初中-與角度有關(guān)的運(yùn)算---尖子班

1、第 13 講 與角度有關(guān)的計(jì)算與角度有關(guān)的計(jì)算角的概念及度分秒的換算 角平分線(xiàn)的定義 余角和補(bǔ)角 對(duì)頂角及鄰補(bǔ)角知識(shí)點(diǎn) 1：角的概念以及度分秒的換算1有公共端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)就是角的頂點(diǎn)，這兩條射線(xiàn)是 角的兩條邊。角通常用三個(gè)字母及符號(hào)“”來(lái)表示，在不引起混淆的情況下，角還可以用 它的頂點(diǎn)字母來(lái)表示2 用量角器測(cè)量角度時(shí)一定要做到兩對(duì)齊：量角器的中心和角的頂點(diǎn)對(duì)齊、 量角器的 0 刻度線(xiàn)和角的一條邊對(duì)齊3角的常用度量單位是度、分、秒11°的60 為 1分，記作 1，即1° =6011 的為 1 秒，記作 1 ，即1 =6060典例】1.下列四個(gè)圖中

2、，能用1，AOB ，O 三種方法表示同一個(gè)角的是(A.D.解析】解：A 、圖中以 O 為頂點(diǎn)的角不止 1 個(gè)，AOB 不能用 O 表示，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、圖中以 O 為頂點(diǎn)的角有 3 個(gè)，AOB 不能用 O 表示，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、圖中以 O 為頂點(diǎn)的角只有 1 個(gè)，1、AOB 、O 表示同一個(gè)角，故本選項(xiàng)正確；D、圖中以 O 為頂點(diǎn)的角不止 1 個(gè)，AOB 不能用 O 表示，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；方法總結(jié)】所有的角都可以用頂點(diǎn)處的字母和表示兩條射線(xiàn)的另外兩個(gè)字母來(lái)表示； 只有個(gè)角（兩條射線(xiàn)）時(shí)，該角可以用“”和頂點(diǎn)字母來(lái)表示。隨堂練習(xí)】當(dāng)某個(gè)角的頂點(diǎn)處向左轉(zhuǎn) 50 °航行到BA北偏東 30

3、B北偏東 80 °C北偏西 30 °D北偏西50解答】1（ 2018? 河北）如圖，快艇從P處向正北航行到 A 處時(shí)， 處，再向右轉(zhuǎn) 80 °繼續(xù)航行，此時(shí)的航行方向?yàn)椋ˋPBC，2= 1=503= 4 2=8050=30 °，此時(shí)的航行方向?yàn)楸逼珫|30故選： A 2（2017 秋?榆樹(shù)市期末）計(jì)算：90°（ 36 ° 31 52 +12 °2214）【解答】解： 90°（ 36°3152+12 °2214）=90 ° 48 °5366=90 ° 48 °

4、546=89 °59 6048° 54 6=41 °5 54 3（2017 秋 ? 興化市期末）鐘面角是指時(shí)鐘的時(shí)針與分針?biāo)傻慕侨鐖D，在 鐘面上，點(diǎn) O 為鐘面的圓心，圖中的圓我們稱(chēng)之為鐘面圓為便于研究，我們 規(guī)定：鐘面圓的半徑 OA 表示時(shí)針，半徑 OB 表示分針，它們所成的鐘面角為 AOB ；本題中所提到的角都不小于 0°，且不大于180 °；本題中所指的時(shí)刻都介 于 0 點(diǎn)整到 12 點(diǎn)整之間（ 1）時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為 °，分針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為 °；（2）8 點(diǎn)整，鐘面角 AOB=°，鐘面角與此相等的

5、整點(diǎn)還有： 點(diǎn)；（3）如圖，設(shè)半徑 OC 指向12 點(diǎn)方向，在圖中畫(huà)出 6點(diǎn)15 分時(shí)半徑 OA、OB解答】解：（1 ）時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為 0.5 °分，針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為 6°；故答案為：0.5，6；（ 2） 0.5× 60× 4=1204°點(diǎn)，時(shí) 0.5 × 60× 4=120 °，故答案為：120，4；3）如圖 AOB=6 × 30+15 × 0.5 15× 6=97.54（2017 秋 ? 孝感期末）計(jì)算：（1）48° 39+67° 31 21

