醫(yī)用基礎(chǔ)化學(xué)第1章ppt課件

1、研究的基礎(chǔ)研究的基礎(chǔ) 函數(shù)函數(shù) 極限極限 延續(xù)延續(xù) 研究對(duì)象研究對(duì)象 研究方法研究方法 研究橋梁研究橋梁定義域定義域Dxxfy, )( f ( D ) 稱為值域稱為值域 函數(shù)圖形函數(shù)圖形: ),(yxC Dx, )(xfy 自變量自變量因變量因變量xy) ,(baDabx)(xfo) 1/() 1(2) 1(22xxyxy與) 12arcsin(41)(2xxxf112042xx402xx)2,0商定商定: : 定義域是自變量所能取的使算式有定義域是自變量所能取的使算式有( (實(shí)踐實(shí)踐) )意意義的一切實(shí)數(shù)值義的一切實(shí)數(shù)值. ., 23) 1(2xxxf)(xf解：解： 652) 1(3) 1

2、()(22tttttf65)(2xxxf1)(2 xxf)(),(xffxf解：解： 512)2(2f221) 1(1)()(24222xxxxfxff|),(00 xxxx)(2xf)(1xfxy2x1x)(xfy xy2x1x)(xfy )(2xf)(1xfoo 函數(shù)函數(shù)y=x2y=x2是在其定義域是在其定義域(-,+)(-,+)上是上是偶函數(shù)偶函數(shù); ;函數(shù)函數(shù)y=sinxy=sinx是在其定義域是在其定義域(-,+)(-,+)是奇函數(shù)是奇函數(shù); ;函數(shù)函數(shù)y=sinx+cosxy=sinx+cosx在其定義域在其定義域(-(-,+),+)上非奇非偶上非奇非偶. .偶函數(shù)偶函數(shù)yx)(

3、xf )(xfy ox-x)(xf奇函數(shù)奇函數(shù))( xf yx)(xfox-x)(xfy oyxM-My=f(x)I有界有界(2)(2)有界與否是和有界與否是和I I有關(guān)的有關(guān)的. .(1)(1)當(dāng)一個(gè)函數(shù)有界時(shí)，它的界是不唯一的當(dāng)一個(gè)函數(shù)有界時(shí)，它的界是不唯一的. .留意留意: :MxMx cos,sin意一點(diǎn)意一點(diǎn)x,x,存在存在M=1,M=1,使得使得Mx ln界的界的, ,但在閉區(qū)間但在閉區(qū)間1,21,2上卻是有界函數(shù)上卻是有界函數(shù), ,因?yàn)樵诖藚^(qū)間上能找到因?yàn)樵诖藚^(qū)間上能找到M1,M1,使當(dāng)使當(dāng)x1,2x1,2Mx /1xyT/2-T/23T/2-3T/2(1)(1)冪函數(shù)冪函數(shù)xy

4、 是常數(shù)是常數(shù), ,取取值不同函數(shù)的值不同函數(shù)的定義域不同定義域不同oxy)1 , 1(11xy (2) (2) 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)),(),1, 0(aaayxyxo(3) (3) 對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)), 0(),1, 0(log aaxyaxoy(4) (4) 三角函數(shù)三角函數(shù)正弦函數(shù)正弦函數(shù)),(,sin xxyo22/32/x2/2/32y1),(,cos xxy余弦函數(shù)余弦函數(shù)2/51o2/32/x2/2/32y1正切函數(shù)正切函數(shù)Rxkxxy , 2/,tanyox21232123(5) (5) 反三角函數(shù)反三角函數(shù) 1 , 1,arcsinxxy反正弦函數(shù)反正弦函數(shù)xyo1122 1

5、, 1,arcsinxxy 1 , 1,arccos xxy反余弦函數(shù)反余弦函數(shù)11ox2 1 , 1,arccosxxyy),(,arctan xxy反正切函數(shù)反正切函數(shù)oxy22,tanarcxxy221mvE gtv 2)(21gtmE 221mvE gtv 例如例如, ,函數(shù)函數(shù),arcsinuy ,122xu合函數(shù)合函數(shù),12arcsin2xyDx,1231,23但函數(shù)但函數(shù)22,arcsinxuuy可定義復(fù)可定義復(fù)不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù). .1,lg,arcsin xvvuuy例如例如, ,函數(shù)函數(shù))1arcsinlg( xy可分解為函數(shù)可分解為函數(shù)又如函數(shù)又如函數(shù)22,

