用二分法求方程的近似解教學設(shè)計與教學反思

1、“用二分法求方程的近似解”教學設(shè)計與教學反思梁光掛 （南寧三中平果分校）【教學設(shè)計】一、內(nèi)容與內(nèi)容解析 本節(jié)是人教A版普通高中標準試驗教科書數(shù)學1（必修）第三章“函數(shù)的應用”中第一節(jié)“函數(shù)與方程”的第二塊內(nèi)容，是在學習了集合與函數(shù)概念、基本初等函數(shù)后，研究函數(shù)與方程關(guān)系的內(nèi)容。本節(jié)課的教學內(nèi)容是：結(jié)合函數(shù)大致圖象，能夠借助計算器用二分法求出相應方程的近似解，理解二分法的思想及了解這種方法是求方程近似解的常用方法。本節(jié)內(nèi)容是課標教材中新增的內(nèi)容。在初中，學生學習了簡單的一元一次方程和一元二次方程等簡單方程的求根問題，但是實際問題中，有具體求根公式的方程是很少的。對于這類方程，我們只能根據(jù)根的存在

2、性定理判斷根的存在，在利用二分法可以求出方程給定精確度的近似解。經(jīng)過本節(jié)內(nèi)容的學習，將使學生更加深入理解函數(shù)與方程的數(shù)學思想。二、目標和目標解析本節(jié)課要求學生懂得解決“如何求方程的近似解”這么一個問題，而二分法是解決這類問題的常用解法或通解法，既然是“近似解”，那么引導學生的思維模式由“求”轉(zhuǎn)變?yōu)椤罢摇憋@得更加貼切，也更好理解。本節(jié)課的主要目標就是要求學生理解二分法的思想，真正理解怎么去“找”近似解。本節(jié)課的教學目標是：（1）理解二分法的基本思想，能夠借助計算器用二分法求給定方程滿足一定精確度的近似解；（2）引導學生通過觀察和計算體會二分法，感受函數(shù)與方程的思想，使學生在學習過程中體會近似思想

3、、逼近思想、算法思想；（3）幫助學生了解數(shù)學在人類文明發(fā)展中的作用，形成正確的數(shù)學觀，通過生活實例培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識，激發(fā)學生的學習興趣。教學重點：理解二分法的基本思想，把找方程近似解轉(zhuǎn)化為縮小函數(shù)零點所在區(qū)間，對函數(shù)與方程的關(guān)系及化歸思想有更深入的認識。教學難點：對精確度的理解，用二分法求近似解中，在不斷縮小區(qū)間時，對區(qū)間端點的循環(huán)迭代替換的理解.三、學生診斷分析學生在學習本節(jié)內(nèi)容的時候可能會對二分法的本質(zhì)理解不夠透徹，特別是在“循環(huán)迭代與替換區(qū)間端點”這一環(huán)節(jié)的理解上相對比較困難，對精確的理解耶比較困難。同時在運算過程中，數(shù)值較繁瑣，這些都使學生對本節(jié)的學習與理解產(chǎn)生較大的阻礙，在課前

4、應給學生提前預習，以做好思想準備。學生在學習本節(jié)內(nèi)容之前已經(jīng)學習了“方程的根與函數(shù)的零點”，理解函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，并具有一定的數(shù)形結(jié)合思想，這些成為本節(jié)知識學習的生長點，在用二分法求近似解的步驟中又滲透著算法思想，為今后的算法內(nèi)容學習埋下伏筆。但是學生對動態(tài)與靜態(tài)的認識薄弱，對于函數(shù)與方程的聯(lián)系缺乏一定的認識，這些都給學生在縮小零點所在區(qū)間的過程造成一定的難度。因此在教學中應該多給學生動手的機會，給學生創(chuàng)設(shè)熟悉的問題情境，引導學生觀察，計算，思考和總結(jié)，使他們理解問題背后的本質(zhì)從而得出結(jié)論.四、教學支持條件分析將問題導學法、討論法、游戲體驗法等多種教學方法有機結(jié)合，并結(jié)合多媒體手段，

