環(huán)實(shí)數(shù)零點(diǎn)數(shù)+開(kāi)環(huán)實(shí)數(shù)極點(diǎn)數(shù)）為奇數(shù)。開(kāi)環(huán)實(shí)數(shù)極點(diǎn)數(shù)）為奇數(shù)。這個(gè)結(jié)論可以用相角條件證明。這個(gè)結(jié)論可以用相角條件證明。圖圖4-

25、4 實(shí)軸上的根軌跡實(shí)軸上的根軌跡33 規(guī)則四規(guī)則四 漸近線(xiàn)漸近線(xiàn) 當(dāng)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)當(dāng)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)n大于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)大于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)m時(shí)，系統(tǒng)有時(shí)，系統(tǒng)有n-m條根軌跡終止于條根軌跡終止于S平面的無(wú)窮遠(yuǎn)處，這平面的無(wú)窮遠(yuǎn)處，這n-m條條根軌跡根軌跡變化趨向的直線(xiàn)變化趨向的直線(xiàn)叫做根軌跡的漸近線(xiàn)，因叫做根軌跡的漸近線(xiàn)，因此，浙近線(xiàn)也有此，浙近線(xiàn)也有n-m條，且它們交于實(shí)軸上的一條，且它們交于實(shí)軸上的一點(diǎn)。點(diǎn)。 漸近線(xiàn)與實(shí)軸的交點(diǎn)位置漸近線(xiàn)與實(shí)軸的交點(diǎn)位置 和與實(shí)軸正方向和與實(shí)軸正方向的交角分別為的交角分別為34 在例在例4-1中，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為中，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)n=2,開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)開(kāi)環(huán)零

26、點(diǎn)數(shù)m=0,n-m=2,兩兩條漸近線(xiàn)在實(shí)軸上的交點(diǎn)位置為條漸近線(xiàn)在實(shí)軸上的交點(diǎn)位置為 它們與實(shí)軸正方向的交角分別為它們與實(shí)軸正方向的交角分別為 和和 ，兩條漸近線(xiàn)正好與，兩條漸近線(xiàn)正好與 時(shí)時(shí)的根軌跡重合的根軌跡重合（漸近線(xiàn)與根軌跡通常在（漸近線(xiàn)與根軌跡通常在Kr和和s趨向于趨向于時(shí)時(shí)才重合）。才重合）。35 漸近線(xiàn)就是漸近線(xiàn)就是s很大時(shí)的根軌跡，因此漸近線(xiàn)也一很大時(shí)的根軌跡，因此漸近線(xiàn)也一定對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸。也即是定對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸。也即是 Kr 趨于無(wú)窮時(shí)，趨于無(wú)窮時(shí)，n-m條條 根軌根軌跡如何趨于跡如何趨于無(wú)窮零點(diǎn)無(wú)窮零點(diǎn)的。的。當(dāng)當(dāng)s值很大時(shí)，上式近似為值很大時(shí)，上式近似為36根據(jù)二項(xiàng)式定理根據(jù)二

27、項(xiàng)式定理當(dāng)當(dāng)s值很大時(shí)，上式近似為值很大時(shí)，上式近似為將將 帶入上式帶入上式令虛部實(shí)部分別相等，有下面兩式成立：令虛部實(shí)部分別相等，有下面兩式成立：和和帶入帶入( (* *) )37從上兩式中解出：從上兩式中解出：(*)式代表直線(xiàn)方程，與實(shí)軸的夾角為式代表直線(xiàn)方程，與實(shí)軸的夾角為 ，交點(diǎn)，交點(diǎn)為：為： ,當(dāng)當(dāng)k取不同值時(shí)，可得取不同值時(shí)，可得n-m個(gè)個(gè) 角，而角，而 不變。不變。式中：式中：點(diǎn)斜式點(diǎn)斜式38 例例4-2 已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 試畫(huà)出該系統(tǒng)根軌跡的漸近線(xiàn)。試畫(huà)出該系統(tǒng)根軌跡的漸近線(xiàn)。解：對(duì)于該系統(tǒng)有解：對(duì)于該系統(tǒng)有n=4，m=1，n-m=3；三條漸近；

