數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)概念學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)概念第一頁(yè)，共32頁(yè)。如圖如圖, 如果割線如果割線MN繞點(diǎn)繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT,直線直線MT就稱為曲線就稱為曲線(qxin)C在點(diǎn)在點(diǎn)M處的切線處的切線. T0 xxoxy)(xfy CNM000,0.(,),( , ),MNNMTM xyN x yMN設(shè)設(shè)割割線線的的斜斜率率為為一一.問(wèn)題問(wèn)題(wnt)的提的提出出1. 變速直線運(yùn)動(dòng)物變速直線運(yùn)動(dòng)物體體(wt)的瞬時(shí)速的瞬時(shí)速度問(wèn)題度問(wèn)題2. 2.切線問(wèn)題切線問(wèn)題 割線割線的極的極 限位置限位置切線位置切線位置00000000( )()tan,( )()tanlim.xxyyf

2、 xf xxxxxNM xxMTf xf xkxx 切切線線的的斜斜率率為為第1頁(yè)/共32頁(yè)第二頁(yè)，共32頁(yè)。,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000 xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy 記為記為處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)數(shù)數(shù)并稱這個(gè)極限為函并稱這個(gè)極限為函處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱函數(shù)則稱函數(shù)時(shí)的極限存在時(shí)的極限存在之比當(dāng)之比當(dāng)與與如果如果得增量得增量取取相應(yīng)地函數(shù)相應(yīng)地函數(shù)時(shí)時(shí)仍在該鄰域內(nèi)仍在該鄰域內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)處取得增量處取得增量在在當(dāng)自變量當(dāng)自變量有定義有定義的某個(gè)鄰域內(nèi)的某個(gè)鄰域內(nèi)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)定義定義(dngy)第2頁(yè)/共32頁(yè)第三頁(yè)，共32頁(yè)。0

3、0000000000000( )()()()limlim()()( )()limlim.xxxxxxxxhxxdydf xyfxdxdxf xxf xyxxf xhf xf xf xhxx = =第3頁(yè)/共32頁(yè)第四頁(yè)，共32頁(yè)。2.右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù):單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)(do sh)1.左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)(do sh):;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函數(shù)函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處可導(dǎo)處可導(dǎo)左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù))(0 xf 和右導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù))(0 xf 都存在且相等都存

4、在且相等. 第4頁(yè)/共32頁(yè)第五頁(yè)，共32頁(yè)。00000,( )( ).,( ),.()( )lim()( )( )lim.:()( )()xhxxxIf xf xdyy fxydxf xxf xyxf xhf xfxfxfxf xh 對(duì)對(duì)于于任任一一都都對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)著著的的一一個(gè)個(gè)確確定定的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)值值. .這這個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)叫叫做做原原來(lái)來(lái)函函數(shù)數(shù)導(dǎo)導(dǎo)函函的的記記或或或或數(shù)數(shù)即即注注意意作作第5頁(yè)/共32頁(yè)第六頁(yè)，共32頁(yè)。例例1.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)解解0044sin()sin(sin )limsin2limcos()cos .22(sin )

5、cos .2(sin )cos.2hhxxxhxxhhhxxhxxxx 即即第6頁(yè)/共32頁(yè)第七頁(yè)，共32頁(yè)。例例2(1)( )(0,1),xf xaaa求求函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)解解hahxhxxhhxhxxxxxxaaahaaheaaaaaaehe0ln00()lim1limln,()ln, ().1lim 即即第7頁(yè)/共32頁(yè)第八頁(yè)，共32頁(yè)。(2)log(0,1).ayx aa 求求函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)hxhhhahxxhxxhhxxxexxxhxxa000ln()ln(ln )lim11limlimln(1)111ln,(log).lln()n1 第8頁(yè)/共32頁(yè)第九頁(yè)，共32頁(yè)。01

6、100(3)( )(),(),()lim,()()(1/)1lii0l m.m,hhhh xxhhxf xxxhxxhxxxxxh 求求冪冪函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)即即R RR RR R解解第9頁(yè)/共32頁(yè)第十頁(yè)，共32頁(yè)。例例3.0)(處的可導(dǎo)性處的可導(dǎo)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解xy xyo0000(0)(0),(0)(0)limlim1,(0)(0)li:( )0?mlim1.(0)(0),( )0.hhhhhfhfhhfhfhhhfhfhhhffyf xxQf xx xx 即即函函數(shù)數(shù)在在處處的的在在點(diǎn)點(diǎn)不不導(dǎo)導(dǎo)可可導(dǎo)導(dǎo)性性可可第10頁(yè)/共32頁(yè)第十一頁(yè)，共32頁(yè)。oxy)(xfy