5、組織學生自主探究學習，合作交流完成本節(jié)的內(nèi)容。學生的課前準備：1復習前一節(jié)課的內(nèi)容，熟悉連續(xù)函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點的判斷方法；2準備好科學計算器，熟悉科學計算器的使用；3完成老師發(fā)給的導學案（附件中）。教師的教學準備：將上課內(nèi)容制作成課件。五、教學過程設(shè)計（一）復習引入上一節(jié)課我們學習了方程的根與函數(shù)的零點的關(guān)系，也學習了方程的根的存在性定理。我們一起來回憶一下：1. 方程的根與函數(shù)的零點有什么關(guān)系？答：方程的根是相應函數(shù)的零點，函數(shù)的零點是相應方程的根。求一個方程的解時，如果直接從方程角度入手難度較大時，我們可以嘗試從“求函數(shù)的零點”入手。2.還記得根的存在性定理嗎？答：如果函數(shù)在區(qū)間上的

6、圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，這個零點也是方程的根.【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學生復習的習慣，對上節(jié)課的復習為本節(jié)的學習提供了知識保障。（二）新課講授在數(shù)學學習中，解方程將是我們經(jīng)常遇到的問題。問題1：你會求下列方程的根嗎？【設(shè)計意圖】從學生熟悉的方程入手，引入求方程根的話題，引起學生的認識沖突，激起進一步探究的欲望.對于前兩個方程，學生很快找出解決辦法，最后一個方程學生無法根據(jù)之前學過的知識進行求解，從方程角度入手不知如何下手，這時教師適時點撥引導：當從方程角度直接入手難以求出方程的根時，我們可以轉(zhuǎn)化為求該方程相應函數(shù)的零點的問題。方程，由課本88頁例1我們知道函數(shù)在區(qū)間（

7、2,3）內(nèi)有唯一零點，這一節(jié)課的重點就是如何找出這個零點的位置。例 求方程的近似解.（精確度為0.01）教師引導分析：根據(jù)前面我們的分析，我們可以將“求方程的近似解”問題轉(zhuǎn)變?yōu)椤罢液瘮?shù)在區(qū)間（2,3）內(nèi)的近似零點”問題。問題2：那么怎么找出這個近似零點呢？【設(shè)計意圖】進一步理清思路，明確問題，使問題由“求”變?yōu)椤罢摇保@樣一來問題更具有游戲的味道，激發(fā)學生的學習熱情。在“找”這個零點之前，我們先來玩?zhèn)€小游戲：前兩天我剛剛買了個手機，為了游戲更有趣，我暫且不能告訴大家是什么牌子，我只能告訴大家這個手機的價位是20003000元，如果我給大家6次猜價的機會，我只能告訴大家猜的價格比真實值多或少，大

8、家能否猜出與手機真實價錢的誤差在50元以內(nèi)的價錢？注意啊，你們的機會只有6次！第一次猜價：2500元，教師提示少了，手機價錢范圍縮小到25003000元，此時還不能確保誤差小于50元（為什么？）；第二次猜價：2750元，教師提示多了，手機價錢范圍縮小到25002750元，此時還不能確保誤差小于50元（為什么？）；一次類推到第五次的時候，學生成功的猜出誤差在50以內(nèi)的價錢。游戲結(jié)束。問題引導總結(jié)：問題3：大家如何猜誤差在50元內(nèi)的價格？問題4：猜價過程當中，大家發(fā)現(xiàn)手機價錢的范圍有什么變化？問題5：我們?yōu)槭裁床碌降?次就停止？經(jīng)過三個問題的引導，大家很快便總結(jié)出猜價格的方法：不斷取中點值與真實值

9、比較，懂得判斷真實值所屬區(qū)間，區(qū)間長度不斷縮短，直到“猜值”與真實值的最大誤差小于50元為止。這種方法在數(shù)學中我們叫做“二分法”.【設(shè)計意圖】使學生更加輕松有趣的學習，通過猜價格游戲來引出二分法的概念，讓學生更容易接受二分法的思想和體會到學習二分法的顯示使用價值，借此培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識.回到“例求方程的近似解.（精確度為0.01）”。問題6：利用剛才我們猜價格的方法，借助計算器，你能“找函數(shù)在區(qū)間（2,3）內(nèi)的近似零點（精確度為0.0.1）”嗎？【設(shè)計意圖】從游戲把學生拉回本節(jié)主題，把游戲和本例的解決過程融合到一起對比分析比較，使學生真正的理解二分法的本質(zhì).模仿猜價格的方法，學生很快找出“

