第二節(jié)---芝諾悖論與無限課件

1、1 例如：例如：“甲是乙甲是乙”與與“甲不是乙甲不是乙”這兩個(gè)命題中總有一個(gè)是錯(cuò)的；但這兩個(gè)命題中總有一個(gè)是錯(cuò)的；但“本本句話是七個(gè)字句話是七個(gè)字”與與“本句話不是七個(gè)字本句話不是七個(gè)字”又均是對(duì)的，這就是悖論。又均是對(duì)的，這就是悖論。2 再如：再如：“萬物皆數(shù)萬物皆數(shù)”學(xué)說認(rèn)為學(xué)說認(rèn)為“任任何數(shù)都可表為整數(shù)的比何數(shù)都可表為整數(shù)的比”；但以；但以1為邊為邊的正方形的對(duì)角線之長卻不能表為整數(shù)的正方形的對(duì)角線之長卻不能表為整數(shù)之比，這也是悖論。之比，這也是悖論。3 二、芝諾悖論二、芝諾悖論 芝諾（前芝諾（前490？前前430？）是（南意大？）是（南意大利的）愛利亞學(xué)派創(chuàng)始人巴門尼德的學(xué)生。利的）愛

2、利亞學(xué)派創(chuàng)始人巴門尼德的學(xué)生。他企圖證明該學(xué)派的學(xué)說：他企圖證明該學(xué)派的學(xué)說：“多多”和和“變變”是虛幻的，不可分的是虛幻的，不可分的“一一”及及“靜止的存在靜止的存在”才是唯一真實(shí)的；運(yùn)動(dòng)只是假象。于是他設(shè)才是唯一真實(shí)的；運(yùn)動(dòng)只是假象。于是他設(shè)計(jì)了四個(gè)例證，人稱計(jì)了四個(gè)例證，人稱“芝諾悖論芝諾悖論”。這些悖。這些悖論是從哲學(xué)角度提出的。我們從數(shù)學(xué)角度看論是從哲學(xué)角度提出的。我們從數(shù)學(xué)角度看其中的一個(gè)悖論。其中的一個(gè)悖論。 4 1. 四個(gè)芝諾悖論之一：阿基里斯追不四個(gè)芝諾悖論之一：阿基里斯追不上烏龜。上烏龜。 2. 癥結(jié)：無限段長度的和可能是有限癥結(jié)：無限段長度的和可能是有限的；無限段時(shí)間的和

3、也可能是有限的。的；無限段時(shí)間的和也可能是有限的。 3. 芝諾悖論的意義：芝諾悖論的意義： 1）促進(jìn)了嚴(yán)格、求證數(shù)學(xué)的發(fā)展）促進(jìn)了嚴(yán)格、求證數(shù)學(xué)的發(fā)展 2）最早的）最早的“反證法反證法”及及“無限無限”的的思想思想 3）尖銳地提出離散與連續(xù)的矛盾）尖銳地提出離散與連續(xù)的矛盾 空間和時(shí)間有沒有最小的單位？空間和時(shí)間有沒有最小的單位？5 芝諾的前兩個(gè)悖論是反對(duì)芝諾的前兩個(gè)悖論是反對(duì)“空間和時(shí)間空間和時(shí)間是連續(xù)的是連續(xù)的”，后兩個(gè)悖論則是反對(duì)，后兩個(gè)悖論則是反對(duì)“空間和空間和時(shí)間是離散的時(shí)間是離散的”。在芝諾看來，兩種理論都。在芝諾看來，兩種理論都有毛病；所以，運(yùn)動(dòng)只是假象，不動(dòng)不變才有毛?。凰裕?/p>

