高等數(shù)學(8)數(shù)值函數(shù)多重積分

1、1.概念、類型與性質概念、類型與性質2.二重積分二重積分3.三重積分三重積分4.第一型曲線與曲面積分第一型曲線與曲面積分5.在幾何與物理方面的典型應用在幾何與物理方面的典型應用7.1多元數(shù)值函數(shù)的積分多元數(shù)值函數(shù)的積分 -概念、類型與性質概念、類型與性質1.引例引例-概念抽象概念抽象-多元函數(shù)積分定義多元函數(shù)積分定義2.多元數(shù)值函數(shù)積分的基本類型多元數(shù)值函數(shù)積分的基本類型3.可積條件與積分基本性質可積條件與積分基本性質1.引例引例-概念抽象概念抽象-多元函數(shù)積分定義多元函數(shù)積分定義 我們已經知道，一元函數(shù)定積分的產生，是與很多我們已經知道，一元函數(shù)定積分的產生，是與很多現(xiàn)實問題密切相關的。現(xiàn)實

2、問題密切相關的。 但是一元函數(shù)的定義域僅僅是一維的，而我們的世但是一元函數(shù)的定義域僅僅是一維的，而我們的世界卻是三維的。并且大量的現(xiàn)實對象也是不對稱的。界卻是三維的。并且大量的現(xiàn)實對象也是不對稱的。 因此不難想到，在現(xiàn)實世界中，多元函數(shù)所應用的因此不難想到，在現(xiàn)實世界中，多元函數(shù)所應用的范圍更廣。而類似定積分的方法，在高維情況下肯定范圍更廣。而類似定積分的方法，在高維情況下肯定有十分廣泛的用途。有十分廣泛的用途。 即便是不知道多元函數(shù)積分的概念，僅從一元函即便是不知道多元函數(shù)積分的概念，僅從一元函數(shù)定積分的定義和應用，是否可以想到有什么問題數(shù)定積分的定義和應用，是否可以想到有什么問題可能會用到

3、多元函數(shù)的積分方法呢？可能會用到多元函數(shù)的積分方法呢？舉幾個例子。舉幾個例子。【例【例7-1】（求平面薄板的質量問題）設一質量非均勻分】（求平面薄板的質量問題）設一質量非均勻分布的薄板，將其置于布的薄板，將其置于xOy平面上，它所占有的區(qū)域為平面上，它所占有的區(qū)域為D (圖圖7-1), 在在D上任一點上任一點P(x,y)處的面密度為處的面密度為( )( , ),f Pf x y 這里這里 且在且在D上連續(xù)上連續(xù).( , )0f x y OxyD（圖（圖7-1）i ),(ii 把區(qū)域把區(qū)域D任意分劃為任意分劃為n個小區(qū)個小區(qū)域域 (i=1,2,n)， 同時表示同時表示該小區(qū)域的面積該小區(qū)域的面積

4、.由于由于 連連續(xù)，因此薄板在每個小區(qū)域上的續(xù)，因此薄板在每個小區(qū)域上的質量可以近似的看做均勻分布質量可以近似的看做均勻分布.i i ( , )f x y（1）一個引例）一個引例 在每個在每個 上任取一點上任取一點 ，則該小區(qū)域質量的近，則該小區(qū)域質量的近似值為似值為i ),(ii ，整個薄板質量，整個薄板質量m的近似值為的近似值為iiiifm ),(11(,)nniiiiiimmf 記記 ，所謂，所謂 的直徑指的是的直徑指的是 上任意兩點間距離的上確界上任意兩點間距離的上確界.當當d 0時，每個時，每個 的面積的面積將趨于零，并且小區(qū)域的數(shù)目無限增大，上述近似值將趨于零，并且小區(qū)域的數(shù)目無限

5、增大，上述近似值就無限接近薄板的實際質量就無限接近薄板的實際質量.因此可以把上面和式的極因此可以把上面和式的極限規(guī)定為薄板的質量，即限規(guī)定為薄板的質量，即 i i i （1）max1的直徑的直徑inid 01lim(,)niiidimf （2）討論上面例子）討論上面例子 假設上面例子中的物質對象，不是一張平放的薄板。假設上面例子中的物質對象，不是一張平放的薄板。而是如下幾種情況：而是如下幾種情況： 一條平直的細絲；一條平直的細絲； 一塊立體（區(qū)域）；一塊立體（區(qū)域）； 一條可以放在平面上的彎曲細絲；一條可以放在平面上的彎曲細絲； 一條在空間中彎曲的細絲；一條在空間中彎曲的細絲； 一片空間中的曲

6、面。一片空間中的曲面。 同樣假設知道物質的密度函數(shù)，求其整體質量，應該同樣假設知道物質的密度函數(shù)，求其整體質量，應該怎樣做？怎樣做？（3）多元數(shù)值函數(shù)積分的定義）多元數(shù)值函數(shù)積分的定義（i）符號與輔助概念約定：）符號與輔助概念約定： i ：根據(jù)具體情況表示某空間中的閉集。在實：根據(jù)具體情況表示某空間中的閉集。在實數(shù)集中表示一個閉區(qū)間；在平面中可以是平面曲線，數(shù)集中表示一個閉區(qū)間；在平面中可以是平面曲線，也可以是一個閉區(qū)域；在三維空間中，可以表示空間也可以是一個閉區(qū)域；在三維空間中，可以表示空間曲線、曲面、三維閉區(qū)域。曲線、曲面、三維閉區(qū)域。、注：在教材中，注：在教材中， 即表示小區(qū)域（或閉集合

7、）也表示即表示小區(qū)域（或閉集合）也表示該區(qū)域（或閉集合）的度量（長度、面積、體積）。該區(qū)域（或閉集合）的度量（長度、面積、體積）。i 盡管這樣規(guī)定也可以，但稍不注意就可能引起混淆。盡管這樣規(guī)定也可以，但稍不注意就可能引起混淆。 ：表示閉集合：表示閉集合 的的“度量度量”（或（或“體積體積”） -對于曲線（也包括直線），表示長度；對于曲線（也包括直線），表示長度； -對于曲面（包括平面），表示面積；對于曲面（包括平面），表示面積； -對于立體區(qū)域，表示體積（設對于立體區(qū)域，表示體積（設 是可度量的）。是可度量的）。 )()(idd ，：分別表示區(qū)域：分別表示區(qū)域 和和 的直徑。其的直徑。其中中i

