西4周一下午參數(shù)估計(jì)

1、樣本集樣本集12(,)ng XXX),(21nXXXg ),(21nxxxg ()kkE X11nkkiiAXn(),PkkkknE AA kkA12()(,.,),1,2,.,kkkmE Xkm 11nkkiiAXn12(,.,),1,2,.,kmkA km 12(,),1,2,.,kkngXXXkm12121( )( ,.,)(, ,.,)nmkmkP ALp x 12()( ,.)mP Xxp x 1122,.,nnAXx XxXx12,.,nXXX12,.,nx xx12( ,.,)mL 12( ,.,)mL (ln )0,1,2,.,kLkm12(,),1,2,.,kkngx xxk

2、m12112121( ,.,)(,.,)( ,.,)nimimnimip xLf x 12ln ( ,.,)mL (ln )0,1,2,.,kLkm設(shè) 是 的一個(gè)估計(jì)量，1212)()D設(shè) ，是 的兩個(gè)無偏估計(jì)量，若D(12則稱 比有效。lim( )nE若稱 是 的漸近無偏估計(jì)量稱 是 的無偏估計(jì)量( )E若() (1)kkXkE Xk例：設(shè)總體 的 階原點(diǎn)矩121,1nnkkiikXXXXXAXn是 的一個(gè)樣本，證明：不論 服從什么分布，是的無偏估計(jì)。1211,)11()()kkniknnkkikkiikkXXXXXXE AE XnnA由于與 同分布，E(E(所以是的無偏估計(jì)。22XEXSD

3、X注：樣本均值 是總體均值 =的無偏估計(jì)，樣本方差是總體方差=的無偏估計(jì).121212( ),min,nnXEXXXXXnZnXXX例：設(shè)總體，是 的一個(gè)樣本，證明：都是 的無偏估計(jì)，并比較其有效性。111222()()()min,)/( )/ ,()(),nEE XE XZXXXnE Zn EE nZ，所以 是 的無偏估計(jì)。而服從參數(shù)是的指數(shù)分布，=所以是 的無偏估計(jì)。221222221212(),()(),()()( )1()(),D XDD XnDD nZn D ZnnnDD又當(dāng)時(shí)，顯然故 比有效。121212(,)(,)( )( )(,)nnnT XXXTXXXD TD TT XXX設(shè)

4、是g(的一個(gè)無偏估計(jì)量，若對(duì)g(的任一無偏估計(jì)量及任意 ，都有，則稱是g(的一致最小方差無偏估計(jì)，或者稱為最優(yōu)無偏估計(jì)。222( , )ln(, )ln(, )( )( )( , )Xf xf Xf XIEEIf x 設(shè)（密度函數(shù)或分布律），記稱為分布中參數(shù) 的費(fèi)歇爾信息量。12122( , ),(,)( )( )nnXf xXXXXT XXXD TnI設(shè)總體（密度函數(shù)或分布律），是 的一個(gè)樣本，是g(的一個(gè)無偏估計(jì)，g (則212)(,)( )( )11lim1nnnnnneT XXXnID TeeTeTg (稱為g(的無偏估計(jì)的效率，顯然0若，則稱 是有效的。若，則稱 是漸近有效的。222

5、221()(;,)exp22ln(;,)Xf Xf XX 222242ln(;,)( )()1f XXIEED X 21222( ,),nXNXXXXXS 設(shè)總體是 的一個(gè)樣本，討論的無偏估計(jì) ，的有效性。22XEXSDX解：樣本均值 是總體均值 =的無偏估計(jì)，樣本方差是總體方差=的無偏估計(jì).22211()1,()()nne SnD SnIn 2211()1,1()( )neXXD X nInn故 是有效的。222242222246ln(;,)1()()22ln(;,)1()()2f XXf XX 2221224ln(;,)1()()2f XIE 2S故是漸進(jìn)有效的。2222ln(; )1(

6、)p XEXIE 11()11()( )neXD X nInn12,nXXXXXX 設(shè)總體（ ）是 的一個(gè)樣本，討論 的無偏估計(jì) 的有效性。222(, )lnlnln(!)!(, )(, )1,Xp XeXXXp XXp XX 解：lnlnlnX是 的有效估計(jì)。則稱 是 的相合估計(jì)量。lim1nP設(shè) 是 的一個(gè)估計(jì)量，若故 是 的相合估計(jì)。( )1( )11nnnnnPPXntPXdt 解：12( )12(0, ),max,nnnXUXXXXXXXX例：設(shè)總體是 的一個(gè)樣本，討論 的極大似然估計(jì)的相合性。由于nX N（0，1） ，所以12unXP 1)(22unXunXP所以所以的置信度為的置

7、信度為1-1-的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為)(2unX （1）由 的無偏估計(jì)著手1()nXX構(gòu)造一個(gè),的隨機(jī)變量G(X1,Xn , )，除 外不含其它未知參數(shù)，且 G(X1,Xn , )的分布函數(shù)已知。 （2）對(duì)給定的置信度 1-，選取兩個(gè)參數(shù) a, b，使得對(duì)一切 有：P 1),(1bXXGan （3）將 a G(X1,Xn , )b 解得： ),(),(11nnXXXX (,)即為 的置信度為 1- 的置信區(qū)間。 ( 2 ) ( 2 ) 給定給定1-1-（置信度，可信度），可通過增（置信度，可信度），可通過增大樣本容量大樣本容量n n的值來提高估計(jì)精度（即縮小置信的值來提高估計(jì)精度（即縮小置信

8、區(qū)間的長(zhǎng)度）。區(qū)間的長(zhǎng)度）。注意注意( 1 )( 1 )置信區(qū)間不是唯一的，選取區(qū)間盡可能短的。置信區(qū)間不是唯一的，選取區(qū)間盡可能短的。nXDXEnNXXnXnii221)(,)(),(,1 /XUn2xun2Xun21211niiXXnSnSXT/ 2(1)SXtnn12111211,nniiiiXX YYnn),(22212121nnNYX XY12221212(0,1)XYUNnn2221212XYunn)2(11212121nntnnSYXTw 2211222121+12wnSnSSnn21211wXYt Snn2221212SSXYunn12221212(0,1)XYUNSSnn(0

9、,1),1,2,.,iXNin22221,( )niiXn)(,)(211221222nXnXniinii )(,)(211221222nXnXniinii ) 1() 1(,) 1() 1(2122222nSnnSn 22222(1),(1)nSn) 1() 1(,) 1() 1(22222221221211nSnnSn ) 1, 1(,) 1() 1() 1() 1(2122212221222222121211nnFFSSnSnnSnF 1) 1, 1() 1, 1(212221222121122nnFSSnnFP 1) 1, 1() 1, 1(2112221222121222122nnFSSnnFSSP) 1, 1() 1, 1(11221122nnFnnF ) 1, 1(,) 1, 1(12222121222122nnFSSnnFSS 12(,),XuXunn (0,1)/XUNn12(