28、三條漸近 線(xiàn)與實(shí)軸交點(diǎn)位置為線(xiàn)與實(shí)軸交點(diǎn)位置為 它們與實(shí)軸正方向的交角分別是它們與實(shí)軸正方向的交角分別是 漸近線(xiàn)如圖漸近線(xiàn)如圖4-3所示。所示。 39圖4-3 根軌跡的漸近線(xiàn)40規(guī)則五規(guī)則五 根軌跡的分離點(diǎn)根軌跡的分離點(diǎn) 兩條或兩條以上的根軌跡分支在兩條或兩條以上的根軌跡分支在 s 平面上平面上相遇又立即分開(kāi)的點(diǎn)稱(chēng)為分離點(diǎn)（會(huì)合點(diǎn)）。相遇又立即分開(kāi)的點(diǎn)稱(chēng)為分離點(diǎn)（會(huì)合點(diǎn)）。 沿沿Kr 方向方向從從實(shí)軸上分開(kāi)的點(diǎn)為實(shí)軸上分開(kāi)的點(diǎn)為分離點(diǎn)分離點(diǎn) (從實(shí)軸分向復(fù)平面從實(shí)軸分向復(fù)平面) 沿沿Kr 方向方向到到實(shí)軸上會(huì)合的點(diǎn)為實(shí)軸上會(huì)合的點(diǎn)為會(huì)合點(diǎn)會(huì)合點(diǎn) (從復(fù)平面匯到實(shí)軸從復(fù)平面匯到實(shí)軸)一般來(lái)說(shuō)，如

29、果下列相鄰兩點(diǎn)之間存在根軌跡，則一般來(lái)說(shuō)，如果下列相鄰兩點(diǎn)之間存在根軌跡，則(1)該兩點(diǎn)為極點(diǎn)，則兩者之間必有分離點(diǎn)；該兩點(diǎn)為極點(diǎn)，則兩者之間必有分離點(diǎn)；(2)該兩點(diǎn)為零點(diǎn)，則兩者之間必有會(huì)合點(diǎn)；該兩點(diǎn)為零點(diǎn)，則兩者之間必有會(huì)合點(diǎn)；(3)該兩點(diǎn)一為零點(diǎn)，一為極點(diǎn)，則可能既有分離該兩點(diǎn)一為零點(diǎn)，一為極點(diǎn)，則可能既有分離 點(diǎn)，也有會(huì)合點(diǎn)；也可能既無(wú)分離點(diǎn)，也無(wú)會(huì)點(diǎn)，也有會(huì)合點(diǎn)；也可能既無(wú)分離點(diǎn)，也無(wú)會(huì) 合點(diǎn)。合點(diǎn)。41說(shuō)明說(shuō)明：有的參考書(shū)上不說(shuō)會(huì)合點(diǎn)，只說(shuō)分離點(diǎn)，有的參考書(shū)上不說(shuō)會(huì)合點(diǎn)，只說(shuō)分離點(diǎn)，實(shí)際上根軌跡往往先會(huì)合，然后立即在會(huì)合點(diǎn)實(shí)際上根軌跡往往先會(huì)合，然后立即在會(huì)合點(diǎn)上分離，故分離點(diǎn)和會(huì)

30、合點(diǎn)是合二為一的，故上分離，故分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)是合二為一的，故僅稱(chēng)分離點(diǎn)也可以理解。僅稱(chēng)分離點(diǎn)也可以理解。42分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)的求法分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)的求法a.分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)是特征方程的重根點(diǎn)：如兩條根分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)是特征方程的重根點(diǎn)：如兩條根軌跡在此分軌跡在此分(合合)，在該點(diǎn)，在該點(diǎn)s1=s2，即該點(diǎn)為重根；，即該點(diǎn)為重根；b.求法：采用重根法比較容易理解求法：采用重根法比較容易理解 若若 ，則特征方程可寫(xiě)，則特征方程可寫(xiě) 為：為：若若D(s)=0有重根有重根d，則，則消去消去Kr即得分離點(diǎn)方程：即得分離點(diǎn)方程：43分離點(diǎn)（會(huì)合點(diǎn)）的坐標(biāo)分離點(diǎn)（會(huì)合點(diǎn)）的坐標(biāo) d 由下列方程所決定由下列方程所決定

31、：證明：由根軌跡方程，有證明：由根軌跡方程，有: :閉環(huán)特征方程閉環(huán)特征方程: :書(shū)上求法書(shū)上求法44根軌跡在根軌跡在s平面上相遇，說(shuō)明有重根存在，平面上相遇，說(shuō)明有重根存在，根據(jù)代數(shù)中重根條件，有：根據(jù)代數(shù)中重根條件，有：（3）（4）(4)/(3)（1）（2）4546下述方程解即為分離點(diǎn)坐標(biāo)下述方程解即為分離點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)系統(tǒng)沒(méi)有開(kāi)環(huán)零點(diǎn)時(shí)：當(dāng)系統(tǒng)沒(méi)有開(kāi)環(huán)零點(diǎn)時(shí)：說(shuō)明：說(shuō)明：（1）根軌跡出現(xiàn)分離點(diǎn)說(shuō)明對(duì)應(yīng)特征根出現(xiàn)了重根。）根軌跡出現(xiàn)分離點(diǎn)說(shuō)明對(duì)應(yīng)特征根出現(xiàn)了重根。（2）若實(shí)軸上的根軌跡的左右兩側(cè)均為開(kāi)環(huán)零點(diǎn)）若實(shí)軸上的根軌跡的左右兩側(cè)均為開(kāi)環(huán)零點(diǎn) （包括無(wú)限零點(diǎn)）或開(kāi)環(huán)極點(diǎn)（包括無(wú)限極點(diǎn)），（包

