通信技術(shù)基礎(chǔ)理論 ：第6章 離散時間系統(tǒng)的分析

1、第六章第六章 離散時間信號與系統(tǒng)離散時間信號與系統(tǒng)1目錄離散時間系統(tǒng)的時域分析離散時間系統(tǒng)的時域分析6-4離散時間信號的時域表示離散時間信號的時域表示6-1序列的基本運(yùn)算與典型序列序列的基本運(yùn)算與典型序列6-2離散時間系統(tǒng)及其數(shù)學(xué)模型離散時間系統(tǒng)及其數(shù)學(xué)模型6-3用離散卷積求零狀態(tài)響應(yīng)用離散卷積求零狀態(tài)響應(yīng)6-52z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì)6-73z變換變換6-6模擬信號的優(yōu)缺點(diǎn)模擬信號的優(yōu)缺點(diǎn)4模擬通信的優(yōu)點(diǎn)是直觀且容易實(shí)現(xiàn)，但存在兩個主要缺點(diǎn)。 （1） 保密性差 模擬通信，尤其是微波通信和有線明線通信，很容易被竊聽。只要收到模擬信號，就容易得到通信內(nèi)容。 （2） 抗干擾能力弱 電信號在沿線路的

2、傳輸過程中會受到外界的和通信系統(tǒng)內(nèi)部的各種噪聲干擾，噪聲和信號混合后難以分開，從而使得通信質(zhì)量下降。線路越長，噪聲的積累也就越多數(shù)字信號的特點(diǎn)數(shù)字信號的特點(diǎn)5數(shù)字信號的優(yōu)點(diǎn)：（1）抗干擾能力強(qiáng)、無噪聲積累。（2）便于加密處理。（3）便于存儲、處理和交換。（4）設(shè)備便于集成化、微型化。（5）便于構(gòu)成綜合數(shù)字網(wǎng)和綜合業(yè)務(wù)數(shù)字網(wǎng)。數(shù)字信號的缺點(diǎn)數(shù)字信號的缺點(diǎn) 占用頻帶較寬。占用頻帶較寬。 技術(shù)要求復(fù)雜，尤其是同步技術(shù)要求精度很高。技術(shù)要求復(fù)雜，尤其是同步技術(shù)要求精度很高。 進(jìn)行模進(jìn)行模/數(shù)轉(zhuǎn)換時會帶來量化誤差。數(shù)轉(zhuǎn)換時會帶來量化誤差。66-1 離散時間信號的時域表示離散時間信號的時域表示7離散時間序

3、列 用樣值的集合來表示，0 9 0 8 0 3 0 1. , . , . , .數(shù)字序列 如: ( );( )x nf n離散信號有規(guī)則的， 可以用函數(shù)表示: 線段的長短表示各序列波形表示值的大小 為了標(biāo)注在序列 的位置，一般在 n = 0下方標(biāo)注一個小箭頭，如果未標(biāo)注箭頭，則缺省認(rèn)為序列左起第一個值為序列在 n = 0處的值。0n6-2 序列的基本運(yùn)算與典型序列序列的基本運(yùn)算與典型序列81相加：用同序號的值對應(yīng)相加后構(gòu)成新的序列。2相乘：同序號的數(shù)值對應(yīng)相乘( )( )( )z nx ny n( )( )( )z nx ny n( )() z nx nm右右移移位位3移位：6-2-1 離散信

4、號的運(yùn)算離散信號的運(yùn)算( )() z nx nm左左移移位位9( )(2)(2)x nx nx n已已知知如如圖圖所所示示，請請畫畫出出和和的的圖圖形形?！纠}例題6-3】 4 4、標(biāo)度變換、標(biāo)度變換10 , nx nx anx nxa或或( )( )nx nx n在壓縮時，由于 只能取整數(shù)，所以需要去除中某些點(diǎn)。而在擴(kuò)展時，則需將補(bǔ)足零值?！纠}6-4】 ( )0,1,2,4,5,7(2 )2nx nxnx已知，求和的波形。解：115 5 序列的能量運(yùn)算序列的能量運(yùn)算6 6 差分運(yùn)算差分運(yùn)算：2( )nEx n( )x n信信號號的的能能量量( )(1)( )x nx nx n前前向向差差分

