數(shù)學(xué)建模--微分方程第一講

1、 微分方程模型微分方程模型 第一講第一講 模型模型1 1 餓狼追兔問(wèn)題餓狼追兔問(wèn)題n現(xiàn)有一只兔子，一只狼，兔子位于狼的正現(xiàn)有一只兔子，一只狼，兔子位于狼的正西西100100米處。假設(shè)兔子與狼同時(shí)發(fā)現(xiàn)對(duì)方并米處。假設(shè)兔子與狼同時(shí)發(fā)現(xiàn)對(duì)方并一起起跑，兔子往正北一起起跑，兔子往正北6060米處的巢穴跑，米處的巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是勻速跑且而狼在追兔子，已知兔子、狼是勻速跑且狼的速度是兔子的兩倍。問(wèn)題是兔子能否狼的速度是兔子的兩倍。問(wèn)題是兔子能否安全回到巢穴？安全回到巢穴？yxhy=f(x)B -60A(100,0)C(x,y)O初等模型舉例分析初等模型舉例分析:n解解 首先建立坐標(biāo)系，

2、兔子在首先建立坐標(biāo)系，兔子在O O處，狼在處，狼在A A處。處。由于狼要盯著兔子追，所以狼行走的是一條曲由于狼要盯著兔子追，所以狼行走的是一條曲線，且在同一時(shí)刻，曲線上狼的位置與兔子的線，且在同一時(shí)刻，曲線上狼的位置與兔子的位置的連線為曲線上該點(diǎn)處的切線。設(shè)狼的行位置的連線為曲線上該點(diǎn)處的切線。設(shè)狼的行走軌跡是走軌跡是y=f(x)y=f(x)， 則有則有 ， 又因狼的速度是兔子的兩倍，所以在相同時(shí)間又因狼的速度是兔子的兩倍，所以在相同時(shí)間內(nèi)狼走的距離為兔子走的距離的兩倍。假設(shè)在內(nèi)狼走的距離為兔子走的距離的兩倍。假設(shè)在某一時(shí)刻，兔子跑到某一時(shí)刻，兔子跑到(0,h)(0,h)處，而狼在處，而狼在(

3、x,y)(x,y)處，處，則有則有1000 xy1000 xy1002( )021( )xhyfxxhfx dxn整理得到下述模型整理得到下述模型22( )1( )(100)0,(100)0 xfxfxffn這屬于可降階的二階微分方程，解得狼的行這屬于可降階的二階微分方程，解得狼的行走軌跡走軌跡31221200( )10303f xxxn因因 ，所以狼追不上，所以狼追不上兔子。兔子。200(0)603f模型模型2 2 尸體冷卻問(wèn)題尸體冷卻問(wèn)題n受害者的尸體于晚上受害者的尸體于晚上7:307:30被發(fā)現(xiàn)，法醫(yī)于被發(fā)現(xiàn)，法醫(yī)于晚上晚上8:208:20趕到兇案現(xiàn)場(chǎng)，測(cè)得尸體溫度為趕到兇案現(xiàn)場(chǎng)，測(cè)得尸

4、體溫度為32.632.6；一小時(shí)后，當(dāng)尸體即將被抬走時(shí)，；一小時(shí)后，當(dāng)尸體即將被抬走時(shí)，測(cè)得尸體溫度為測(cè)得尸體溫度為31.431.4，室溫在幾個(gè)小時(shí)，室溫在幾個(gè)小時(shí)內(nèi)始終保持內(nèi)始終保持21.121.1。此案最大的嫌疑犯張。此案最大的嫌疑犯張某聲稱(chēng)自己是無(wú)罪的，并有證人說(shuō)：某聲稱(chēng)自己是無(wú)罪的，并有證人說(shuō)：“下下午張某一直在辦公室上班，午張某一直在辦公室上班，5:005:00時(shí)打完電時(shí)打完電話(huà)后就離開(kāi)了辦公室話(huà)后就離開(kāi)了辦公室”。從張某到受害者。從張某到受害者家（兇案現(xiàn)場(chǎng)）步行需家（兇案現(xiàn)場(chǎng)）步行需5 5分鐘，現(xiàn)在的問(wèn)題分鐘，現(xiàn)在的問(wèn)題是，張某不在兇案現(xiàn)場(chǎng)的證言能否被采信，是，張某不在兇案現(xiàn)場(chǎng)的證

5、言能否被采信，使他排除在嫌疑犯之外。使他排除在嫌疑犯之外。n解：首先應(yīng)確定兇案的發(fā)生時(shí)間，若死亡時(shí)間在下解：首先應(yīng)確定兇案的發(fā)生時(shí)間，若死亡時(shí)間在下午午5 5點(diǎn)點(diǎn)5 5分之前，則張某就不是嫌疑犯，否則不能將分之前，則張某就不是嫌疑犯，否則不能將張某排除。張某排除。n設(shè)設(shè)T(t)T(t)表示表示t t時(shí)刻尸體的溫度，并記晚上時(shí)刻尸體的溫度，并記晚上8:208:20為為t=0t=0，則則T(0)=32.6T(0)=32.6，T(1)=31.4T(1)=31.4。假設(shè)受害者死亡時(shí)。假設(shè)受害者死亡時(shí)體溫是正常的，即體溫是正常的，即T=37T=37是要確定受害者死亡的時(shí)是要確定受害者死亡的時(shí)間，也就是求

6、間，也就是求T(t)=37T(t)=37的時(shí)刻，進(jìn)而確定張某是的時(shí)刻，進(jìn)而確定張某是否是嫌疑犯。否是嫌疑犯。n人體體溫受大腦神經(jīng)中樞調(diào)節(jié)。人死亡后體溫調(diào)節(jié)人體體溫受大腦神經(jīng)中樞調(diào)節(jié)。人死亡后體溫調(diào)節(jié)的功能消失，尸體的溫度受外界環(huán)境溫度的影響。的功能消失，尸體的溫度受外界環(huán)境溫度的影響。假設(shè)尸體溫度的變化率服從牛頓冷卻定律，即尸體假設(shè)尸體溫度的變化率服從牛頓冷卻定律，即尸體溫度的變化律與他同周?chē)臏囟炔畛烧?。即：溫度的變化律與他同周?chē)臏囟炔畛烧?。即?(21.1)dTk Tdt n分離變量積分得：分離變量積分得： (21.1)dTk Tdt ( )21.1ktT taen由由T(0)=21

7、.1+a=32.6 T(0)=21.1+a=32.6 得得a=11.5a=11.5；由；由T(1)=21.1+aeT(1)=21.1+ae-k-k=31.4=31.4n得得e-ke-k115/103115/103，即，即k=0.11k=0.11，所以，所以T(t)=21.1+11.5eT(t)=21.1+11.5e-0.11t-0.11tn當(dāng)當(dāng)T=37T=37時(shí)，有時(shí)，有t=-2.95 t=-2.95 小時(shí)小時(shí)-2-2小時(shí)小時(shí)5757分，分，8 8小時(shí)小時(shí)2020分分2 2小時(shí)小時(shí)5757分分5 5小時(shí)小時(shí)2323分。即死分。即死亡時(shí)間大約在下午亡時(shí)間大約在下午5:235:23，因此張某不能被

8、排，因此張某不能被排除在嫌疑犯之外。除在嫌疑犯之外。 為了保持自然資料的合理開(kāi)發(fā)與利用，人類(lèi)必須保持并為了保持自然資料的合理開(kāi)發(fā)與利用，人類(lèi)必須保持并控制生態(tài)平衡，甚至必須控制人類(lèi)自身的增長(zhǎng)。本節(jié)將建立控制生態(tài)平衡，甚至必須控制人類(lèi)自身的增長(zhǎng)。本節(jié)將建立幾個(gè)簡(jiǎn)單的單種群增長(zhǎng)模型，以簡(jiǎn)略分析一下這方面的問(wèn)題。幾個(gè)簡(jiǎn)單的單種群增長(zhǎng)模型，以簡(jiǎn)略分析一下這方面的問(wèn)題。 種群的數(shù)量本應(yīng)取離散值，但由于種群數(shù)量一般較大，種群的數(shù)量本應(yīng)取離散值，但由于種群數(shù)量一般較大，為建立微分方程模型，可將種群數(shù)量看作連續(xù)變量為建立微分方程模型，可將種群數(shù)量看作連續(xù)變量, ,由此引由此引起的誤差將是十分微小的。起的誤差將