4、運(yùn)動(dòng)只是假象，不動(dòng)不變才是真實(shí)。是真實(shí)。 芝諾的哲學(xué)觀點(diǎn)雖然不對(duì)，但是，他如芝諾的哲學(xué)觀點(diǎn)雖然不對(duì)，但是，他如此尖銳地提出了空間和時(shí)間是連續(xù)還是離散此尖銳地提出了空間和時(shí)間是連續(xù)還是離散的問題，引起人們長期的討論和發(fā)展，不能的問題，引起人們長期的討論和發(fā)展，不能不說是巨大的貢獻(xiàn)。不說是巨大的貢獻(xiàn)。6 三、三、“有無限個(gè)房間有無限個(gè)房間”的旅館的旅館 1. 客滿后又來客滿后又來1位客人位客人 1234kk 2 3 4 5 k+1 k+1 空出空出1號(hào)房間號(hào)房間 7 2. 客滿后又來了一個(gè)旅游團(tuán)，旅游團(tuán)客滿后又來了一個(gè)旅游團(tuán)，旅游團(tuán)中有無窮個(gè)客人中有無窮個(gè)客人 1234kk 2 4 6 8 2k

5、k 空下了奇數(shù)號(hào)房間空下了奇數(shù)號(hào)房間 8 3. 客滿后又來了一萬個(gè)旅游團(tuán)，每個(gè)客滿后又來了一萬個(gè)旅游團(tuán)，每個(gè)團(tuán)中都有無窮個(gè)客人團(tuán)中都有無窮個(gè)客人 1 2 3 4 k k 10001 20002 30003 40004 10001k k 給出了一萬個(gè)、又一萬個(gè)的空房間給出了一萬個(gè)、又一萬個(gè)的空房間 9 4. 思思 客滿后又來了無窮個(gè)旅游團(tuán)，客滿后又來了無窮個(gè)旅游團(tuán)，每個(gè)團(tuán)中都有無窮個(gè)客人，還能否安排？每個(gè)團(tuán)中都有無窮個(gè)客人，還能否安排？10 四、無限與有限的區(qū)別和聯(lián)系四、無限與有限的區(qū)別和聯(lián)系 1. 區(qū)別區(qū)別 1） 在無限集中，在無限集中，“部分可以等于全部分可以等于全體體”（這是無限的本質(zhì)），

6、而在有限的情（這是無限的本質(zhì)），而在有限的情況下，部分總是小于全體。況下，部分總是小于全體。11 當(dāng)初的伽利略悖論，就是沒有看到當(dāng)初的伽利略悖論，就是沒有看到“無無限限”的這一特點(diǎn)而形成的。的這一特點(diǎn)而形成的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 n 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 n2 兩集合：有一一對(duì)應(yīng)，元素個(gè)數(shù)相兩集合：有一一對(duì)應(yīng)，元素個(gè)數(shù)相等；部分小于全體，元素個(gè)數(shù)不相等。形等；部分小于全體，元素個(gè)數(shù)不相等。形成悖論。成悖論。12 2.） 在無限集中，在無限集中，“有限有限”時(shí)成立的時(shí)成立的許許多命題不再成立多命題不再成立 （1）實(shí)數(shù)加法的結(jié)

7、合律）實(shí)數(shù)加法的結(jié)合律 在在“有限有限”的情況下，加法結(jié)合律成的情況下，加法結(jié)合律成立立: (a+b)+c=a+(b+c) 13 在在“無限無限”的情況下，加法結(jié)合律不的情況下，加法結(jié)合律不再再成立。如成立。如1( 1)1( 1)1( 1)1( 1)1( 1)1( 1)01 ( 1)1( 1)11 14 有限半群若滿足消去律則一定是群。有限半群若滿足消去律則一定是群。 無限半群若滿足消去律則一定是群。無限半群若滿足消去律則一定是群。 15 （2）有限級(jí)數(shù)一定有）有限級(jí)數(shù)一定有“和和”。 是個(gè)確定的數(shù)是個(gè)確定的數(shù) 無窮級(jí)數(shù)一定有無窮級(jí)數(shù)一定有“和和”。 則不是個(gè)確定的數(shù)。稱為該則不是個(gè)確定的數(shù)。

