第四章控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)與校正

1、第四章 頻域分析法二、典型環(huán)節(jié)的頻率特性圖三、系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖四、頻域穩(wěn)定性判據(jù)五、閉環(huán)控制系統(tǒng)的頻率特性六、頻域指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo)間的關(guān)系七、用系統(tǒng)開環(huán)頻率特性分析閉環(huán)系統(tǒng)性能八、頻域特性的計(jì)算機(jī)輔助分析、概述一一、頻率特性的基本概念九、小結(jié)第四章 頻域分析法、概述l 時(shí)域分析的缺陷時(shí)域分析的缺陷 高階系統(tǒng)的分析難以進(jìn)行； 難以研究系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)變化對(duì)系統(tǒng)性 能的影響； 當(dāng)系統(tǒng)某些元件的傳遞函數(shù)難以列寫時(shí)， 整個(gè)系統(tǒng)的分析工作將無法進(jìn)行。 第四章 頻域分析法l 頻域分析的目的頻域分析的目的頻域分析：以輸入信號(hào)的頻率為變量，在頻率域，研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)與性能的關(guān)系。 無需求解微分方程，圖解(

2、頻率特性圖)法 間接揭示系統(tǒng)性能并指明改進(jìn)性能的方向； 易于實(shí)驗(yàn)分析； 優(yōu)點(diǎn)： 可推廣應(yīng)用于某些非線性系統(tǒng)（如含有延 遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)）； 可方便設(shè)計(jì)出能有效抑制噪聲的系統(tǒng)。第四章 頻域分析法一一、頻率特性的基本概念l 頻率響應(yīng)與頻率特性頻率響應(yīng)與頻率特性 123.nM sM sG sN sspspspsp)sin()(tAtr22)()()()(sAsGsRsGsCnitpitjtjiebeaaetc1)(t 221231212.nnnM sAspspspspsbbbaasjsjspspsp考慮線性定常系統(tǒng)，jAjGjsjsjsAjGjssAsGajsjs2)()()()()()(22jAjGj

3、sjsjsAjGjssAsGajsjs2)()()()()()(22由于)(jG是一個(gè)復(fù)數(shù)向量，()()( )()()22j tj tjj tjj tAAc taeaeG jeeG jeejj ()sin( )G jAt )sin()(tAtrtjtjeaaetc)( jejGjG jejGjG)()(jGA G j G j jG jRjIG jG jG jAe R I A 系統(tǒng)在不同頻率的正弦信號(hào)輸入時(shí)，其穩(wěn)態(tài)輸出隨頻率而變化(由0變到)的特性。l 頻率特性的求取方法頻率特性的求取方法（1）根據(jù)已知系統(tǒng)的微分方程，把輸入以正弦函數(shù)代入，求其穩(wěn)態(tài)解，取輸出穩(wěn)態(tài)分量和輸入正弦的復(fù)數(shù)之比。（2）根

4、據(jù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)求取。當(dāng)傳遞函數(shù)中的復(fù)變量s用 j代替時(shí)，傳遞函數(shù)就轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率特性。（3）通過實(shí)驗(yàn)測(cè)得。第四章 頻域分析法 幾點(diǎn)說明 q 頻率特性是傳遞函數(shù)的特例，是定義在復(fù) 平面虛軸上的傳遞函數(shù)，因此頻率特性與 系統(tǒng)的微分方程、傳遞函數(shù)一樣反映了系 統(tǒng)的固有特性。 q 盡管頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，但系統(tǒng)的 頻率特性與傳遞函數(shù)一樣包含了系統(tǒng)或元 部件的全部動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)參數(shù)，因此，系統(tǒng)動(dòng) 態(tài)過程的規(guī)律性也全寓于其中。 第四章 頻域分析法q 應(yīng)用頻率特性分析系統(tǒng)性能的基本思路： 實(shí)際施加于控制系統(tǒng)的周期或非周期信號(hào) 都可表示成由許多諧波分量組成的傅立葉 級(jí)數(shù)或用傅立葉積分表示的連續(xù)頻譜函數(shù)， 因此根據(jù)

5、控制系統(tǒng)對(duì)于正弦諧波函數(shù)這類 典型信號(hào)的響應(yīng)可以推算出它在任意周期 信號(hào)或非周期信號(hào)作用下的運(yùn)動(dòng)情況。 第四章 頻域分析法q 頻率特性的物理意義：頻率特性表征了系 統(tǒng)或元件對(duì)不同頻率正弦輸入的響應(yīng)特性；q ()大于零時(shí)稱為相角超前，小于零時(shí)稱 為相角滯后。 到目前為止，我們已學(xué)習(xí)過的線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有以下幾種：微分方程、傳遞函數(shù)、脈沖響應(yīng)函數(shù)和頻率特性。它們之間的關(guān)系如下：微分方程頻率特性傳遞函數(shù)脈沖函數(shù)js dtds dtdj)(tgL)(1sGL 22( )111|1( )( )2222sjsjsjG sjsarctgG s H ssj 2222)(nnnsss222()()2()nnn