10、尋找近似零點”的方法，注意鼓勵學生用通俗的語言概括上面求方程近似解的方法的思想，理解二分法的本質(zhì)內(nèi)涵。給出教材上的規(guī)范的定義。（結(jié)論歸納）1.二分法的定義對于在區(qū)間上連續(xù)不斷，且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點所在區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似解（或?qū)匠痰慕聘┑姆椒ń凶龆址?注：結(jié)合例題來理解二分法的定義。2.利用二分法求方程近似解的步驟：1.確定初始區(qū)間a,b，驗證f(a)f(b)0 2.求區(qū)間a,b的中點x13.計算：f(x1)判斷：(1)如果f(x1)=0，則x1就是f(x)的零點，計算終止；(2)如果f(a) f(x1)0，則令a= x1 (此時零

11、點x0(x1,b)；4.判斷是否達到精確度：即若最終區(qū)間長度小于 ，則得到零點近似值是(a,b)區(qū)間內(nèi)的一點；否則重復24步驟。3.口訣 定區(qū)間，找中點， 中值計算兩邊看。 同號去，異號算， 零點落在異號間。 周而復始怎么辦？ 精確度上來判斷?！驹O(shè)計意圖】讓學生進一步總結(jié)用二分法求方程近似解的思維過程，歸納解題步驟，使學生由經(jīng)驗水平上升到理論水平。通過歸納總結(jié)形成二分法的理論知識，訓練學生數(shù)學表達能力，培養(yǎng)學生的概括能力。（三）、課堂練習課堂練習1：下列函數(shù)中能用二分法求零點的是 （ ）問題7：根據(jù)練習，請思考用二分法求零點的條件是什么？【設(shè)計意圖】讓學生辨析什么情況下事宜用二分法求零點，辨析

12、過程也是學生認識完善的過程。課堂練習2：用二分法求函數(shù)在內(nèi)零點近似值的過程中得到，則零點落在區(qū)間 （ ） D.不能確定【設(shè)計意圖】進一步鞏固如何判斷零點所屬區(qū)間的方法。課堂練習3：計算函數(shù)的一個正零點近似值，列表如下：中點坐標中點函數(shù)值取區(qū)間若精確度為0.1，結(jié)果是 ?！驹O(shè)計意圖】進一步理解二分法的定義及解題步驟，理解精確度的含義。（四）、課堂小結(jié)問題8：這節(jié)課你有哪些收獲？（二分法的定義；用二分法求方程近似解的步驟）教師補充：（五）、作業(yè)1.在一個風雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障。這是一條10km長的線路，如何迅速查出故障所在？如果沿著線路一小段一小段查找，困難很

13、多。每查一個點要爬一次電線桿子，10km長，大約有200多根電線桿子呢。想一想，維修線路的工人師傅至少經(jīng)過幾次查找使故障范圍縮小到50100m左右？2.新課程學習與測評活頁二十三【教學反思】二分法是這次高中數(shù)學課改新增加的內(nèi)容引入二分法的主要目的是加強函數(shù)與方程的聯(lián)系，它是求方程近似解的一種方法由于二分法中逼近思想和算法思想非常明確，并且在大綱人教版中沒有涉及這部分內(nèi)容，設(shè)計利用二分法求函數(shù)零點的近似解教學內(nèi)容時我遇到了很大的困難。如何安排本節(jié)的教學過程？如何達到良好教學效果？如何利用現(xiàn)有的素材？等等問題一直圍繞著我。而我所追求的課堂風格是“讓學生該學的都學到了，學的輕松，學的有趣，學的有意義

14、”。一、經(jīng)過認真查閱資料和研究教材及與同事討論后，我對本節(jié)課的初步理解1.本節(jié)地位。二分法是我們廣西新課程新增的知識，里邊還蘊含著逼近思想、算法思想、數(shù)形思想等，因此應該是高考必考點；2.重點的把握。本節(jié)課的核心是理解二分法的本質(zhì)思想，懂得用二分法就方程的近似解；3.難點的把握。本節(jié)課的難點是對精確度的理解、怎么取區(qū)間、理解步驟中蘊含的算法思想，除此之外，本節(jié)還有一個難點就是計算，學生計算能力也較大程度影響本節(jié)的各個環(huán)節(jié)；4.找好學習動機。二分法是學生很陌生的東西，學這東西有什么用，因此幫學生尋找學習的動機也很重要；5.教師角色要擺正。既然是一種方法，那就得讓學生多動手多動腦，因此教師應該把課