8、稱為該 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)“發(fā)散發(fā)散”。反之稱為。反之稱為“收斂收斂”。1niia1( 1)ii16 2. 聯(lián)系聯(lián)系 在在“有限有限”與與“無限無限”間建立聯(lián)系的間建立聯(lián)系的手手段，往往很重要段，往往很重要. 1）數(shù)學(xué)歸納法）數(shù)學(xué)歸納法 通過有限的步驟，證通過有限的步驟，證明了命題對(duì)無限個(gè)自然數(shù)均成立。明了命題對(duì)無限個(gè)自然數(shù)均成立。 2）極限）極限 通過有限的方法，描寫無限通過有限的方法，描寫無限的過程。的過程。 如：如： ； 自然數(shù)自然數(shù)N，都，都 ，使，使 時(shí)，時(shí)， 。 limnna knknaN17 3）無窮級(jí)數(shù)）無窮級(jí)數(shù) 通過有限的步驟，求出通過有限的步驟，求出無限次運(yùn)算的結(jié)果，如無限次運(yùn)算的結(jié)

9、果，如 4）遞推公式）遞推公式 , 5）因子鏈條件）因子鏈條件（抽象代數(shù)中的術(shù)語）抽象代數(shù)中的術(shù)語）1112ii1nnaad*d 18 3. 數(shù)學(xué)中的無限在生活中的反映數(shù)學(xué)中的無限在生活中的反映 1）大煙囪是圓的：每一塊磚是直的）大煙囪是圓的：每一塊磚是直的（整體看又是圓的）（整體看又是圓的） 2）銼刀銼一個(gè)光滑零件：每一銼銼）銼刀銼一個(gè)光滑零件：每一銼銼下下去是直的（許多刀合在一起的效果是光滑去是直的（許多刀合在一起的效果是光滑的）的）19 3） 不規(guī)則圖形的面積：正方形的面積，長方形不規(guī)則圖形的面積：正方形的面積，長方形的面積三角形的面積，多邊形的面積，圓面積。規(guī)則的面積三角形的面積，多邊

10、形的面積，圓面積。規(guī)則圖形的面積圖形的面積不規(guī)則圖形的面積？不規(guī)則圖形的面積？ 法法.用方格套（想像成透明的）。方格越小，所用方格套（想像成透明的）。方格越小，所得面積越準(zhǔn)得面積越準(zhǔn) 20 法法.首先轉(zhuǎn)化成求曲邊梯形的面積，首先轉(zhuǎn)化成求曲邊梯形的面積，（不規(guī)則圖形（不規(guī)則圖形若干個(gè)曲邊梯形），再設(shè)法求若干個(gè)曲邊梯形），再設(shè)法求曲邊梯形的面積：劃分，矩形面積之和曲邊梯形的面積：劃分，矩形面積之和 曲邊曲邊梯形面積；梯形面積； 越小，就越精確；越小，就越精確； ，再取，再取極限極限 ，就是曲邊梯形的面積。，就是曲邊梯形的面積。( )iiifx021 五、五、 潛無限與實(shí)無限潛無限與實(shí)無限 1潛無限

11、與實(shí)無限簡史潛無限與實(shí)無限簡史 潛無限是指把無限看成一個(gè)永無終止?jié)摕o限是指把無限看成一個(gè)永無終止的過程，認(rèn)為無限只存在于人們的思維的過程，認(rèn)為無限只存在于人們的思維中，只是說話的一種方式，不是一個(gè)實(shí)中，只是說話的一種方式，不是一個(gè)實(shí)體。體。22 從古希臘到康托以前的大多數(shù)哲學(xué)家和從古希臘到康托以前的大多數(shù)哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家都持這種潛無限的觀點(diǎn)。他們認(rèn)為數(shù)學(xué)家都持這種潛無限的觀點(diǎn)。他們認(rèn)為“正整數(shù)集是無限的正整數(shù)集是無限的”來自我們不能窮舉所來自我們不能窮舉所有正整數(shù)。例如，可以想象一個(gè)個(gè)正整數(shù)寫有正整數(shù)。例如，可以想象一個(gè)個(gè)正整數(shù)寫在一張張小紙條上，從在一張張小紙條上，從1，2，3，寫起，寫起，每

