課題8含和的多項式的解的個數(shù).

1、課題 8：含 a x 和 x的多項式的解的個數(shù)（本課題適合高二數(shù)學(xué)選修課）機(jī)型： TI 92plus教學(xué)過程：一導(dǎo)入： 求方程2x=x+2 解的個數(shù)。解：原方程解的個數(shù)即為函數(shù)y=2 x 與 函數(shù) y=x+2 圖象交點的個數(shù)。1 按Y=，輸入函數(shù)y 1= 2 x ，y2 =x+2; （如圖 1）2 按GRAPH，顯示函數(shù)圖象。 （如圖 2）從圖 2 可以看出，兩個函數(shù)的圖象有兩個交點，所以原方程有兩解。（圖 1）（圖 2）二典型例題：例：（1989 年全國高考題）設(shè)f(x) 是定義在區(qū)間（-，+）上以2 為周期的函數(shù)，對kZ，用I k 表示區(qū)間2k1,2k1，已知當(dāng)xI 0 時 ,f(x)=x

2、 2.(1) 求 f(x)在 Ik 上的解析式 ;(2)對自然數(shù)k，求集合M k =a| 使方程f(x)=ax在 I k 上有兩個不相等實根 。解： (1)略解。 f(x)=(x-2k)2 x2k1,2k1kZ(2) 設(shè) y 1=f 1 (x)=(x-2k)2x2k1,2k1kNy2=f 2(x)=ax要使f1(x)= f 2(x)在 Ik 有兩個不等根，必須使f1(x) 與 f2(x)的圖象在Ik 上有兩個交點.注：作圖時不妨設(shè)k=1.1 按Y=，輸入函數(shù)y 3=(x-2) 2|1<xandx3，同時把光標(biāo)分別對準(zhǔn)y1、 y2 ，按 F 4 ，取消選擇y1 、 y 2。（如圖 3）2

3、按GRAPH顯示函數(shù)圖象。（如圖 4 ）3 按 F2 ，選中 1 ；ZoomBox ，定義觀察窗口； （如圖 5）4 按 ENTER確定；（如圖 6）（圖 3）（圖 4）（圖 5）（圖6）5 按 F7 ，選擇 7 ：Text ，標(biāo)出拋物線左端點所對應(yīng)自變量取值2K-1 及右端點自變量取值 2K+1 ；（如圖 7）6 按 F 7，選擇3： Line ，光標(biāo)移至原點處，按ENTER移動光標(biāo)，畫出直線，且使直線繞原點旋轉(zhuǎn)，觀察何時直線和拋物線有兩個交點；（如圖 8）（圖 7）（圖 8）觀察可得：當(dāng)動直線繞原點從x 軸逆時針方向Y旋轉(zhuǎn)至圖8 中直線位置時，直線和拋物線有兩1個 交 點 ， 結(jié) 合a的

4、幾 何 意 義 ， 可 得10<a.0X2k1三方法辨析：例：已知方程2x-1=-2x 2-2a 有兩個不等實根，求 a 的范圍。解：原方程等價于2x=-4x 2-2a設(shè) y1 =f1（ x）=2 x，y2 =f 2（x） = -4x 2-2a要得原方程有兩個不等實根，則需f 1（x）與（圖 9）f 2（ x）的圖象有兩個不同交點，如圖（9）所示。1由圖可知： -2a>1 ，即 a<-2思考：上述解法對嗎？提示：在 a=1時,f1 (x)與 f 2(x) 圖象的交點到底是一個還是兩個呢？21 按 Y= ，輸入函數(shù) y4 = -4x 2+1 同時取消選擇函數(shù)y2 , y 3；（

5、如圖 10 ）2 按 F2 ，選中 6 ：ZoomStd （恢復(fù)窗口至標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)）;（如圖 11 ）3 按 F2 ，選中 1 ：ZoomBox ，對可能產(chǎn)生交點的區(qū)域定義觀察窗口；（如圖 12 ）4 按 ENTER 。（如圖 13 ）很顯然， y1=2x ,y2= -4x 2+1 的圖象有兩個交點。（圖 10）（圖11）（圖 12）（圖13） 學(xué)生繼續(xù)活動 進(jìn)一步嘗試： a=-0.49 時， y1=2x ,y2= -4x 2+0.98 的圖象是否有兩個交點？（方法同上，如圖14）（圖 14）結(jié)論：本題及解答摘自一參考書，從上面分析本題原來的解法是錯誤的，究其原因是借助了不精確的手工作圖。至于 a 等于何值時，兩圖象有且僅有一個交點，則是我們中學(xué)階段無法解決的。四方法小結(jié)1用數(shù)形結(jié)合確定方程f(x)=g(x) 解的個數(shù)是一條捷徑；2手工作圖時，要注意圖形的相對精確，否則容易得出錯誤的結(jié)論。五練習(xí)1 試確定方程lgx=sinx 解的個數(shù) ;2 設(shè)函數(shù)f(x)=log a (1-x) ，若 g(x)= log a (1+x)(a>0且 a1), 試討論關(guān)于x 的方程 . a g( x2x 1)a f ( k)x 的實數(shù)解的個數(shù)。華東理工大學(xué)附中汪海峰評：用傳統(tǒng)方法解含a x 和 x 多項式的的方程是很困難的，因為用手工作圖來估計誤差太大，有時