向量專(zhuān)題整理

1、向量專(zhuān)題、定比分點(diǎn)的向量形式及運(yùn)用定理：（定比分點(diǎn)公式的向量形式）設(shè)點(diǎn)P分RP2的比為（即RPPP2,1）,Q為平面上的任意1一點(diǎn)，則QPQRQP2.11證明：祁PP2，QPQP1QPQP,即1QPQPQP，1即QP-QPQP2.11推論1：設(shè)點(diǎn)P為OAB的邊AB上的點(diǎn)，且APm,PBn,則OP-QA一OB.mnmn1 -推論2：設(shè)點(diǎn)P為OAB的邊AB的中點(diǎn)，則OP10AOB.2推論3：OAB中，點(diǎn)P在直線AB上的充要條件是：存在實(shí)數(shù)t,使OPtOA1tOB成立。推論4：（定比分點(diǎn)公式）在直角坐標(biāo)平面中，設(shè)Rx1,y1,P2x2,y2,Px,y,且點(diǎn)P分PP2的比為（其1),則xX11x2,y

2、y1y11例1如圖，在ABC中，D,E是BC邊的三等分點(diǎn)，D在B和E之間，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，G是AB的中點(diǎn)，設(shè)H是線段DF與EG的交點(diǎn)，求比值EH:HG.例2如圖所示，已知ABC的面積為14cm2,D,E分別是邊AB,BC上的點(diǎn)，且AD:DBBE:EC2:1,求PAC的面積。例3已知G是ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G任作一條直線l,分別交邊AB,AC于點(diǎn)D,E,若-，1ADxAB,AEyAC.求證：x二、奔馳定理與三角形五心的向量表達(dá)【奔馳定理】設(shè)P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，記三角形PBC,PCA,PBA面積分別為SA,SB,SCJUSapASbpBSCpC0.SPBDSABDSPBDSC延長(zhǎng)AP至點(diǎn)D,則BDCD

3、SABDSACDSPCDSACDSPCDSB用同樣方法可得PASBScPDSa由以上兩式結(jié)合定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式分別可得SbScPDBPBCPB(1)SbScSbScPDSaPA(2)SBSC12化簡(jiǎn)即得SAPASBPBSCPC0.奔馳定理：點(diǎn)O為ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，求證:SbocOASaocOBSaobOC0.證明：考慮到存在、R,使得OAOBOC0如圖：設(shè)ODOAOEOB,OFOC,ODDEDF0點(diǎn)O為DEF的重心。SAOC，SDOE由二角形面積公式得：SEOFSBOC，SDOF又SEOFSDOFSdoe,SBOCSAOCSAOB兩邊同除得:SBOCSAOCSAOB卜SBOCkSAOCkSAOB

4、k代入（1）式得：SbocOASaocOBSa0bOC0.例1設(shè)O為三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：OA2OB30C3AB2BCCA,則Saob2sB0c3SC0ASABC的值為例2【2016年清華領(lǐng)軍】若0為ABC內(nèi)一點(diǎn)，滿足SAOB：SBOC：SCOA4:3:2，設(shè)AOABAC,由奔馳定理易得下面5條結(jié)論(1)點(diǎn)P是ABC的重心PAPBPC0(2)點(diǎn)P是(3)點(diǎn)P是(4)點(diǎn)P是ABC的垂心ABC的外心ABC的內(nèi)心tanAPAtanBPBtanCPC0sin2APAsin2BPBsin2CPC0aPAbPBcPC0(5)點(diǎn)P是ABC的旁心aPAbPBcPC0.ABC的外接圓的圓心為O,兩條邊上的

5、高的交點(diǎn)為H,OHmOAOBOC，則實(shí)數(shù)m例2如果ABC的外接圓的圓心為O,0HOAOB0C,那么H是ABC的()A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心例3O是平面上一定點(diǎn),A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OPOAABACABAC'0,，則P的軌跡一定通過(guò)ABC的（）A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心例4O是平面上一定點(diǎn),A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OPOAABACaBsinBACsinCA.外心B.內(nèi)心R，則P的軌跡一定通過(guò)ABC的（）C.重心D.垂心例5O是平面上一定點(diǎn),A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OPOAABACABcosBACcosCR，則P

6、的軌跡一定通過(guò)ABC的（）A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心C.重心D.AB邊中點(diǎn)例6已知A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，-1OP-1OA1OB12OC3A.內(nèi)心B.垂心O為ABC外心，動(dòng)點(diǎn)P滿足R且0,則P的軌跡定過(guò)ABC的（三、等和線的實(shí)際運(yùn)用【深入研究】若OCOD,那么OCxOAyOB-OA-yOBOD,-1,即xy過(guò)C點(diǎn)作直線lAB,在l上任作一點(diǎn)C，連接OC，交AB于D點(diǎn)，同理可得，以O(shè)A,OB為基地時(shí)，OC對(duì)應(yīng)的系數(shù)和依然為在向量起點(diǎn)相同的前提下，所有以與AB平行的直線上面的點(diǎn)為終點(diǎn)的向量，其基地的系數(shù)和為定值，這樣的線，我們稱(chēng)之為“等和線”。值的大小與起點(diǎn)到等和線的距離成正比，若等

7、和線與AB在起點(diǎn)的兩側(cè)時(shí)，值為負(fù)。例1如圖，正六邊形ABCDEF中，P是CDE內(nèi)(包括邊界)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)APABAF則的取值范圍是.解析工RF為k=l的等和線,P在ASE內(nèi)時(shí).EC是最近的等和線.ANADAMAM1過(guò)點(diǎn)的等和線是最遠(yuǎn)的2.一一.例2給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量OA和OB,它們的夾角為2-,如圖所不，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動(dòng)，若OCxOAyOB(x,yR),則xy的最大值是解析：所有與AB平行的it線中,切線離冏u(yù)it也,期此時(shí)取洱Hi大結(jié)合角度.不難得到#2=21 2一例3設(shè)D,E分別是ABC的邊AB,BC上的點(diǎn)，AD-AB,BEBC,若2 3DE1AB2AC(1,2R),則i2的值為。過(guò)點(diǎn)A作淳二瓦,設(shè)AF與BU的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)兒務(wù)知肝“H,即。F為廳。的中位線，因此4+4=1例4如圖，在扇形OAB中,值范圍是OxOAyOB,則x3y的取AOB一,C為弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若OC3竽令布那么則要