32、括無(wú)限零點(diǎn)）或開(kāi)環(huán)極點(diǎn)（包括無(wú)限極點(diǎn)）， 則在此段根軌跡上必有分離點(diǎn)。則在此段根軌跡上必有分離點(diǎn)。（此處分離點(diǎn)（此處分離點(diǎn) 包括分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)，做題時(shí)可以不加以區(qū)分）包括分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)，做題時(shí)可以不加以區(qū)分）47（3）分離點(diǎn)若在復(fù)平面上，則一定是成對(duì)出現(xiàn)的。）分離點(diǎn)若在復(fù)平面上，則一定是成對(duì)出現(xiàn)的。 (少見(jiàn)僅當(dāng)開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)分布非常對(duì)稱(chēng)時(shí)才少見(jiàn)僅當(dāng)開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)分布非常對(duì)稱(chēng)時(shí)才 會(huì)出現(xiàn)會(huì)出現(xiàn))（4）分離角：根軌跡進(jìn)入分離點(diǎn)的切線(xiàn)方向與離分離角：根軌跡進(jìn)入分離點(diǎn)的切線(xiàn)方向與離 開(kāi)分離點(diǎn)的切線(xiàn)方向之間的夾角。當(dāng)開(kāi)分離點(diǎn)的切線(xiàn)方向之間的夾角。當(dāng) l 條根條根 軌跡進(jìn)入并立即離開(kāi)分離點(diǎn)時(shí)，分離角由軌跡進(jìn)入

33、并立即離開(kāi)分離點(diǎn)時(shí)，分離角由 (2k+1) / l ，k=0,1,2,l-1。決定，通常。決定，通常l=2 ，所以分離角通常為直角。，所以分離角通常為直角。48實(shí)軸上根軌跡的分離點(diǎn)實(shí)軸上根軌跡的分離點(diǎn) 復(fù)平面上的分離點(diǎn)復(fù)平面上的分離點(diǎn) 49例例4-4 已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的粗略根軌跡。試?yán)L制系統(tǒng)的粗略根軌跡。 解解 本系統(tǒng)無(wú)有限開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，有三個(gè)有限極點(diǎn)本系統(tǒng)無(wú)有限開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，有三個(gè)有限極點(diǎn):1.三條根軌跡三條根軌跡2.實(shí)軸上根軌跡位于實(shí)軸上根軌跡位于 (- ，-3) , (- 2, - 1) 之間之間 3.漸近線(xiàn)漸近線(xiàn)3條，與實(shí)軸交點(diǎn)與夾角分別為：條，與實(shí)軸

34、交點(diǎn)與夾角分別為：50 本系統(tǒng)無(wú)有限開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，由式本系統(tǒng)無(wú)有限開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，由式: 可得可得 即即 解出解出 ， 實(shí)軸上的根軌跡為實(shí)軸上的根軌跡為-1到到-2線(xiàn)段和線(xiàn)段和-3到到-線(xiàn)段。線(xiàn)段。 不在上述兩線(xiàn)段上，應(yīng)舍去。不在上述兩線(xiàn)段上，應(yīng)舍去。 是實(shí)軸根軌跡上的點(diǎn)，所以是根軌跡是實(shí)軸根軌跡上的點(diǎn)，所以是根軌跡 在實(shí)軸上的分離點(diǎn)。運(yùn)用前面的六條規(guī)則，可繪在實(shí)軸上的分離點(diǎn)。運(yùn)用前面的六條規(guī)則，可繪制如制如圖圖4-7所示的根軌跡圖。所示的根軌跡圖。51圖圖4-7 根軌跡的分離點(diǎn)根軌跡的分離點(diǎn) ？52 當(dāng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中有復(fù)數(shù)極點(diǎn)或復(fù)數(shù)零點(diǎn)當(dāng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中有復(fù)數(shù)極點(diǎn)或復(fù)數(shù)零點(diǎn)時(shí)，根軌跡是沿著什么方向離開(kāi)開(kāi)

