函數(shù)的零點與方程的根1

1、3.1.1方程的根與函數(shù)的零點 方程方程x22x+1=0 x22x+3=0y= x22x3y= x22x+1函數(shù)函數(shù)函函數(shù)數(shù)的的圖圖象象方程的實數(shù)根方程的實數(shù)根x1=1,x2=3x1=x2=1無實數(shù)根無實數(shù)根函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象與與x軸的交點軸的交點(1,0)、(3,0)(1,0)無交點無交點x22x3=0 xy01321121234.xy0132112543.yx012112y= x22x+3 從上面的表格，你能發(fā)現(xiàn)方程的根與函數(shù)圖象與X軸的交點具有什么樣的關(guān)系嗎？方程的根就是函數(shù)圖象與X軸交點的橫坐標(biāo)。探究探究活動活動 對于函數(shù)對于函數(shù)y=f(x),我們把使我們把使f(x)=0的實數(shù)的實數(shù)

2、x叫做函數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)的零點。的零點。注意：注意：零點指的是一個實數(shù)；零點指的是一個實數(shù)；方程方程f(x)=0有實數(shù)根有實數(shù)根函數(shù)函數(shù)y=f(x)的圖象與的圖象與x軸有交點軸有交點函數(shù)函數(shù)y=f(x)有零點有零點思考：零點是點嗎？思考：零點是點嗎？求零點的方法 (1) 解方程：令f(x)=0,解x。 （2）圖像法：作y=f(x)的圖像，看圖像與x軸的交點的橫坐標(biāo)。練習(xí)練習(xí)求下列函數(shù)的零點：（1） （2）（3） （4）xxfln)(1)(xexfxxxf4)(353)(3xxxf解:（1）1；（2）0；（3）2、0、2 如圖所示，用幾條連續(xù)不斷的函數(shù)圖象連接A、B兩點。動一動手動一動手A

3、BLABLOXyOyXOyXabababABLABL 思考：思考：通過對圖象的觀察，分析函數(shù)在區(qū)間端點上的函數(shù)值的符號情況，與函數(shù)零點是否存在著一定的關(guān)系呢？ 0)()(bfafabxxf1)(0)()( bfaf有 ，但在區(qū)間(a，b)內(nèi)無零點。0)()( bfaf是否只要滿足 ，就一定存在零點呢？函數(shù)零點存在性定理函數(shù)零點存在性定理 如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的圖象是上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，并且有f(a)f(b)0,則則y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)內(nèi)是否有零點？是否有零點？想一想想一想OyX2)(xxfab （2）若函數(shù)）若函數(shù)

4、y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上連續(xù)，且有上連續(xù)，且有f(a)f(b)0,則則y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)會只有一個內(nèi)會只有一個零點嗎？零點嗎？OXyabABLABLOyXab （3）若函數(shù)）若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上連續(xù)，且在上連續(xù)，且在區(qū)間區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點時，一定有內(nèi)有零點時，一定有f(a)f(b)0嗎？嗎？OyX2)(xxfab注意：注意：（1）只有同時滿足上述兩個條件，才能）只有同時滿足上述兩個條件，才能說明函數(shù)說明函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在零點。內(nèi)存在零點。（2）定理不可逆。）定理不可逆。例例1、判斷函數(shù)、判斷函數(shù) 是否存在是否存在零點？零

5、點？53)(3xxxf例例2、求函數(shù)、求函數(shù) 的零點的的零點的個數(shù)？個數(shù)？62ln)(xxxf想一想想一想函數(shù)函數(shù)y=f(x)在什么條件下，在區(qū)間在什么條件下，在區(qū)間(a,b)內(nèi)只有一個零點？內(nèi)只有一個零點？結(jié)論結(jié)論函數(shù)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)時，函數(shù)內(nèi)單調(diào)時，函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)有且只有一個零點。在這個區(qū)間內(nèi)有且只有一個零點。作出函數(shù)的圖象如下：作出函數(shù)的圖象如下： 因為因為f(3)30,所以所以f(x)= 2x ln(x2)3在區(qū)間在區(qū)間(3,4)上有零點。又因為上有零點。又因為f(x) =2x ln(x2)3是是(2，）上的增函數(shù)，）上的增函數(shù)，所以在區(qū)間所以在區(qū)間(3,

6、4)上有且只有一個零點。上有且只有一個零點。xy01321125-3-242(2) f(x)=2x ln(x2)3作出函數(shù)的圖象如下：作出函數(shù)的圖象如下： 因為因為f(0)3.630,所以所以f(x)= ex1+4x4在區(qū)間在區(qū)間(0,1)上有零點。又因上有零點。又因為為f(x) = ex1+4x4是是( ，）上的增函數(shù)，所以在）上的增函數(shù)，所以在區(qū)間區(qū)間(0,1)上有且只有一個零上有且只有一個零點。點。2(3) f(x)=ex1+4x4xy0132112123424作出函數(shù)的圖象如下：作出函數(shù)的圖象如下：x080155y24012043604020432 因為因為f(4)40, f(2)20,f(2)700,所以所以f(x)= 3(x+2)(x 3)(x+4)+x 在區(qū)間在區(qū)間(4,3 )、 (3，2,)、 (2,3 )上各有上各有一個零點。一個零點。2(4) f(x)=3(x+2)