9、是十分微小的。 模型三、四模型三、四 MalthusMalthus模型與模型與LogisticLogistic模型模型模型三、人口模型模型三、人口模型(微分方程模型微分方程模型)1798年英國(guó)人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家年英國(guó)人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家Malthus在擔(dān)任牧師期間，在擔(dān)任牧師期間，查看當(dāng)?shù)亟烫貌榭串?dāng)?shù)亟烫?00多年的人口出生資料發(fā)現(xiàn)多年的人口出生資料發(fā)現(xiàn)人口出生率是一個(gè)常數(shù)，于是他提出了聞名于世人口出生率是一個(gè)常數(shù)，于是他提出了聞名于世的的Malthus人口模型。人口模型。假設(shè)人口相對(duì)增長(zhǎng)率是常數(shù)（即單位時(shí)間內(nèi)人口假設(shè)人口相對(duì)增長(zhǎng)率是常數(shù)（即單位時(shí)間內(nèi)人口凈增長(zhǎng)數(shù)與人口總數(shù)之比）記為凈增長(zhǎng)數(shù)與人口總數(shù)之比）

10、記為r,則：則：在在t到到t+ 這段時(shí)間內(nèi)人口數(shù)量這段時(shí)間內(nèi)人口數(shù)量N=N(t)增長(zhǎng)量為：增長(zhǎng)量為：N(t+ )-N(t)=rN(t)tt( )( )( )rtdN trN tN tcedt變量分離解得：t 馬爾薩斯在分析人口出生與死亡情況的資料后發(fā)現(xiàn)，馬爾薩斯在分析人口出生與死亡情況的資料后發(fā)現(xiàn)，人口凈增長(zhǎng)率人口凈增長(zhǎng)率r r基本上是一常數(shù)，（基本上是一常數(shù)，（r r= =b b- -d d, ,b b為出生率，為出生率，d d為死亡率），即：為死亡率），即： 1 dNrN dtdNrNdt或或 （3.5） 0()0( )r t tN tN e（3.6） （3.1）的解為：的解為：其中其中N

11、0=N(t0)為初始時(shí)刻為初始時(shí)刻t0時(shí)的種群數(shù)。時(shí)的種群數(shù)。 馬爾薩斯模型的一個(gè)顯著特點(diǎn)馬爾薩斯模型的一個(gè)顯著特點(diǎn)：種群數(shù)量翻一番所需種群數(shù)量翻一番所需的時(shí)間是固定的的時(shí)間是固定的。令種群數(shù)量翻一番所需的時(shí)間為令種群數(shù)量翻一番所需的時(shí)間為T(mén)，則有：，則有： 002rTNN eln2Tr故故模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜋z驗(yàn) 比較歷年的人口統(tǒng)計(jì)資料，可發(fā)現(xiàn)人口增長(zhǎng)的實(shí)際情況比較歷年的人口統(tǒng)計(jì)資料，可發(fā)現(xiàn)人口增長(zhǎng)的實(shí)際情況與馬爾薩斯模型的預(yù)報(bào)結(jié)果基本相符，例如，與馬爾薩斯模型的預(yù)報(bào)結(jié)果基本相符，例如，1961年世界人年世界人口數(shù)為口數(shù)為30.6 （即（即3.06109），人口增長(zhǎng)率約為），人口增長(zhǎng)率約為2%，人口

12、數(shù)，人口數(shù)大約每大約每35年增加一倍。檢查年增加一倍。檢查1700年至年至1961的的260年人口實(shí)際年人口實(shí)際數(shù)量，發(fā)現(xiàn)兩者幾乎完全一致，且按馬氏模型計(jì)算，人口數(shù)數(shù)量，發(fā)現(xiàn)兩者幾乎完全一致，且按馬氏模型計(jì)算，人口數(shù)量每量每34.6年增加一倍，兩者也幾乎相同。年增加一倍，兩者也幾乎相同。 19502000205021002150220000.511.522.533.5x 1011t/年N/人馬 爾 薩 斯 模 型 人 口 預(yù) 測(cè)模型預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè) 假如人口數(shù)真能保持每假如人口數(shù)真能保持每34.6年增加一倍，那么人口數(shù)將年增加一倍，那么人口數(shù)將以幾何級(jí)數(shù)的方式增長(zhǎng)。例如，到以幾何級(jí)數(shù)的方式增長(zhǎng)。例

13、如，到2510年，人口達(dá)年，人口達(dá)21014個(gè)，個(gè)，即使海洋全部變成陸地，每人也只有即使海洋全部變成陸地，每人也只有9.3平方英尺的活動(dòng)范圍，平方英尺的活動(dòng)范圍，而到而到2670年，人口達(dá)年，人口達(dá)361015個(gè)，只好一個(gè)人站在另一人的個(gè)，只好一個(gè)人站在另一人的肩上排成二層了。肩上排成二層了。 故故馬爾薩斯模型是不完善的。馬爾薩斯模型是不完善的。幾何級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)MalthusMalthus模型實(shí)際上只有在群體總數(shù)模型實(shí)際上只有在群體總數(shù)不太大時(shí)才合理，到總數(shù)增大時(shí)，不太大時(shí)才合理，到總數(shù)增大時(shí)，生物群體的各成員之間由于有限的生物群體的各成員之間由于有限的生存空間，有限的自然資源及食物生存空間，有

14、限的自然資源及食物等原因，就可能發(fā)生生存競(jìng)爭(zhēng)等現(xiàn)等原因，就可能發(fā)生生存競(jìng)爭(zhēng)等現(xiàn)象。象。所以所以MalthusMalthus模型假設(shè)的人口模型假設(shè)的人口凈凈增長(zhǎng)率不可能始終保持常數(shù)，增長(zhǎng)率不可能始終保持常數(shù)，它應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)。它應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)。1919MalthusMalthus說(shuō)明：顯然模型不太符合實(shí)際。隨著時(shí)間的推移，將發(fā)生嚴(yán)重的饑荒。對(duì)此問(wèn)題提出的解決辦法是：通過(guò)戰(zhàn)爭(zhēng)、瘟疫等手段來(lái)遏制人口增長(zhǎng)。當(dāng)然此模型對(duì)人口總量不大時(shí)，基本符合。例如：與世以前歐洲一些地區(qū)人口數(shù)據(jù)吻合，與遷居加拿大的法國(guó)移民人口吻合，而與世紀(jì)以后人口有較大差異，與法國(guó)本土人口不吻合。究其原因發(fā)現(xiàn)：隨著人口增加，自

15、然資源，環(huán)境條件等因素對(duì)人口增長(zhǎng)影響越來(lái)越大。模型模型2 2 Logistic Logistic模型模型 人口凈增長(zhǎng)率應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)，即：人口凈增長(zhǎng)率應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)，即： r=r(N) 從而有：從而有：()dNr N Ndt（3.7）r( (N N) )是未知函數(shù)，但根是未知函數(shù)，但根據(jù)實(shí)際背景，它無(wú)法用據(jù)實(shí)際背景，它無(wú)法用擬合方法來(lái)求擬合方法來(lái)求 。為了得出一個(gè)有實(shí)際意義為了得出一個(gè)有實(shí)際意義的模型，我們不妨采用一的模型，我們不妨采用一下工程師原則。工程師們下工程師原則。工程師們?cè)诮?shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模在建立實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型時(shí)，總是采用盡可能簡(jiǎn)型時(shí)，總是采用盡可能簡(jiǎn)單的方法。單的方法