35、環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)時(shí)，根軌跡是沿著什么方向離開(kāi)開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)或進(jìn)入開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)的呢？這就是所謂的起始或進(jìn)入開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)的呢？這就是所謂的起始角和終止角問(wèn)題角和終止角問(wèn)題, 先給出定義如下：先給出定義如下： 起始角起始角 根軌跡離開(kāi)開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切根軌跡離開(kāi)開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線(xiàn)方向與實(shí)軸正方向的夾角。參看圖線(xiàn)方向與實(shí)軸正方向的夾角。參看圖4-8（a）中的中的 和和 。 終止角終止角 根軌跡進(jìn)入開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切根軌跡進(jìn)入開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線(xiàn)方向與實(shí)軸正方向的夾角。參看圖線(xiàn)方向與實(shí)軸正方向的夾角。參看圖4-8（b）中的中的 和和 。 規(guī)則六規(guī)則六 起始角與終止角起始角與終止角 53圖圖4-8(a) 根軌跡

36、的起始角和終止角根軌跡的起始角和終止角 54圖圖4-8(b) 根軌跡的起始角和終止角根軌跡的起始角和終止角 55 在無(wú)限靠近待求起始角在無(wú)限靠近待求起始角(或終止角或終止角)的復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)極點(diǎn)（或復(fù)數(shù)零點(diǎn)）的根軌跡上，取一點(diǎn)極點(diǎn)（或復(fù)數(shù)零點(diǎn)）的根軌跡上，取一點(diǎn) A 。由于由于A無(wú)限接近于求起始角的復(fù)數(shù)極點(diǎn)無(wú)限接近于求起始角的復(fù)數(shù)極點(diǎn) pi (或或求終止角的復(fù)數(shù)零點(diǎn)求終止角的復(fù)數(shù)零點(diǎn) zi )，因此除，因此除 pi (或或 zi )外，外，所有開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)到所有開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)到A點(diǎn)的向量相角都可以用點(diǎn)的向量相角都可以用它們到它們到 pi (或或 zi ) 的向量相角代替，的向量相角代替，而而 pi

37、(或或 zi )到到 A 點(diǎn)的向量相角即為待求的起始角和點(diǎn)的向量相角即為待求的起始角和 終止終止角。角。根軌跡的起始角和終止角求法根軌跡的起始角和終止角求法56且且p1和和p2為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，p3和和 z1分別為分別為實(shí)極點(diǎn)和實(shí)零點(diǎn)，它們?cè)趯?shí)極點(diǎn)和實(shí)零點(diǎn)，它們?cè)趕平面上的分布如圖平面上的分布如圖4-9所示。試依據(jù)相角條件求出根軌跡離開(kāi)開(kāi)所示。試依據(jù)相角條件求出根軌跡離開(kāi)開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)p1和和p2 的起始角的起始角p1 和和p2 。例例4-5 已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為57 對(duì)于根軌跡上無(wú)限靠近對(duì)于根軌跡上無(wú)限靠近p1的點(diǎn)的點(diǎn)A，由相角條件得

38、：，由相角條件得： 由于由于A點(diǎn)無(wú)限靠近點(diǎn)無(wú)限靠近p1 點(diǎn)，所以點(diǎn)，所以58推廣為一般情況可得求到極點(diǎn)推廣為一般情況可得求到極點(diǎn)pl的起始角關(guān)系式為的起始角關(guān)系式為同理，可得到求到零點(diǎn)同理，可得到求到零點(diǎn)Zl的終止角關(guān)系式為的終止角關(guān)系式為59圖4-9 起始角 的求取 60規(guī)則七規(guī)則七 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 若根軌跡與虛軸相交，則表示閉環(huán)系統(tǒng)存在純?nèi)舾壽E與虛軸相交，則表示閉環(huán)系統(tǒng)存在純虛根，這就意味著對(duì)于交點(diǎn)處的虛根，這就意味著對(duì)于交點(diǎn)處的Kr數(shù)值使閉環(huán)系統(tǒng)數(shù)值使閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定。因此，令勞斯表第一列中包含處于臨界穩(wěn)定。因此，令勞斯表第一列中包含Kr的的項(xiàng)為項(xiàng)為0，即可確

39、定根軌跡與虛軸交點(diǎn)上的，即可確定根軌跡與虛軸交點(diǎn)上的Kr值。此外，值。此外，因?yàn)橐粚?duì)純虛根是數(shù)值相同但符號(hào)相反的根，所以因?yàn)橐粚?duì)純虛根是數(shù)值相同但符號(hào)相反的根，所以利用勞斯表利用勞斯表s2行的系數(shù)構(gòu)成輔助方程，必可解出純行的系數(shù)構(gòu)成輔助方程，必可解出純虛根的數(shù)值，這一數(shù)值就是根軌跡與虛軸交點(diǎn)上的虛根的數(shù)值，這一數(shù)值就是根軌跡與虛軸交點(diǎn)上的值，也即為系統(tǒng)的無(wú)阻尼自然振蕩角頻率。值，也即為系統(tǒng)的無(wú)阻尼自然振蕩角頻率。 如果根軌跡與正虛軸（或者負(fù)虛軸）有一個(gè)以如果根軌跡與正虛軸（或者負(fù)虛軸）有一個(gè)以上交點(diǎn)，則應(yīng)該采用勞斯表中冪大于上交點(diǎn)，則應(yīng)該采用勞斯表中冪大于2的的s偶次方行偶次方行的系數(shù)構(gòu)造輔助