5、分：( )( )(1)x nx nx n后后向向差差分分：6-2-2 典型的離散序列典型的離散序列1 1單位樣值信號單位樣值信號120,0( )1,0nnn時移性0,()1,nKnKnK 。不是面積不是面積取有限值取有限值在在，幅度為，幅度為表示，表示，強(qiáng)度強(qiáng)度用面積用面積0)(; 0 )( nntt 13nO3( )x n22-1-1( )2 (2)(1)3 ( )2 (1)(2)x nnnnnn或者，寫成或者，寫成( )( 2) (2)( 1) (1)(0) ( )(1) (1)(2) (2)x nxnxnxnxnxn( )x n因因此此，可可以以得得到到任任意意信信號號的的一一般般形形式

6、式( )( ) ()kx nx knk( )()nnK利利用用和和序序列列可可以以表表示示任任何何離離散散信信號號。142 單位階躍序列單位階躍序列10( )00nnnnO( )n11123( )( )(1)(2)(3)nnnnn( )( )(1)nnn( ):n可可以以看看作作是是無無數(shù)數(shù)個個單單位位樣樣值值之之和和( )( )nn與與是是差差和和關(guān)關(guān)系系，不不再再是是微微分分和和積積分分的的關(guān)關(guān)系系。0()knk單邊指數(shù)序列：單邊指數(shù)序列：15( )( )nx nan 6-3 離散時間系統(tǒng)及其數(shù)學(xué)模型離散時間系統(tǒng)及其數(shù)學(xué)模型16實(shí)際的離散系統(tǒng)處理的信號一般都是數(shù)字信號，并且通實(shí)際的離散系統(tǒng)

7、處理的信號一般都是數(shù)字信號，并且通過離散系統(tǒng)處理后的信號也是數(shù)字信號過離散系統(tǒng)處理后的信號也是數(shù)字信號對于離散系統(tǒng)來說，信號的變量是離散的整數(shù)，因此，系統(tǒng)的行為需用差分方程式來表示。6-3-2 離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型17( )如如果果在在第第 個個月月初初向向銀銀行行存存款款元元，月月息息為為 。nx na( )每每月月的的利利息息不不取取出出，則則第第 月月的的本本利利可可以以用用下下面面的的差差分分方方程程表表示示ny n( )( )(1)(1)y nx ny ny n整理后，為：整理后，為：( )(1) (1)( )y ny nx n【例題6-1】【例題例題6-2】

8、 18( )表表示示一一個個國國家家在在第第 年年的的人人口口數(shù)數(shù)，出出生生為為 ，y nna( )x nn1死死亡亡率率為為 ，國國外外移移民民的的凈凈增增數(shù)數(shù)為為，則則求求該該國國在在第第年年的的人人口口總總數(shù)數(shù)。解：解：(1)( )( )( )( )y ny ny ny nx n整理后得到標(biāo)準(zhǔn)的差分方程為：整理后得到標(biāo)準(zhǔn)的差分方程為：(1)(1) ( )( )y ny nx n這是前差式差分方程。這是前差式差分方程。變成后差方程：從前差式差分方程右移變成后差方程：從前差式差分方程右移N位位( )(1) (1)(1)y ny nx n19一個離散系統(tǒng)的后差式差分方程的通式為：一個離散系統(tǒng)的

9、后差式差分方程的通式為：101( )(1)()( )(1)()NMy na y na y nNb x nb x nb x nM稱為稱為N階、常系數(shù)、線性非齊次差分方程。階、常系數(shù)、線性非齊次差分方程。差分方程的階數(shù)差分方程的階數(shù)是指差分方程中輸出序列的最高和最低序號是指差分方程中輸出序列的最高和最低序號差數(shù)為階數(shù)。差數(shù)為階數(shù)。系統(tǒng)框圖系統(tǒng)框圖 nx1 nx2 nxnx21 nx1 nx2 nxnx21 加法器加法器：乘法器：乘法器： nx1 nx2 nxnx21 nx naxa nx naxa延時器延時器單位延時實(shí)際是一個移位寄存器，把前一個單位延時實(shí)際是一個移位寄存器，把前一個離散值頂出來，