6、6; 17 ；（2）23° 53×3 107° 43 ÷ 5 【解答】 解：（1）48° 39 +67 °31 21° 17=116° 10 21°17=94 °53 ；（2）23° 53×3 107° 43 ÷5=71 ° 39 21° 32 36=50 ° 6 24 這條射線(xiàn)叫做這個(gè)角的角平知識(shí)點(diǎn) 2：角平分線(xiàn)的定義1. 從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線(xiàn)， 把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，分線(xiàn)。2. 尺規(guī)作圖，作 AOB 的平分線(xiàn)的方

7、法：1）以點(diǎn) O 為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交角 AOB 兩邊 于點(diǎn) M ，N。2 ）分別以點(diǎn) M ，N 為圓心，以大于 1/2MN 的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧， 兩弧交于點(diǎn) P。3 ）作射線(xiàn) OP。射線(xiàn) OP 即為所求?！镜淅?.已知 AOB=20 °，AOC=4 AOB ， OD 平分AOB ， OM 平分AOC ，則MOD 的度數(shù)是 解：分為兩種情況：如圖 1 ，當(dāng)AOB 在AOC 內(nèi)部時(shí)， AOB=20 °，AOC=4 AOB ， AOC=80OD 平分AOB ， OM 平分AOC ， 如圖 2 ，當(dāng)AOB 在AOC 外部時(shí)，1AOD= BOD= AOB=1021，A

8、OM= COM= 2 AOC=40DOM= AOM AOD=4010=30 DOMAOM+ AOD=40 ° +10 ° =50 °；【方法總結(jié)】本題已知角的數(shù)量關(guān)系 AOC=4 AOB ，以及 OD 、 OM 是角平分線(xiàn)，但不知道角 AOC 與AOB 的位置關(guān)系，無(wú)法直接得出結(jié)論。所以作圖分兩種情況，即：AOB 在AOC 內(nèi)部和AOB 在AOC 外部，結(jié)合圖形根據(jù)已知條件求出未知角的度數(shù)。【隨堂練習(xí)】1（2017 秋 ?開(kāi)江縣期末）如圖，BOE=2AOE，OF 平分AOB ， EOF=20 °【解答】 解：設(shè) AOE=x °，B則OE=2 A

9、OE=2x 所以AOB= BOE+ AOE=3x °，OF 平分AOB ，AOF= AOB=1.5x °， EOF=20 °，1.5x x=20 ，解得： x=40 ， AOB=3x ° =120 °2（2017 秋 ?定邊縣期末）如圖，O 為直線(xiàn) AB 上一點(diǎn)，AOC=50O°D，平分AOC ， DOE=901）求出BOD 的度數(shù)；所以DOC= AOC=25 °， BOC=180 ° AOC=130所以BOD= DOC+ BOC=155 °； （2）OE 平分BOC理由如下： DOE=90 °

10、， DOC=25 °， COE=90 ° 25 ° =65 °， BOC=130 °，BOE= BOC COE=130 ° 65 ° =65COE= BOE，OE 平分BOC3（2017 秋 ?瀘縣期末）如圖，已知 AOB=90 °，EOF=60 °O，E 平分AOB，OF 平分BOC ，求COB 和AOC 的度數(shù)BOE= AOB=45 EOF=60BOF= EOF BOE=15 °OF 平分BOC ，BOC=2 BOF=30 °，AOC= AOB+ BOC=1204（2017 秋 ?

11、 杜爾伯特縣期末）如圖所示（1）已知 AOB=90 °， BOC=O30M°，平分AOC ，ON 平分BOC，求 MON 的度數(shù)；（2） AOB=， BOC=OM， 平分AOC ，ON 平分BOC ，求MON 的 大小【解答】 解：（1） AOB=90 °， BOC=30AOC= AOB+ BOC=90 ° +30 ° =120 °OM 平分AOC ，ON 平分BOC，MOC= AOC=60CON= BOC=152）同理可得， MOC= （則MON= MOC CON=MON= MOC CON=60 ° 15 ° =