6、jjj22222224)()(nnnj222arctan)(nn122222224)() 1 (nnnA24) 1(22222nnn1222arctan) 1 (nn4512arctan2nn4) 1(422224nnn122nnl 頻率特性的表示方法頻率特性的表示方法第四章 頻域分析法l 頻率特性的圖示方法頻率特性的圖示方法 奈奎斯特(Nyquist)圖（極坐標(biāo)圖、幅相頻 率特性圖） )()()()()()()(Im)(Re)(jjGjeAejGjQPjGjjGjG)()()()()()(22PQarctgQPA其中，P()、Q()分別稱為系統(tǒng)的實(shí)頻特性和虛頻特性。顯然：第四章 頻域分析法在

7、復(fù)平面上，隨（0 ）的變化，向量G(j)端點(diǎn)的變化曲線（軌跡），稱為系統(tǒng)的幅相頻率特性曲線。得到的圖形稱為系統(tǒng)的奈奎斯特圖或極坐標(biāo)圖。易 知 ， 向 量 G ( j) 的 長 度 等 于 A ( j)（|G(j)|）；由正實(shí)軸方向沿逆時(shí)針方向繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)至向量G(j)方向的角度等于()（G(j)）。 L()(dB)0.010. 111020404020.0 對(duì)數(shù)幅頻特性圖對(duì)數(shù)幅頻特性圖()0.010. 111045o90o90o45o.0o 對(duì)數(shù)相頻特性圖對(duì)數(shù)相頻特性圖 波德(Bode)圖（對(duì)數(shù)頻率特性圖） 第四章 頻域分析法第四章 頻域分析法q 幾點(diǎn)說明 在對(duì)數(shù)頻率特性圖中，由于橫坐標(biāo)采用了 對(duì)

8、數(shù)分度，因此=0 不可能在橫坐標(biāo)上表 示出來，橫坐標(biāo)上表示的最低頻率由所感 興趣的頻率范圍確定； 此外，橫坐標(biāo)一般 只標(biāo)注的自然數(shù)值；L()(dB)0.010. 111020404020.0第四章 頻域分析法 在對(duì)數(shù)頻率特性圖中，角頻率 變化的倍 數(shù)往往比其變化的數(shù)值更有意義。為此通 常采用頻率比的概念：頻率變化十倍的區(qū) 間稱為一個(gè)十倍頻程，記為decade或簡寫 為 dec；頻率變化兩倍的區(qū)間稱為一個(gè)二 倍頻程，記為octave或簡寫為oct。它們也 用作頻率變化的單位?？梢宰⒁獾?，頻率變化10倍，在對(duì)數(shù)坐標(biāo)上是等距的，等于一個(gè)單位。 第四章 頻域分析法 通常用L()簡記對(duì)數(shù)幅頻特性，也稱L

9、() 為增益；用()簡記對(duì)數(shù)相頻特性。 對(duì)數(shù)坐標(biāo)的優(yōu)點(diǎn) 幅值相乘變?yōu)橄嗉?，簡化作圖； 對(duì)數(shù)坐標(biāo)拓寬了圖形所能表示的頻率范圍； 兩個(gè)系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的頻率特性互為倒數(shù)時(shí)，其對(duì)數(shù)幅頻特性曲線關(guān)于零分貝線對(duì)稱，相頻特性曲線關(guān)于零度線對(duì)稱。 第四章 頻域分析法 可以利用漸近直線繪制近似的對(duì)數(shù)幅頻 特性曲線 ； 將實(shí)驗(yàn)獲得的頻率特性數(shù)據(jù)繪制成對(duì)數(shù) 頻率特性曲線，可以方便地確定系統(tǒng)的 傳遞函數(shù)； 尼柯爾斯(Nichols)圖（對(duì)數(shù)幅相特性圖） L() ()圖第四章 頻域分析法l 比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié) 二、典型環(huán)節(jié)的頻率特性圖傳遞函數(shù)：G(s) = K頻率特性：G(j) = K = Kej0實(shí)頻特性：P() = K虛

10、頻特性：Q() = 0對(duì)數(shù)幅頻特性： L() = 20lgK對(duì)數(shù)相頻特性：() = 0幅頻特性：A() = K相頻特性： () = 0第四章 頻域分析法比例環(huán)節(jié)的頻率特性圖：Bode Diagram (rad/sec)()L()/ (dB)-20020406010-1100101102-180-900 90 180 20lgKK0ReImNyquist Diagram第四章 頻域分析法l 慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)：11)(TssG頻率特性：jarctgTeTTjjG221111)(相頻特性： () = - arctgT幅頻特性：2211)(TA實(shí)頻特性：2211)(TP虛頻特性：221)(T