6、xuuy 也可分解成：也可分解成：34/ 3,xuuy 4xy 可分解成：可分解成：)1arcsinlg( xnnnaxaxaxp .)(1102/ )(xxee 2/ )(xxee符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù)xysgn當(dāng) x 0,1當(dāng) x = 0,0當(dāng) x 0,1xyo11)(1yfx)(1yfx)(1yfx )(1yfx)(1yfx) 1, 0( aaayxyaxlog xay yxalog xyalog 函數(shù)函數(shù))(xfy 與其反函數(shù)與其反函數(shù))(1xfy的圖形關(guān)于直線的圖形關(guān)于直線xy 對(duì)稱對(duì)稱 . .例如例如 , ,),(,xeyx與對(duì)數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)),0(,lnxxy互為反函數(shù)互為反函數(shù),

7、,它們都單調(diào)遞增它們都單調(diào)遞增, ,其圖形關(guān)于直線其圖形關(guān)于直線xy 對(duì)稱對(duì)稱. .)(xfy )(1xfyxy ),(abQ),(baPxyo指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù))(1yfx)(1xfy 定義域定義域?qū)?yīng)規(guī)律對(duì)應(yīng)規(guī)律2.2.函數(shù)的特性函數(shù)的特性單調(diào)性單調(diào)性, ,奇偶性奇偶性, ,有界性有界性, ,周期性周期性3.3.初等函數(shù)初等函數(shù)1.1.函數(shù)的定義及函數(shù)的二要素函數(shù)的定義及函數(shù)的二要素r引例引例: :設(shè)有半徑為設(shè)有半徑為r r的圓的圓, ,nA逼近圓面積逼近圓面積S.S.n如下圖如下圖, ,可知可知nAnnnrcossin2),5,4,3(n當(dāng)當(dāng)n n無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí), , nA無(wú)限逼近無(wú)

8、限逼近 S. S.用其內(nèi)接正用其內(nèi)接正n n邊形的面積邊形的面積我國(guó)古代魏末晉初的杰出數(shù)學(xué)家我國(guó)古代魏末晉初的杰出數(shù)學(xué)家. 他撰寫(xiě)的他撰寫(xiě)的對(duì)對(duì)中的方法和公式作了全面的評(píng)中的方法和公式作了全面的評(píng) 注注, 指出并糾正了其中的錯(cuò)誤指出并糾正了其中的錯(cuò)誤 , 在數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué) 理論上作出了杰出的貢獻(xiàn)理論上作出了杰出的貢獻(xiàn) .他的他的 “ 割圓術(shù)割圓術(shù) ” 求圓周率求圓周率 “ 割之彌細(xì)割之彌細(xì) , 所失彌小所失彌小, 割之又割割之又割 , 以至于不可割以至于不可割 ,則與圓合體而無(wú)所失矣則與圓合體而無(wú)所失矣 ”它包含了它包含了“用已知逼近未知用已知逼近未知 , 用近似逼近精確的重要

9、用近似逼近精確的重要極限思想極限思想 . 的方法的方法 :nxxx,.,21nx,.1,.,31,21, 1:1)1 (nnxn ,.11,.,34,23,2:11)2(nnxn 留意：留意： 1.1.數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列. .可看作一可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.2.數(shù)列是整數(shù)函數(shù)數(shù)列是整數(shù)函數(shù)),(nfxn . Nn,.,1 , 1, 1:) 1()4(1 nnx,) 1(1 ,32,23, 0:) 1(1)3(nnxnnn nxnxnxnx)(limnAxAxnnn或)( , 01)1 ( nnxn)(,1

10、11)2( nnxn)( , 1) 1(1)3( nnxnn) 1()4(1 nnx,1,43,32,21nn1nnxn)(1n收收 斂斂,.) 1() 1(,.,161,251,412 nn)( , 0 n2) 1() 1( nxnnn2nnx2 0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(x01lim xxoxyxy1自變量變化過(guò)程的六種形式自變量變化過(guò)程的六種形式: :)(xfy xAxfx)(lim)()(xAxf當(dāng)0 xx 01sinlim0 xxxxyoxxy1sin0 xx Axfxx)(lim0)()(0 xxAxf當(dāng)0 xxAxfxx)(lim0Axfxx)

