第三章證明3復(fù)習(xí)課件

1、嚴(yán)格性之于數(shù)學(xué)家,猶如道德之于人.條理清晰，因果相應(yīng),言必有據(jù).是初學(xué)證明者謹(jǐn)記和遵循的原則.再談幾何證明再談幾何證明v 幾何離不開證明，證明是研究幾何的重要手段那么，怎樣才能真正學(xué)好幾何證明呢？ 一、學(xué)好幾何證明的前提條件一、學(xué)好幾何證明的前提條件v1. 定義，定理，公理是證明的依據(jù)，必須理解掌握。v2. 課本上的黑體字及一些證明或證明過程中得出的重要結(jié)論也可以作為證明的依據(jù)，必須理解記憶并掌握其證明方法。二、幾何證明的必備基本功二、幾何證明的必備基本功v1、合理使用幾何語言、合理使用幾何語言 幾何語言可分為文字語言、符號(hào)語言與圖形語言文字語言主要是術(shù)語和關(guān)鍵詞，如“直線”、“角” 、“垂直

2、” 、“全等”等術(shù)語，“都”、“是”等關(guān)鍵詞；符號(hào)語言是用符號(hào)來表達(dá)文字意義的圖式，中間一般用“”、“”、“” “ ”等進(jìn)行連接；而圖形語言則是用來表述文字語言具體內(nèi)容的幾何圖形，它一般與題目相配套，用于直觀表達(dá)題目的相關(guān)信息v例如，將文字語言“直線AH垂直直線b，H為垂足”，翻譯成圖形語言如下圖所示：v注注：幾何中的有關(guān)重要結(jié)論（如定義、定理、公理等）都是進(jìn)行論證的依據(jù)，證明中要學(xué)會(huì)將這些文字語言結(jié)合圖形翻譯成符號(hào)語言而若將圖翻譯成符號(hào)語言，則可表述為：AHb于H 如圖如圖,AC=BC,MNAB,P是是MN上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn)(已已知知),PA=PB(線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線線段垂直平分

3、線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等).ACBPMN2、能夠正確識(shí)圖與畫圖、能夠正確識(shí)圖與畫圖v 幾何圖形是幾何學(xué)的主要研究對(duì)象，而正確識(shí)圖與畫圖又是正確解題的關(guān)鍵所謂識(shí)圖，是指觀察、分析幾何圖形，做到既能識(shí)別表示各個(gè)概念的簡單圖形，又能在復(fù)雜圖形中識(shí)別出表示某個(gè)概念的基本圖形；所謂畫圖，是指既能獨(dú)立而正確地畫出表示概念的各種圖形，又能注意題與圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使所畫圖形符合題意v例如，在圖中，如果2=4，那么ADBC（而非ABCD）；反過，如果ADBC，那么2=4（而非1=3），兩者千萬不能搞錯(cuò)3、掌握推理的基本書寫格式、掌握推理的基本書寫格式v幾何推理的基本書寫格式是v（ ），

4、v（ ）v其中“” 其后面一般寫推理的“因”（即已知的條件或已證的結(jié)論等）；“” 其后面一般寫推理的“果”（即由已知條件而推得的結(jié)論）；“”與“”后面括號(hào)里面寫的是這一步的依據(jù)（即“理由”），依據(jù)必須是定義、公理、定理、已知條件或已證得的結(jié)論，且必須注意因果關(guān)系的對(duì)應(yīng)，不能張冠李戴v另外，在具體書寫時(shí)，“”與“”一般隔行書寫，如果推理的“因”或“果”數(shù)量不止一個(gè)，則應(yīng)用逗號(hào)分開特別，當(dāng)“因”有多個(gè)時(shí)，應(yīng)避免寫成“（ ），又（ ）；（ ）”這樣的形式v注注：具體證明時(shí)，像“已知”這類比較淺顯的依據(jù)一般不用寫出，其它一些重要的依據(jù)如果用到了還是寫出來為好，待以后熟練了，才可以省略不寫4、熟悉推理的

5、三大基本類型、熟悉推理的三大基本類型v、一因一果型如圖的例子就是這種類型v、一因多果型仍由如圖，若已知直線ab，則推理過程可書寫為：vab（已知）v1=2（兩直線平行，同位角相等），3=4（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），23=180（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）v此種類型的推理，在具體證明時(shí)應(yīng)視實(shí)際需要來選擇多個(gè)“果”中的某一個(gè)或某幾個(gè)而不必每次都把所有結(jié)論都書寫出來v、多因一果型如圖，已知直線ab，bc，試說明直線a與直線c的位置關(guān)系v證明證明：ab，cb（已知），vac（平行于同一直線的兩條直線互相平行）v此種類型的推理，只有當(dāng)多“因”都具備時(shí)，才能得出“果”5、明確推理的先后層次關(guān)系、明確推理