11、TQ注意到：22221)(21)(QP即慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖為圓心在(1/2, 0)處，半徑為1/2的一個(gè)圓。0ReIm1/21 =0 =45 =1/TNyquist DiagramG(j) 慣性環(huán)節(jié)的Nyquist圖 第四章 頻域分析法第四章 頻域分析法 慣性環(huán)節(jié)的Bode圖 q 低頻段( 1/T )lg20lg20T即高頻段可近似為斜率為-20dB/dec 的直線，稱為高頻漸近線。TTLlg201lg20)(22第四章 頻域分析法轉(zhuǎn)折頻率-30-20-10010-90-4501/TL()/ (dB)()Bode Diagram (rad/sec)實(shí)際幅頻特性漸近線-20dB/dec第四章 頻域

12、分析法q 轉(zhuǎn)折頻率（ 1/T )低頻漸近線和高頻漸近線的相交處的頻率點(diǎn) 1/T，稱為轉(zhuǎn)折頻率（截止頻率）。在轉(zhuǎn)折頻率處，L() -3dB，()-45。q 漸近線誤差慣性環(huán)節(jié)具有低通濾波特性。TTTTTL/1,lg201lg20/1,1lg20)(2222第四章 頻域分析法-4-3-2-100.1110T轉(zhuǎn)折頻率慣性環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線誤差曲線第四章 頻域分析法l 積分積分環(huán)節(jié)環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)：ssG1)(頻率特性：211)(jejjG幅頻特性：1)(A相頻特性： () = -90實(shí)頻特性：0)(P第四章 頻域分析法虛頻特性：1)(Q對(duì)數(shù)幅頻特性：log20)(L 積分環(huán)節(jié)的Nyquist圖 0

13、ReIm =0 =對(duì)數(shù)相頻特性： () = -90第四章 頻域分析法 積分環(huán)節(jié)的Bode圖 -40-200200-45-90-135-1800.1110100L()/ (dB)()Bode Diagram (rad/sec)20dB/dec第四章 頻域分析法l 理想微分理想微分環(huán)節(jié)環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)：ssG)(頻率特性：2)(jejjG實(shí)頻特性：0)(P對(duì)數(shù)相頻特性： () = 90虛頻特性：)(Q對(duì)數(shù)幅頻特性：log20)(L幅頻特性：)(A相頻特性： () = 90第四章 頻域分析法 理想微分環(huán)節(jié)的Nyquist圖 0ReIm =0 =第四章 頻域分析法-2002040045901351800

14、.1110100L()/ (dB)()Bode Diagram (rad/sec)20dB/dec 理想微分環(huán)節(jié)的Bode圖 第四章 頻域分析法l 振蕩振蕩環(huán)節(jié)環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)：10,2121)(22222nnnssTssTsG頻率特性：nnnnnjjjG2112)(2222第四章 頻域分析法222211)(nnA幅頻特性：相頻特性：212)(nnarctg第四章 頻域分析法實(shí)頻特性：2222211)(nnnP虛頻特性：222212)(nnnQ第四章 頻域分析法 振蕩環(huán)節(jié)的Nyquist圖 1)0()( AA0)0()(q = 0時(shí) 21)()(nAA90)()(nq = n時(shí) 0)()( AA

15、180)()(q = 時(shí) 第四章 頻域分析法Nyquist Diagram =0 =0.1=0.2=0.5=1=0.7ReIm-3-2-10123-6-5-4-3-2-1021=0.3 =n第四章 頻域分析法 振蕩環(huán)節(jié)的Bode圖 22221lg20)(nnLq 對(duì)數(shù)幅頻特性 低頻段( n)兩條漸近線的交點(diǎn)為n。即振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率等于其無阻尼固有頻率。22221lg20)(nnL212)(nnarctg第四章 頻域分析法q 對(duì)數(shù)相頻特性90)(n180)( 0)0(易知：第四章 頻域分析法-180-135-90-4500.1110/n() / (deg) = 0.5 = 0.7 = 1.0

16、= 0.1 = 0.2 = 0.3-40-30-20-1001020L()/ (dB)-40dB/dec = 0.3 = 0.5 = 0.7 = 1.0 = 0.1 = 0.2漸近線Bode Diagram第四章 頻域分析法q 漸近線誤差分析nnnnnnnL,lg2021lg20 ,21lg20)(2222222-8-40481216200.1110 = 0.05 = 0.10 = 0.15 = 0.20 = 0.25 = 0.30 = 0.35 = 0.40 = 0.80 = 0.90 = 1.00 = 0.50 = 0.60 = 0.707/nError (dB)第四章 頻域分析法第四章