12、45故答案為： 45 + ，）CON= + ）= 知識(shí)點(diǎn) 3：余角和補(bǔ)角1. 如果兩個(gè)角的和是一個(gè)直角 ,那么稱(chēng)這兩個(gè)角互為余角 ,簡(jiǎn)稱(chēng)互余 ,也可以說(shuō)其中一個(gè)角是另 一個(gè)角的余角 . A + C=90 ° , A= -90C °, A 與C 互余； 余角的性質(zhì)：同角的余角相等。比如： A+ B=90 °A,+ C=90 ° , 則：C=B 。 等角的余角相等。比如： A+ B=90 °D,+ C=90 °A,=D 則：C= B。 2.如果兩個(gè)角的和是一個(gè)平角，那么這兩個(gè)角互為補(bǔ)角其中一個(gè)角叫做另一個(gè)角的補(bǔ)角A + C=180

13、76; , A= 1-80C ,° A 與C 互補(bǔ)； 補(bǔ)角的性質(zhì)：同角的補(bǔ)角相等。比如： A+ B=180 °A,+ C=180 ° , 則：C=B。 等角的補(bǔ)角相等。比如： A+ B=180 °D,+ C=180 °A,=D ，則： C=B。 【典例】1.如圖，點(diǎn) A 、B、O 在同一條直線(xiàn)上， COE 和BOE 互余，射線(xiàn) OF 和 OD 分別平分【解析】解： AOF+ BOD=3 DOF 理由如下：設(shè)COF= EOF=x ，DOE= BOD=y ，2x+2y=90 ， DOF=x+y=45AOF+ BOD=90 +x+y=135 AOF+

14、 BOD=3 DOF ，【方法總結(jié)】題中給出了互余的兩個(gè)角， 隱含了一對(duì)互補(bǔ)的角。 通過(guò)一對(duì)互余角的角平分線(xiàn)求出平分后小 角組成的大角為 45 °，利用平角是180 °，求出剩余角度之和是 135 °，進(jìn)而求出二者之間的 比例關(guān)系。【隨堂練習(xí)】1（2017 秋 ? ?？谄谀┮阎? 是1 的余角，3 是2 的補(bǔ)角，且1=38則3 等于（）A62° B 128 ° C 138 ° D142°【解答】 解：2 是1 的余角， 2=90 ° 1=90 ° 38°=52 °，3 是2 的補(bǔ)角，

15、 3=180 ° 2=180 ° 52 ° =128 °故選： B2（2017 秋 ?溧水區(qū)期末）如果和互補(bǔ)，且<下，列表達(dá)式： 90 ；90（°； + ；） （）中，等于的余角的式子有（ ）A1 個(gè)B2 個(gè) C3 個(gè)D4 個(gè)【解答】 解：和互補(bǔ)， =180 °，的余角是 90 °， 90 ° =180 °90 ° =90 °，( +=) ( 180 ° +) =90 °)=( 180 °) =90 °，即， 3 個(gè)， 故選：C3（2017

16、 秋?阜寧縣期末）如圖 1，點(diǎn)O 為直線(xiàn) AB 上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) O作射線(xiàn) OC， 使 BOC=112 °將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn) O 處，一邊 OM 在射線(xiàn) OB 上，另一邊 ON 在直線(xiàn) AB 的下方（1）將圖 1 中的三角板繞點(diǎn) O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖 2，使一邊 OM 在BOC 的內(nèi) 部，且恰好平分 BOC ，問(wèn)：直線(xiàn) ON 是否平分AOC？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）將圖 1 中的三角板繞點(diǎn) O 按每秒 4°的速度沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，在旋 轉(zhuǎn)的過(guò)程中，第 t 秒時(shí)，直線(xiàn) ON 恰好平分銳角 AOC ，則 t 的值為多少？ （3）將圖 1 中的三角板繞點(diǎn) O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖

17、3，使ON 在AOC 的內(nèi)部，請(qǐng) 探究：AOM 與NOC 之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由解答】解：（1）平分，理由：延長(zhǎng) NO 到 D， MON=90° MOD=90°MOB+ NOB=90MOC+ COD=90 °MOB= MOC ，NOB= COD ，NOB= AOD ，COD= AOD ，直線(xiàn) NO 平分AOC ；（2）分兩種情況：如圖 2， BOC=112 ° AOC=68 °，當(dāng)直線(xiàn) ON 恰好平分銳角 AOC時(shí)，AOD= COD=34 °， BON=34 °， BOM=56 °， 即逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為 56