11、(lim00 xx Axfxfxxxx)(lim)(lim00定理定理 左極限左極限: :)(0 xfAxfxx)(lim0右極限右極限: :)(0 xfAxfxx)(lim0定理定理 Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim000, 10, 00,2)(xxxxxxf當(dāng)當(dāng)當(dāng)0)2(lim)(lim00 xxfxx1) 1(lim)(lim00 xxfxx)(lim)(lim00 xfxfxx思考與練習(xí)思考與練習(xí): :1.1.若極限若極限)(lim0 xfxx存在存在, ,)()(lim00 xfxfxx作業(yè)作業(yè): :是否一定有是否一定有？2.2.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf且且)

12、(lim1xfx存在存在, ,那么那么. a31, 121,2xxxxa0 xx0)(lim0 xfxxx0 xxxxsin,2 xxe xx/1留意：留意：1) 1) 無(wú)窮小量是一個(gè)變量無(wú)窮小量是一個(gè)變量, ,而不是一個(gè)數(shù)而不是一個(gè)數(shù). .但但0 0可以作為無(wú)窮小的唯一一個(gè)常數(shù)?？梢宰鳛闊o(wú)窮小的唯一一個(gè)常數(shù)。 3 ) 3 ) 此 概 念 對(duì) 數(shù) 列 極 限 也 適 用此 概 念 對(duì) 數(shù) 列 極 限 也 適 用 , , 假假設(shè)設(shè) , ,稱數(shù)列稱數(shù)列 為為 時(shí)的無(wú)窮時(shí)的無(wú)窮小。小。0lim nnxnx n2)2)無(wú)窮小量與自變量變化過(guò)程有關(guān)。無(wú)窮小量與自變量變化過(guò)程有關(guān)。0)sin(lim0 x

13、xx闡明闡明: :無(wú)限個(gè)無(wú)窮小之和不一定是無(wú)窮小無(wú)限個(gè)無(wú)窮小之和不一定是無(wú)窮小 ! !0 xx xAxfxxx)(lim)(0或)()(xAxf 0)(lim)(0 xxxx或當(dāng)當(dāng) 再如再如: :xx1lim , ,函數(shù)函數(shù) x1x時(shí)為無(wú)窮小時(shí)為無(wú)窮小; ;0sin.lim0 xxx例如例如: :xxxarctan)./1 (lim 例如例如: :xxxsinlim 0 0 0 x)(xf)(lim)(0 xfxxx或0 xx x0 xx )(lim0 xfxx)(limxfx0 xx2/x假假設(shè)設(shè)假假設(shè)設(shè))(xf 為無(wú)窮大為無(wú)窮大, ,)(/1xf為無(wú)窮小為無(wú)窮小; ;)(xf為無(wú)窮小為無(wú)窮

14、小, ,且且,0)(xf那那么么為無(wú)窮大為無(wú)窮大. .那那么么0 xx 在在 ( (或或 時(shí)時(shí)), ), x)(/1xf留意：留意：無(wú)窮大是變量無(wú)窮大是變量, ,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆; ;1. 1. 無(wú)窮小與無(wú)窮大的定義無(wú)窮小與無(wú)窮大的定義; ;2. 2. 無(wú)窮小定理無(wú)窮小定理; ;3. 3. 無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系. .一、極限的四則運(yùn)算法則一、極限的四則運(yùn)算法則1.2.4 1.2.4 極限的運(yùn)算極限的運(yùn)算,)(lim,)(limBxgAxf則有則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA設(shè)設(shè))()(limxgxf)(lim)(limxgxfB

15、A【定理【定理4 4】 )()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA其中其中 B0 B0證明證明:.)(lim,)(limBxgAxf ).()(),()(xBxgxAxf 由無(wú)窮小運(yùn)算法則由無(wú)窮小運(yùn)算法則, ,得得)()(xgxf )()(xBxA )()(xBxAAB.0. 0)(, 0)(xx)()(xgxf ABxgxf )()(lim【推論【推論3 3】ACxfCxfC.)(lim)(lim (C(C為常數(shù)為常數(shù)) )【推論【推論4 4】nnnAxfxf )(lim)(lim(n(n為正整數(shù)為正整數(shù)) )1.1.設(shè)設(shè)n n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式,)(110nnnnaxaxaxP