17、頻域分析法由圖可見，當(dāng) 較小時(shí)，由于在 = n 附近存在諧振，幅頻特性漸近線與實(shí)際特性存在較大的誤差， 越小，誤差越大。當(dāng)0.380.7時(shí)，誤差不超過3dB。因此，在此 范圍內(nèi)，可直接使用漸近對(duì)數(shù)幅頻特性，而在此范圍之外，應(yīng)使用準(zhǔn)確的對(duì)數(shù)幅頻曲線。準(zhǔn)確的對(duì)數(shù)幅頻曲線可在漸近線的基礎(chǔ)上，通過誤差曲線修正而獲得或直接計(jì)算。第四章 頻域分析法l 一階微分一階微分環(huán)節(jié)環(huán)節(jié) 對(duì)數(shù)相頻特性： () = arctg傳遞函數(shù)：1)( ssG頻率特性：jarctgejjG2211)(對(duì)數(shù)幅頻特性：221log20)(L幅頻特性：221)(A相頻特性： () = arctg第四章 頻域分析法 一階微分環(huán)節(jié)的Nyq

18、uist圖 0ReIm =0 =221arctg1實(shí)頻特性：1)(P虛頻特性：)(Q第四章 頻域分析法 一階微分環(huán)節(jié)的Bode圖 注意到一階微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的頻率特性互為倒數(shù)( = T )，根據(jù)對(duì)數(shù)頻率特性圖的特點(diǎn)，一階微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線關(guān)于 0dB 線對(duì)稱，相頻特性曲線關(guān)于零度線對(duì)稱。顯然，一階微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線也可由漸近線近似描述。第四章 頻域分析法0 10 2030904501/TL()/ (dB)()Bode Diagram (rad/sec)0.1/T10/T轉(zhuǎn)折頻率實(shí)際幅頻特性漸近線20dB/dec第四章 頻域分析法l 二階微分二階微分環(huán)節(jié)環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)

19、：10, 12)(22sssG頻率特性：21)(22jjG幅頻特性：2222)2()1 ()(A相頻特性：2212)( arctg實(shí)頻特性：221)(P2)(Q虛頻特性：第四章 頻域分析法 二階微分環(huán)節(jié)的Nyquist圖 1)0()( AA0)0()(q = 0時(shí) 2)(A 90)(q = 1/T時(shí) )(A180)(q = 時(shí) 2222)2()1 ()(A2212)( arctgG(j) =010 =ReIm = 1/2，第四章 頻域分析法Nyquist Diagram 二階微分環(huán)節(jié)的Bode圖 2222)2()1 (lg20)(L2212)( arctg注意到二階微分環(huán)節(jié)與振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性

20、互為倒數(shù)( 1/n )，根據(jù)對(duì)數(shù)頻率特性圖的特點(diǎn)，二階微分環(huán)節(jié)與振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線關(guān)于 0dB 線對(duì)稱，相頻特性曲線關(guān)于零度線對(duì)稱。第四章 頻域分析法l 延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)：sesG)(頻率特性：jejG)(幅頻特性：1)(A相頻特性：)(3 .57)()(rad對(duì)數(shù)幅頻特性：0)(L第四章 頻域分析法第四章 頻域分析法01 =0ReImNyquist Diagram-600-500-400-300-200-10000.1110 (rad/s)() / (deg)10L() / (dB)0-20-10第四章 頻域分析法mmme11lim由于：NnnsNsnse1111lim易知

21、：其中，N為某個(gè)較大的有限值。即延遲環(huán)節(jié)可由N個(gè)具有同一實(shí)數(shù)極點(diǎn)的有理函數(shù)近似。延遲環(huán)節(jié)也可近似為：1221122121212222ssssorsses 兩個(gè)系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的頻率特性互為倒數(shù)時(shí)，其對(duì)數(shù)幅頻特性曲線關(guān)于零分貝線對(duì)稱，相頻特性曲線關(guān)于零度線對(duì)稱 理想微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié) 振蕩環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié) 最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)極點(diǎn)和零點(diǎn)全部位于s左半平面的環(huán)節(jié)，與其對(duì)應(yīng)的具有相同幅頻特性、在s右半平面具有零點(diǎn)或(和) 極點(diǎn)的 “不穩(wěn)定” 環(huán)節(jié)相比，相頻特性的絕對(duì)值最小，因此，稱其為最小相位環(huán)節(jié)，而相應(yīng)的在s右半平面具有零點(diǎn)或(和)極點(diǎn)的 “不穩(wěn)定” 環(huán)節(jié)稱為非最小相位環(huán)節(jié)。延遲環(huán)