40、方程。的系數(shù)構(gòu)造輔助方程。61規(guī)則七規(guī)則七 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)（續(xù)）（續(xù)）根軌跡與虛軸的交點(diǎn)就是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的純虛根根軌跡與虛軸的交點(diǎn)就是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的純虛根（實(shí)部為零）。這時(shí)，用（實(shí)部為零）。這時(shí)，用s=j代入特征方程可得代入特征方程可得 解虛部方程可得角頻率解虛部方程可得角頻率c，即根軌跡與虛軸的交點(diǎn)的坐，即根軌跡與虛軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)值；用標(biāo)值；用c 代入實(shí)部方程，可求出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)根軌跡增益代入實(shí)部方程，可求出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)根軌跡增益的臨界值的臨界值Krc。Krc 的物理含義是使系統(tǒng)由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)的物理含義是使系統(tǒng)由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定的系統(tǒng)開(kāi)環(huán)根軌跡增益的臨界值定的系統(tǒng)開(kāi)環(huán)根軌

41、跡增益的臨界值。它對(duì)如何選擇合適。它對(duì)如何選擇合適的系統(tǒng)參數(shù)、使系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)有重要意義。的系統(tǒng)參數(shù)、使系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)有重要意義。由此可得虛部方程和實(shí)部方程為由此可得虛部方程和實(shí)部方程為62例例4-6 試求出例試求出例4-4中根軌跡與虛軸的交點(diǎn)中根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 及相應(yīng)的開(kāi)環(huán)根軌跡增益的臨界值及相應(yīng)的開(kāi)環(huán)根軌跡增益的臨界值Krc。解解 由例由例4-4知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為其虛部和實(shí)部方程分別為其虛部和實(shí)部方程分別為令令 并代入特征方程得并代入特征方程得其特征方程是其特征方程是63 由于由于1 =0 不是根軌跡上的點(diǎn)，應(yīng)舍去。不是根軌跡上的點(diǎn)，應(yīng)舍去。 故

42、故 為根軌跡與虛軸的兩個(gè)交點(diǎn)。為根軌跡與虛軸的兩個(gè)交點(diǎn)。 將其代入實(shí)部方程便可求出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)根軌跡增益將其代入實(shí)部方程便可求出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)根軌跡增益 的臨界值的臨界值Krc=60。 系統(tǒng)的根軌跡如圖系統(tǒng)的根軌跡如圖4-10所示。所示。 當(dāng)系統(tǒng)的階次較高時(shí)，解特征方程將會(huì)遇到當(dāng)系統(tǒng)的階次較高時(shí)，解特征方程將會(huì)遇到困難，此時(shí)可用勞斯判據(jù)求出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)根軌跡增困難，此時(shí)可用勞斯判據(jù)求出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)根軌跡增益的臨界值益的臨界值Krc和根軌跡與虛軸的交點(diǎn)和根軌跡與虛軸的交點(diǎn)c。 解虛部方程得解虛部方程得64圖4-10 根軌跡與虛軸的交點(diǎn) wjs1p2p3p-1-2-30)60(3 . 3=rcKjrKdsrK)60

43、(3 . 3=rcK-j65規(guī)則規(guī)則 8：閉環(huán)極點(diǎn)之和：閉環(huán)極點(diǎn)之和66規(guī)則規(guī)則 8 8：閉環(huán)極點(diǎn)之和：閉環(huán)極點(diǎn)之和67表明：表明：當(dāng)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)和開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)的差值大于或等于當(dāng)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)和開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)的差值大于或等于2時(shí)，根軌跡增益時(shí)，根軌跡增益 Kr 由由 0 趨于趨于變化時(shí)，雖然變化時(shí)，雖然n個(gè)個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)會(huì)隨之發(fā)生變化，但是閉環(huán)極點(diǎn)之和卻閉環(huán)極點(diǎn)會(huì)隨之發(fā)生變化，但是閉環(huán)極點(diǎn)之和卻保持不變保持不變 ，其和等于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之和。這意味著，其和等于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之和。這意味著一部分閉環(huán)極點(diǎn)一部分閉環(huán)極點(diǎn)(根軌跡分支根軌跡分支)變大時(shí)變大時(shí)(向右移動(dòng)向右移動(dòng))，另一部分閉環(huán)極點(diǎn)另一部分閉環(huán)極點(diǎn)(根軌跡分支根軌跡