8、 ,|sup)(AyxyxAd 若若A是有界閉區(qū)域，是有界閉區(qū)域，d(A)是是A內任意兩點距離中最大者。內任意兩點距離中最大者。 ( ) （ 或或 ）：表示閉集合）：表示閉集合 的一個有限分劃。在的一個有限分劃。在已已知所分劃的閉集合時，就簡記為知所分劃的閉集合時，就簡記為 。 i 則稱由這有限個閉集則稱由這有限個閉集 為元素所組成的集合稱為閉集為元素所組成的集合稱為閉集合合 的一個分劃（這里的分化都是有限分劃）。的一個分劃（這里的分化都是有限分劃）。 的有限分劃的有限分劃：設有有限個閉集：設有有限個閉集 ， ), 2 , 1(ni 滿足如下條件滿足如下條件i i ； ini 1；0)( ji

9、ji，()max () |iid 分割寬度分割寬度：設：設 是是 的一個分劃，記的一個分劃，記 稱為分劃稱為分劃 的的寬度（寬度（或分割網(wǎng)的或分割網(wǎng)的網(wǎng)徑）網(wǎng)徑）。 （4）多元數(shù)值函數(shù)積分的定義：）多元數(shù)值函數(shù)積分的定義： fnR 設設 是一個可度量的有界閉集，包含在函數(shù)是一個可度量的有界閉集，包含在函數(shù) 的定義域中，如果的定義域中，如果(),0,0()(|()|)iiiiiIPf PI 即即 ，則稱函數(shù)，則稱函數(shù) 在在 上可積，上可積，IPfiii )(0)()(limf 并稱并稱 是是 在在 上的積分，記作上的積分，記作f I()0()()lim()iiif P df PI （2）注：有這

10、個概念定義，還派生如下一些輔屬概念注：有這個概念定義，還派生如下一些輔屬概念- 被積函數(shù)被積函數(shù)，積分（區(qū)）域積分（區(qū)）域，積分元素（微元）積分元素（微元），被被積表達式積表達式， 積分和積分和，積分號積分號。2.多元數(shù)值函數(shù)積分的主要類型與常用符號表示多元數(shù)值函數(shù)積分的主要類型與常用符號表示 下面假設都是在直角坐標系下的表示。根據(jù)積分域下面假設都是在直角坐標系下的表示。根據(jù)積分域的情況分類，有如下四大類：的情況分類，有如下四大類： dyxfD ),( （2） 是三維坐標空間中的區(qū)域是三維坐標空間中的區(qū)域V時，積分記為時，積分記為稱為二元函數(shù)稱為二元函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域D上的上的二重積分，二重積

11、分， 稱為稱為面面積微元積微元。f d0lim(,)iiiif （1）積分域）積分域 是是xOy坐標平面中的區(qū)域坐標平面中的區(qū)域D，則，則表示分劃中小塊區(qū)域表示分劃中小塊區(qū)域 的面積的面積 ，積分表示為，積分表示為 ii i dVzyxfV ),(稱為三元函數(shù)稱為三元函數(shù) 在在V上的上的三重積分三重積分， 稱為稱為體積微元體積微元。fdVL（3）當）當 是平面或空間中一條曲線是平面或空間中一條曲線 時，時， 表示的表示的 iis 是曲線分化中小弧段是曲線分化中小弧段 的長度的長度 。如果曲線是平面。如果曲線是平面曲線，則函數(shù)曲線，則函數(shù) 是二元函數(shù)，具體的積分表示為：是二元函數(shù)，具體的積分表示

12、為：isf isiiiLsfdsyxf),(lim),(0 如果是空間曲線，函數(shù)應是三元函數(shù)，積分記為如果是空間曲線，函數(shù)應是三元函數(shù)，積分記為0( ,)lim(,)iiiiiLsf x yz dsfs ，ds 稱為稱為弧長微元弧長微元。積分稱為。積分稱為第一型曲線積分第一型曲線積分，也，也稱為稱為對弧長的積分對弧長的積分。（4）當）當 是空間中的一塊曲面是空間中的一塊曲面 時，時， 是三元函數(shù)。是三元函數(shù)。 SfiiSiS 表示分劃中某個小曲面塊表示分劃中某個小曲面塊 的面積的面積 ，具體的，具體的積分表達式為積分表達式為0( , , )lim(,)iiiiiSSf x y z dSfS d

13、S 稱為稱為面積微元面積微元，該積分稱為，該積分稱為第一型曲面積分第一型曲面積分，或，或對面積的曲面積分對面積的曲面積分。3.多元數(shù)值函數(shù)積分的基本性質多元數(shù)值函數(shù)積分的基本性質（1）可積的必要條件）可積的必要條件-被積函數(shù)在積分區(qū)域內有界被積函數(shù)在積分區(qū)域內有界（注意，積分區(qū)域本身必須是有界閉集）。（注意，積分區(qū)域本身必須是有界閉集）?？煞e的一個充分條件可積的一個充分條件-被積函數(shù)連續(xù)。被積函數(shù)連續(xù)。 注意教材中對積分區(qū)域注意教材中對積分區(qū)域“度量度量”的記法的特殊約定。的記法的特殊約定。但是在這里我們?yōu)榱瞬灰鹌缌x，還是引入新的符號但是在這里我們?yōu)榱瞬灰鹌缌x，還是引入新的符號約定。約定。

14、以以 表示積分區(qū)域表示積分區(qū)域 的的“度量度量”（根據(jù)情況（根據(jù)情況分別表示長度、面積、體積）。分別表示長度、面積、體積）。)( （2）基本性質）基本性質)( （i） d1（ii）積分與函數(shù)的線性運算可交換）積分與函數(shù)的線性運算可交換-即積分是一個即積分是一個線性映射（從哪里到哪里？）。線性映射（從哪里到哪里？）。（iii）積分）積分對于積分區(qū)域的可加性對于積分區(qū)域的可加性。（iv）大小的比較）大小的比較 fg()()g P df P d |( )|( )|f P df Pd （v）積分的估值）積分的估值()()()mf P dM mM與與 分別是函數(shù)在積分區(qū)域上的最大和最小值。分別是函數(shù)在積