22、節(jié)通常視為非最小相位環(huán)節(jié)。第四章 頻域分析法三、系統(tǒng)開環(huán)頻率特性極點(diǎn)和零點(diǎn)全部位于s左半平面系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。反之，稱為非最小相位系統(tǒng)。易知，最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍一定小于相應(yīng)的非最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍。顯然，對(duì)于穩(wěn)定的非最小相位系統(tǒng)只存在位于s右半平面的零點(diǎn)。第四章 頻域分析法-180-900901801/T11/T2() / (deg)Ga(s)Gb(s)Gc(s) (rad/sec)第四章 頻域分析法 最小相位系統(tǒng)的幅頻特性與相頻特性存在唯一確定的關(guān)系。例如：)(,11)(,11)(,11)(21212121TTsTsTsGsTsTsGsTsTsGcba第四章 頻域分析法l

23、系統(tǒng)開環(huán)系統(tǒng)開環(huán)Nyquist圖的繪制圖的繪制 基本步驟基本步驟q 將開環(huán)傳遞函數(shù)表示成若干典型環(huán)節(jié)的串 聯(lián)形式：)()()()(21sGsGsGsGn)()(2)(1)()()()()()(21njnjjjeAeAeAeAjGq 求系統(tǒng)的頻率特性：)()()(2121)()()(njneAAA第四章 頻域分析法)()()()()()()()(2121nnAAAA即：q 求A(0)、(0)；A()、()q 補(bǔ)充必要的特征點(diǎn)(如與坐標(biāo)軸的交點(diǎn))，根 據(jù)A()、() 的變化趨勢(shì)，畫出Nyquist 圖 的大致形狀。第四章 頻域分析法 示例示例解解：) 1)(1)(1()()(321TjTjTjKj

24、HjGq 例1：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下：) 1)(1)(1()()(321sTsTsTKsHsG試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)Nyquist圖。第四章 頻域分析法232222212111)(TTTKA221)(arctgTarctgTarctgT 0： A(0)K ： A()0(0)0()2700ReImK =0第四章 頻域分析法解解：q 例2：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下：) 12 . 0)(15 . 0(10)()(ssssHsG繪制系統(tǒng)開環(huán)Nyquist圖并求與實(shí)軸的交點(diǎn)。) 12 . 0)(15 . 0(10)()(jjjjHjG)04. 01)(25. 01 (10)(22A第四章 頻域分析法2

25、 . 05 . 090)(arctgarctg 0： A(0) ： A()0(0)90()2700) 11 . 0(49. 0) 11 . 0(10)(2232QNyquist圖與實(shí)軸相交時(shí)：解得：16. 310 j10（ 舍去）第四章 頻域分析法222) 11 . 0(49. 07)(P又：解得：43. 1710)(jP-7-1.430ReIm0第四章 頻域分析法q 例3：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下：) 1() 1()()(221sTssTKsHsG繪制系統(tǒng)的開環(huán)Nyquist圖。)1 ()1 ()(2222221TTKA解解：) 1() 1()()(221TjTjKjHjG第四章 頻域分析

26、法21180)(arctgTarctgT 0： A(0)(0)180 ： A()0()180 T1T2 時(shí)： () T2 時(shí)： () 180ReIm000T1T2)0,() 1)(1()(2121均大于開KTTsTsTKsG11)(21TjTjKjG?11)(222212TTKjG開21)(TarctgTarctgjG開00180)(,0)(0)0(,)0(0jGjGjGKjG開開開開時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)02190TarctgTarctg 021221901TTTTarctg211TT2121)(TTTTKjG開0 1212221102211121121mmkllklKnnvvijjijKsssKGs

27、GsssTsT sT s0KvKGjGjj121222mmmvnnnnm， Nyquist圖的一般形狀圖的一般形狀0KGjK90KGjv 0jGKvvKjKjGjKjG00|0KGj 110110110011.1|.mmmmKnnn mnnbjbjbjbbGjaajajajaj 由上述分析可知系統(tǒng)開環(huán)奈奎斯特曲線的一般形狀如下：1、當(dāng)=0時(shí)，0型系統(tǒng)的奈奎斯特曲線起始于離原點(diǎn)距離為K的正實(shí)軸上，型系統(tǒng)漸進(jìn)于平行負(fù)虛軸的直線，型系統(tǒng)漸進(jìn)于平行負(fù)實(shí)軸的直線。2、當(dāng)趨于無窮大時(shí)，0型、型、型等系統(tǒng)的奈奎斯特曲線都終止于原點(diǎn)，相位都是-(n-m)90。00KGjK090KGjv Im0G jRexG