44、分支)必將變小必將變小(向左移向左移動(dòng)動(dòng))，這樣才能維持閉環(huán)極點(diǎn)之和為常數(shù)。這個(gè)，這樣才能維持閉環(huán)極點(diǎn)之和為常數(shù)。這個(gè)規(guī)則對(duì)于判斷根軌跡的走向是很有幫助的。規(guī)則對(duì)于判斷根軌跡的走向是很有幫助的。結(jié)論結(jié)論：若若 n-mn-m 2 2 閉環(huán)極點(diǎn)之和閉環(huán)極點(diǎn)之和 = = 開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之和開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之和 = = 常數(shù)常數(shù)68 以上規(guī)則是繪制根軌跡圖所必須遵循的基本以上規(guī)則是繪制根軌跡圖所必須遵循的基本規(guī)則。此外，尚須注意以下幾點(diǎn)規(guī)范畫(huà)法。規(guī)則。此外，尚須注意以下幾點(diǎn)規(guī)范畫(huà)法。 根軌跡的起點(diǎn)（開(kāi)環(huán)極點(diǎn)根軌跡的起點(diǎn)（開(kāi)環(huán)極點(diǎn)pi)用符號(hào)用符號(hào)“ ”標(biāo)示；標(biāo)示；根軌跡的終點(diǎn)根軌跡的終點(diǎn)(開(kāi)環(huán)零點(diǎn)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)zj)用符

45、號(hào)用符號(hào)“ o ”標(biāo)示。標(biāo)示。 根軌跡由起點(diǎn)到終點(diǎn)是隨系統(tǒng)開(kāi)環(huán)根軌跡增根軌跡由起點(diǎn)到終點(diǎn)是隨系統(tǒng)開(kāi)環(huán)根軌跡增益益Kr值的增加而運(yùn)動(dòng)的，要用箭頭標(biāo)示根軌跡運(yùn)值的增加而運(yùn)動(dòng)的，要用箭頭標(biāo)示根軌跡運(yùn)動(dòng)的方向。動(dòng)的方向。 要標(biāo)出一些特殊點(diǎn)的要標(biāo)出一些特殊點(diǎn)的Kr值，如起點(diǎn)（值，如起點(diǎn)（Kr=0)，終點(diǎn)（終點(diǎn)（Kr趨向無(wú)窮）；根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)趨向無(wú)窮）；根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)d (Kr =Krd )；與虛軸的交點(diǎn)；與虛軸的交點(diǎn)c（ Kr =Krc）。還有一）。還有一些要求標(biāo)出的閉環(huán)極點(diǎn)些要求標(biāo)出的閉環(huán)極點(diǎn)s1及其對(duì)應(yīng)的開(kāi)環(huán)根軌跡及其對(duì)應(yīng)的開(kāi)環(huán)根軌跡增益增益Kr1，也應(yīng)在根軌跡圖上標(biāo)出，以便于進(jìn)行系

46、，也應(yīng)在根軌跡圖上標(biāo)出，以便于進(jìn)行系統(tǒng)的分析與綜合。統(tǒng)的分析與綜合。69例例4-7 已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制該系統(tǒng)完整的根軌跡圖。試?yán)L制該系統(tǒng)完整的根軌跡圖。 解解 該系統(tǒng)的特征方程為該系統(tǒng)的特征方程為 為三階系統(tǒng)，該系統(tǒng)有三條根軌跡在為三階系統(tǒng)，該系統(tǒng)有三條根軌跡在s平面上。平面上。三、繪制根軌跡圖示例三、繪制根軌跡圖示例三條根軌跡連續(xù)且對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸。三條根軌跡連續(xù)且對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸。 根軌跡的起點(diǎn)是該系統(tǒng)的三個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，即根軌跡的起點(diǎn)是該系統(tǒng)的三個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，即 P1=0,p2=-1,p3=-2。由于沒(méi)有開(kāi)環(huán)零點(diǎn)（。由于沒(méi)有開(kāi)環(huán)零點(diǎn)（m=0）, 三條根軌跡的終點(diǎn)均在無(wú)