15、堂還給學生，把舞臺讓給學生，教師充當“導演”的角色，這樣才能還原“一節(jié)真實的課堂”。二、基于以上的理解，我對本節(jié)的流程如下1.課前。由于本節(jié)計算較復雜，有些新概念需要學生理解，考慮到時間問題，故事先發(fā)一張導學案給學生課前復習前面所學知識和自主學習本節(jié)知識。先復習好“方程的根與函數(shù)的零點”和“根存在性定理”，了解本節(jié)“預備概念”如精確度，后自主學習新課內(nèi)容。為本節(jié)的學習打好鋪墊；2.引入。本節(jié)采用復習引入，主要檢查課前學生完成學案的情況；3.過渡。由游戲引出話題，并由游戲推向高潮；4.高潮。這個環(huán)節(jié)主要解決本節(jié)重點和突破難點，為了突破重難點，我把游戲和例題融合到一起，將游戲的規(guī)則和方法與解決例題

16、方法步驟對比講解，讓學生通過比較游戲和例題解答來突破本節(jié)重難點；5.總結(jié)本節(jié)內(nèi)容。充分利用例題和游戲，讓游戲和例題成為一條“線”貫穿整個新課討論過程。結(jié)合游戲和例題總結(jié)二分法求方程近似解的步驟和注意事項，使經(jīng)驗水平上升到理論水平，讓學生對二分法的理解由感性認識向理性認識發(fā)展。6.課堂鞏固訓練。7.教師引導學生對本節(jié)進行小結(jié)，補充學生的小結(jié)，最后布置作業(yè)。三、實踐反饋在實際教學中，由教師通過游戲和實例混合講授方法和過程，很容易使學生總結(jié)和掌握“二分法”的基本算法和注意事項。經(jīng)過對練習的跟蹤檢查，基本達到預想的效果。雖然，教學內(nèi)容安排不是很多，但通過學生的親歷親為，獨立思考并在教師引導下總結(jié)出用二

17、分法求方程近似解的步驟，在40分鐘的課堂教學過程中，鼓勵學生質(zhì)疑，提倡獨立思考、自主探索，發(fā)揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師指導下的“再發(fā)現(xiàn)”、“再創(chuàng)造”過程。當然本節(jié)課還有很多需要改進的地方，比如1.板書問題。作為一個年輕教師，我的板書還存在很多問題，比如粉筆字不夠工整，黑板安排還不夠合理。2.語言表達方面。語言表達主要是我的語速有點偏快，有時普通話不夠標準，還有在對學生回答問題或者發(fā)表看法的后的處理還不夠巧妙。3.重難點處理上。在高潮環(huán)節(jié)，沒能很好的利用“游戲”來突破重難點，在這塊還不夠靈活。4.課堂練習留下最大的遺憾。由于學生對計算器的使用還不熟悉，好多學生手頭上還沒有計算

18、器，因此課堂練習只有選擇和填空，應該設(shè)一個計算題，讓學生由頭到尾完整的解決一個問題，這里反應了本節(jié)課學生動手上還不夠。四、本節(jié)給我的啟示1.數(shù)學是思維的體操。某種程度上數(shù)學教育可以看做思維的教育，因此在數(shù)學課堂中應注意培養(yǎng)學生的思維能力，體現(xiàn)出學科的特殊，實現(xiàn)學科教育價值。2.數(shù)學課要體現(xiàn)數(shù)學的應用價值。如果我們老師說學數(shù)學是有用的，但是沒有具體事例佐證，這樣的話變成空話，新課改要求數(shù)學課上要注重培養(yǎng)學生數(shù)學有用意識和數(shù)學文化。讓學生“知其然和知所以然”還不夠，因為學生沒有意識到學習的重要性，就會認為這“知所以然”是可有可無的，在這種錯誤思想下學習，效果是很達到教學要求的。因此讓學生知道“學數(shù)學是有用的”是非常重要的，個人認為這點才是維持學生長久學習動機的主要因素，也是學生有學習動力的根本保障。3.數(shù)學課要盡量體現(xiàn)數(shù)學文化。