第十五章電路方程的矩陣形式

1、2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系1第十五章第十五章 電路方程的矩陣形式電路方程的矩陣形式15-1 割集割集15-2 關聯(lián)矩陣關聯(lián)矩陣A 、回路矩陣、回路矩陣B 、割集矩陣、割集矩陣Q*15-3 矩陣矩陣A、B、Q之間的關系之間的關系15-4 回路電流方程的矩陣形式回路電流方程的矩陣形式15-5 結(jié)點電壓方程的矩陣形式結(jié)點電壓方程的矩陣形式15-6 割集電壓方程的矩陣形式割集電壓方程的矩陣形式*15-7 列表法列表法2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系2引言：電路的分析方法引言：電路的分析方法1. 小規(guī)模電路小規(guī)模電路人工觀察法人工觀察

2、法回路電流法回路電流法結(jié)點電壓法結(jié)點電壓法2. 大規(guī)模電路大規(guī)模電路 仍采用以上具體方法，但求解過程具有以下幾個特點：仍采用以上具體方法，但求解過程具有以下幾個特點： （1）采用系統(tǒng)化方法建立電路方程；）采用系統(tǒng)化方法建立電路方程； （2）電路方程用矩陣形式表示；）電路方程用矩陣形式表示； （3）利用計算機作為求解工具。）利用計算機作為求解工具。2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系315-1 回路電流方程的矩陣形式2. 回路矩陣回路矩陣（1）獨立回路矩陣（回路矩陣）獨立回路矩陣（回路矩陣） 若一回路由某些支路組成，則稱這些支路與該回路若一回路由某些支路組成，則稱這些

3、支路與該回路關聯(lián)關聯(lián)。支路與回路的關聯(lián)性質(zhì)可以用所謂的獨立回路矩陣加以描述。支路與回路的關聯(lián)性質(zhì)可以用所謂的獨立回路矩陣加以描述。獨立回路矩陣簡稱為回路矩陣。獨立回路矩陣簡稱為回路矩陣。 以回路電流作為電路的待求變量，對電路進行分析的方法以回路電流作為電路的待求變量，對電路進行分析的方法稱為回路電流法。稱為回路電流法。1. 回路電流法回路電流法 設有向圖的獨立回路數(shù)為設有向圖的獨立回路數(shù)為l，支路數(shù)為，支路數(shù)為b，在對所有獨立回，在對所有獨立回路和支路均加以編號后，該有向圖的（獨立）回路矩陣路和支路均加以編號后，該有向圖的（獨立）回路矩陣B將是將是一個一個lb 的矩陣。的矩陣。2022年4月2

4、3日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系4 B的每一行對應一個獨立回路，列對應于支路，它的任的每一行對應一個獨立回路，列對應于支路，它的任一元素一元素bjk定義如下：定義如下： bjk = +1，表示支路，表示支路k與回路與回路j關聯(lián)，并且它們的方向關聯(lián)，并且它們的方向一致一致； bjk = - -1，表示支路，表示支路k與回路與回路j關聯(lián)，并且它們的方向關聯(lián)，并且它們的方向相反相反； bjk = 0， 表示支路表示支路k與回路與回路j無關聯(lián)無關聯(lián)。舉例：試寫出如下所示有向圖的獨立回路矩陣。舉例：試寫出如下所示有向圖的獨立回路矩陣。345261解：首先借助于解：首先借助于“樹樹”的概念

5、選取一組獨立回路的概念選取一組獨立回路2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系5 一個連通圖一個連通圖G的一個樹的一個樹T 包含包含G的全部結(jié)點和部分支路，樹的全部結(jié)點和部分支路，樹T 本身是連通的且又不包含回路。本身是連通的且又不包含回路。 補充知識：有關補充知識：有關“樹樹”的一些概念的一些概念 樹中包含的支路稱為樹支，樹支以外的其它支路稱為連支。樹中包含的支路稱為樹支，樹支以外的其它支路稱為連支。一個具有一個具有n個節(jié)點、個節(jié)點、b條支路的電路，其樹支數(shù)為條支路的電路，其樹支數(shù)為n-1，連支數(shù)為，連支數(shù)為b-(n-1)。345261（a）356（b）346（c）2