47、窮遠(yuǎn)處。三條根軌跡的終點(diǎn)均在無(wú)窮遠(yuǎn)處。70 當(dāng)當(dāng)k=0時(shí)時(shí) 當(dāng)當(dāng)k=1時(shí)時(shí) 當(dāng)當(dāng)k=2時(shí)時(shí) 求出根軌跡三條漸近線(xiàn)的交點(diǎn)位置和它們與求出根軌跡三條漸近線(xiàn)的交點(diǎn)位置和它們與實(shí)軸正方向的交角。實(shí)軸正方向的交角。71 由規(guī)則五知，實(shí)軸上的根軌跡為實(shí)軸上由規(guī)則五知，實(shí)軸上的根軌跡為實(shí)軸上-1到到0 的線(xiàn)段和由的線(xiàn)段和由-2至實(shí)軸上負(fù)無(wú)窮遠(yuǎn)線(xiàn)段。至實(shí)軸上負(fù)無(wú)窮遠(yuǎn)線(xiàn)段。 由規(guī)則六知，根軌跡與實(shí)軸的交點(diǎn)（分離點(diǎn)）由規(guī)則六知，根軌跡與實(shí)軸的交點(diǎn)（分離點(diǎn)）是方程是方程 解的合理值，解得解的合理值，解得 d2=-1.58不在實(shí)軸的根軌跡上，舍去；實(shí)際的分不在實(shí)軸的根軌跡上，舍去；實(shí)際的分離點(diǎn)應(yīng)為離點(diǎn)應(yīng)為d1=-0.

48、42 。 無(wú)復(fù)數(shù)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)，不存在起始角和無(wú)復(fù)數(shù)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)，不存在起始角和 終止角。終止角。 72解虛部方程得解虛部方程得其中其中 是開(kāi)環(huán)極點(diǎn)是開(kāi)環(huán)極點(diǎn) 對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)值，它是根軌對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)值，它是根軌跡的起點(diǎn)之一。合理的交點(diǎn)應(yīng)為跡的起點(diǎn)之一。合理的交點(diǎn)應(yīng)為將將 代入實(shí)部方程得到對(duì)應(yīng)的開(kāi)環(huán)根軌跡代入實(shí)部方程得到對(duì)應(yīng)的開(kāi)環(huán)根軌跡增益的臨界值增益的臨界值 。繪制出該系統(tǒng)的根軌跡圖。繪制出該系統(tǒng)的根軌跡圖如圖如圖4-11所示。所示。 由規(guī)則八，可求出根軌跡與虛軸的交點(diǎn)由規(guī)則八，可求出根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 及對(duì)及對(duì)應(yīng)的開(kāi)環(huán)根軌跡增益的臨界值應(yīng)的開(kāi)環(huán)根軌跡增益的臨界值 。用。用 代入代入特征方程得特征

49、方程得73圖圖4- -11 例例4- -7系統(tǒng)根軌跡圖系統(tǒng)根軌跡圖74是一個(gè)二階系統(tǒng)，在是一個(gè)二階系統(tǒng)，在S平面上有兩條連續(xù)且對(duì)稱(chēng)平面上有兩條連續(xù)且對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸的根軌跡。于實(shí)軸的根軌跡。由開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可知，該系統(tǒng)有一個(gè)開(kāi)環(huán)實(shí)零點(diǎn)由開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可知，該系統(tǒng)有一個(gè)開(kāi)環(huán)實(shí)零點(diǎn)z1= -2, 和一對(duì)開(kāi)環(huán)共軛復(fù)數(shù)極和一對(duì)開(kāi)環(huán)共軛復(fù)數(shù)極P1,2=-1j1, 根軌跡根軌跡的起點(diǎn)為的起點(diǎn)為p1(Kr=0) 和和p2(Kr=0)，其終點(diǎn)為，其終點(diǎn)為z1(Kr) 和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) (Kr) 。實(shí)軸上由實(shí)軸上由-2至至-的線(xiàn)段為實(shí)軸上的根軌跡。的線(xiàn)段為實(shí)軸上的根軌跡。可求出根軌跡與實(shí)軸的交點(diǎn)（分離點(diǎn)）。分離點(diǎn)可求

50、出根軌跡與實(shí)軸的交點(diǎn)（分離點(diǎn)）。分離點(diǎn)方程是方程是例例4-8 已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖。試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖。75 即即 解方程可得解方程可得d1= -3.414 , d2= -0.586。 由于由于d2= -0.586不在實(shí)軸上的根軌跡上，舍不在實(shí)軸上的根軌跡上，舍 去，實(shí)際的分離點(diǎn)去，實(shí)際的分離點(diǎn)(會(huì)合點(diǎn)會(huì)合點(diǎn))為為d1= -3.414。 求開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)（根軌跡的起點(diǎn)）的起始角。求開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)（根軌跡的起點(diǎn)）的起始角。為什么？為什么？或或76 證明證明 已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)分別為在已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)分別為在 z1=-2,p1=-1