15、分區(qū)域上的最大和最小值。（vi）中值定理。存在）中值定理。存在 0P0( )() ()f P df P 注：除了符號以及涉及到的集合（積分區(qū)域與被積注：除了符號以及涉及到的集合（積分區(qū)域與被積函數(shù)）不同，其它在形式和關系上，與一元函數(shù)定函數(shù)）不同，其它在形式和關系上，與一元函數(shù)定積分的基本性質完全一樣。積分的基本性質完全一樣。7.2 二重積分的計算二重積分的計算1.幾何意義幾何意義2.直角坐標下二重積分的計算直角坐標下二重積分的計算3.多重積分的換元法多重積分的換元法4.極坐標下的二重積分極坐標下的二重積分7-2: 3(3，4);4(3，4);5(3，4，5)； 6(2，3，4，6，7); 8

16、(3，4); 9(2，3); 10(2)。第七章第第七章第2 2節(jié)作業(yè)題節(jié)作業(yè)題1.二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義-曲頂柱體曲頂柱體體積的體積的“代數(shù)和代數(shù)和”2.直角坐標下二重積分的計算直角坐標下二重積分的計算（1）二重積分與一元函數(shù)定積分在計算方法上的）二重積分與一元函數(shù)定積分在計算方法上的差異。差異。（i）二重積分的區(qū)域很不規(guī)整；區(qū)域分化（面積）二重積分的區(qū)域很不規(guī)整；區(qū)域分化（面積微元）可能有不同的選擇。而一元函數(shù)定積分，微元）可能有不同的選擇。而一元函數(shù)定積分，積分區(qū)域是一個區(qū)間，區(qū)間分劃的形式是唯一的積分區(qū)域是一個區(qū)間，區(qū)間分劃的形式是唯一的 ，就是區(qū)間分段。就是區(qū)間分段。（

17、ii）計算積分，沒有原函數(shù)可以直接利用。）計算積分，沒有原函數(shù)可以直接利用。要解決二重積分，以及更高重的積分的計算問題，要解決二重積分，以及更高重的積分的計算問題，當然就要針對上面的不同，給出具體的計算規(guī)則。當然就要針對上面的不同，給出具體的計算規(guī)則。（2）計算二重積分的基本規(guī)則）計算二重積分的基本規(guī)則 注：由于積分區(qū)域本身往往不是矩形。所以看上注：由于積分區(qū)域本身往往不是矩形。所以看上去，分劃并不整齊。但是因為函數(shù)連續(xù)有界，區(qū)域去，分劃并不整齊。但是因為函數(shù)連續(xù)有界，區(qū)域邊界的面積為邊界的面積為0，在取極限的情況下，隨著覆蓋邊，在取極限的情況下，隨著覆蓋邊界的那些小矩形面積之和趨近于界的那些

18、小矩形面積之和趨近于0，這些邊界處的，這些邊界處的積分值也就趨近于積分值也就趨近于0了。了。（ii）將積分區(qū)域分解為）將積分區(qū)域分解為-X型、型、Y型區(qū)域的并集：型區(qū)域的并集：所謂所謂X型域型域，就是該區(qū)域是由兩條垂直于，就是該區(qū)域是由兩條垂直于X軸的直軸的直線與兩條以線與兩條以x為自變量的函數(shù)曲線圍城的區(qū)域。為自變量的函數(shù)曲線圍城的區(qū)域。類似可知類似可知Y型域型域構成方式。（考察構成方式。（考察關鍵區(qū)別在哪里關鍵區(qū)別在哪里！）?。╥）直角坐標系情況下，用小矩形分劃積分區(qū)域，）直角坐標系情況下，用小矩形分劃積分區(qū)域，面積微元記為面積微元記為 或或 （其意義自明）；（其意義自明）；dxdydy

19、dx（iii）將）將X型與型與Y型域上的重積分，轉化為型域上的重積分，轉化為“兩重兩重”相互聯(lián)系起來的一元函數(shù)的定積分。相互聯(lián)系起來的一元函數(shù)的定積分。（3）X型（型（Y型）域上的二重積分的計算。型）域上的二重積分的計算。根據(jù)二重積分的幾何意義，所謂曲頂柱體的體積微元根據(jù)二重積分的幾何意義，所謂曲頂柱體的體積微元 假設假設X型區(qū)域型區(qū)域 如下：如下：,)()(| ),(21baxxyxyx （iv）利用積分對區(qū)域的可加性，求總的積分。）利用積分對區(qū)域的可加性，求總的積分。( )( )dV xS x dxV （參考（參考圖示圖示7-7）為）為其體積為其體積為( )( )( , )bbaaDVdV

20、 xS x dxf x y dxdy 而而dyyxfxSxx )()(21),()( 于是二重積分計算就轉換為兩次一元函數(shù)的定積分于是二重積分計算就轉換為兩次一元函數(shù)的定積分的計算，即轉化為的計算，即轉化為累次積分（二次積分）累次積分（二次積分）：( , )=( )=bDaf x y dxdyS x dx 21( )( )( , )bxaxf x y dy dx 注注1：Y型域的積分與此類似；型域的積分與此類似；注注2：有界凸型區(qū)域，往往既是：有界凸型區(qū)域，往往既是X型域也是型域也是Y型域，型域，無論哪一種考慮，積分所得結果是一樣的，積分時無論哪一種考慮，積分所得結果是一樣的，積分時只需考慮哪

21、一種選擇使計算更簡便；只需考慮哪一種選擇使計算更簡便；注注3：更多重積分的計算方法，與二重積分的考慮：更多重積分的計算方法，與二重積分的考慮方式基本一樣，可自行推廣。方式基本一樣，可自行推廣。小結：以上過程，是數(shù)學中比較典型的方法顯示小結：以上過程，是數(shù)學中比較典型的方法顯示-將將復雜的對象轉化為相對簡單的對象，將新問題的解決復雜的對象轉化為相對簡單的對象，將新問題的解決轉化為對老問題的解決。轉化為對老問題的解決。 新積分的概念基礎，依然還是新積分的概念基礎，依然還是-極限極限！【例【例7-2】計算】計算 ，其中，其中D由由y軸、直線軸、直線 y=1及拋及拋物線物線 圍成圍成.)0(2 xxy