28、jxxG jRe0G jImcG jccG jG jG j第四章 頻域分析法q 不含一階或二階微分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，相角滯 后量單調(diào)增加。含有一階或二階微分環(huán)節(jié) 的系統(tǒng)，由于相角非單調(diào)變化，Nyquist 曲線可能出現(xiàn)凹凸。因此一般系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性圖可由典型環(huán)節(jié)疊加。因此一般系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性圖可由典型環(huán)節(jié)疊加。由前述，可得由前述，可得12( )( )( ) .( )nG sG sG sG s設(shè)1212.()()()1212()()().().nnjjjjnnG jGjeGjeGjeG GG e 121220lg20lg.20lg20lg.20lgnnGGGGGGG12.nGl 系統(tǒng)開環(huán)系統(tǒng)開環(huán)B

29、ode圖的繪制圖的繪制 090)(lg20)(LdecdB203311T1/ 斜率轉(zhuǎn)折頻率 00dB5175720k20L )( ,.lglg)( )121)(121()131(5.7)(2ssssssG開解：系統(tǒng)包括以下解：系統(tǒng)包括以下5 5個(gè)環(huán)節(jié)個(gè)環(huán)節(jié)(1)(1)比例比例(2)(2)積分積分(3)(3)一階微分一階微分處穿越橫坐標(biāo)在斜率1/20decdBTarctg )(例例1：繪制對(duì)數(shù)頻率特性圖：繪制對(duì)數(shù)頻率特性圖decdBT/4022/111斜率轉(zhuǎn)折頻率decdBT/2022/111斜率轉(zhuǎn)折頻率2212)(TTarctg( )arctg T )(L 0.1110dB2040600.01

30、(1)(2)(3)(5)-20+20-20-40-60-60 -80-20-40-601.41423對(duì)數(shù)幅頻特性：對(duì)數(shù)幅頻特性：(4)-20117.5)121)(121()131(5.7)(2ssssssG開)( 900-900s/rad 0.11100.01-1800-2700(1)(2)(3)(4)(5) 基本步驟：（1）把系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，即化為典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)乘積；（2）根據(jù)傳遞函數(shù)獲得頻率特性，并分析其組成環(huán)節(jié)；（3）求出各轉(zhuǎn)折頻率1、2 、3 等，并把他們按照由小到大順序沿頻率軸標(biāo)出；（4）畫出對(duì)數(shù)幅頻特性的低頻漸進(jìn)線，這條漸進(jìn)線在1時(shí)是一條斜率為-20v dB的直線

31、，其中v（v=0,1,2，）為系統(tǒng)包含積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)。在=1處，漸進(jìn)線縱坐標(biāo)為20lgK（K為系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)）； 1212221102211121121mmkllklKnnvvijjijKsssKGsGsssTsT sT svvKjKjGjKjG000| lg20lg20lg20lg20lg20vKKjGLvK KKjGLvKlg201lg20lg201lg201（5）在每個(gè)轉(zhuǎn)折頻率處1、2 、3改變漸近線的斜率；111s1222221ss111s1222221ss（6）對(duì)漸近線進(jìn)行修正，畫出精確的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線；（7）畫出每一個(gè)環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線，然后把所有的相頻特性在相同的頻率下相

32、加，即得到系統(tǒng)開環(huán)的相頻特性曲線。例2已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下：)10010)(12() 15 . 0(1000)()(2ssssssHsG試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)Bode圖。解解：10010100121115 . 010)()(2ssssssHsG易知系統(tǒng)開環(huán)包括了五個(gè)典型環(huán)節(jié)：10)(1sGssG1)(315 . 0)(2ssG轉(zhuǎn)折頻率：2=2 rad/s121)(4ssG轉(zhuǎn)折頻率：4=0.5 rad/s10010100)(25sssG轉(zhuǎn)折頻率：5=10 rad/s10010100121115 . 010)()(2ssssssHsG2010lg20Bode Diagram-60-40-20020

33、400.1-270-180-900901100() / (deg)L()/ (dB) (rad/sec)L112=24=0.55=10L22L33L44L55-20dB/dec-40-20-6010010100121115 .010)()(2ssssssHsG第四章 頻域分析法 Bode圖特點(diǎn)q 最低頻段的斜率取決于積分環(huán)節(jié)的數(shù)目v， 斜率為20v dB/dec。q 注意到最低頻段的對(duì)數(shù)幅頻特性可近似為：lg20lg20)(vKL當(dāng)1 rad/s時(shí)，L()=20lgK，即最低頻段的對(duì)數(shù)幅頻特性或其延長線在1 rad/s時(shí)的數(shù)值等于20lgK。第四章 頻域分析法q 如果各環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性用漸近