6、的先后層次關(guān)系 v幾何證明一般由若干組推理組成，且每一組推理都包括“因”、“果”以及“理由”三部分，實(shí)際書寫時(shí)，應(yīng)合理考慮推理的先后順序，同時(shí)，為方便起見，從第二組推理起有時(shí)會(huì)省略它的“因”因?yàn)檫@個(gè)“因”往往就是上一組推理的“果”v例例1、已知如圖，ABCD，MN與AB、CD交于點(diǎn)E、F，EP、FQ分別平分BEF和DFN，試判斷EP與FQ的位置關(guān)系，并說明理由v證明證明：證明證明：v上例簡化后的推理過程可表述如下：v證明證明：ABCD（已知）vBEF=DFN（兩直線平行，同位角相等）vEP、FQ分別平分BEF和DFN（已知）v1=BEF=DFN=2（等量代換）vEPFQ（同位角相等，兩直線平行

7、）v注注：幾何證明在開始書寫推理過程之前一般應(yīng)先寫“證明證明”而不是寫“解解”；另外，若證明時(shí)要在圖形中添加輔助線，則必須在證明的第一步把添加輔助線的過程簡要地書寫出來6、用好綜合法和分析法、用好綜合法和分析法v所謂綜合法，是指從題目的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到結(jié)論或需求問題的一種“由因?qū)Ч钡乃枷敕椒╲綜合法的完整思維過程可大致概括為下面這種形式：v“已知可知1可知2 結(jié)論”v所謂分析法，是指從數(shù)學(xué)題的結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題目已知條件的一種“執(zhí)果索因”的思想方法v分析法的完整思維過程可大致概括為下面這種形式：v“結(jié)論須知1須知2 已知”下面的例子可

8、以幫助我們了解綜合法與分析法的全部涵義 一、認(rèn)識(shí)四邊形與特殊四邊形的關(guān)系四邊形平行四邊形矩形菱形正方形梯形等腰梯形兩組對(duì)邊分別平行有一個(gè)角 是直角鄰邊相等鄰邊相等有一個(gè)角 是直角 一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊不平行同一底上的兩個(gè)角相等 有一個(gè)角是直角且鄰邊相等直角梯形有一角是直角二、幾種特殊四邊形的性質(zhì) 平行四邊形矩 形菱 形正方形等腰梯形邊對(duì)邊平行 且相等對(duì)邊平行 且相等對(duì)邊平行，四 條邊都相等對(duì)邊平行， 四條邊 都相等兩底平行，兩腰相等角對(duì)角相等 四個(gè)角都是直角對(duì)角相等 四個(gè)角都是直角同一底上的兩個(gè)角相等對(duì) 角 線兩條對(duì)角線互相平分兩條對(duì)角線互相平分且相等兩條對(duì)角線互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一

9、組對(duì)角兩條對(duì)角線互相垂直平分且相等，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角兩條對(duì)角線相等對(duì)稱性中心對(duì)稱 軸對(duì)稱中心對(duì)稱 軸對(duì)稱中心對(duì)稱 軸對(duì)稱中心對(duì)稱軸對(duì)稱三、幾種特殊四邊形的判定方法 平行平行 四邊形四邊形（1）兩組對(duì)邊分別平行；（2）兩組對(duì)邊分別相等；（5）一組對(duì)邊平行且相等。（4）兩條對(duì)角線互相平分；（3）兩組對(duì)角矩矩 形形（1）有三個(gè)角是直角；（2）是平行四邊形，并且有一個(gè)角是直角；（3）是平行四邊形，并且兩條對(duì)角線相等。 菱菱 形形（1）四條邊都相等；（2）是平行四邊形，并且有一組鄰邊相等；（3）是平行四邊形，并且兩條對(duì)角線互相垂直。正方形正方形（1）是矩形，并且有一組鄰邊相等；（2）是菱形，并且有

10、一個(gè)角是直角。等等 腰腰梯梯 形形（1）是梯形，并且同一底上的兩個(gè)角相等；（2）是梯形，并且兩條對(duì)角線相等。分別相等；1.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形2.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形ABCDADBCABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCD四、對(duì)角線與幾種特殊四邊形的關(guān)系A(chǔ)BCDDDDDDDDD D3.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形ABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDDABC4.對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形ABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDCABD五、鞏固練習(xí)（一）判斷題