22、 Ddxdyxy2Oxyy=x2D1（圖（圖7-8）顯然，積分域是凸集，顯然，積分域是凸集，可以用兩種方法計算，可以用兩種方法計算，且繁簡程度沒有什么且繁簡程度沒有什么差別。差別。 而多元函數(shù)積分的計算，主要還是而多元函數(shù)積分的計算，主要還是歸結為一元函數(shù)歸結為一元函數(shù)的定積分計算，的定積分計算，但也要注意其自身的某些特點。但也要注意其自身的某些特點。【例【例7-3】計算】計算 ，其中，其中D是由曲線是由曲線 所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域.和和2xy Ddxdyx222xy （圖（圖7-9）Oxy2ABD-11 比較兩種順序的累次積比較兩種順序的累次積分，觀察一下哪一種簡明。分，觀察一下哪一種

23、簡明。為什么？為什么？ 在某些情況下，不同順序的累次積分，還不僅僅是在某些情況下，不同順序的累次積分，還不僅僅是計算時的繁簡差異。而是涉及到是否可以計算的問計算時的繁簡差異。而是涉及到是否可以計算的問題。見下例。題。見下例。Oxyy=xD1（圖（圖7-10）1 Dxdxdye2【例【例7-4】計算】計算 ，其中，其中D由由x軸、直線軸、直線 x=1和和y=x圍成（圖圍成（圖7-10）.解：若先對解：若先對x后對后對y積分，則積分，則 Dyxxdxedydydxe101,22而而 不是初等函數(shù)，故不是初等函數(shù)，故 無法積出，因此無法積出，因此按這種累次積分次序無法算出所求二重積分若換序按這種累次

24、積分次序無法算出所求二重積分若換序計算計算2xedx 2xedx 接續(xù)【例接續(xù)【例7-4】22211000 xxxxDedxdydxedyxedx 21101()|(1).22xee 【例【例7-5】計算】計算 ，其中，其中D是下半是下半圓域圓域 （圖（圖7-11）. DydxdyexyxI)(30, 4),( 22 yyxyx（圖（圖7-11）Oxy2D-2利用積分域以及函數(shù)利用積分域以及函數(shù)某種對稱性簡化計算。某種對稱性簡化計算。接續(xù)【例接續(xù)【例7-5】解：注意積分區(qū)域是關于解：注意積分區(qū)域是關于y軸對稱的，對于自變量軸對稱的，對于自變量x，x+x3e y 是奇函數(shù)，是奇函數(shù)，y可視為關于

25、可視為關于x的偶函數(shù)，因而的偶函數(shù)，因而22043324()()0,yyyyDxx edxdydyxx edx 21200422yDDydxdyydxdydxydy 22016(4),3xdx 有有 記記 .20 , 04),( 21 xyxyxD3316()().3yyDDDxyx edxdyxx edxdyydxdy 于是于是【例【例7-6】設】設D是是xOy平面上以曲線平面上以曲線 y=x3,直線直線x=- -1和和y=1所圍成的閉區(qū)域（圖所圍成的閉區(qū)域（圖7-12）,求求.)sin(22 DdxdyxyyxIy=x3D1（圖（圖7-12）Oxy1-11D2D3D4 學會觀察函數(shù)與積學會

26、觀察函數(shù)與積分域的特點與關系，分域的特點與關系，利用這些關系和特點利用這些關系和特點適當分解積分域，可適當分解積分域，可以簡化積分的計算以簡化積分的計算-不要只是盲目的計算。不要只是盲目的計算。接續(xù)【例接續(xù)【例7-6】解：如圖解：如圖7-32所示，在第二象限畫出曲線所示，在第二象限畫出曲線 y=-x3，這樣，這樣就由曲線就由曲線 y=-x3 和兩條坐標軸將和兩條坐標軸將D分成了四個子區(qū)域，分成了四個子區(qū)域，其中其中D1和和D2關于關于 y 軸對稱，而軸對稱，而D3和和D4關于關于 x 軸對稱軸對稱12sin()0DDxy dx dy 因為函數(shù)因為函數(shù) f (x,y)=sin(xy) 關于自變量

27、關于自變量 x 和和 y 均為奇均為奇函數(shù)，所以函數(shù)，所以且且34sin()0.DDxy dxdy 從而從而sin()0.Dxy dxdy 函數(shù)函數(shù)g(x,y)=2x2y關于關于y是奇函數(shù)，關于是奇函數(shù)，關于x是偶函數(shù)，所是偶函數(shù)，所以以從而從而242.9Dx ydxdy 34220DDx ydx dy 16204=2(1).9xx dx 312111222022222xDDDx ydxdyx ydxdydxx ydy 接續(xù)【接續(xù)【7-67-6】3.二重積分的換元法二重積分的換元法 從前面的例子可以看出，重積分計算的一個重要環(huán)從前面的例子可以看出，重積分計算的一個重要環(huán)節(jié)是對積分域的分析。是否

28、能夠將積分域的幾何形節(jié)是對積分域的分析。是否能夠將積分域的幾何形狀、邊界的解析表示簡化，對于重積分的計算是十狀、邊界的解析表示簡化，對于重積分的計算是十分關鍵的。分關鍵的。 假設在假設在xOy平面上的一個區(qū)域比較復雜（或其解析平面上的一個區(qū)域比較復雜（或其解析表達式復雜）。一個自然的想法是，做一個變換，表達式復雜）。一個自然的想法是，做一個變換，使得在另外一個坐標系中，這個積分區(qū)域變得比較使得在另外一個坐標系中，這個積分區(qū)域變得比較簡明，從而使其邊界的解析表示形式簡化。簡明，從而使其邊界的解析表示形式簡化。 如果存在這樣的變換，那么被積表達式會有什么變如果存在這樣的變換，那么被積表達式會有什么