34、線表示， 則對(duì)數(shù)幅頻特性為一系列折線，折線的轉(zhuǎn) 折點(diǎn)為各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。q 對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線每經(jīng)過一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)， 其斜率相應(yīng)發(fā)生變化，斜率變化量由當(dāng)前 轉(zhuǎn)折頻率對(duì)應(yīng)的環(huán)節(jié)決定。對(duì)慣性環(huán)節(jié)，斜率下降 20dB/dec；振蕩環(huán)節(jié)，下降 40dB/dec；一階微分環(huán)節(jié)，上升20dB/dec；二階微分環(huán)節(jié)，上升 40dB/dec。第四章 頻域分析法l 傳遞函數(shù)的實(shí)驗(yàn)確定法傳遞函數(shù)的實(shí)驗(yàn)確定法 基本思路對(duì)待測(cè)系統(tǒng)，在感興趣的頻率范圍內(nèi)施加正弦激勵(lì)信號(hào)，測(cè)量足夠多頻率上系統(tǒng)輸出與輸入的幅值比和相位差，繪制Bode圖。根據(jù)Bode圖的漸近線確定轉(zhuǎn)折頻率及各典型環(huán)節(jié)，得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。第四章 頻域分析法

35、由Bode圖求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)q 確定對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線。用斜率為 0 dB/dec、 20dB/dec 、40dB/dec的直 線逼近實(shí)驗(yàn)曲線。q 根據(jù)低頻段漸近線的斜率，確定系統(tǒng)包 含的積分（或微分）環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)。q 根據(jù)低頻段漸近線或其延長線在 1 rad/s的分貝值，確定系統(tǒng)增益。第四章 頻域分析法注意到系統(tǒng)低頻段漸近線可近似為：lg20lg20)(vKL若系統(tǒng)含有積分環(huán)節(jié)，則該漸近線或其延長線與0dB線(頻率軸)的交點(diǎn)為：vK即也可由該交點(diǎn)處的頻率數(shù)值獲得系統(tǒng)增益。若系統(tǒng)不含積分環(huán)節(jié)，低頻漸近線為 20lgKdB的水平線，K 值可由該水平漸近線獲得。第四章 頻域分析法q 根據(jù)漸近線轉(zhuǎn)折

36、頻率處斜率的變化，確 定對(duì)應(yīng)的環(huán)節(jié)。若 =1時(shí)，斜率變化20dB/dec，則對(duì)應(yīng)環(huán)節(jié)為：111s若 =2時(shí)，斜率變化40dB/dec，則對(duì)應(yīng)環(huán)節(jié)為：1222212ss第四章 頻域分析法二階環(huán)節(jié)的阻尼比 根據(jù)實(shí)驗(yàn)曲線在轉(zhuǎn)折頻率處的峰值與的關(guān)系確定。q 獲得系統(tǒng)的頻率特性函數(shù)或傳遞函數(shù)。q 根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)得的相頻特性曲線校驗(yàn)獲得的 傳遞函數(shù)。若為最小相位系統(tǒng)，兩相頻特性應(yīng)大致相符，并且在很低和很高頻段上嚴(yán)格相符。2lg20)(nL第四章 頻域分析法若實(shí)驗(yàn)相頻特性曲線在高頻段（最高轉(zhuǎn)折頻率的10倍頻程處）不等于(nm)90，則系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)。若高頻末端，由計(jì)算得到的相位滯后比實(shí)驗(yàn)得到的相位滯后小1

37、80，則傳遞函數(shù)中一定有一個(gè)零點(diǎn)位于右半s平面。若高頻末端，由計(jì)算得到的相位滯后與實(shí)驗(yàn)得到的相位滯后相差一個(gè)恒定的變化率，則系統(tǒng)必存在延遲環(huán)節(jié)。第四章 頻域分析法因?yàn)槿簦簊esG)()()()(GjejG)(lim)(limGdddd 示例已知最小相位系統(tǒng)的近似對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖所示。求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。第四章 頻域分析法-200-20-40200.1120 (rad/s)L()解解：系統(tǒng)低頻段斜率為20dB/dec，v=1。注意到，(lg0.1，20)和(lg1，20lgK)兩點(diǎn)位于斜率為20dB/dec的直線上。由：1201lg1 . 0lglg2020KK第四章 頻域分析法系統(tǒng)存在三個(gè)轉(zhuǎn)

38、折頻率：0.1、1和20rad/s。對(duì)應(yīng)的典型環(huán)節(jié)分別為：120/1,11, 11 . 0sss綜上所述，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：) 105. 0)(1(110120/111111 . 0)( ssssssssKsG第四章 頻域分析法 幾點(diǎn)說明q 通常幅值測(cè)量比相位測(cè)量準(zhǔn)確；q 測(cè)量所用的正弦信號(hào)要求無諧波或波形畸 變；頻率范圍由待測(cè)系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)決定， 時(shí)常數(shù)大的系統(tǒng)，頻率范圍通常在0.001 1000Hz左右。q 合適的正弦信號(hào)輸入幅值；q 測(cè)量裝置需有足夠帶寬，且不失真；q 可利用線性系統(tǒng)的疊加特性在線測(cè)量。第四章 頻域分析法l 米哈伊洛夫穩(wěn)定定理米哈伊洛夫穩(wěn)定定理 四、頻域穩(wěn)定性判據(jù) 一階系統(tǒng)