16、那那么么nnxxnxxnxxaxaxaxP 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xPn 則則有有且且設(shè)設(shè), 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf )52(lim32xxx)52(lim32xxx5lim2)(lim232 xxxx95228 例例8 8 求求 ) 13()52(lim232xxxxx)13()52(lim232 xxxxx, 03) 13(lim22 xxx)13(lim)52(lim2232 xxxxxx339 例例9 9

17、 求求 ) 1/() 12(lim23xxxx) 12/() 1(lim32 xxxx32311211limxxxxx 0 ) 1/() 12(lim23xxxx 為非負(fù)常數(shù)為非負(fù)常數(shù)) )nmba,0(00mn 當(dāng)mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 當(dāng)mn 當(dāng)例例10 10 求求 521lim5 xxx41 521lim5 xxx)21)(5()21)(21(lim5 xxxxx)21)(5()5(lim5 xxxx211lim5 xx1. 1. 極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則(1) (1) 無(wú)窮小運(yùn)算法則無(wú)窮小運(yùn)算法則(2) (2) 極限四則運(yùn)算法則極限四則

18、運(yùn)算法則注意使用條件注意使用條件2.2.求分式函數(shù)極限求法求分式函數(shù)極限求法0) 1xx 時(shí)時(shí), ,用代入法用代入法( (分母不為分母不為0)0)0)2xx 時(shí)時(shí), ,對(duì)對(duì)00型型, ,約去公因子約去公因子x)3時(shí)時(shí), ,分子分母同除最高次冪分子分母同除最高次冪1.1.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在是否存在 ? ? 為什么為什么 ? ?答答: : 不存在不存在 . . 否則由否則由)()()()(xfxgxfxg利用極限四則運(yùn)算法則可知利用極限四則運(yùn)算法則可知)(limxg存在存在 , , 與已知條件與已知條件矛盾矛盾. .?321lim2222nn

19、nnnn解解: : 原式原式22) 1(limnnnn)11(21limnn212.2.問(wèn)問(wèn). )1(lim2xxxx解法解法 1 1 原式原式 = =xxxx1lim21111lim2xx21解法解法 2 2 令令,1xt tttt1111lim2021那那么么原式原式 = =22011limttt111lim20tt 0t.0)1(lim33xaxx解解 : : 令令,1xt 那么那么tatt33011lim001atatt3301lim01lim330att故故1a因此因此二、兩個(gè)重要極限二、兩個(gè)重要極限1sinlim. 10 xxx)(),(),(xhxgxf, )()(xhxg)(x

20、fAxhxgxxxx)(lim)(lim00Axfxx)(lim0例例11 11 證明證明1coslim0sinlim00 xxxx；2222sin21cos0222xxxxxx sin00 x2, xx1coslim0sinlim00 xxxx；證明證明)20(, xxAOBO 圓圓心心角角設(shè)設(shè)單單位位圓圓,tan,sinADxABxBCx弧于是有.ADO，得作單位圓的切線,xOAB的圓心角為的圓心角為扇形扇形,BCOAB的高為DCBAx1o圓扇形圓扇形AOB的面積的面積即即xsin21x21xtan21AOB 的面積的面積AOD的面積的面積1sincosxxx1sinlim0 xxx1)(

21、)sin(limsinlim00 xxxxxx1sinlim0 xxx故.tanlim0 xxx解解: : xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01.cos1lim20 xxx解解: :原式原式= =2220sin2limxxx21212120sinlimx2x2x21例例14 14 求求xxx1sinlim 練習(xí)：求練習(xí)：求.arcsinlim0 xxx解解: :令令,arcsin xt 那那么么,sintx 因此因此原式原式tttsinlim0 1lim0tttsin1解：解：, tx 1/xxx1sinlim xxx11sinli