29、變化呢？化呢？（1）-回顧一元函數(shù)定積分的換元法。回顧一元函數(shù)定積分的換元法。 用積分的一般表示形式，無論是第一類還是第二類用積分的一般表示形式，無論是第一類還是第二類換元公式，對于定積分而言，都是如下關系：換元公式，對于定積分而言，都是如下關系： ),(,)(| )(|)( dxxfdtttf其中，變換為其中，變換為 ，并且，并且)(tx 12000210(2 )2,2( )|( )|( 2 )|( 2)|2tdtxdxxtttdttdtxdxxt ，1( ,) , , ,( , )a ba b txtx2,2 還是還是，都有，都有例如無論是做變換例如無論是做變換。這個關系的幾何解釋是怎樣的

30、呢？這個關系的幾何解釋是怎樣的呢？注意：變換注意：變換 中，中，. 00; 21 xtxttx2 盡管盡管 ，但不是按照對應順序映成的。，但不是按照對應順序映成的。2 , 0)0 , 1( （2）多重積分的換元法公式（二重、三重積分）多重積分的換元法公式（二重、三重積分）dudvJvuyvuxfdxdyyxfDD |),(),(),(若若 則有則有 )(DFD ， ),(),(),(vuyvuxvuFyx( , )0( , )x yJu v ，。注注1：如果雅各比矩陣存在，且其行列式恒不為：如果雅各比矩陣存在，且其行列式恒不為0，則變換則變換F當然是連續(xù)，可偏導的；并且變換當然是連續(xù)，可偏導的

31、；并且變換F還是還是1-1的，起碼在對應的兩個積分區(qū)域之間。的，起碼在對應的兩個積分區(qū)域之間。因此還有因此還有 。)(1DFD 注注2：如果區(qū)域內有些點處雅各比行列式為：如果區(qū)域內有些點處雅各比行列式為0，但是，但是設有變換設有變換 這些點組成的集合的面積（或體積這些點組成的集合的面積（或體積-在三維情況）為在三維情況）為0，則上述積分變換的結果依然成立。則上述積分變換的結果依然成立。注注3：只要將上面的變換公式寫成三重積分，甚至：只要將上面的變換公式寫成三重積分，甚至n重積分的形式，結論也都是對的。重積分的形式，結論也都是對的。（3）極坐標系情況下的二重積分計算）極坐標系情況下的二重積分計算

32、 在二重積分的變換中，將直角坐標變換為極坐標是在二重積分的變換中，將直角坐標變換為極坐標是很常見的情況之一。很常見的情況之一。 設函數(shù)的定義域原本是由直角坐標系表示的，如設函數(shù)的定義域原本是由直角坐標系表示的，如果果應用極坐標表示這個區(qū)域應用極坐標表示這個區(qū)域，直接從幾何角度分析，直接從幾何角度分析，以射線與同心圓族分割，可得用極坐標表示的小區(qū)以射線與同心圓族分割，可得用極坐標表示的小區(qū)域面積表示為：域面積表示為：221()2iiiiiiiirrrr r drdrd 事實上，由直角坐標到極坐標變換的雅各比行列式事實上，由直角坐標到極坐標變換的雅各比行列式rrrryx cos,sinsin,co

33、s),(),(所得到的積分微元的變換也是一樣的。這在情理之中。所得到的積分微元的變換也是一樣的。這在情理之中。注：當極坐標表示的平面積分區(qū)域中含有極點，即矢注：當極坐標表示的平面積分區(qū)域中含有極點，即矢徑為徑為0的點，那么對矢徑的積分下限，就從的點，那么對矢徑的積分下限，就從0開始。開始。 盡管直角坐標與極坐標之間的對應不都是盡管直角坐標與極坐標之間的對應不都是1-1的，但的，但是在幅角變化不超過一周的情況下，對積分沒影響。是在幅角變化不超過一周的情況下，對積分沒影響。即面積微元是即面積微元是（圖（圖7-17）Oxy12,)(22 Ddyx 【例【例7-7】計算】計算 其中其中D是圓環(huán)域是圓環(huán)

34、域4122 yx（圖（圖7-17）.注：在注：在 平面（另一個直角平面（另一個直角坐標平面），這里的積分區(qū)域坐標平面），這里的積分區(qū)域變換為一個矩形。變換為一個矩形。 rO 所以變換之后的積分是很容易所以變換之后的積分是很容易計算的。計算的。2 , 02 , 1 【例【例7-8】把二重積分】把二重積分 化作在極坐標系下的化作在極坐標系下的累次積分，其中累次積分，其中D是由直線是由直線y=x , y=2x及曲線及曲線x2+y2=4x , x2+y2=8x 所圍成的平面區(qū)域（圖所圍成的平面區(qū)域（圖7-18）. Ddyxf ),(（圖（圖7-18）Oxy42arctan 4 cos8 r cos4

35、r注：變換之后在直角坐標注：變換之后在直角坐標 平面中的區(qū)域為平面中的區(qū)域為 rO 型域：型域：2arctan,4 .cos8cos4 r； 2arctan4cos8cos4)sin,cos(),( rdrrrfddxdyyxfD于是由變量代換公式得：于是由變量代換公式得：【例【例7-9】求雙紐線】求雙紐線(x2+y2)2=2a2(x2-y2)(a0)（圖（圖7-19）所圍區(qū)域的面積所圍區(qū)域的面積.（圖（圖7-19）OxyD4 注：極坐標表示雙紐線為注：極坐標表示雙紐線為,2cos222 ar 222arccos21ar 在第一象限有（四分之一區(qū)域）在第一象限有（四分之一區(qū)域）4, 0 這時在

36、這時在 坐標平面的積分域為坐標平面的積分域為 型域型域 rO4, 0 2cos20ar ；。 402cos20444 aDDrdrddxdydA于是于是【例【例7-10】 （1）計算二重積分）計算二重積分 ，其中，其中 D 是是1/4圓域圓域 Dyxdxdye)(22).0, 0()0(222 yxaayx （2）利用（）利用（1）的結果求反常積分）的結果求反常積分 0.2dxex（圖（圖7-20）OxyD1a2aD2D3（1）做極坐標變換，在）做極坐標變換，在 rO坐標平面上積分域為坐標平面上積分域為矩形：矩形： ，積分結果為，積分結果為2, 0, 0 a)4()exp(1(42 aa（2）