7、 T0 xM1.幾何幾何(j h)意義意義)(,tan)(,)(,()()(0000為傾角為傾角即即切線的斜率切線的斜率處的處的在點(diǎn)在點(diǎn)表示曲線表示曲線 xfxfxMxfyxf切線切線(qixin)方程為方程為法線方程法線方程為為).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 第11頁(yè)/共32頁(yè)第十二頁(yè)，共32頁(yè)。 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義由導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 如果如果(rgu)函數(shù)函數(shù) y=f(x) 是單調(diào)增加的，那么函數(shù)的圖象是單調(diào)增加的，那么函數(shù)的圖象曲線曲線 y=f(x) 就是單調(diào)上升的，又如果就是單調(diào)上升的，又如果(rgu)函數(shù)函數(shù) y=f(x) 是可導(dǎo)的，那么曲線是可導(dǎo)的，那

8、么曲線 y=f(x)每點(diǎn)的切線都是上傾的每點(diǎn)的切線都是上傾的,斜率都是大斜率都是大于等于零的。于等于零的。當(dāng)然，如果已知曲線當(dāng)然，如果已知曲線 y=f(x)每點(diǎn)的切線斜每點(diǎn)的切線斜率都是大于等于零的率都是大于等于零的,試問(wèn)：可導(dǎo)函數(shù)試問(wèn)：可導(dǎo)函數(shù) y=f(x) 一定是單調(diào)增加的嗎一定是單調(diào)增加的嗎? !這一猜這一猜想想(cixing)將在后面予以證實(shí)。將在后面予以證實(shí)。第12頁(yè)/共32頁(yè)第十三頁(yè)，共32頁(yè)。hhf xa ba bfxf xa bf xhf xx xha bhf xa bf xhf xfxhf xhf xha bfx00( )( , ),.:( , )( )0.:( )( , )

9、,()( ),( , ),0,( )( , ),()( )lim( ),()( )lim0,( , )( )0. 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在內(nèi)內(nèi)處處處處可可導(dǎo)導(dǎo) 且且函函數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)增增加加 證證明明 在在內(nèi)內(nèi)有有證證明明 在在內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)增增加加極極限限保保又又函函數(shù)數(shù)在在內(nèi)內(nèi)處處處處可可導(dǎo)導(dǎo)存存在在由由知知在在內(nèi)內(nèi)有有號(hào)號(hào)性性推推論論第13頁(yè)/共32頁(yè)第十四頁(yè)，共32頁(yè)。f xa bfxa b:( )( , ),( )0.( , ). 由由不不難難推推得得設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在內(nèi)內(nèi)處處處處可可導(dǎo)導(dǎo)極極限限且且有有則則 在在內(nèi)內(nèi)函函數(shù)數(shù)嚴(yán)嚴(yán)格格的的保保號(hào)號(hào)單單調(diào)調(diào)增增加加性性第14頁(yè)/共32頁(yè)第十五頁(yè)，共3

10、2頁(yè)。000012201222xx(x )ypxx( p)x ,yy(px )px 由由不不難難得得到到在在拋拋物物線線上上任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)( () )處處的的切切線線斜斜率率為為由由此此我我們們可可以以得得到到拋拋物物線線的的一一個(gè)個(gè)重重要要的的性性質(zhì)質(zhì)。根根據(jù)據(jù)光光的的反反射射定定律律，入入射射角角（入入射射光光線線與與反反射射面面的的法法線線的的夾夾角角）等等于于反反射射角角（反反射射光光線線與與反反射射面面的的法法線線的的夾夾角角）。于于是是，任任意意一一束束從從拋拋物物線線的的焦焦點(diǎn)點(diǎn)處處出出發(fā)發(fā)的的光光線線，經(jīng)經(jīng)拋拋物物線線的的反反射射后后成成為為一一束束平平行行的的光光線線。第1

11、5頁(yè)/共32頁(yè)第十六頁(yè)，共32頁(yè)。第16頁(yè)/共32頁(yè)第十七頁(yè)，共32頁(yè)。由由于于光光路路是是可可逆逆的的，因因此此反反過(guò)過(guò)來(lái)來(lái)，若若有有一一束束與與拋拋物物線線的的對(duì)對(duì)稱稱軸軸平平行行的的光光線線射射入入拋拋物物線線，則則經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)反反射射后后光光線線將將會(huì)會(huì)聚聚于于拋拋物物線線的的焦焦點(diǎn)點(diǎn)處處。這這就就是是探探照照燈燈、傘傘形形太太陽(yáng)陽(yáng)灶灶、拋拋物物面面天天線線等等運(yùn)運(yùn)用用上上述述拋拋物物線線的的性性質(zhì)質(zhì)的的實(shí)實(shí)際際例例子子。（實(shí)實(shí)際際上上，準(zhǔn)準(zhǔn)確確地地講講，上上述述旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)拋拋物物面面應(yīng)應(yīng)該該是是的的光光學(xué)學(xué)性性質(zhì)質(zhì)）第17頁(yè)/共32頁(yè)第十八頁(yè)，共32頁(yè)。2.物理物理(wl)意義意義非均勻非