16、。 r(N)最簡(jiǎn)單的形式是常數(shù)，此最簡(jiǎn)單的形式是常數(shù)，此時(shí)得到的就是馬爾薩斯模型。時(shí)得到的就是馬爾薩斯模型。對(duì)馬爾薩斯模型的最簡(jiǎn)單的改對(duì)馬爾薩斯模型的最簡(jiǎn)單的改進(jìn)就是引進(jìn)一次項(xiàng)（競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)）進(jìn)就是引進(jìn)一次項(xiàng)（競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)） 對(duì)馬爾薩斯模型引入一次項(xiàng)（競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)），令對(duì)馬爾薩斯模型引入一次項(xiàng)（競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)），令 r(N)=r-aN 此時(shí)得到微分方程：此時(shí)得到微分方程： ()dNraN Ndt(1)dNNrNdtK或或（3.8） （3.8）被稱(chēng)為被稱(chēng)為L(zhǎng)ogisticLogistic模型或生物總數(shù)增長(zhǎng)的統(tǒng)計(jì)籌算律，是由荷蘭數(shù)學(xué)模型或生物總數(shù)增長(zhǎng)的統(tǒng)計(jì)籌算律，是由荷蘭數(shù)學(xué)生物學(xué)家弗赫斯特（生物學(xué)家弗赫斯特（Verhul

17、stVerhulst）首先提出的。一次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)的，因?yàn)楫?dāng)種群）首先提出的。一次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)的，因?yàn)楫?dāng)種群數(shù)量很大時(shí)，會(huì)對(duì)自身增大產(chǎn)生抑制性，故一次項(xiàng)又被稱(chēng)為競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)。數(shù)量很大時(shí)，會(huì)對(duì)自身增大產(chǎn)生抑制性，故一次項(xiàng)又被稱(chēng)為競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)。（3.83.8）可改寫(xiě)成：可改寫(xiě)成： ()dNk KN Ndt（3.9） (3.9)式還有另一解釋?zhuān)捎诳臻g和資源都是有限的，不可能供養(yǎng)無(wú)限式還有另一解釋?zhuān)捎诳臻g和資源都是有限的，不可能供養(yǎng)無(wú)限增長(zhǎng)的種群個(gè)體，當(dāng)種群數(shù)量過(guò)多時(shí)，由于人均資源占有率的下降及環(huán)境增長(zhǎng)的種群個(gè)體，當(dāng)種群數(shù)量過(guò)多時(shí)，由于人均資源占有率的下降及環(huán)境惡化、疾病增多等原因，出生率將降低而死亡率卻會(huì)提高。

18、設(shè)環(huán)境能供養(yǎng)惡化、疾病增多等原因，出生率將降低而死亡率卻會(huì)提高。設(shè)環(huán)境能供養(yǎng)的種群數(shù)量的上界為的種群數(shù)量的上界為K（近似地將（近似地將K看成常數(shù)），看成常數(shù)），N表示當(dāng)前的種群數(shù)量，表示當(dāng)前的種群數(shù)量，K-N恰為環(huán)境還能供養(yǎng)的種群數(shù)量，（恰為環(huán)境還能供養(yǎng)的種群數(shù)量，（3.9）指出，種群增長(zhǎng)率與兩者的乘）指出，種群增長(zhǎng)率與兩者的乘積成正比，正好符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律，得到了實(shí)驗(yàn)結(jié)果的支持，這就是（積成正比，正好符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律，得到了實(shí)驗(yàn)結(jié)果的支持，這就是（3.9）也被稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)籌算律的原因。也被稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)籌算律的原因。 圖圖3-5對(duì)對(duì)（3.93.9）分離變量：分離變量：11dNkKdtNKN兩邊積分并整理得：兩

19、邊積分并整理得： 1kKtKNCe令令N(0)=N0，求得：，求得： 00KNCN故故（3.93.9）的滿(mǎn)足初始條件的滿(mǎn)足初始條件N(0)=N0的解為：的解為： 000( )()kKtN KN tNKN e（3.10）易見(jiàn)：易見(jiàn)： N(0)=N0 ，lim( )tN tKN(t)的圖形請(qǐng)看圖的圖形請(qǐng)看圖3.5 模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜋z驗(yàn) 用用LogisticLogistic模型來(lái)描述種群增長(zhǎng)的規(guī)律效果如何呢？模型來(lái)描述種群增長(zhǎng)的規(guī)律效果如何呢？19451945年克朗皮克（年克朗皮克（CrombicCrombic）做了一個(gè)人工飼養(yǎng)小谷蟲(chóng)的實(shí)驗(yàn)，數(shù)）做了一個(gè)人工飼養(yǎng)小谷蟲(chóng)的實(shí)驗(yàn)，數(shù)學(xué)生物學(xué)家高斯（學(xué)生物學(xué)家

20、高斯（E EF FGaussGauss）也做了一個(gè)原生物草履蟲(chóng)實(shí)驗(yàn)，）也做了一個(gè)原生物草履蟲(chóng)實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果都和實(shí)驗(yàn)結(jié)果都和LogisticLogistic曲線十分吻合。曲線十分吻合。 大量實(shí)驗(yàn)資料表明用大量實(shí)驗(yàn)資料表明用LogisticLogistic模型來(lái)描述種群的增長(zhǎng)，效模型來(lái)描述種群的增長(zhǎng)，效果還是相當(dāng)不錯(cuò)的。例如，高斯果還是相當(dāng)不錯(cuò)的。例如，高斯把把5只草履蟲(chóng)放進(jìn)一個(gè)盛有只草履蟲(chóng)放進(jìn)一個(gè)盛有0.5cm3營(yíng)養(yǎng)液的小試管，他發(fā)現(xiàn)，開(kāi)始時(shí)草履蟲(chóng)以每天營(yíng)養(yǎng)液的小試管，他發(fā)現(xiàn)，開(kāi)始時(shí)草履蟲(chóng)以每天230.9%的速率增長(zhǎng)，此后增長(zhǎng)速度不斷減慢，到第五天達(dá)到最大量的速率增長(zhǎng)，此后增長(zhǎng)速度不斷減慢，到第

21、五天達(dá)到最大量375個(gè)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與個(gè)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的的LogisticLogistic曲線：曲線： 幾乎完全吻合，見(jiàn)圖幾乎完全吻合，見(jiàn)圖3.6。 2.309375( )174tN te圖圖3-6MalthusMalthus模型和模型和LogisticLogistic模型的總結(jié)模型的總結(jié) MalthusMalthus模型和模型和LogisticLogistic模型模型均為對(duì)微分方程（均為對(duì)微分方程（3.7）所作的模擬近似方程。前一模型假設(shè)了種群增長(zhǎng)率所作的模擬近似方程。前一模型假設(shè)了種群增長(zhǎng)率r為一常為一常數(shù)，（數(shù)，（r被稱(chēng)為該種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率）。

22、后一模型則假設(shè)環(huán)被稱(chēng)為該種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率）。后一模型則假設(shè)環(huán)境只能供養(yǎng)一定數(shù)量的種群，從而引入了一個(gè)競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)。境只能供養(yǎng)一定數(shù)量的種群，從而引入了一個(gè)競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)。 用模擬近似法建立微分方程來(lái)研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)必須對(duì)用模擬近似法建立微分方程來(lái)研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)必須對(duì)求得的解進(jìn)行檢驗(yàn)，看其是否與實(shí)際情況相符或基本相符。求得的解進(jìn)行檢驗(yàn)，看其是否與實(shí)際情況相符或基本相符。相符性越好則模擬得越好，否則就得找出不相符的主要原相符性越好則模擬得越好，否則就得找出不相符的主要原因，對(duì)模型進(jìn)行修改。因，對(duì)模型進(jìn)行修改。 Malthus Malthus模型與模型與LogisticLogistic模型雖然都是為了研究種群數(shù)量的

23、模型雖然都是為了研究種群數(shù)量的增長(zhǎng)情況而建立的，但它們也可用來(lái)研究其他實(shí)際問(wèn)題，只要這增長(zhǎng)情況而建立的，但它們也可用來(lái)研究其他實(shí)際問(wèn)題，只要這些實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型有相同的微分方程即可。些實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型有相同的微分方程即可。例例4-14-1 Logistic模型應(yīng)用模型應(yīng)用新產(chǎn)品的推廣新產(chǎn)品的推廣 經(jīng)濟(jì)學(xué)家和社會(huì)學(xué)家一直很關(guān)心新產(chǎn)品的推銷(xiāo)速經(jīng)濟(jì)學(xué)家和社會(huì)學(xué)家一直很關(guān)心新產(chǎn)品的推銷(xiāo)速度問(wèn)題。怎樣建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)描述它，并由此析度問(wèn)題。怎樣建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)描述它，并由此析出一些有用的結(jié)果以指導(dǎo)生產(chǎn)呢？以下是第二次世界出一些有用的結(jié)果以指導(dǎo)生產(chǎn)呢？以下是第二次世界大戰(zhàn)后日本家電業(yè)界建立的電飯煲