10、遞補(bǔ)。離散值頂出來，遞補(bǔ)。 ny 1 nyE1 ny 1 ny1z標(biāo)量乘法器標(biāo)量乘法器系統(tǒng)框圖22【例題【例題6-3】設(shè)某系統(tǒng)的輸入輸出方程為】設(shè)某系統(tǒng)的輸入輸出方程為( )4 (1)3 (2)(1)2 (2)y ny ny nf nf n解：首先考慮當(dāng)解：首先考慮當(dāng) 單獨(dú)作用的時候單獨(dú)作用的時候( )f n( )( )f nq n( )4 (1)3 (2)( )q nq nq nf n滿足以下方程滿足以下方程(1)q n( )q n( )( )4 (1)3 (2)q nf nq nq n(2)q n23( )( )f nq n(1)(1)f nq n( )4 (1)3 (2)(1)2 (2)

11、y ny ny nf nf n2 (2)2 (2)f nq n(1)q n(2)q n( )q n6-4 離散時間系統(tǒng)的時域分析離散時間系統(tǒng)的時域分析常系數(shù)線性差分方程的求解，一般有以下幾種方法：常系數(shù)線性差分方程的求解，一般有以下幾種方法：（1）迭代法）迭代法（2）經(jīng)典法）經(jīng)典法（3）零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)）零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)（4）Z變換域分析法變換域分析法24經(jīng)典解法經(jīng)典解法25101( )(1)()( )(1)()NMy na y na y nNb x nb x nb x nM( )( )hpynyn其其全全解解由由兩兩部部分分組組成成，即即齊齊次次解解和和特特解解( )( )( )

12、hpy ny nyn( ):hyn求求齊齊次次解解就就是是求求齊齊次次方方程程的的解解1( )(1)()0Ny na y na y nN先分析最簡單的一階齊次差分方程的情況，如先分析最簡單的一階齊次差分方程的情況，如 10y nay n差分方程的一般形式為：261 ,2 ,yyyN起起始始狀狀態(tài)態(tài)不不能能為為零零 , 說說明明是是一一個個公公比比為為的的幾幾何何級級數(shù)數(shù)所所以以y na 101yy nayy n L ()ny nCa其中其中C是待定系數(shù)，由邊界條件決定。是待定系數(shù)，由邊界條件決定。因此，對于因此，對于N階差分方程，它的特征方程可寫為：階差分方程，它的特征方程可寫為：271211

13、0NNNNaaaLN(1,2,3,)kkNL它它有有 個個特特征征根根12NL(1)(1)若若特特征征根根都都不不同同，且且為為單單根根的的情情況況下下：齊次解的形式為：齊次解的形式為： 1122nnnNNy nCCCL28(2)(2)若特征根中有若特征根中有k重根重根 1211211122nnnnkkkky nCnCnC nCL( )( )pynf n(3)(3)特特解解的的函函數(shù)數(shù)形形式式與與輸輸入入信信號號的的函函數(shù)數(shù)形形式式有有關(guān)關(guān)。選定特解后代入原差分方程，利用等式系數(shù)平衡法求出選定特解后代入原差分方程，利用等式系數(shù)平衡法求出其待定系數(shù)，便得到了差分方程的特解。其待定系數(shù)，便得到了差

14、分方程的特解。特解的形式特解的形式29輸入信號輸入信號( )特特解解pynA(常數(shù)常數(shù))0B nx nr ny nC rr 12nny nC n rCrr kx nn 1110kkkky nA nAnAnAL cosx nnsinn cos()y nAn（當(dāng)（當(dāng) 不等于特征根時不等于特征根時）（當(dāng)（當(dāng) 為特征單根時）為特征單根時）或或全解的形式為：全解的形式為：30 1( )niipiy nCyn求求出出齊齊次次解解中中的的系系數(shù)數(shù)iC對于對于N階差分方程，用階差分方程，用N個初始條件個初始條件(值值) (0)(1)(1)yyy N， ，【例題例題6-5】31( )2 (1)5 ( )11(