37、考慮圖示中的三個積分區(qū)域）考慮圖示中的三個積分區(qū)域可得：可得：)2exp(1(4)()exp(1(422022adxeax 接續(xù)【例接續(xù)【例7-10】解解：（：（1）在極坐標系下，區(qū)域）在極坐標系下，區(qū)域D可表示為可表示為,20 ,0),( arrD于是于是2222()20001()22axyrraDedx dydedre ).142ae （ 下面計算下面計算 220()xedx 2xe ，注意函數(shù)，注意函數(shù) 的原函數(shù)不的原函數(shù)不是初等函數(shù)。是初等函數(shù)。（2）構造三個區(qū)域）構造三個區(qū)域2221( , ),0,0,Dx y xyaxy2222( , )2,0,0,Dx y xyaxy 3( ,

38、) 0,0,Dx yxaya顯然顯然 （圖（圖7-20）132DDD 由（由（1）的結果得）的結果得221()xyDedx dy 21)4ae （，222()xyDedx dy 221).4ae （由于由于221()xyDedx dy 222()xyDedx dy 223()xyDedx dy 而而222223()2000=() .aaaxyxyxDedxdyedxedyedx 所以所以21)4ae （221).4ae （220()axedx 令令 ，上式兩端趨于同一極限，上式兩端趨于同一極限 ，于是得到，于是得到 a4 20.2xedx 注：由上面的積分（注：由上面的積分（2），可以得到概率

39、中正態(tài)分布），可以得到概率中正態(tài)分布函數(shù)的密度函數(shù)。函數(shù)的密度函數(shù)。 這個計算表明，即便被積函數(shù)的原函數(shù)沒有初等表這個計算表明，即便被積函數(shù)的原函數(shù)沒有初等表示，也不意味著無法通過積分求得某些定積分值。示，也不意味著無法通過積分求得某些定積分值?！纠纠?-11】求球體】求球體 被圓柱面被圓柱面 所截得含在圓柱面內的立體體積所截得含在圓柱面內的立體體積V.)0(2222 RRzyxRxyx 22（圖（圖7-21）OxyzRRR（圖（圖7-22）Oxy cosRr rD注：從幾何直觀上分析，這是求（考慮對稱性）注：從幾何直觀上分析，這是求（考慮對稱性）積分域為積分域為22( , )| ()(0)

40、Dx yxyRxy 被積函數(shù)為被積函數(shù)為222( , )4f x yRxy 的積分。做極坐標變換，得到在的積分。做極坐標變換，得到在 坐標平面上的坐標平面上的積分域為積分域為 型域（見圖型域（見圖7-22）：）： rO .cos0,2, 0 Rr 附注：上述立體稱為附注：上述立體稱為維維安尼體，維維安尼體，假設在負假設在負y那半個平那半個平面上再截去這樣一個體積，球體所剩下立體體積完全面上再截去這樣一個體積，球體所剩下立體體積完全可能是有理數(shù)，只要半徑是有理數(shù)，而與圓周率無關?？赡苁怯欣頂?shù)，只要半徑是有理數(shù)，而與圓周率無關。具體計算如下頁所示。具體計算如下頁所示。接續(xù)【例接續(xù)【例7-11】解解

41、：由對稱性，只需求得該立方體在第一卦限部分的：由對稱性，只需求得該立方體在第一卦限部分的體積，它的四倍即為所求立方體體積（圖體積，它的四倍即為所求立方體體積（圖7-21）在）在第一卦限內的體積是一曲頂柱體，其底為區(qū)域（圖第一卦限內的體積是一曲頂柱體，其底為區(qū)域（圖7-22）22( , )+,0,Dx y xyRx y 曲頂為球面曲頂為球面 ，故所求體積，故所求體積222yxRz DdxdyyxRV2224在極坐標系下在極坐標系下( , ) 0cos ,0,2DrrR 于是于是cos222004RVdRr rdr 2033)sin1 (34 dR342().323R 由上式可知，若用兩個柱面由上

42、式可知，若用兩個柱面 去截球體去截球體Rxyx 22 ，則所截下的體積為，則所截下的體積為2V，而球體所剩，而球體所剩立體體積為立體體積為2222Rzyx .91623433RVR 接續(xù)【例接續(xù)【例7-11】【例【例7-12】計算】計算 ，其中，其中D是由曲線是由曲線xy=1 , xy=2, y=x 及及 y=4x 在第一象限圍成的區(qū)域（圖在第一象限圍成的區(qū)域（圖7-23）. Dxydxdy（圖（圖7-23）OxyDy=xy=4xxy=2xy=1（4）其它的某些變量代換）其它的某些變量代換 積分變換沒有固定方法，積分變換沒有固定方法，必須多做一些練習必須多做一些練習，熟悉很多變換的作用，才可能

43、做出合適的選擇。熟悉很多變換的作用，才可能做出合適的選擇。（圖（圖7-24）Ouv1142D做變換做變換vvuyxxyyxvu21),(),(2),(),( 則有則有,.yuxy vx接續(xù)【例接續(xù)【例7-12】解解： 作變換作變換 ，則對應于，則對應于D的的uOv平面上的平面上的區(qū)域區(qū)域 （圖（圖7-24）xyvxyu ,41 , 21),( vuvuD由由 可得可得xyvxyu ,uvyvux 從而從而,2122221),(),(3vvuuvvuuvvuyxJ 由公式（由公式（7）便得）便得 DDdvvudududvvuxydxdy2141. 2ln232121求出求出J ( , )1( ,

44、 )( , )( , )x yu vu vx y 注意，在計算注意，在計算 時，若時，若J 不易計算，可由不易計算，可由),(),(vuyxJ 如在本例中，可先求如在本例中，可先求,21),(),(2xyxxyxyyxvu 從而從而.212vyxJ 【例【例7-13】計算】計算 ，其中，其中D為橢圓域：為橢圓域： Ddxdybyax22221. 0, 0, 12222 babyax注：做廣義極坐標變換，實際是一個線性伸縮變換注：做廣義極坐標變換，實際是一個線性伸縮變換與極坐標變換的復合與極坐標變換的復合cossinxarybr 積分區(qū)域變換為積分區(qū)域變換為 ，雅各比行列式為，雅各比行列式為2