22、m tttsinlim0 1 那那么么ennn)1(lim1.590457182818284.2)1(1nnnn)1(1nennn)1(lim1exxx)1 (lim1,/1 tx 那那么么,)1 (lim10ettt 令令即即exxx1)1 (lim0.)1 (lim10 xxkx解解: : ke xxkx10)1 (lim )()1(0)(1 limkkxxkx 例例16 16 求求xxxx)11(limxxxx)11(lim )121 (lim.)121 (lim2)21( xxxxx)12 .21()121 (lim xxx2e 1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或或e1

23、)1(lim0注注: : 代表相同的表達(dá)式代表相同的表達(dá)式1. 1. 數(shù)列極限存在的夾逼準(zhǔn)則數(shù)列極限存在的夾逼準(zhǔn)則函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則填空題填空題( 1( 14 )4 );_sinlim. 1xxx;_1sinlim. 2xxx;_1sinlim. 30 xxx;_)11 (lim. 4nnn0101e,0時(shí)xxxxxx1sin,sin,322都是無(wú)窮小都是無(wú)窮小, ,引例引例: :xxx3lim20,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31但但 2201sinlimxxxx xx1sinlim0 不存在不存在, ,不可比不可比. .極限不同極限不同, ,

24、反映了趨向于零的反映了趨向于零的“快慢程度不同快慢程度不同. .xxxsinlim01 而而 )()0)()(xxx及 中中, ,設(shè)設(shè)在自變量同一變化過(guò)程在自變量同一變化過(guò)程)(0 xxx或存在)()(limxx,0)()(lim xx假假設(shè)設(shè)則稱則稱是比是比高階的無(wú)窮小高階的無(wú)窮小, ,);()(xox 記作記作,)()(lim xx假假設(shè)設(shè)則稱則稱(x)(x)是比是比(x)(x)低階的無(wú)窮小低階的無(wú)窮小; ;假假設(shè)設(shè)), 1 ,0(lim為常數(shù)ccc , ,則稱則稱(x)(x)與與(x)(x)的同階的同階無(wú)無(wú)窮小窮小; ;特別當(dāng)特別當(dāng)c=1c=1時(shí)時(shí), ,稱稱 (x)(x)與與 (x)(x

25、)是等價(jià)無(wú)窮小是等價(jià)無(wú)窮小, ,記記)()(xx作作).0()3(2 xxox例如，例如，03lim20 xxxxxx3sinlim0,3120sinlimxxx,，1sinlim0 xxx)0(sinxxx)(o0 x時(shí)時(shí)3x26xxsin;xxtan;xxarcsinx20cos1limxxx220sin2limxx22)(4x21故故0 x時(shí)時(shí), ,xcos1是關(guān)于是關(guān)于x x的高階無(wú)窮小的高階無(wú)窮小, ,xcos1221x且且又如又如, ,0lim,0, )0(C,1,0limCk1. 1. 無(wú)窮小的比較無(wú)窮小的比較設(shè)設(shè), , 對(duì)同一自變量的變化過(guò)程為無(wú)窮小對(duì)同一自變量的變化過(guò)程為無(wú)窮

26、小, ,且且 是是 的高階無(wú)窮小的高階無(wú)窮小 是是 的低階無(wú)窮小的低階無(wú)窮小 是是 的同階無(wú)窮小的同階無(wú)窮小 是是 的等價(jià)無(wú)窮小的等價(jià)無(wú)窮小 是是 的的 k k 階無(wú)窮小階無(wú)窮小,0時(shí)當(dāng) xxsinxtanxarcsin,x,x,xxcos1,221x常用等價(jià)無(wú)窮小常用等價(jià)無(wú)窮小: : 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0 x0的某一鄰域內(nèi)有定的某一鄰域內(nèi)有定義義, ,當(dāng)自變量由點(diǎn)當(dāng)自變量由點(diǎn)x0 x0變到另一點(diǎn)變到另一點(diǎn)x x時(shí)時(shí), ,稱稱x- x- x0 x0值為自變量的增量值為自變量的增量, ,記為記為x=x-x0,x=x-x0,相應(yīng)相應(yīng)地地f(x0+x)-f(x0)f(x0