12、寫一張，就把該紙條裝進(jìn)一個(gè)大袋子里，每寫一張，就把該紙條裝進(jìn)一個(gè)大袋子里，那么，這一過程將永無終止。因此，把全體那么，這一過程將永無終止。因此，把全體正整數(shù)的袋子看作一個(gè)實(shí)體是不可能的，它正整數(shù)的袋子看作一個(gè)實(shí)體是不可能的，它只能存在于人們的思維里。只能存在于人們的思維里。23 但康托不同意這一觀點(diǎn)，他很愿意把這但康托不同意這一觀點(diǎn)，他很愿意把這個(gè)裝有所有正整數(shù)的袋子看作一個(gè)完整的實(shí)個(gè)裝有所有正整數(shù)的袋子看作一個(gè)完整的實(shí)體。這就是實(shí)無限的觀點(diǎn)。體。這就是實(shí)無限的觀點(diǎn)。 康托的工作是劃時(shí)代的，對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)產(chǎn)康托的工作是劃時(shí)代的，對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)產(chǎn)生了巨大的影響，但當(dāng)時(shí)，康托的老師克羅生了巨大的影響，但當(dāng)

13、時(shí)，康托的老師克羅內(nèi)克爾，卻激烈反對(duì)康托的觀點(diǎn)。所以康托內(nèi)克爾，卻激烈反對(duì)康托的觀點(diǎn)。所以康托當(dāng)時(shí)的處境和待遇都不太好。當(dāng)時(shí)的處境和待遇都不太好。 24 2無限集合也有無限集合也有“大小大小”從從“一一一一對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)”說起說起 實(shí)無限的觀點(diǎn)讓我們知道，同樣是無限集實(shí)無限的觀點(diǎn)讓我們知道，同樣是無限集合，也可能有不同的合，也可能有不同的“大小大小”。正整數(shù)集合是。正整數(shù)集合是最最“小小”的無限集合。實(shí)數(shù)集合比正整數(shù)集的無限集合。實(shí)數(shù)集合比正整數(shù)集“大大”。實(shí)數(shù)集合上全體連續(xù)函數(shù)的集合又比實(shí)數(shù)集合實(shí)數(shù)集合上全體連續(xù)函數(shù)的集合又比實(shí)數(shù)集合更大。不存在最更大。不存在最“大大”的無限集合（即無限集的無限集

14、合（即無限集合，都能找到更合，都能找到更“大大”的無限集合）。的無限集合）。25 這需要這需要“一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)”的觀點(diǎn)。的觀點(diǎn)。 1）“一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)”雙射（單射雙射（單射+滿射）滿射） 2）集合的勢）集合的勢|A|集合中元素的多少集合中元素的多少 3）|N| =可數(shù)無窮勢可數(shù)無窮勢a ， |Q|=a 4）|R| =不可數(shù)無窮（稱連續(xù)統(tǒng)勢不可數(shù)無窮（稱連續(xù)統(tǒng)勢c）, ；無理數(shù)比有理數(shù)多得多。；無理數(shù)比有理數(shù)多得多。ca26 5）無窮集合可能有不同的勢，其中）無窮集合可能有不同的勢，其中最小的是最小的是a ；不存在最大的勢。；不存在最大的勢。 6）“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”長期未徹底解決長期未

15、徹底解決“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”：可數(shù)無窮是無限集中最：可數(shù)無窮是無限集中最小小的勢，連續(xù)統(tǒng)勢是（否？）次小的勢。的勢，連續(xù)統(tǒng)勢是（否？）次小的勢。 acadc27 康托康托1882年曾認(rèn)為他證明了這一假年曾認(rèn)為他證明了這一假設(shè)，后來發(fā)現(xiàn)有錯(cuò)。直到現(xiàn)在，這一問題設(shè)，后來發(fā)現(xiàn)有錯(cuò)。直到現(xiàn)在，這一問題仍吸引著一些數(shù)學(xué)家的興趣。仍吸引著一些數(shù)學(xué)家的興趣。28 六哲學(xué)中的無限六哲學(xué)中的無限 1哲學(xué)對(duì)哲學(xué)對(duì)“無限無限”的興趣的興趣 哲學(xué)是研究整個(gè)世界的科學(xué)。自從提哲學(xué)是研究整個(gè)世界的科學(xué)。自從提出出“無限無限”的概念，就引起了哲學(xué)家廣泛的概念，就引起了哲學(xué)家廣泛的的關(guān)注和研究?，F(xiàn)在我們知道哲學(xué)中有下邊關(guān)