18、 °， 由題意得， 4t=56 °解得 t=14 （ s）；如圖 3，當(dāng) NO 平分AOC 時(shí)， NOA=34 °， AOM=56 °，即逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為： 180 ° +56 ° =236 °， 由題意得， 4t=236 °，解得 t=59 （ s），綜上所述， t=14s 或 59s 時(shí)，直線(xiàn) ON 恰好平分銳角 AOC；（3）AOM N OC=22 °，理由： AOM=90 °AON NOC=68 °AON ，AOM NOC90AON )68AON )=224（2017 秋 ?

19、襄城區(qū)期末）如圖 1，點(diǎn)O 為直線(xiàn) AB 上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) O 作射線(xiàn) OC， 使 BOC=120 °將，一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn) O 處，一邊 OM 在射線(xiàn) OB 上，另一邊 ON 在直線(xiàn) AB 的下方（ 1）如圖 2，將圖 1 中的三角板繞點(diǎn) O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使邊 OM 在BOC 的內(nèi) 部，且 OM 恰好平分BOC此時(shí)AOM= 度；（ 2）如圖 3，繼續(xù)將圖 2 中的三角板繞點(diǎn) O 按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使得 ON 在 AOC 的內(nèi)部探究 AOM 與NOC 之間數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明你的理由；（3）將圖 1 中的三角板繞點(diǎn) O 以每秒 10 °的速度沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，在旋 轉(zhuǎn)

20、的過(guò)程中，若直線(xiàn) ON 恰好平分AOC ，則此時(shí)三角板繞點(diǎn) O 旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是 多少秒？（直接寫(xiě)出答案即可，不必說(shuō)明理由）【解答】 解：（1）OM 恰好平分BOC， BOM=1202=60 AOM=18060° =1202）如圖 3，AOM NOC=30 °， BOC=120 °， A0C=60 °， AON=90 ° AOM=60 °NOC，AOM NOC=30 °（ 3）設(shè)三角板繞點(diǎn) O 旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是 x 秒， BOC=120 °， AOC=60 °， BON=30 °，旋轉(zhuǎn)60 °

21、時(shí)ON 平分AOC ，10x=60 或 10x=240 ，x=6 或 x=24 ，即此時(shí)三角板繞點(diǎn) O 旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是 6 或 24 秒故答案為： 120 5（2017 秋 ?大余縣期末）如圖 1，點(diǎn) O 為直線(xiàn) AB 上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) O 作射線(xiàn) OC，使 BOC=120 °將，一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn) O 處，一邊 OM 在射線(xiàn) OB 上，另一邊 ON 在直線(xiàn) AB 的下方（ 1）將圖 1 中的三角板繞點(diǎn) O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖 2，使一邊 OM 在BOC 的內(nèi) 部，且恰好平分 BOC，設(shè) ON 的反向延長(zhǎng)線(xiàn)為 OD ，則COD=°，AOD= °（2）將圖 1 中的

22、三角板繞點(diǎn) O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖 3，使 ON 在AOC 的內(nèi)部，求 AOC=180 ° 120 ° =60 °，OM 恰好平分BOC ， COD=30 °， AOD=30 °( 2)AOM NOC= (AOM+ AON )( NOC+ AON )=90 ° 60 °故答案為： 30 ， 30 知識(shí)點(diǎn) 4：對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角1. 如果一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角兩邊的反向延長(zhǎng)線(xiàn)， 且這兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)， 那么這兩 個(gè)角是對(duì)頂角。對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等。2. 兩個(gè)角有一條公共邊，它們的另一條邊互為反向延長(zhǎng)線(xiàn)，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，叫

23、做鄰 補(bǔ)角。鄰補(bǔ)角的性質(zhì)：（ 1）一個(gè)角與它的鄰補(bǔ)角的和等于180 °（；2）如果兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角，那么它們的角平分線(xiàn)互相垂直。典例】1.如圖所示，直線(xiàn) AB交CD 于點(diǎn)O，OE平分BOD ，OF平分COB ，AOD ：BOE=4 ：方法總結(jié)】解角度問(wèn)題常設(shè)某一角度為未知數(shù)， 把其他關(guān)聯(lián)角用未知數(shù)表示出來(lái)， 根據(jù)已知條件間建立 關(guān)于該未知數(shù)的方程， 解方程即可求得未知數(shù)的值， 從而得到所求角的度數(shù)。 用代數(shù)方法解 幾何問(wèn)題是常用方法之一。【隨堂練習(xí)】1（2016 秋?玄武區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線(xiàn) AB與CD相交于點(diǎn) O，AOC：AOD=4 ：5 ，OE 平BOD 分，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出 OF