24、銷(xiāo)售模型。大戰(zhàn)后日本家電業(yè)界建立的電飯煲銷(xiāo)售模型。 設(shè)需求量有一個(gè)上界，并記此上界為設(shè)需求量有一個(gè)上界，并記此上界為K，記，記t時(shí)刻已銷(xiāo)售出的時(shí)刻已銷(xiāo)售出的電飯煲數(shù)量為電飯煲數(shù)量為x(t)，則尚未使用的人數(shù)大致為，則尚未使用的人數(shù)大致為Kx(t)，于是由統(tǒng)，于是由統(tǒng)計(jì)籌算律：計(jì)籌算律： ()dxx Kxdt記比例系數(shù)為記比例系數(shù)為k k，則則x(t)滿(mǎn)足：滿(mǎn)足： ()dxkx Kxdt此方程即此方程即LogisticLogistic模型，解為：模型，解為： ( )1KktKx tCe還有兩個(gè)奇解還有兩個(gè)奇解: x=0和和x=K 對(duì)對(duì)x(t)求一階、兩階導(dǎo)數(shù)：求一階、兩階導(dǎo)數(shù)： 22( )(1)

25、KktKktcK kex tCe323(1)( )(1)KktKktKktCK k eCex tCex(t)0，即，即x(t)單調(diào)增加。單調(diào)增加。令令x(t0)=0，有，有2)(0Ktx當(dāng)當(dāng)tt0時(shí)，時(shí)，x(t)單調(diào)減小。單調(diào)減小。在銷(xiāo)出量小于最大需求量的一在銷(xiāo)出量小于最大需求量的一半時(shí)，銷(xiāo)售速度是不斷增大的，半時(shí)，銷(xiāo)售速度是不斷增大的，銷(xiāo)出量達(dá)到最大需求量的一半銷(xiāo)出量達(dá)到最大需求量的一半時(shí)，該產(chǎn)品最為暢銷(xiāo)，接著銷(xiāo)時(shí)，該產(chǎn)品最為暢銷(xiāo)，接著銷(xiāo)售速度將開(kāi)始下降。售速度將開(kāi)始下降。所以初期應(yīng)采取小批量生產(chǎn)并加所以初期應(yīng)采取小批量生產(chǎn)并加以廣告宣傳；從有以廣告宣傳；從有20%20%用戶(hù)到有用戶(hù)到有80

26、%80%用戶(hù)這段時(shí)期，應(yīng)該大批量用戶(hù)這段時(shí)期，應(yīng)該大批量生產(chǎn)；后期則應(yīng)適時(shí)轉(zhuǎn)產(chǎn)，這樣生產(chǎn)；后期則應(yīng)適時(shí)轉(zhuǎn)產(chǎn)，這樣做可以取得較高的經(jīng)濟(jì)效果。做可以取得較高的經(jīng)濟(jì)效果。 F模型五、 ibonaccii兔子問(wèn)題?？紤]家兔的繁殖，假定現(xiàn)在有一對(duì)家兔在它們長(zhǎng)成一對(duì)家兔一個(gè)月后每月生一對(duì)幼兔，而每對(duì)幼兔在一個(gè)月后變成成兔，如果一代一代繁殖下去，問(wèn)在n月后將有多少對(duì)家兔？1111111111,nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnpnabpabaabbaab bapababaababpppppFibonac解：該問(wèn)題可化成二階線性差分方程:設(shè)是第 個(gè)月家兔的對(duì)數(shù)為其中成兔的對(duì)數(shù)為幼兔的

27、對(duì)數(shù) 則：過(guò)了一個(gè)月后，原先的幼兔變成成兔，對(duì)成兔生了對(duì)幼兔， 對(duì)幼兔長(zhǎng)成 對(duì)成兔，因此：于是：0111,1= ()(1)( ( )nnciippnaf aa nf a n已知：便可求出第 個(gè)月家兔的對(duì)數(shù)。形如：或稱(chēng)為一階差分方程。歷史背景歷史背景: :模型六模型六 贗品的鑒定贗品的鑒定 在第二次世界大戰(zhàn)比利時(shí)解放以后，荷蘭野戰(zhàn)軍保安機(jī)關(guān)開(kāi)始搜捕納粹在第二次世界大戰(zhàn)比利時(shí)解放以后，荷蘭野戰(zhàn)軍保安機(jī)關(guān)開(kāi)始搜捕納粹同謀犯。他們從一家曾向納粹德國(guó)出賣(mài)過(guò)藝術(shù)品的公司中發(fā)現(xiàn)線索，于同謀犯。他們從一家曾向納粹德國(guó)出賣(mài)過(guò)藝術(shù)品的公司中發(fā)現(xiàn)線索，于19451945年年5 5月月2929日以通敵罪逮捕了三流畫(huà)家

28、范日以通敵罪逮捕了三流畫(huà)家范梅格倫（梅格倫（H HA AVanmeegrenVanmeegren），此人曾），此人曾將將1717世紀(jì)荷蘭名畫(huà)家揚(yáng)世紀(jì)荷蘭名畫(huà)家揚(yáng)弗米爾（弗米爾（Jan VeermeerJan Veermeer）的油畫(huà)）的油畫(huà)“捉奸捉奸”等賣(mài)給納等賣(mài)給納粹德國(guó)戈林的中間人?？墒?，范粹德國(guó)戈林的中間人?？墒?，范梅格倫在同年梅格倫在同年7 7月月1212日在牢里宣稱(chēng)：他從未日在牢里宣稱(chēng)：他從未把把“捉奸捉奸”賣(mài)給戈林，而且他還說(shuō)，這一幅畫(huà)和眾所周知的油畫(huà)賣(mài)給戈林，而且他還說(shuō)，這一幅畫(huà)和眾所周知的油畫(huà)“在埃牟斯在埃牟斯的門(mén)徒的門(mén)徒”以及其他四幅冒充弗米爾的油畫(huà)和兩幅德胡斯（以及其他四幅

29、冒充弗米爾的油畫(huà)和兩幅德胡斯（1717世紀(jì)荷蘭畫(huà)家）世紀(jì)荷蘭畫(huà)家）的油畫(huà)，都是他自己的作品，這件事在當(dāng)時(shí)震驚了全世界，為了證明自己是的油畫(huà)，都是他自己的作品，這件事在當(dāng)時(shí)震驚了全世界，為了證明自己是一個(gè)偽造者，他在監(jiān)獄里開(kāi)始偽造弗米爾的油畫(huà)一個(gè)偽造者，他在監(jiān)獄里開(kāi)始偽造弗米爾的油畫(huà)“耶穌在門(mén)徒們中間耶穌在門(mén)徒們中間”，當(dāng)，當(dāng)這項(xiàng)工作接近完成時(shí)，范這項(xiàng)工作接近完成時(shí)，范梅格倫獲悉自己的通敵罪已被改為偽造罪，因此梅格倫獲悉自己的通敵罪已被改為偽造罪，因此他拒絕將這幅畫(huà)變陳，以免留下罪證。他拒絕將這幅畫(huà)變陳，以免留下罪證。 為了審理這一案件，法庭組織了一個(gè)由著名化學(xué)家、物理學(xué)家和藝術(shù)史為了審理這一案