51、+j,p2=-1-j,令令s=u+jv為根軌為根軌 跡的任一點(diǎn)，由相角條件可得跡的任一點(diǎn)，由相角條件可得 將將s、z1、p1和和p2代入得代入得 應(yīng)用三角公式應(yīng)用三角公式為準(zhǔn)確地畫(huà)出為準(zhǔn)確地畫(huà)出S平面上根軌跡的圖形，運(yùn)用相平面上根軌跡的圖形，運(yùn)用相角條件可證明本系統(tǒng)在角條件可證明本系統(tǒng)在S平面上的根軌跡是一個(gè)平面上的根軌跡是一個(gè)半徑為半徑為 ，圓心位于點(diǎn)，圓心位于點(diǎn)(-2,j0)的圓弧。的圓弧。 即即77方程表示在方程表示在S平面上的根軌跡是一個(gè)圓心位平面上的根軌跡是一個(gè)圓心位于點(diǎn)于點(diǎn) 、半徑為、半徑為 的圓弧。由此，可的圓弧。由此，可畫(huà)出根軌跡的準(zhǔn)確圖形如圖畫(huà)出根軌跡的準(zhǔn)確圖形如圖4-12所

52、示。所示。 將上式等號(hào)左邊合并可得到將上式等號(hào)左邊合并可得到將上式等號(hào)兩邊取正切，則有將上式等號(hào)兩邊取正切，則有s=u+jv為根軌跡的任一點(diǎn)為根軌跡的任一點(diǎn)78圖4-12 例4-8系統(tǒng)的根軌跡圖 79 由本例不難發(fā)現(xiàn)，由兩個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)（實(shí)極由本例不難發(fā)現(xiàn)，由兩個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)（實(shí)極點(diǎn)或復(fù)數(shù)極點(diǎn)）和一個(gè)開(kāi)環(huán)實(shí)零點(diǎn)組成的二階點(diǎn)或復(fù)數(shù)極點(diǎn)）和一個(gè)開(kāi)環(huán)實(shí)零點(diǎn)組成的二階系統(tǒng)，只要實(shí)零點(diǎn)沒(méi)有位于兩個(gè)實(shí)極點(diǎn)之間，系統(tǒng)，只要實(shí)零點(diǎn)沒(méi)有位于兩個(gè)實(shí)極點(diǎn)之間，當(dāng)開(kāi)環(huán)根軌跡增益當(dāng)開(kāi)環(huán)根軌跡增益Kr由由0變到變到時(shí)，復(fù)平面上的時(shí)，復(fù)平面上的閉環(huán)根軌跡，是以實(shí)零點(diǎn)為圓心，以實(shí)零點(diǎn)到閉環(huán)根軌跡，是以實(shí)零點(diǎn)為圓心，以實(shí)零點(diǎn)到分離點(diǎn)的

53、距離為半徑的一個(gè)圓（當(dāng)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為分離點(diǎn)的距離為半徑的一個(gè)圓（當(dāng)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為兩個(gè)實(shí)極點(diǎn)時(shí)）或圓的一部分（當(dāng)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為兩個(gè)實(shí)極點(diǎn)時(shí)）或圓的一部分（當(dāng)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)時(shí)）。這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)上的一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)時(shí)）。這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格證明可參照本例進(jìn)行。嚴(yán)格證明可參照本例進(jìn)行。80 例例4-9 已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖。試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖。 解解 由已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可得到它的由已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可得到它的 特征方程為特征方程為 4條根軌跡的起點(diǎn)分別是系統(tǒng)的條根軌跡的起點(diǎn)分別是系統(tǒng)的4個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn),即即 p1=0,p2=-2

54、,p3=-1+j1, p4=-1-j1 。由于系統(tǒng)無(wú)。由于系統(tǒng)無(wú)有限開(kāi)環(huán)零點(diǎn)（有限開(kāi)環(huán)零點(diǎn)（m=0），），4條根軌跡的終點(diǎn)均條根軌跡的終點(diǎn)均在在S平面的無(wú)窮遠(yuǎn)處（無(wú)窮零點(diǎn)）。平面的無(wú)窮遠(yuǎn)處（無(wú)窮零點(diǎn)）。該系統(tǒng)的根軌跡共有該系統(tǒng)的根軌跡共有4條分支（條分支（n=4），），4條條根軌跡連續(xù)且對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸。根軌跡連續(xù)且對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸。81 漸近線(xiàn)與實(shí)軸正方向的交角為漸近線(xiàn)與實(shí)軸正方向的交角為 當(dāng)當(dāng)k = 0時(shí)，時(shí)， 當(dāng)當(dāng)k = 1時(shí)，時(shí)， 當(dāng)當(dāng)k = 2時(shí)，時(shí)， 當(dāng)當(dāng)k = 3時(shí)，時(shí)， 求出求出4條根軌跡漸近線(xiàn)與實(shí)軸的交點(diǎn)為條根軌跡漸近線(xiàn)與實(shí)軸的交點(diǎn)為82實(shí)軸上的根軌跡是實(shí)軸上由實(shí)軸上的根軌跡是實(shí)軸上由0到到-2的線(xiàn)段。的線(xiàn)段。由規(guī)則六可求出根軌跡與實(shí)軸的交點(diǎn)由