45、, 01 , 0 abrryxJ ),(),( 2221200222113Dxydxdyabdrr drabab ),(),(vuyvuxyx做二維變換：做二維變換：0),(),( vuyx并且并且( , )|( , )x ydxdydudvu v 注：首先考察上述變換是線性變換；注：首先考察上述變換是線性變換； 再考慮行列式的幾何意義；再考慮行列式的幾何意義； 最后考察對應關系（最后考察對應關系（1）的幾何意義。）的幾何意義。（1） 問題：可以將這樣的變換推廣到高維情況嗎？問題：可以將這樣的變換推廣到高維情況嗎？ 起碼看看三維的情況。起碼看看三維的情況。然后作對應然后作對應附錄附錄-多元積分

46、變量代換公式的分析。多元積分變量代換公式的分析。（1）二維空間線性變換下的某些幾何關系）二維空間線性變換下的某些幾何關系。設有。設有11122122xxaaxuuuvyaavyyvuv 下面給這個變換關于面積關系轉換的一個解釋。下面給這個變換關于面積關系轉換的一個解釋。 設有兩個直角坐標系給出二維向量空間表示，一個是設有兩個直角坐標系給出二維向量空間表示，一個是uOv 平面，一個是平面，一個是 平面。平面。 上面的（附上面的（附1）式，可以看做是從前一個平面（空間）式，可以看做是從前一個平面（空間）到后一個平面（空間）的線性映射。到后一個平面（空間）的線性映射。xOy（附（附1）根據(jù)這個映射，

47、根據(jù)這個映射， 坐標空間中的標準正交基坐標空間中的標準正交基uOv 10,01vuee分別對應到分別對應到 中的向量為中的向量為xOy, uyuxeuyeuxyx和和.xyxxyveevvyv 于是于是 平面中由平面中由 （的線段長度為邊）所（的線段長度為邊）所確定的矩形，對應到確定的矩形，對應到 平面中。是由平面中。是由uOvvuveue ,xOy(),xyxxyueeuuuuyu ().xyxxyveevvvvyv 所確定的所確定的平行四邊形。從面積的角度講，這個線性映射平行四邊形。從面積的角度講，這個線性映射將將 平面中面積為平面中面積為 的平行四邊形，映射成的平行四邊形，映射成 平面中

48、面積為平面中面積為dudvuOvxOy( , )|( , )x ydudvu v uOvxOy的平行四邊形。反之，這個映射的逆映射將的平行四邊形。反之，這個映射的逆映射將 平面平面中面積為中面積為 的平行四邊形，映射為的平行四邊形，映射為 平面中面平面中面積為積為dxdy1( , )( , )|( , )( , )u vx ydxdydxdyx yu v 的平行四邊形。的平行四邊形。 在計算積分在計算積分時，積分變換中面積微元的變換公式（時，積分變換中面積微元的變換公式（1）所反映的就是這種關系。所反映的就是這種關系。 換句話說，如果我們要用換句話說，如果我們要用 平面中的面積微元表示平面中的

49、面積微元表示uOvxOy 平面中的面積微元，便有如下形式等式：平面中的面積微元，便有如下形式等式：( , )|( , )x ydxdydudvu v （2）關于面積微元變換的另一個解釋。）關于面積微元變換的另一個解釋。 考慮二維平面向量空間到自身的一個變換。給這個考慮二維平面向量空間到自身的一個變換。給這個向量空間有一組基，基向量記為向量空間有一組基，基向量記為 ， 。設。設udvd( , )0 |( , )x yu v 因此在給定點因此在給定點，以如下對應方式，以如下對應方式dvvxduuxxd yydydudvuv 定義了二維向量空間到自身的一個滿秩線性變換，定義了二維向量空間到自身的一個

50、滿秩線性變換，( , )|( , )x yu v 重要的是，這個變換（以重要的是，這個變換（以 和和 的向量組為基）的向量組為基）的坐標變換表示矩陣為：的坐標變換表示矩陣為：udvdud；vdxyuuxyvv其行列式還是：其行列式還是：由這個規(guī)定，同樣可得由這個規(guī)定，同樣可得ydxd dudv ( , )|( , )x yu v 引入符號引入符號 （類似還有（類似還有 等）表示由向等）表示由向量量 與與 （幾何表示的線段為鄰邊）所確定平行四（幾何表示的線段為鄰邊）所確定平行四邊形的有向面積。即有邊形的有向面積。即有ydxd dudv xdydxdydydxd （3）一個形式規(guī)定帶來的方便）一個

51、形式規(guī)定帶來的方便 7.3 三重積分的計算三重積分的計算1.直角坐標系下的計算直角坐標系下的計算2.柱坐標系和球坐標系下的計算柱坐標系和球坐標系下的計算7-3: 1(3);2(2，4，6); 3(2); 4(4，5);5(2，3); 6(1，3，5);7(1，2，3); 8; 11。第七章第第七章第3節(jié)作業(yè)題節(jié)作業(yè)題1.直角坐標系下三重積分的計算直角坐標系下三重積分的計算 從二重積分的計算方法不難看出，將高重積分分解從二重積分的計算方法不難看出，將高重積分分解為較低重的積分，是問題解決的關鍵。為較低重的積分，是問題解決的關鍵。 現(xiàn)在，我們已經可以計算二重積分了，那么怎樣現(xiàn)在，我們已經可以計算二

52、重積分了，那么怎樣才能將三重積分分解為二重和一重（一元函數(shù)）積才能將三重積分分解為二重和一重（一元函數(shù)）積分呢？當然，二重積分也是變換為兩次一重積分的。分呢？當然，二重積分也是變換為兩次一重積分的。不過這已經不是問題了。不過這已經不是問題了。 主要的方法有兩種，通俗的講，就是主要的方法有兩種，通俗的講，就是“先一后二先一后二”和和“先二后一先二后一”。 在直角坐標系下，對積分域的的分劃，與二維情況在直角坐標系下，對積分域的的分劃，與二維情況相似，就是分劃為長方體，體積微元總是相似，就是分劃為長方體，體積微元總是 。dxdydz（1）坐標面投影法）坐標面投影法-或或“先一后二先一后二”法法 將積