30、件，法庭組織了一個(gè)由著名化學(xué)家、物理學(xué)家和藝術(shù)史學(xué)家組成的國(guó)際專(zhuān)門(mén)小組查究這一事件。他們用學(xué)家組成的國(guó)際專(zhuān)門(mén)小組查究這一事件。他們用X X射線檢驗(yàn)畫(huà)布上是否曾經(jīng)射線檢驗(yàn)畫(huà)布上是否曾經(jīng)有過(guò)別的畫(huà)。此外，他們分析了油彩中的拌料（色粉），檢驗(yàn)油畫(huà)中有沒(méi)有有過(guò)別的畫(huà)。此外，他們分析了油彩中的拌料（色粉），檢驗(yàn)油畫(huà)中有沒(méi)有歷經(jīng)歲月的跡象。科學(xué)家們終于在其中的幾幅畫(huà)中發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代顏料鈷蘭的痕歷經(jīng)歲月的跡象?？茖W(xué)家們終于在其中的幾幅畫(huà)中發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代顏料鈷蘭的痕跡，還在幾幅畫(huà)中檢驗(yàn)出了跡，還在幾幅畫(huà)中檢驗(yàn)出了2020世紀(jì)初才發(fā)明的酚醛類(lèi)人工樹(shù)脂。根據(jù)這些證世紀(jì)初才發(fā)明的酚醛類(lèi)人工樹(shù)脂。根據(jù)這些證據(jù)，范據(jù)，范梅格倫

31、于梅格倫于19471947年年1010月月1212日被宣告犯有偽造罪，被判刑一年?？墒撬毡恍娣赣袀卧熳铮慌行桃荒??？墒撬诒O(jiān)獄中只待了兩個(gè)多月就因心臟病發(fā)作，于在監(jiān)獄中只待了兩個(gè)多月就因心臟病發(fā)作，于19471947年年1212月月3030日死去。日死去。 歷史背景歷史背景: : 然而，事情到此并未結(jié)束，許多人還是不肯相信著名的然而，事情到此并未結(jié)束，許多人還是不肯相信著名的“在埃牟斯的門(mén)在埃牟斯的門(mén)徒徒”是范是范梅格倫偽造的。事實(shí)上，在此之前這幅畫(huà)已經(jīng)被文物鑒定家認(rèn)定梅格倫偽造的。事實(shí)上，在此之前這幅畫(huà)已經(jīng)被文物鑒定家認(rèn)定為真跡，并以為真跡，并以1717萬(wàn)美元的高價(jià)被倫布蘭特學(xué)會(huì)買(mǎi)下。

32、專(zhuān)家小組對(duì)于懷疑者的萬(wàn)美元的高價(jià)被倫布蘭特學(xué)會(huì)買(mǎi)下。專(zhuān)家小組對(duì)于懷疑者的回答是：由于范回答是：由于范梅格倫曾因他在藝術(shù)界中沒(méi)有地位而十分懊惱，他下決心梅格倫曾因他在藝術(shù)界中沒(méi)有地位而十分懊惱，他下決心繪制繪制“在埃牟斯的門(mén)徒在埃牟斯的門(mén)徒”，來(lái)證明他高于三流畫(huà)家。當(dāng)創(chuàng)造出這樣的杰作后，來(lái)證明他高于三流畫(huà)家。當(dāng)創(chuàng)造出這樣的杰作后，他的志氣消退了。而且，當(dāng)他看到這幅他的志氣消退了。而且，當(dāng)他看到這幅“在埃牟斯的門(mén)徒在埃牟斯的門(mén)徒”多么容易賣(mài)掉以多么容易賣(mài)掉以后，他在炮制后來(lái)的偽制品時(shí)就不太用心了后，他在炮制后來(lái)的偽制品時(shí)就不太用心了 。這種解釋不能使懷疑者感到。這種解釋不能使懷疑者感到滿(mǎn)意，他們要

33、求完全科學(xué)地、確定地證明滿(mǎn)意，他們要求完全科學(xué)地、確定地證明“在埃牟斯的門(mén)徒在埃牟斯的門(mén)徒”的確是一個(gè)偽的確是一個(gè)偽造品。這一問(wèn)題一直拖了造品。這一問(wèn)題一直拖了2020年，直到年，直到19671967年，才被卡內(nèi)基年，才被卡內(nèi)基梅倫（梅倫（Carnegie-Carnegie-MellonMellon）大學(xué)的科學(xué)家們）大學(xué)的科學(xué)家們 基本上解決?；旧辖鉀Q。 歷史背景歷史背景: :原理與模型原理與模型 測(cè)定油畫(huà)和其他巖石類(lèi)材料的年齡的關(guān)鍵是本世紀(jì)初發(fā)現(xiàn)的測(cè)定油畫(huà)和其他巖石類(lèi)材料的年齡的關(guān)鍵是本世紀(jì)初發(fā)現(xiàn)的放射性現(xiàn)象。放射性現(xiàn)象。 放射性現(xiàn)象放射性現(xiàn)象：著名物理學(xué)家盧瑟夫在本世紀(jì)初發(fā)現(xiàn)，某些：著名

34、物理學(xué)家盧瑟夫在本世紀(jì)初發(fā)現(xiàn)，某些“放放射性射性”元素的原子是不穩(wěn)定的，并且在已知的一段時(shí)間內(nèi)，有元素的原子是不穩(wěn)定的，并且在已知的一段時(shí)間內(nèi)，有一定比例的原子自然蛻變而形成新元素的原子，且物質(zhì)的放射一定比例的原子自然蛻變而形成新元素的原子，且物質(zhì)的放射性與所存在的物質(zhì)的原子數(shù)成正比。性與所存在的物質(zhì)的原子數(shù)成正比。 用用N(t)表示時(shí)間表示時(shí)間t時(shí)存在的原子數(shù)時(shí)存在的原子數(shù),則：則： dNNdt 常數(shù)常數(shù)是正的，稱(chēng)為是正的，稱(chēng)為該物質(zhì)的衰變常數(shù)該物質(zhì)的衰變常數(shù) 用用來(lái)計(jì)算半衰期來(lái)計(jì)算半衰期T:00( )dNNdtN tN 與負(fù)增長(zhǎng)的與負(fù)增長(zhǎng)的MalthusMalthus模模型完全一樣型完全一

35、樣 其解為其解為: : 0()0( )t tN tN e012NN令令0ln2Ttt 則有則有: :許多物質(zhì)的半衰期已被測(cè)許多物質(zhì)的半衰期已被測(cè)定，如碳定，如碳14，其，其T=5568；軸軸238，其，其T=45億年。億年。 與本問(wèn)題相關(guān)的其他知識(shí)與本問(wèn)題相關(guān)的其他知識(shí): : (1)藝術(shù)家們應(yīng)用白鉛作為顏料之一，已達(dá)兩千年以上。白藝術(shù)家們應(yīng)用白鉛作為顏料之一，已達(dá)兩千年以上。白鉛中含有微量的放射鉛鉛中含有微量的放射鉛210，白鉛是從鉛礦中提煉出來(lái)的，而，白鉛是從鉛礦中提煉出來(lái)的，而鉛又屬于鈾系，其演變簡(jiǎn)圖如下（刪去了許多中間環(huán)節(jié)）鉛又屬于鈾系，其演變簡(jiǎn)圖如下（刪去了許多中間環(huán)節(jié)） (3)從鉛礦

36、中提煉鉛時(shí)，鉛從鉛礦中提煉鉛時(shí)，鉛210與鉛與鉛206一起被作為鉛留下，一起被作為鉛留下，而其余物質(zhì)則有而其余物質(zhì)則有9095%被留在礦渣里，因而打破了原有的放被留在礦渣里，因而打破了原有的放射性平衡。射性平衡。鈾鈾238-45億年億年-釷釷234-24天天-釙釙234-6/5分分-鈾鈾234-257億年億年-釷釷230-8萬(wàn)年萬(wàn)年-鐳鐳226-1600年年-氡氡222-19/5天天-釙釙218-3分分-鉛鉛214-27分分-釙釙214-鉛鉛210-20年年-鉍鉍210-5天天-釙釙210-138天天-鉛鉛206（一種非放射性物質(zhì)）（一種非放射性物質(zhì)）注：時(shí)間均為半衰期注：時(shí)間均為半衰期 (2

37、)地殼里幾乎所有的巖石中均含有微量的鈾。一方面，鈾地殼里幾乎所有的巖石中均含有微量的鈾。一方面，鈾系中的各種放射性物質(zhì)均在不斷衰減，而另一方面，鈾又不斷系中的各種放射性物質(zhì)均在不斷衰減，而另一方面，鈾又不斷地衰減，補(bǔ)充著其后繼元素。各種放射性物質(zhì)（除鈾以外）在地衰減，補(bǔ)充著其后繼元素。各種放射性物質(zhì)（除鈾以外）在巖石中處于放射性平衡中。根據(jù)世界各地抽樣測(cè)量的資料，地巖石中處于放射性平衡中。根據(jù)世界各地抽樣測(cè)量的資料，地殼中的鈾在鈾系中所占平均重量比約為百萬(wàn)分之殼中的鈾在鈾系中所占平均重量比約為百萬(wàn)分之2.7（一般含量（一般含量極微）。各地采集的巖石中鈾的含量差異很大，但從未發(fā)現(xiàn)含極微）。各地采