27、+x)-f(x0)值為函數(shù)的增量值為函數(shù)的增量, ,記為記為y=f(x)-f(x0). y=f(x)-f(x0). 【增量定義】【增量定義】xxx 0, ,故有故有)()(00 xfxxfy )(xfyxoyxy0 x)(0 xfx)(xf【定義【定義1111】)()(lim00 xfxfxx0lim0yx 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)y=f(x)在在x0 x0點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義, ,在在x0 x0點(diǎn)給自變量以增量點(diǎn)給自變量以增量x=x-x0 ,x=x-x0 ,相應(yīng)地函數(shù)相應(yīng)地函數(shù)的增量的增量y=f(x)-f(x0)=f(x0+x)-f(x0),y=f(x)-f(x0)=f(

28、x0+x)-f(x0),假假設(shè)設(shè)0lim0 yx , ,則稱函數(shù)則稱函數(shù) y=f(x) y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0 x0連續(xù)連續(xù), ,并稱并稱點(diǎn)點(diǎn)x0 x0為函數(shù)為函數(shù)f(x)f(x)的連續(xù)點(diǎn)的連續(xù)點(diǎn). .【定義【定義1212】 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0 x0的某一鄰域內(nèi)有定的某一鄰域內(nèi)有定義義, ,若當(dāng)若當(dāng) 時(shí)時(shí), ,函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的極限存在且等的極限存在且等于于f(x0),f(x0),即即 則稱函數(shù)則稱函數(shù) y=f(x) y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0 x0連續(xù)連續(xù). ., )()(lim00 xfxfxx0 xx 即函數(shù)即函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x(1) (1)

29、 )(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x即即)(0 xf(2) (2) 極限極限)(lim0 xfxx(3)(3)()(lim00 xfxfxx 連續(xù)必須具備下列條件連續(xù)必須具備下列條件: :存在存在 ; ;有定義有定義, ,存在存在 ; ;。00limxxxx)lim()()(lim000 xfxfxfxxxx例例17 17 驗(yàn)證函數(shù)驗(yàn)證函數(shù)y=sinxy=sinx在區(qū)間在區(qū)間 上是連續(xù)上是連續(xù) ,xxxxfxxfysin)sin()()( x在區(qū)間在區(qū)間 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)x,x,當(dāng)當(dāng)x x有增量，有增量， ,對(duì)應(yīng)的函數(shù)增量為：對(duì)應(yīng)的函數(shù)增量為：)cos(sin222xxx)cos(2xx )sin(2

30、x0 x)cos(sin222xxx 0lim0yx, ,所以函數(shù)所以函數(shù) ,y=sinxy=sinx在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù)同樣可證同樣可證: : 函數(shù)函數(shù)xycos在在),(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù). .【定義【定義1313】 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0 x0的左鄰域內(nèi)的左鄰域內(nèi)(x0+(x0+,x0,x0內(nèi)有定義內(nèi)有定義, ,假設(shè)假設(shè) , ,則稱函數(shù)則稱函數(shù)y=f(x)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0 x0處左連續(xù)。處左連續(xù)。)()(lim00 xfxfxx )()(lim00 xfxfxx )()(lim)(lim000 xfxfxfxxxx 0, 10, 00,2)(xxxxxx

31、f當(dāng)當(dāng)當(dāng))2(lim)(lim00 xxfxx 1 )(lim0 xfx0 ) 1(lim)(lim00 xxfxx),0(f yox121121若若f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上每一點(diǎn)都連續(xù)上每一點(diǎn)都連續(xù), ,則稱則稱 f(x)f(x)在在(a,b)(a,b)上連續(xù)上連續(xù); ;如果如果f(x)f(x)在在x=ax=a點(diǎn)右連續(xù)點(diǎn)右連續(xù), ,而而在在x=bx=b點(diǎn)左連續(xù)點(diǎn)左連續(xù), ,則稱則稱f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上連續(xù)上連續(xù))()(lim, ),(000 xPxPxxx例如例如, ,nnxaxaaxP10)(在在),(上連續(xù)上連續(xù), ,即即: :( (有理整函數(shù)有理