11、：1.平行四邊形的對(duì)角線相等； （ ）2.矩形的四個(gè)角都相等； （ ）3.菱形的對(duì)角線互相垂直平分； （ ）4.有一個(gè)角是直角且鄰邊相等的平行四邊形是正方形； （ ）5.一組對(duì)邊平行的四邊形是梯形； （ ）6.有兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形； （ ）7.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形； （ ）8.對(duì)角線相等的四邊形是矩形； （ ）（二）選擇題：(A)一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊也平行；(B)一組對(duì)角相等，另一組對(duì)角也相等；1.下面判定四邊形是平行四邊形的方法中，錯(cuò)誤的是（ ）。(C )一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等； (D)一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等D2.正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（

12、）。 (A)對(duì)角線互相平分。 (B)對(duì)角線相等。（C）對(duì)角線平分一組對(duì)角。 (D)對(duì)角線互相垂直。B3.順次連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形一定是（ ）(A)矩形。 (B)正方形。(C ) 菱形。(D)平行四邊形D4.內(nèi)角和等于外角和的多邊形是（ ）(A) 三角形。(B)四邊形。(C )五邊形。(D)六邊形。B5.下列性質(zhì)中，平行四邊形不一定具備的是（ ）(A)對(duì)角相等。(B)鄰角互補(bǔ)。(C )對(duì)角互補(bǔ)。(D)內(nèi)角和是360。C6.能夠判定一個(gè)四邊形是平行四邊形的條件是（ ）(A)一組對(duì)角相等。 (B)兩條對(duì)角線互相平分。(C )兩條對(duì)角線互相垂直。 (D)一對(duì)鄰角的和為180。B7.下列圖形

13、中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）(A)等邊三角形。(B)平行四邊形。(C )菱形。(D)等腰梯形。CD9.不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的條件是（ ）/(A) AB =CD, AD =BC。(B) BC AD。(C ) AB/DC, AD/BC。 (D) AB =CD，AD/BC。D8.下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）(A)(B)(C )(D)（三）填空題：相 等2.兩條對(duì)角線 的四邊形是矩形?；ハ嗥椒智蚁嗟?.兩條對(duì)角線 的平行四邊形是菱形。 互 相 垂 直4.兩條對(duì)角線 的四邊形是菱形?；ハ啻怪逼椒?.兩條對(duì)角線 的矩形是正方形?；?相 垂 直6.兩條對(duì)

14、角線 的菱形是正方形。相 等7.兩條對(duì)角線 的平行四邊形是正方形。互相垂直并相等8.兩條對(duì)角線 的四邊形是正方形?；ハ啻怪逼椒植⑾嗟?.等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角 ，對(duì)角線 。相 等相 等1.兩條對(duì)角線 的平行四邊形是矩形。10.如圖(1)， ABCD中，1 = B =50,則2 = 。ABCD12(1)808 11.如圖（2），菱形有一個(gè)內(nèi)角是120，有一條對(duì)角線長是8， ABCDO(2)那么菱形邊長是 。12.已知：正方形的邊長是4，則它的對(duì)角線的長是 ， 面積是 。4216213.已知，正方形的對(duì)角線的長是6 ，則它的邊長是 ， 面積是 。 32 18 214.已知：正方形的面積是12

15、，則它的邊長是 ， 對(duì)角線的長是 。223 26 或383 六、課堂小結(jié)：六、課堂小結(jié)：2.性質(zhì)結(jié)構(gòu)圖性質(zhì)結(jié)構(gòu)圖2.判定結(jié)構(gòu)圖判定結(jié)構(gòu)圖七、幾種常見的平行四邊形輔助線的畫法：1.對(duì)角線ABCD2.構(gòu)建新的平行四邊形ABCDABCDEABCDE3.構(gòu)建全等三角形ABCDEFABCDEF4.構(gòu)建等腰三角形ABCDEABCDE十、幾種常見的梯形的輔助線畫法：1.構(gòu)建平行四邊形ABCDFABCDF2.平移一條對(duì)角線ABCDEABCDE3.構(gòu)建全等三角形ABCDE.FABCDF4.構(gòu)建矩形ABCDFABCDEFEE.5.作梯形的中位線ABCDEF6.構(gòu)建大平行四邊形7.構(gòu)建三角形ABCDEEFCABDO練一練：練一練：已知：如圖，在已知：如圖，在ABCD ABCD 中，中，E E、F F分別為邊分別為邊ABAB、CDCD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，BDBD是對(duì)角線，是對(duì)角線，AGAGDBDB交交CBCB的延長線于的延長線于G G（1 1）求證：）求證：ADEADECBFCBF；（2 2）若四邊形）若四邊形 BEDFBEDF是菱形，則四邊形是菱形，則四邊形AGBDAGBD是什么特殊四邊形？是什么特殊四邊形？練一練：練一練：如圖，在等腰梯形如圖，在等腰梯形ABCD中，中，AD/BC，M、N分別為分別為AD、BC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)