15、)y ny nnyy n，且，求出。解：解：特征方程特征方程齊次解齊次解特征根特征根20r2 r 12nhynC特解特解 50 5 x nnn時時全全為為（常常數(shù)數(shù)）Q pynC25 (0)CCn53C代入原方程求特解代入原方程求特解32全解形式：全解形式： 1523nhpy nynynC 452033ny nn143C 15033yC 1523代代入入解解，得得ny nC0 (0)52 ( 1)3nyy11由由迭迭代代出出y6-5 用離散卷積求零狀態(tài)響應(yīng)用離散卷積求零狀態(tài)響應(yīng)33 在在激激勵勵作作用用下下，系系統(tǒng)統(tǒng)的的零零狀狀態(tài)態(tài)響響應(yīng)應(yīng)為為單單位位樣樣值值響響應(yīng)應(yīng)，表表示示為為nh n6-

16、6-1 單位樣值響應(yīng)單位樣值響應(yīng)【例題例題6-13】 已知一個已知一個LTI離散時間系統(tǒng)的激勵與響應(yīng)的離散時間系統(tǒng)的激勵與響應(yīng)的關(guān)系是關(guān)系是34 3122y ny ny nx n試確定該系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)試確定該系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)( )h n 3122h nh nh nn 031220nh nh nh n當(dāng)當(dāng)時時，解：解： 激激勵勵作作用用下下n121,2rr特征根特征根 (1)(2)0rr特征方程特征方程12( )(2 ) ( )nh nCCn35因?yàn)閱挝粯又淀憫?yīng)是零狀態(tài)響應(yīng)因?yàn)閱挝粯又淀憫?yīng)是零狀態(tài)響應(yīng)120hh 0312201hhh 130213hhh1211CC，12( )(2 ) (

17、)nh nCCn代代入入，得得( )(12 ) ( )nh nn 0 ,1hh可可疊疊代代出出( )0h nn對于求，邊界條件中至少有一項(xiàng)是 的。6-6-2離散系統(tǒng)的卷積和離散系統(tǒng)的卷積和361 輸入與輸出關(guān)系輸入與輸出關(guān)系對于離散信號來說，很容易把一個離散信號用單位樣值序?qū)τ陔x散信號來說，很容易把一個離散信號用單位樣值序列來表示。列來表示。( )可可表表示示為為x n( )( 2) (2)( 1) (1)(0) ( )(1) (1)(2) (2)(3) (3)(4) (4)x nxnxnxnxnxnxnxn37 :任任意意序序列列表表示示為為的的加加權(quán)權(quán)移移位位之之線線性性組組合合x nn

18、11011 x nxnxnxnx mnm mx mnm38 x nh n時不變時不變nmh nm均勻性均勻性 x mnmx m h nm可加性可加性 ( )mx nx mnm輸出輸出 my nx m h nm x nx m系系統(tǒng)統(tǒng)對對的的響響應(yīng)應(yīng)每每一一樣樣值值產(chǎn)產(chǎn)生生的的響響應(yīng)應(yīng)之之和和，在在各各處處由由加加權(quán)權(quán)。 ( )y nx nh n零零狀狀態(tài)態(tài)響響應(yīng)應(yīng)。離散卷積的計(jì)算離散卷積的計(jì)算 。求卷積求卷積已知已知)()()(,10 nhnxnynunhnunxn nhnxny nmm , 0:宗宗量量0,0 nnm即即：)()(0nunynmm 11ny mmmnumu)()( nun 11

19、1時時當(dāng)當(dāng) n要點(diǎn)：要點(diǎn)：定上下限定上下限波形波形o1 23)(nxnn nh1123oo1 23 mnh muamm0 no1 2 3 mnh muam1nm nyno12341 11 nununynnmm 11)()(10 nyn 11時，時，當(dāng)當(dāng)6-6-4 用單位樣值響應(yīng)表示的因果性條件與穩(wěn)定條件用單位樣值響應(yīng)表示的因果性條件與穩(wěn)定條件1.因果特性因果特性 如果該如果該LTI離散時間系統(tǒng)是因果的，則條件是離散時間系統(tǒng)是因果的，則條件是41( )00h nnLTI離散時間系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。離散時間系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。2. 系統(tǒng)穩(wěn)定的條件系統(tǒng)穩(wěn)定的條件( )nSh n 6-6 z變換變換 求解差分