32、整函數(shù)) )又如又如, ,有理分式函數(shù)有理分式函數(shù))(/ )()(xQxPxR 義域內(nèi)連續(xù)。義域內(nèi)連續(xù)。在其定在其定只需只需,0)(0 xQ都有都有)()(lim00 xRxRxx種情況之一時(shí)種情況之一時(shí), ,點(diǎn)點(diǎn)x0 x0為函數(shù)為函數(shù)f(x)f(x)的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn): :(1)(1)函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)0 x在在無(wú)定義無(wú)定義 ; ;在在在在(2)(2)函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)0 x)(lim0 xfxx不存在不存在; ;(3)(3)函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)0 x)(lim0 xfxx存在存在, ,但但)()(lim00 xfxfxx雖有定義雖有定義, ,但但雖有定義雖有定義, ,且且 根

33、據(jù)定義根據(jù)定義1212可知可知, ,當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)f(x)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0 x0有下列有下列三三11)(2 xxxfyox121121211)(2 xxxf0, 10, 00,2)(xxxxxxf當(dāng)當(dāng)當(dāng))2(lim)(lim00 xxfxx 1 )(lim0 xfx0 ) 1(lim)(lim00 xxfxxyox1211210, 20, 1)(xxxxf)0(1) 1(lim)(lim00fxxfxxyox12112122x為其無(wú)窮間斷點(diǎn)為其無(wú)窮間斷點(diǎn) . .0 x為其振蕩間斷點(diǎn)為其振蕩間斷點(diǎn) . .xy1sin) 2(xytan) 1 (xytan2xyoxyxy1sin01) 1 (1

34、)(lim1fxfx顯然顯然1x為其可去間斷點(diǎn)。為其可去間斷點(diǎn)。1,1,)(21xxxxfy(4)(4)xoy211(5) (5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x為其跳躍間斷點(diǎn)。為其跳躍間斷點(diǎn)。)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左連續(xù)左連續(xù)右連續(xù)右連續(xù))(. 1xf0 x在點(diǎn)在點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)形式連續(xù)的等價(jià)形式例如例如, ,),( xx cos,sin在在內(nèi)連續(xù)。內(nèi)連續(xù)。xxxxcsc,sec,cot,tan在其定義域內(nèi)連續(xù)。在其定義域內(nèi)連續(xù)。),(xu0 xx axxx)(lim0)

35、()(limafufau xfy0 xx)(af)()(lim0afxfxxau a)(lim)()(lim00 xfafxfxxxx)( xu0 xx )()(lim00 xfxfxx )(0 xu )()(lim00 xxxx 0 xx xfyxxx101coslimeu exxxxxx )1 (limcos)1cos(lim/10/10 xx/1)1cos( xxuuy/ 1)1 (,cos uycos exxx /10)1 (limxe1xe1xueyu/1, xu/ 1 ), 0()0 ,( uey ),( xe1),( .)1 (loglim0 xxax解解: :原式原式xxax1

36、)1 (loglim0ealogaln1練習(xí)練習(xí)2: 2: 求求.1lim0 xaxx解解: :令令, 1xat那那么么, )1 (logtxa原式原式)1 (loglim0ttataln闡明闡明: :當(dāng)當(dāng), ea 時(shí)時(shí), ,有有0 xxx)1ln( xex1 xy1sin是由連續(xù)函數(shù)是由連續(xù)函數(shù)),(,sin uuy), 0()0 ,( x在在上連續(xù)上連續(xù) . .xyoxy1sinxy1sin解：解：,/1 xu 因此因此xy1sin復(fù)合而成復(fù)合而成, ,), 0()0 ,( x練習(xí)練習(xí)3 3 求求9x3xlim23x 解：解：66619x3xlim9x3xlim23x23x 21sin2xxexfx0 x 21sin2xxexfx0)0()(lim0 fxfx01sinlim202 xxexx yfx1例如例如, ,xysin在在,22上連續(xù)單調(diào)遞增上連續(xù)單調(diào)遞增, ,其反其反函數(shù)函數(shù)xyarcsin在在 1,11,1上也連續(xù)單調(diào)遞增上也連續(xù)單調(diào)遞增. .xey 在在),(上連續(xù)上連續(xù) 單調(diào)單調(diào) 遞增遞增, ,其反函數(shù)其反函數(shù)xyln在在),0(上也連續(xù)單調(diào)遞增上也連續(xù)單調(diào)遞增. .又如又如, , ) 1, 0( aaayx) 1, 0(log aaxya留意留意: :初等函數(shù)求極限的方法代入法初等函數(shù)求極限的方法代入法: :)()(lim00 x