38、集的巖石中鈾的含量差異很大，但從未發(fā)現(xiàn)含量高于量高于23%的。的。 簡(jiǎn)化假定：簡(jiǎn)化假定：本問(wèn)題建模是為了鑒定幾幅不超過(guò)本問(wèn)題建模是為了鑒定幾幅不超過(guò)300年的古畫(huà)，為了使模型年的古畫(huà)，為了使模型盡可能簡(jiǎn)單，可作如下假設(shè)：盡可能簡(jiǎn)單，可作如下假設(shè)： (1)由于鐳的半衰期為由于鐳的半衰期為1600年，經(jīng)過(guò)年，經(jīng)過(guò)300年左右，應(yīng)用微分年左右，應(yīng)用微分方程方法不難計(jì)算出白鉛中的鐳至少還有原量的方程方法不難計(jì)算出白鉛中的鐳至少還有原量的90%，故可以，故可以假定，每克白鉛中的鐳在每分鐘里的分解數(shù)是一個(gè)常數(shù)。假定，每克白鉛中的鐳在每分鐘里的分解數(shù)是一個(gè)常數(shù)。 (2)鉛鉛210210的衰變?yōu)椋旱乃プ優(yōu)椋?

39、鉛鉛210T=22年年釙釙210鉛鉛206T=138天天若畫(huà)為真品，顏料應(yīng)有若畫(huà)為真品，顏料應(yīng)有300年左右或年左右或300年以上的歷史，容易證年以上的歷史，容易證明：每克白鉛中釙明：每克白鉛中釙210的分解數(shù)等于鉛的分解數(shù)等于鉛210的分解數(shù)（相差極微，的分解數(shù)（相差極微，已無(wú)法區(qū)別）?？捎们罢叽婧笳?，因釙的半衰期較短，易于已無(wú)法區(qū)別）?？捎们罢叽婧笳撸蜥暤陌胨テ谳^短，易于測(cè)量測(cè)量 。建模：建模： (1)記提煉白鉛的時(shí)刻為記提煉白鉛的時(shí)刻為t=0，當(dāng)時(shí)每克白鉛中鉛，當(dāng)時(shí)每克白鉛中鉛210的分子的分子數(shù)為數(shù)為y0，由于提煉前巖石中的鈾系是處于放射性平衡的，故鈾，由于提煉前巖石中的鈾系是處

40、于放射性平衡的，故鈾與鉛的單位時(shí)間分解數(shù)相同。可以推算出當(dāng)時(shí)每克白鉛中鉛與鉛的單位時(shí)間分解數(shù)相同。可以推算出當(dāng)時(shí)每克白鉛中鉛210每分鐘分解數(shù)不能大于每分鐘分解數(shù)不能大于30000個(gè)。個(gè)。0030000uUy若若20030000 60 24 3651.02 10uU則則（個(gè)）這些鈾約重這些鈾約重 20231.02 102380.046.02 10（克）即每克白鉛約含即每克白鉛約含0.040.04克鈾，含量為克鈾，含量為4% 4% 以上確定了每克白鉛中鉛分解數(shù)以上確定了每克白鉛中鉛分解數(shù)的上界，若畫(huà)上的鉛分解數(shù)大于的上界，若畫(huà)上的鉛分解數(shù)大于該值，說(shuō)明畫(huà)是贗品；但若是小該值，說(shuō)明畫(huà)是贗品；但若是

41、小于不能斷定畫(huà)一定是真品。于不能斷定畫(huà)一定是真品。 (2)設(shè)設(shè)t時(shí)刻時(shí)刻1克白鉛中鉛克白鉛中鉛210含量為含量為y(t)，而鐳的單位時(shí)間分，而鐳的單位時(shí)間分解數(shù)為解數(shù)為r（常數(shù)），則（常數(shù)），則y(t)滿(mǎn)足微分方程：滿(mǎn)足微分方程： dyyrdt 由此解得：由此解得：00()()0( )1t tt try tey e00()()0( )1t tt tyy t er e故：故： 畫(huà)中每克白鉛所含鉛畫(huà)中每克白鉛所含鉛210目前的分解數(shù)目前的分解數(shù)y(t)及目前鐳的分解及目前鐳的分解數(shù)數(shù)r均可用儀器測(cè)出，從而可求出均可用儀器測(cè)出，從而可求出y0的近似值，并利用（的近似值，并利用（1）判）判斷這樣的分解

42、數(shù)是否合理。斷這樣的分解數(shù)是否合理。Carnegie-MellonCarnegie-Mellon大學(xué)的科學(xué)家們利用上述模型對(duì)部分有疑問(wèn)大學(xué)的科學(xué)家們利用上述模型對(duì)部分有疑問(wèn)的油畫(huà)作了鑒定，測(cè)得數(shù)據(jù)如下（見(jiàn)表的油畫(huà)作了鑒定，測(cè)得數(shù)據(jù)如下（見(jiàn)表3-13-1）。）。 油畫(huà)名稱(chēng)油畫(huà)名稱(chēng)210210分解數(shù)（個(gè)分解數(shù)（個(gè)/ /分）分）鐳鐳226226分解數(shù)（個(gè)分解數(shù)（個(gè)/ /分）分）1 1、在埃牟斯的門(mén)徒、在埃牟斯的門(mén)徒 8.5 8.50.80.82 2、濯足、濯足12.612.60.260.263 3、看樂(lè)譜的女人、看樂(lè)譜的女人10.310.30.30.34 4、演奏曼陀琳的女、演奏曼陀琳的女人人8.2

43、8.20.170.175 5、花邊織工、花邊織工1.51.51.41.46 6、笑女、笑女5.25.26.06.0計(jì)算計(jì)算y0 （個(gè)（個(gè)/ /分）分）98050980501571301571301273401273401022501022501274.81274.8-10181-10181表表3-1 3-1 對(duì)對(duì)“在埃牟斯的門(mén)徒在埃牟斯的門(mén)徒”，y y0 09805098050（個(gè)（個(gè)/ /每克每分鐘），它必定是一每克每分鐘），它必定是一幅偽造品。類(lèi)似可以判定（幅偽造品。類(lèi)似可以判定（2 2），（），（3 3），（），（4 4）也是贗品。而（）也是贗品。而（5 5）和（）和（6 6）都不會(huì)是幾

44、十年內(nèi)偽制品，因?yàn)榉派湫晕镔|(zhì)已處于接近平衡的狀態(tài)，這樣的都不會(huì)是幾十年內(nèi)偽制品，因?yàn)榉派湫晕镔|(zhì)已處于接近平衡的狀態(tài)，這樣的平衡不可能發(fā)生在十九世紀(jì)和二十世紀(jì)的任何作品中。平衡不可能發(fā)生在十九世紀(jì)和二十世紀(jì)的任何作品中。 判定判定結(jié)果：結(jié)果： 利用放射原理，還可以對(duì)其他文物的年代進(jìn)行測(cè)定。利用放射原理，還可以對(duì)其他文物的年代進(jìn)行測(cè)定。例如對(duì)有機(jī)物（動(dòng)、植物）遺體，考古學(xué)上目前流行的測(cè)例如對(duì)有機(jī)物（動(dòng)、植物）遺體，考古學(xué)上目前流行的測(cè)定方法是放射性碳定方法是放射性碳1414測(cè)定法，這種方法具有較高的精確度，測(cè)定法，這種方法具有較高的精確度，其基本原理是：由于大氣層受到宇宙線的連續(xù)照射，空氣其基本原