53、分域將積分域V（總假設是有界閉集）到某個坐標平面（總假設是有界閉集）到某個坐標平面投影，比如說投影到投影，比如說投影到xOy平面，記為平面，記為 。 如果滿足：從任何一個屬于投影區(qū)域如果滿足：從任何一個屬于投影區(qū)域 的點引垂的點引垂直于該平面的直線，這條直線與積分域的交集總是直于該平面的直線，這條直線與積分域的交集總是一個線段，那么就稱這個區(qū)域一個線段，那么就稱這個區(qū)域V是是xy型域。型域。xyVxyV yz型與型與zx型域可類似定義。型域可類似定義。 一個一個xy型域，一般都可以表示為：型域，一般都可以表示為：),(),(),(| ),(21yxzyxDyxzyxxy 于是三重積分可以表示為

54、于是三重積分可以表示為dxdydzzyxfdxdydzzyxfxyDyxyxV),(),(),(),(21 （1）21(, )(, )( , , )( , , )xyx yDx yVf x y z dxdydzdxdyf x y z dz 上式也約定記為上式也約定記為以此清楚地表明以此清楚地表明“先一后二先一后二”的積分順序。的積分順序。 上述關系式（上述關系式（1）可以由高維體積或賦予物理意義）可以由高維體積或賦予物理意義給以解釋，比如說物質密度與總質量的關系。給以解釋，比如說物質密度與總質量的關系。（1+）【例【例7-14】計算】計算 ，其中，其中V是由平面是由平面x+y+z=1和三和三個

55、坐標面圍成的閉區(qū)域個坐標面圍成的閉區(qū)域.VxdVOxyz111z = =1-x-yy=1-xDxy（圖（圖7-26）1010| ),(xyxyxDxy .10;),( :yxzDyxVxy 【例【例7-15】計算】計算 , 其中其中VzdV.10),( 22yxzzyxV Oxyz111Dxy-1-1（圖（圖7-27）Oxyz（圖（圖7-28）czd 從題設條件，積分域從題設條件，積分域已經十分清楚了。已經十分清楚了。 作為課堂練習。作為課堂練習。（2）截面法）截面法-“先二后一先二后一”法。法。觀察左邊圖觀察左邊圖7-28，對任意的，對任意的z，假設，假設陰影部分（記為陰影部分（記為 ）關于

56、）關于x、y的二的二zD重積分容易計算，那么就可以由如下關系：重積分容易計算，那么就可以由如下關系：( , , )( , , )zdcDVf x y z dxdydzf x y z dxdy dz 計算三重積分。這個關系還約定記為計算三重積分。這個關系還約定記為( , , )( , , )zdcDVf x y z dxdydzdzf x y z dxdy （2）（2+）【例【例7-16】計算】計算 其中其中V是由平面是由平面z=x+y , x=0 , y=0 , z= 所圍成的立體（圖所圍成的立體（圖7-29）.Vdxdydzzz,sin （圖（圖7-29）zOxyz Dz 注：這里的關鍵，是

57、被積注：這里的關鍵，是被積函數(shù)中沒有自變量函數(shù)中沒有自變量x、y出現(xiàn)。出現(xiàn)。 截面法十分簡明。截面法十分簡明。接續(xù)【例接續(xù)【例7-16】解解： V在在z軸上的投影為軸上的投影為 ，在，在 內任一點作平內任一點作平面垂直于面垂直于z軸，它在軸，它在V上的截面為上的截面為Dz，Dz是一個三角形是一個三角形區(qū)域，易知區(qū)域，易知Dz的面積是的面積是 于是于是, 0 , 0 221z VDzdxdydzzzdxdydzzz 0sinsin 0221sindzzzz01sin.22zzdz 解解： 由三重積分的物理意義知由三重積分的物理意義知2222,zccVDzzdVdzdxdycc 222222()V

58、xyzmdVabc 222222VVVxyzdVdVdVabc 而而【例【例7-17】已知橢球】已知橢球V： ，其密度，其密度1222222 czbyax222222czbyax ，求該橢球體的質量，求該橢球體的質量m.注：由積分對被積函數(shù)的可加性，可以對函數(shù)中每注：由積分對被積函數(shù)的可加性，可以對函數(shù)中每一單項式積分。同樣由截面法，計算十分簡明。一單項式積分。同樣由截面法，計算十分簡明。所以所以222222024(1).15cVzabzdVzdzabcccc 同理同理22224,15VVxydVdVabcab 因此因此.54abcm ),1()1)(1(222222czabczbcza 其中

59、其中 是橢圓是橢圓 所圍圖形的面積所圍圖形的面積zDdxdy 2222221czbyax 接續(xù)【例接續(xù)【例7-177-17】2.柱面和球面坐標系下的三重積分計算柱面和球面坐標系下的三重積分計算（1）三重積分的變量代換）三重積分的變量代換-換元法（略換元法（略-已知）已知）（2）柱坐標下的積分計算）柱坐標下的積分計算（i）柱坐標的說明）柱坐標的說明-平面極坐標加上縱軸平面極坐標加上縱軸z。（ii）將直角坐標變換為柱坐標：）將直角坐標變換為柱坐標：.;sin;coszzryrx 雅各比行列式為雅各比行列式為rzrzyxJ ),(),( （圖（圖7-33）1OxyzD1-1-11【例【例7-18】計

60、算】計算 ，其中，其中V是由錐面是由錐面 及平面及平面 z =1圍成的區(qū)域（圖圍成的區(qū)域（圖7-33）. VdVyxzI2222yxz 注：先用坐標面投影法，然后對注：先用坐標面投影法，然后對xOy平面做極坐標平面做極坐標變換。也就是將投影域變成變換。也就是將投影域變成“矩形矩形”區(qū)域。區(qū)域。 可以看出，在積分域是旋轉體，或與圓有關的區(qū)可以看出，在積分域是旋轉體，或與圓有關的區(qū)域；被積函數(shù)可以表示為關于投影域的變量二次齊域；被積函數(shù)可以表示為關于投影域的變量二次齊次的函數(shù)與另一個變量的函數(shù)乘積時，用柱坐標計次的函數(shù)與另一個變量的函數(shù)乘積時，用柱坐標計算積分，明顯會帶來計算方便。算積分，明顯會帶