12、均勻(jnyn)變化量的瞬時(shí)變化變化量的瞬時(shí)變化率率.變速直線運(yùn)動(dòng)變速直線運(yùn)動(dòng): :路程路程(lchng)(lchng)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為物體的瞬時(shí)速率：物體的瞬時(shí)速率：.lim)(0dtdststvt 交流電路交流電路: :電量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為電流強(qiáng)度：電量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為電流強(qiáng)度：.lim)(0dtdqtqtit 質(zhì)地非均勻的質(zhì)地非均勻的線線物體物體: :線物體從線物體從a到到x那一段的質(zhì)量為那一段的質(zhì)量為m(x), 那么質(zhì)量那么質(zhì)量m(x)對(duì)對(duì) x 的導(dǎo)數(shù)為線物體的的導(dǎo)數(shù)為線物體的線密度線密度： ( )limlim.xxm xxm xmdmxxxdx 00Oabxx+x第18頁(yè)/共

13、32頁(yè)第十九頁(yè)，共32頁(yè)。0.( ),( )lim,()( )( ),( ).xyC xCyC xxCC xxC xC xxxxC x 經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)學(xué)學(xué)上上把把一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)稱稱為為該該函函數(shù)數(shù)的的邊邊際際值值如如某某工工廠廠生生產(chǎn)產(chǎn)一一種種產(chǎn)產(chǎn)品品的的成成本本函函數(shù)數(shù) 稱稱為為邊邊際際成成本本就就是是在在產(chǎn)產(chǎn)量量為為 的的時(shí)時(shí)候候每每多多生生產(chǎn)產(chǎn)一一個(gè)個(gè)單單位位的的產(chǎn)產(chǎn)品品時(shí)時(shí)平平均均所所需需成成本本近近似似于于所所以以經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)學(xué)學(xué)上上常常用用邊邊際際值值快快速速估估計(jì)計(jì)或或預(yù)預(yù)測(cè)測(cè)相相關(guān)關(guān)經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)量量3.導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)(do sh)的的經(jīng)濟(jì)意義經(jīng)濟(jì)意義第19頁(yè)/共32頁(yè)第二十頁(yè)，共32

14、頁(yè)。2.:,.,( )()()( )2505,( )25010 .,10,1,25010 10150.30,1,250103050,L xxL xxxL xxxx 經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)學(xué)學(xué)上上把把一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)稱稱為為該該函函數(shù)數(shù)的的邊邊際際值值如如 邊邊際際成成本本 邊邊際際收收入入 邊邊際際利利潤(rùn)潤(rùn)例例如如 某某廠廠生生產(chǎn)產(chǎn)一一種種產(chǎn)產(chǎn)品品 每每天天的的總總利利潤(rùn)潤(rùn)萬(wàn)萬(wàn)元元與與產(chǎn)產(chǎn)量量噸噸 的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系為為 其其邊邊際際利利潤(rùn)潤(rùn)為為那那么么這這表表明明 當(dāng)當(dāng)每每天天產(chǎn)產(chǎn)量量為為噸噸時(shí)時(shí) 再再多多生生產(chǎn)產(chǎn) 噸噸產(chǎn)產(chǎn)品品 總總利利潤(rùn)潤(rùn)約約增增加加萬(wàn)萬(wàn)元元而而當(dāng)當(dāng)每每天天產(chǎn)產(chǎn)量量為為噸

15、噸時(shí)時(shí) 再再多多生生產(chǎn)產(chǎn) 噸噸產(chǎn)產(chǎn)品品50.總總利利潤(rùn)潤(rùn)將將約約減減少少萬(wàn)萬(wàn)元元第20頁(yè)/共32頁(yè)第二十一頁(yè)，共32頁(yè)。定理定理(dngl) (dngl) 凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù). .證證xxxf xxyyfxfxxxxyfxxxyfxxxf xx000000000( ),lim(),(),0(0),(),limlim()0( ). 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)第21頁(yè)/共32頁(yè)第二十二頁(yè)，共32頁(yè)。.,)()()(,)(. 1000函數(shù)在角點(diǎn)不可導(dǎo)函數(shù)在角點(diǎn)不可導(dǎo)的角點(diǎn)的角點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)若若連續(xù)連續(xù)函數(shù)函數(shù)xfxxfxfxf xy2x