45、理是：由于大氣層受到宇宙線的連續(xù)照射，空氣中含有微量的中微子，它們和空氣中的氮結(jié)合，形成放射中含有微量的中微子，它們和空氣中的氮結(jié)合，形成放射性碳性碳1414（C C1414）。有機(jī)物存活時(shí)，它們通過(guò)新陳代謝與外界）。有機(jī)物存活時(shí)，它們通過(guò)新陳代謝與外界進(jìn)行物質(zhì)交換，使體內(nèi)的進(jìn)行物質(zhì)交換，使體內(nèi)的C C1414處于放射性平衡中。一旦有機(jī)處于放射性平衡中。一旦有機(jī)物死亡，新陳代謝終止，放射性平衡即被破壞。因而，通物死亡，新陳代謝終止，放射性平衡即被破壞。因而，通過(guò)對(duì)比測(cè)定，可以估計(jì)出它們生存的年代。例如，過(guò)對(duì)比測(cè)定，可以估計(jì)出它們生存的年代。例如，19501950年年在巴比倫發(fā)現(xiàn)一根刻有在巴比倫

46、發(fā)現(xiàn)一根刻有HammurabiHammurabi王朝字樣的木炭，經(jīng)測(cè)定，王朝字樣的木炭，經(jīng)測(cè)定，其其C C1414衰減數(shù)為衰減數(shù)為4.094.09個(gè)個(gè)/ /每克每分鐘，而新砍伐燒成的木炭每克每分鐘，而新砍伐燒成的木炭中中C C1414衰減數(shù)為衰減數(shù)為6.686.68個(gè)個(gè)/ /每克每分鐘，每克每分鐘，C C1414的半衰期為的半衰期為55685568年，年，由此可以推算出該王朝約存在于由此可以推算出該王朝約存在于3900-40003900-4000年前。年前。 2、單種群微分模型表達(dá)式、單種群微分模型表達(dá)式（1）只考慮內(nèi)稟增長(zhǎng)率）只考慮內(nèi)稟增長(zhǎng)率0( )()( )( )( )( ):rtdN t

47、bd N trN tdtN tN eN tt表示 時(shí)刻種群數(shù)量或密度。bdN(t)內(nèi)稟增長(zhǎng)率內(nèi)稟增長(zhǎng)率N(t)t（2）考慮密度制約影響（如環(huán)境容納量的制約）考慮密度制約影響（如環(huán)境容納量的制約）( )( )( )dN tN trN tdtK（1-）內(nèi)稟增長(zhǎng)率內(nèi)稟增長(zhǎng)率環(huán)境容納量環(huán)境容納量N(t)tk(3)考慮其他因素（各個(gè)方面）影響考慮其他因素（各個(gè)方面）影響模型的一般式可寫(xiě)為：模型的一般式可寫(xiě)為：)()()(tNfrtNdttdN( )( ) ( )dN tN t F N tdt或或根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)確定根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)確定F和和f的函數(shù)形式的函數(shù)形式Logistic模型模型例如：池塘里，魚(yú)的增長(zhǎng)

48、模型可記為：例如：池塘里，魚(yú)的增長(zhǎng)模型可記為：( )( ) ( )( )dN tN t F N tu tdt又如：若是公海，則每一個(gè)國(guó)家都有各自的捕魚(yú)又如：若是公海，則每一個(gè)國(guó)家都有各自的捕魚(yú)規(guī)律，則魚(yú)的增長(zhǎng)模型可記為：規(guī)律，則魚(yú)的增長(zhǎng)模型可記為：12( )( ) ( )( )( ).( )( )mdN tN t F N tE tE tEt N tdt時(shí)變收獲率時(shí)變收獲率各個(gè)國(guó)家的時(shí)變收獲率各個(gè)國(guó)家的時(shí)變收獲率31dSSIdtdISIdtbSISdSISIdtdISIIdt 、傳染病模型的基本形式如下：（ ）不考慮出生與自然死亡等種群動(dòng)力學(xué)因素，適宜于描述病程較短，從而在疾病流行期間內(nèi)種群的出

49、生和自然死亡可以忽略不計(jì)的一些疾病。無(wú)疾病潛伏期SI模型，患病后難以治愈,如早期的天花，肺結(jié)核模型，患病后可以治愈，康復(fù)后無(wú)免疫力，如腦炎，淋病SISISISII倉(cāng)室模型法倉(cāng)室模型法RcSIRdSSIdtdISIIdtdRIdtdSIRSdSRSIdtdISIIdtdRIRdt 模型，患病治愈后獲得終身免疫力，如：流感，麻疹模型，病人康復(fù)后只有暫時(shí)有免疫力，單位時(shí)間內(nèi)有的康復(fù)者喪失免疫而可能再次被感染。SISIRISISIRIR21aSEIRdSSIdtdESIEdtdIEIdtdRIdt 有疾病潛伏期，即在被感染后成為患病者之前有一段病菌潛伏期，并且假定在潛伏期內(nèi)的感染者沒(méi)有傳染力，記t時(shí)刻

50、潛伏期的人數(shù)為E(t),疾病的平均潛伏期為模型，病人康復(fù)后具有永久免疫力SISIEIRE(2)1KbSEIRSdSRSIdtdESIEdtdIEIdtdRIRdt 模型，病人康復(fù)后僅有暫時(shí)免疫力可能再次被感染添加種群動(dòng)力學(xué)因素總?cè)丝诤愣ㄔ诩膊×餍衅陂g，考慮人口的出生與自然死亡等變化，但假定出生率系數(shù)（即單位時(shí)間內(nèi)出生的人數(shù)在總?cè)藬?shù)中的比例）與自然死亡率系數(shù)相等，即不考慮人口輸入和輸出以及因病死亡，從而總?cè)丝诒３殖?shù)ESISIEIRR1+ + =K2()SIRbS I RdSbKbSSIdtdISIbIIdtdRIbRdtSIRdSb KRbSSIdtdISIbIIdIdtdRIbRdt 無(wú)垂直

51、傳染模型，即母親的疾病不會(huì)先天傳染給新生兒，故新生兒均為易感者。假設(shè)出生率系數(shù)與自然死亡率系數(shù)均為 ，且有垂直傳染且康復(fù)者的新生兒不具免疫力。SISIIRbKbSbIbRSISIIRb(S+R)bSdIbIbR2dSAbSIdSBSSIdtdISIbIdIaIBIIdt總?cè)丝谧儎?dòng)即考慮因病死亡，人口的輸入和輸出，出生率和自然死亡率不相等，密度制約等因素（從而總?cè)丝跒闀r(shí)間t的函數(shù)N(t)）SIS有垂直傳染且有輸入輸出模型SISIIbSBSBIbIdSAdIaI(1)11-bMSEIRdMbNbIMdtdSMbNbSSIdtdESIbEEdtdIEbIaIIdtdRIbRdt有先天免疫，無(wú)垂直傳染

52、模型，即由于母親抗體對(duì)胎兒的作用，是部分新生兒具有暫時(shí)的先天免疫力。假定在新生兒中有比例 具有先天暫時(shí)免疫，平均先天免疫期為然后進(jìn)入易感者類(lèi)，而比例（）的新生兒不具有先天免疫而直接歸入易感者類(lèi)。MEbNSISEIIMRbIbIbSbEbRaI(1)bN(),:,cQ quarantineSIQSdSAIQdSSIdtdISIdIaIIIdtdQIdQaQQdtAda 若染病者采取隔離措施，即引進(jìn)隔離者類(lèi)便有模型輸入數(shù)，自然死亡率，傳染率，隔離率，因病死亡率，：恢復(fù)系數(shù)SISIIQArIdIaIdQaQQdS12ddSAdSSIdtdISIdQaQIIdtdQIdQa QQdtdRQdRIdt假

53、設(shè)病人恢復(fù)后具有永久免疫，I和Q恢復(fù)后進(jìn)入R類(lèi)，則SIQR模型Qa12a QSISIQQRdQdSdQdRAIrISEIHQRA1A2A3Ahf(S,E,I,R)g(H,P,Q)PEI1EdepPdpqQdspPbspQQIdiq12311( , , )( , , )(, ,)(, ,)( , , )=spspepiqepspsppqhpqiqdSAb Pd Qf S E I RdtdEAf S E I REd EdtdIAEId IdtdPd Ed Qb Pd PdtdHAg H P QdtdQg H P Qd Pd IQQdtdRQdtf S E I R模型如下：其中：根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可得：1