24、 AB 并求出BOF 的度數(shù)AOC+ AOD=180 4x+5x=180 °，解x得=20 AOC=4x=80 BOD=80 °， OFAB， BOF=902（2017 秋 ? 天河區(qū)期末）如圖，已知直線(xiàn) AB 和 CD 相交于點(diǎn) O，在COB 的 內(nèi)部作射線(xiàn) OE1)若 AOC=36 °， COE=90 °B，O求E 的度數(shù)；AOC=144 BOC=180 °， COE=90 °，3： 2，求AOE 的度數(shù)COE+ EOB+ BOD=1802)COE：EOB：BOD=4 ：3 ：2 ，設(shè) COE=4 ，EOB=3 ， BOD=2 4

25、 +3 +2 =180 =20 ° COE=4 =80 ° AOE=180 ° EOB=3 =60EOB=180 ° 60， BOD=2 =40=120 °上，表示 138 °的點(diǎn)在直線(xiàn) b 上，則 1=3（2017 秋 ? 平邑縣期末）如圖，直線(xiàn) AB ，CD 相交于點(diǎn) O， BOE=90 °O，F(xiàn) 平分AOD ， COE=20 °，求BOD 與DOF 的度數(shù)解答】 解： COE=20 °， BOE=90 BOD=180 ° 20° 90° =70 AOD 180 

26、6; 70° =110OF 平分AOD ，DOF=AOD=55 BOD=70 °， DOF=55綜合集訓(xùn)1.如圖，直線(xiàn) a、b 相交于點(diǎn) O，將量角器的中心與點(diǎn) O 重合，發(fā)現(xiàn)表示 60 °的點(diǎn)在直線(xiàn) a解析】解：根據(jù)題意得：1=13860 ° =78故答案為： 782.如圖，直線(xiàn) AB 、CD 相交于點(diǎn) O， AOD=140 °， COE=20 °，BO則E= °【解析】解：直線(xiàn) AB、CD 相交于點(diǎn) O ， AOD=140 °， COB=140 °， COE=20 °， BOE=140 &#

27、176; 20 ° =120 °故答案為： 120 3. 一個(gè)角的補(bǔ)角為 158 ° 12 ，那么這個(gè)角的余角等于_【解析】解：設(shè)原角為，所求角為，則 =180 ° 158 ° 12 =21 ° 48 ， =90 ° =68 ° 12 故答案為： 68 ° 12 4. 如圖， AOB=90 °O，C 平分AOB，OE平分AOD，若 EOC=60 °則，BOD=【解析】解： OC 平分AOB ，1AOC= AOB=45 °，2 EOC=60 °， AOE=15

28、76;，OE 平分AOD ， AOD=30 °， BOD=30 ° +90 ° =120 °，故答案為： 120 °5. 一個(gè)角的補(bǔ)角加上 14 °，等于這個(gè)角的余角的 5 倍，這個(gè)角的度數(shù)是 【解析】解：設(shè)這個(gè)角為 x ，則補(bǔ)角為 180 °x ，余角為 90 °x， 由題意得： 180 ° x+14 ° =5 （x）9，0 °解得： x=64 °故填： 64 °6 如圖，直線(xiàn) AB、CD 相交于點(diǎn) O ，BOF= DOE=90 °， DOF=58 &#

29、176;則，BOE=AOC=解析】解：BOF=90 °， DOF=58DOB=90 ° 58 °=32 °，DOE=90 °BOE=90 ° 32 °=58 °，DOB=32 °AOC=32 °7.計(jì)算：（1）48 ° 39 +67 °31 21° 17（2）23 ° 53 × 3 107 ° 43 ÷5解析】解： （1） 48 ° 39 +67 °31 21°17=116° 1021&#