16、y 0 xy 例如例如(lr),0,0,)(2 xxxxxf.)(0,0的角點(diǎn)的角點(diǎn)為為處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在xfxx 注意注意: : 該定理的逆定理不成立該定理的逆定理不成立. .連續(xù)函數(shù)不存在連續(xù)函數(shù)不存在(cnzi)(cnzi)導(dǎo)數(shù)舉導(dǎo)數(shù)舉例例第22頁(yè)/共32頁(yè)第二十三頁(yè)，共32頁(yè)。31xyxy010000002.( ),()()limlim,( )()xxf xxf xxf xyxxf xx 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù) 但但稱稱函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)有有無(wú)無(wú)窮窮導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 不不可可導(dǎo)導(dǎo)例如例如(lr), 1)(3 xxf,( , )x 11 0 在在處處不不可可導(dǎo)導(dǎo) 但但是是曲曲線線在在處處卻

17、卻有有切切線線 一一條條鉛鉛直直的的切切線線。第23頁(yè)/共32頁(yè)第二十四頁(yè)，共32頁(yè)。1. 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)(do sh)的實(shí)質(zhì)的實(shí)質(zhì): 增量比的增量比的極限極限;2. axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義: 切線切線(qixin)的斜的斜率率;4. 函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo);5. 求導(dǎo)數(shù)最基本的方法求導(dǎo)數(shù)最基本的方法: 由定義求導(dǎo)數(shù)由定義求導(dǎo)數(shù).6. 判斷可導(dǎo)性判斷可導(dǎo)性不連續(xù)不連續(xù),一定不可導(dǎo)一定不可導(dǎo).連續(xù)連續(xù)直接用定義直接用定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.第24頁(yè)/共32頁(yè)第二十五頁(yè)，

18、共32頁(yè)。1.設(shè)設(shè))(xf在在0 xx 處處可可導(dǎo)導(dǎo)， 即即)(0 xf 存存在在，則則 _)()(lim000 xxfxxfx , , _)()(lim000 xxfxxfx . . 練習(xí)題練習(xí)題2. 在下列各題中均假定在下列各題中均假定)(0 xf 存在，按照導(dǎo)數(shù)的定義觀察存在，按照導(dǎo)數(shù)的定義觀察下列極限，分析并指出下列極限，分析并指出 A表示什么？表示什么？ (1)Axxxfxfxx 00)()(lim0； (2)Ahhfh )(lim0，其中，其中)0(0)0(ff 且且存在；存在； (3)Ahhxfhxfh )()(lim000. 3. 證明：若證明：若)(xf為偶函數(shù)且為偶函數(shù)且)

19、0(f 存在，則存在，則0)0( f. 第25頁(yè)/共32頁(yè)第二十六頁(yè)，共32頁(yè)。4.4. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)sin,( ),xxf xxx 21000問(wèn)問(wèn): :)(xf在在0 x處處 是否是否(1)(1)連續(xù)； （連續(xù)； （2 2）可導(dǎo)； （）可導(dǎo)； （3 3）導(dǎo)數(shù)連續(xù)）導(dǎo)數(shù)連續(xù) ? ? 5.5.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 1,1,)(2xbaxxxxf, ,為了使函數(shù)為了使函數(shù) )(xf在在1 x處連續(xù)且可導(dǎo)，處連續(xù)且可導(dǎo)，ba ,應(yīng)取什么值應(yīng)取什么值. . 第26頁(yè)/共32頁(yè)第二十七頁(yè)，共32頁(yè)。2111,1( ),1,( )1.( )1,lim( )(1)1,lim( )lim(),1( )1.( )1,xxxxxf xa baxb xf xxf xxf xff xaxbababfxf xxx 設(shè)設(shè)試試驗(yàn)驗(yàn)確確定定的的值值 使使得得函函數(shù)數(shù)在在處處可可導(dǎo)導(dǎo)解解 函函數(shù)數(shù)在在處處可可導(dǎo)導(dǎo) 首首先先要要連連續(xù)續(xù)又又當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)函函數(shù)數(shù)顯顯然然函函數(shù)數(shù)在在處處左左連連續(xù)續(xù)在在處處連連續(xù)續(xù)例例4第27頁(yè)/共32頁(yè)第二十八頁(yè)，共32頁(yè)。2