54、1()(, ,)()QQC SkEISEIRC Hg H P Qk PQHPQ3 3 藥物在體內(nèi)的分布藥物在體內(nèi)的分布 何為房室系統(tǒng)？何為房室系統(tǒng)？ 在用微分方程研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)，人們常常采用一種在用微分方程研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)，人們常常采用一種叫叫“房室系統(tǒng)房室系統(tǒng)”的觀點(diǎn)來(lái)考察問(wèn)題。根據(jù)研究對(duì)象的特的觀點(diǎn)來(lái)考察問(wèn)題。根據(jù)研究對(duì)象的特征或研究的不同精度要求，我們把研究對(duì)象看成一個(gè)整征或研究的不同精度要求，我們把研究對(duì)象看成一個(gè)整體（單房室系統(tǒng)）或?qū)⑵淦史殖扇舾蓚€(gè)相互存在著某種體（單房室系統(tǒng)）或?qū)⑵淦史殖扇舾蓚€(gè)相互存在著某種聯(lián)系的部分（多房室系統(tǒng)）。聯(lián)系的部分（多房室系統(tǒng)）。 房室具有以下特征：它由考

55、察對(duì)象均勻分布而成，房室具有以下特征：它由考察對(duì)象均勻分布而成，房室中考察對(duì)象的數(shù)量或濃度（密度）的變化率與外部房室中考察對(duì)象的數(shù)量或濃度（密度）的變化率與外部環(huán)境有關(guān)，這種關(guān)系被稱(chēng)為環(huán)境有關(guān)，這種關(guān)系被稱(chēng)為“交換交換”且交換滿(mǎn)足著總量且交換滿(mǎn)足著總量守衡。在本節(jié)中，我們將用房室系統(tǒng)的方法來(lái)研究藥物守衡。在本節(jié)中，我們將用房室系統(tǒng)的方法來(lái)研究藥物在體內(nèi)的分布。在下一節(jié)中，我們將用多房室系統(tǒng)的方在體內(nèi)的分布。在下一節(jié)中，我們將用多房室系統(tǒng)的方法來(lái)研究另一問(wèn)題。法來(lái)研究另一問(wèn)題。交換環(huán)境內(nèi)部單房室系統(tǒng)均勻分布 藥物的分解與排泄（輸出）速率通常被認(rèn)為是與藥物當(dāng)前的藥物的分解與排泄（輸出）速率通常被認(rèn)

56、為是與藥物當(dāng)前的濃度成正比的，即：濃度成正比的，即： dxkxdt出藥物分布的單房室模型藥物分布的單房室模型 單房室模型是最簡(jiǎn)單的模型，它假設(shè)：體內(nèi)藥物在任一時(shí)刻單房室模型是最簡(jiǎn)單的模型，它假設(shè)：體內(nèi)藥物在任一時(shí)刻都是均勻分布的，設(shè)都是均勻分布的，設(shè)t時(shí)刻體內(nèi)藥物的總量為時(shí)刻體內(nèi)藥物的總量為x(t)；系統(tǒng)處于一種；系統(tǒng)處于一種動(dòng)態(tài)平衡中，即成立著關(guān)系式：動(dòng)態(tài)平衡中，即成立著關(guān)系式： dxdxdxdtdtdt入出 藥物的輸入規(guī)律與給藥的方式有藥物的輸入規(guī)律與給藥的方式有關(guān)。下面，我們來(lái)研究一下在幾種常關(guān)。下面，我們來(lái)研究一下在幾種常見(jiàn)的給藥方式下體內(nèi)藥體的變化規(guī)律。見(jiàn)的給藥方式下體內(nèi)藥體的變化規(guī)

57、律。 機(jī)體環(huán)境藥物總量( )x tdxdt入dxdt出圖3-8 假設(shè)藥物均勻分布情況情況1 1 快速靜脈注射快速靜脈注射機(jī)體環(huán)境( )x tdxdt出(0)xD只輸出不輸入房室其解為：其解為：( )ktx tDe藥物的濃度：藥物的濃度： ( )ktDc teV 與放射性物質(zhì)類(lèi)似，醫(yī)學(xué)上將血漿藥物濃度衰減一半所需與放射性物質(zhì)類(lèi)似，醫(yī)學(xué)上將血漿藥物濃度衰減一半所需的時(shí)間稱(chēng)為藥物的血漿半衰期：的時(shí)間稱(chēng)為藥物的血漿半衰期： 12ln2tk負(fù)增長(zhǎng)率的Malthus模型 在快速靜脈注射時(shí)，總量為在快速靜脈注射時(shí)，總量為D的藥物在瞬間被注入體內(nèi)。的藥物在瞬間被注入體內(nèi)。設(shè)機(jī)體的體積為設(shè)機(jī)體的體積為V，則我們

58、可以近似地將系統(tǒng)看成初始總量為，則我們可以近似地將系統(tǒng)看成初始總量為D，濃度為，濃度為D/V，只輸出不輸入的房室，即系統(tǒng)可看成近似地，只輸出不輸入的房室，即系統(tǒng)可看成近似地滿(mǎn)足微分方程：滿(mǎn)足微分方程： 0(0)dxkxdtxD（3.12） 情況情況2 2 恒速靜脈點(diǎn)滴恒速靜脈點(diǎn)滴 機(jī)體環(huán)境( )x tdxdt出(0)0 x恒定速率輸入房室0Kdtdx藥物似恒速點(diǎn)滴方式進(jìn)入體內(nèi)，即藥物似恒速點(diǎn)滴方式進(jìn)入體內(nèi)，即: : 0dxKdt則體內(nèi)藥物總量滿(mǎn)足：則體內(nèi)藥物總量滿(mǎn)足： 0dxkxKdt（x(0)=0） （3.13） 這是一個(gè)一階常系數(shù)線性方程，其解為：這是一個(gè)一階常系數(shù)線性方程，其解為： 0(

59、 )(1)ktKx tek0( )(1)ktKC teVk或或易見(jiàn)易見(jiàn)：0lim( )KC ttVk 稱(chēng)為穩(wěn)態(tài)血藥濃度 對(duì)于多次點(diǎn)滴，設(shè)點(diǎn)滴時(shí)間為對(duì)于多次點(diǎn)滴，設(shè)點(diǎn)滴時(shí)間為T(mén)1，兩次點(diǎn)滴之間的間隔時(shí)，兩次點(diǎn)滴之間的間隔時(shí)間設(shè)為間設(shè)為T(mén)2，則在第一次點(diǎn)滴結(jié)束時(shí)病人體內(nèi)的藥物濃度可由上則在第一次點(diǎn)滴結(jié)束時(shí)病人體內(nèi)的藥物濃度可由上式得出。其后式得出。其后T2時(shí)間內(nèi)為情況時(shí)間內(nèi)為情況1 1。故：。故：0( )(1)ktKC teVk（第一次） 0tT1 11()0( )(1)kTk t TKC teeVkT1tT1 +T2 類(lèi)似可討論以后各次點(diǎn)滴時(shí)類(lèi)似可討論以后各次點(diǎn)滴時(shí)的情況，區(qū)別只在初值上的的情況

60、，區(qū)別只在初值上的不同。第二次點(diǎn)滴起，患者不同。第二次點(diǎn)滴起，患者 體內(nèi)的初始藥物濃度不為零。體內(nèi)的初始藥物濃度不為零。 情況情況3 3 口服藥或肌注口服藥或肌注 y(t)x(t)K1yK1x環(huán)境機(jī)體外部藥物 口服藥或肌肉注射時(shí)，藥物的吸收方式與點(diǎn)滴時(shí)不同，藥口服藥或肌肉注射時(shí)，藥物的吸收方式與點(diǎn)滴時(shí)不同，藥物雖然瞬間進(jìn)入了體內(nèi)，但它一般都集中與身體的某一部位，物雖然瞬間進(jìn)入了體內(nèi)，但它一般都集中與身體的某一部位，靠其表面與肌體接觸而逐步被吸收。設(shè)藥物被吸收的速率與存靠其表面與肌體接觸而逐步被吸收。設(shè)藥物被吸收的速率與存量藥物的數(shù)量成正比，記比例系數(shù)為量藥物的數(shù)量成正比，記比例系數(shù)為K1，即若