39、特征方程：D(s) = s + p 0特征根：s = -p 0，系統(tǒng)穩(wěn)定。D(s)可視為復(fù)平面上的向量。當(dāng)變化時(shí)， D(j)的端點(diǎn)沿虛軸滑動(dòng)，其相角相應(yīng)發(fā)生變化。s-ps-ps + pReIm0在頻域該向量為：D(j) = p + j第四章 頻域分析法由圖易知，當(dāng)由0變化到時(shí)， D(j)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，即相角變化了/2。2)(argjDjReIm0D(j)-p-p若特征根為正實(shí)根，則當(dāng)由0變化到時(shí)：2)(argjD第四章 頻域分析法 二階系統(tǒng)0)(2)(2122pspssssDnn-p1-p2ReIm012j+p1j+p2-p1-p2ReIm012j + p1j+p222)(argjD當(dāng)由0變

40、化到時(shí)：022)(argjD當(dāng)由0變化到時(shí)：q 實(shí)根情形( 1)第四章 頻域分析法q 共軛虛根情形(01時(shí)，N=1/2= q/2，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。當(dāng)K0的情形，即由 00+ 變化時(shí)，G(j)以幅值順時(shí)針旋轉(zhuǎn)v90 。綜上所述，對(duì)于包含積分環(huán)節(jié)的開環(huán)系統(tǒng)，對(duì)虛軸作上述處理后，繪制Nyquist圖時(shí)需考慮由 00+ 變化時(shí)的軌跡。第四章 頻域分析法即按常規(guī)方法作出由 0+ 變化時(shí)的Nyquist曲線后，從G(j0)開始，以的半徑順時(shí)針補(bǔ)畫v90 的圓弧(輔助線)得到完整的Nyquist曲線。顯然，對(duì)于最小相位系統(tǒng)，由于：0)0(eeKjGjvv其輔助線的起始點(diǎn)始終在無窮遠(yuǎn)的正實(shí)軸上。第四章 頻域分析

41、法 =0 =0 =0+ReIm0型系統(tǒng) =0 =Re0 =0+ImI型系統(tǒng) =0 =Re0 =0+ImII型系統(tǒng)第四章 頻域分析法對(duì)于非最小相位系統(tǒng)，輔助線的起始點(diǎn)則由其含有的不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)決定。偶數(shù)個(gè)時(shí)，起于正實(shí)軸，奇數(shù)個(gè)時(shí)起于負(fù)實(shí)軸。為作圖方便，通常按由 0+ 0變化加輔助線，即從G(j0+)開始以的半徑逆時(shí)針補(bǔ)畫v90的圓弧。作出輔助線的Nyquist曲線方向仍然是0 0+ +。作出輔助線后，即可應(yīng)用Nyquist判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第四章 頻域分析法q 例題 例1：單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為) 1()(TssKsG應(yīng)用Nyquist判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解解：開環(huán) Nyqui

42、st曲線不包圍 (-1, j0 )點(diǎn)，而q=0，因此，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。 =0 =0 =0+ReIm第四章 頻域分析法 例2：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為) 1)(1()()(21sTsTsKsHsG應(yīng)用Nyquist判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解解：)1)(1 ()(222212TTKA2121270)180(90)(arctgTarctgTarctgTarctgT第四章 頻域分析法 0： A(0)K(0)270 ： A()0()270注意到： 212121270270270)(TTTTarctgTarctgT即T1T2 時(shí)，Nyquist曲線位于第一象限。 第四章 頻域分析法T1T2 =0 =0 =0+ReIm =0 =0+由圖可見，Nyquist曲線順時(shí)針包圍(-1, j0 )點(diǎn)半次，而q1，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。第四章 頻域分析法 Nyquist判據(jù)中“穿越”的概念q 穿越：指開環(huán)Nyquist曲線穿過 (-1, j0 ) 點(diǎn)左 邊實(shí)軸時(shí)的情況。q 正穿越： 增大時(shí)，Nyquist曲線由上而下穿 過-1 - 段實(shí)軸。q 負(fù)穿越： 增大時(shí)，Nyquist曲線由下而上穿 過-1 - 段實(shí)軸。負(fù)穿越相當(dāng)于Nyquist曲線 反向包圍(-1, j0 )點(diǎn)一圈。正穿越時(shí)，相角增加，相當(dāng)于Nyquist曲線正向包圍(-1, j0 )點(diǎn)一圈。第四章 頻域分析法-1+0ReIm = =0q=2Nyqui