20、方程的工具，類似于拉普拉斯變換；求解差分方程的工具，類似于拉普拉斯變換； z變換的歷史可是追溯到變換的歷史可是追溯到18世紀(jì)；世紀(jì)； 20世紀(jì)世紀(jì)5060年代抽樣數(shù)據(jù)控制系統(tǒng)和數(shù)字計(jì)算機(jī)的研究年代抽樣數(shù)據(jù)控制系統(tǒng)和數(shù)字計(jì)算機(jī)的研究和實(shí)踐，推動了和實(shí)踐，推動了z變換的發(fā)展；變換的發(fā)展； 70年代引入大學(xué)課程；年代引入大學(xué)課程； 今后主要應(yīng)用于今后主要應(yīng)用于DSP分析與設(shè)計(jì)，如語音信號處理等問分析與設(shè)計(jì)，如語音信號處理等問題。題。42 z變換引出變換引出抽樣信號的拉氏變換抽樣信號的拉氏變換離散信號的離散信號的z變換變換43( )( )( )sTx tx tt( )()() ()nnx ttnTx

21、nTtnT令T=144對 取拉氏變換( )sx t( )( )() ()ssnXsx tx nTtnT LLLL ()()snXsx nTtnT L L sj其中其中引入復(fù)變量引入復(fù)變量 為連續(xù)變量為連續(xù)變量esTz Tx nTx n令 =1，將表示為e( )|( )( )sTnsznXsx n zX z( ) 對對任任一一信信號號的的（雙雙邊邊） 變變換換式式為為x nz( )( )nnX zx n z()esnTnx nT 6-6 z變換定義變換定義45z變換的定義變換的定義 ( )( )( )nnx nXx nzzZRe( )Im( )是是一一個個連連續(xù)續(xù)的的復(fù)復(fù)變變量量。jzzz0(

22、)( )nnX zx n z( )z( )x nX如如果果序序列列是是因因果果序序列列，則則 變變換換定定義義為為zz單單邊邊 變變換換2、z變換的收斂域變換的收斂域4621012( )( )( 2)( 1)(0)(1)(2)( )nnnXx nxxxxxx nzzzzzzzzz變換展開變換展開1可可以以看看出出，序序列列的的 變變換換是是復(fù)復(fù)變變量量的的冪冪級級數(shù)數(shù)。zz因此，對于給定的序列，使因此，對于給定的序列，使 變換收斂的所有變換收斂的所有 集合集合稱為稱為收斂域（收斂域（ROC ）。zz即滿足即滿足( )nnx n z( )x n序序列列的的 變變換換才才有有意意義義。z( )x

23、n相相同同的的 變變換換，由由于于收收斂斂域域不不同同，可可能能對對應(yīng)應(yīng)于于不不同同的的z47【例題例題6-17】求因果序列求因果序列解：解：( )Xa其其收收斂斂域域?yàn)闉榘氚霃綇綖闉?的的圓圓外外區(qū)區(qū)域域。z1只只有有當(dāng)當(dāng)，即即時時，級級數(shù)數(shù)收收斂斂。aazz( )( )( )的的以以及及它它的的收收斂斂域域。nx nanXz0( )( )nnnnnnXanazzz10()nnaz11( )1zXzazzRe zIm jzo 0( )nnaz( )nzanza 即：即：()az典型信號的典型信號的z變換變換3、典型序列的、典型序列的z變換變換48( )1n( )1znz Re zIm jzo

24、 ( )nzanza ()azRe zIm jzo1 (1)z49【例題例題6-18】求非因果序列求非因果序列解：解：以及它的收斂域。以及它的收斂域。1( )nnnX zz1aa只只有有當(dāng)當(dāng)，即即時時，級級數(shù)數(shù)收收斂斂。zz1( )11Xazz Re zIm jzo ()az( )( )1)nnx nX 的的以以及及z1mmm z000mmmzz01mmma z11lim 11mmaa zz1aaazzz Z 變換的性質(zhì)變換的性質(zhì)右移位性質(zhì)右移位性質(zhì)50( )( ) ( ) ( )( )設(shè)設(shè)是是雙雙邊邊序序列列，其其單單邊邊 變變換換為為，也也就就是是x nnx nXXzzzZ其右移位性質(zhì)其右移位性質(zhì)1 () ( )( )( )mkkmx nmnXx kzzzZ 111 x nXxzzZ 21212 x nXxxzzzZ12當(dāng)當(dāng)m m和和m m時