16、注和研究?，F(xiàn)在我們知道哲學(xué)中有下邊一些命題：一些命題： 29 物質(zhì)是無限的；時(shí)間與空間是無限物質(zhì)是無限的；時(shí)間與空間是無限的；物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)形式是無限的。的；物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)形式是無限的。 一個(gè)人的生命是有限的；一個(gè)人對(duì)客一個(gè)人的生命是有限的；一個(gè)人對(duì)客觀世界的認(rèn)識(shí)是有限的。觀世界的認(rèn)識(shí)是有限的。30 2數(shù)學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)“無限無限”的興趣的興趣 數(shù)學(xué)則更嚴(yán)密地研究有限與無限的關(guān)系，大大提數(shù)學(xué)則更嚴(yán)密地研究有限與無限的關(guān)系，大大提高了人類認(rèn)識(shí)無限的能力。在有限環(huán)境中生存的有限高了人類認(rèn)識(shí)無限的能力。在有限環(huán)境中生存的有限的人類，獲得把握無限的能力和技巧，那是人類的智的人類，獲得把握無限的能力和技巧，那是人類的

17、智慧；在獲得這些成果過程中體現(xiàn)出來的奮斗與熱情，慧；在獲得這些成果過程中體現(xiàn)出來的奮斗與熱情，那是人類的情感；對(duì)無限的認(rèn)識(shí)成果，則是人類智慧那是人類的情感；對(duì)無限的認(rèn)識(shí)成果，則是人類智慧與熱情的共同結(jié)晶。一個(gè)人，若把自己的智慧與熱情與熱情的共同結(jié)晶。一個(gè)人，若把自己的智慧與熱情融入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)研究之中，就會(huì)產(chǎn)生一種特別的融入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)研究之中，就會(huì)產(chǎn)生一種特別的感受。如果這樣，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅不是難事，而且會(huì)感受。如果這樣，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅不是難事，而且會(huì)充滿樂趣。充滿樂趣。31 思思 客滿后又來了無窮個(gè)旅游團(tuán)，客滿后又來了無窮個(gè)旅游團(tuán)，每個(gè)團(tuán)中都有無窮個(gè)客人，還能否安排？每個(gè)團(tuán)中都有無窮個(gè)

18、客人，還能否安排？32 答答 ：能。：能。 法法I. 將所有旅游團(tuán)的客人統(tǒng)一編號(hào)排成下將所有旅游團(tuán)的客人統(tǒng)一編號(hào)排成下表，按箭頭進(jìn)入表，按箭頭進(jìn)入1，2，3，4，5，各號(hào)房間各號(hào)房間順序入住，則所有人都有房間住。順序入住，則所有人都有房間住。 一團(tuán)：一團(tuán)：1.11.2 1.3 1.4 二團(tuán)：二團(tuán)：2.1 2.2 2.3 2.4 三團(tuán)：三團(tuán)：3.1 3.2 3.3 3.4 33 法法II. 讓每個(gè)旅游團(tuán)占據(jù)某固定素?cái)?shù)的方冪讓每個(gè)旅游團(tuán)占據(jù)某固定素?cái)?shù)的方冪 由于素?cái)?shù)有無窮多個(gè)，正整數(shù)又由于素?cái)?shù)有無窮多個(gè)，正整數(shù)又 “唯一析因唯一析因”， 知，能安排住下，且還有空房，知，能安排住下，且還有空房， 一團(tuán)一團(tuán) 二團(tuán)二團(tuán) 三團(tuán)三團(tuán) 附：證明附：證明“素?cái)?shù)有無窮多個(gè)素?cái)?shù)有無窮多個(gè)”（反證法）（反證法）11p11spp 21p31p41p12p22p32p42p13p23p33p43p34 思思 構(gòu)造一個(gè)無窮多個(gè)運(yùn)動(dòng)員百構(gòu)造一個(gè)無窮多個(gè)運(yùn)動(dòng)員百米