6、022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系6 若選若選3、5、6為樹支，得到的獨立回路組如上圖（為樹支，得到的獨立回路組如上圖（b）所示。）所示。12345610101 11011001200011 13345261（a）4563561132623（b）B=進一步得到的回路矩陣為：進一步得到的回路矩陣為：2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系7（2）基本回路矩陣）基本回路矩陣 如果所選獨立回路組是對應于一個樹的如果所選獨立回路組是對應于一個樹的單連支回路組單連支回路組，則稱相應的回路矩陣為基本回路矩陣，并用則稱相應的回路矩陣為基本回路矩陣，并用Bf

7、 表示。表示。 寫寫B(tài)f 時，注意安排其行、列次序如下：時，注意安排其行、列次序如下： 把把l條連支依次排列在對應于條連支依次排列在對應于Bf 的第的第1到第到第l（l=b-n+1） 列，然后再排列樹支；列，然后再排列樹支； 取每一單連支回路的取每一單連支回路的序號序號為對應連支所在列的為對應連支所在列的序號序號，且以該連支的方向作為對應回路的繞行方向。且以該連支的方向作為對應回路的繞行方向。 Bf 將具有以下形式將具有以下形式1 |fltBB式中，下標式中，下標 l 和和 t 分別表示對應于連支和樹支的部分；分別表示對應于連支和樹支的部分； 1l 是一是一個個 l 階的單位子矩陣。階的單位子

8、矩陣。2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系8 選選3、5、6為樹支，則為樹支，則1、2、4為連支。上圖（為連支。上圖（b）所示獨立）所示獨立回路組即為一組單連支回路，其基本回路矩陣為：回路組即為一組單連支回路，其基本回路矩陣為：舉例：試寫出如下所示有向圖（舉例：試寫出如下所示有向圖（a）的基本回路矩陣。）的基本回路矩陣。345261（a）4563561132623（b）12435610011 11010101200101 13fB =2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系93. 基爾霍夫定律和回路矩陣基爾霍夫定律和回路矩陣B的關系的關系（1

9、）用回路矩陣）用回路矩陣B表示的表示的KCL的矩陣形式的矩陣形式 用一個用一個 l 階列向量表示階列向量表示 l 個獨立回路電流，即個獨立回路電流，即T12llllliiii 由于回路矩陣由于回路矩陣B的每一列（也就是回路矩陣的每一列（也就是回路矩陣BT的每一行）的每一行）表示每一條支路與回路的關聯(lián)情況，所以按矩陣的乘法規(guī)則可表示每一條支路與回路的關聯(lián)情況，所以按矩陣的乘法規(guī)則可知，各支路電流的列向量知，各支路電流的列向量12biiii TlB i 上式表明電路中各支路電流可以用與該支路關聯(lián)的所有回上式表明電路中各支路電流可以用與該支路關聯(lián)的所有回路的回路電流表示，這正是回路電流法的基本思想。

10、路的回路電流表示，這正是回路電流法的基本思想。2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系10舉例：利用下圖驗證舉例：利用下圖驗證 i =BTil 的正確性。的正確性。345261（a）4563561132623（b）12345610101 11011001200011 13B=2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系111T23100010110001101111lllliB iii1212313123lllllllllliiiiiiiiii12345610101 11011001200011 13B=T123lllliiii2022年4月23日1

11、6時59分北京科技大學信息工程學院自動化系12123456iiiiii 1T23100010110001101111lllliB iii1212313123lllllllllliiiiiiiiii i345261（a）4563561132623（b）2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系13（2）用回路矩陣）用回路矩陣B表示的表示的KVL的矩陣形式的矩陣形式 若電路中的若電路中的b個支路電壓用個支路電壓用u=u1 u2 ubT 表示，則回路表示，則回路矩陣矩陣 B 左乘支路電壓列向量左乘支路電壓列向量 u 的結(jié)果將是一個的結(jié)果將是一個 l 階的列向量。階的列向量。Bu

12、回路回路1中的中的回路回路2中的中的 回路回路l 中的中的uuu根據(jù)根據(jù)KVL可知可知Bu 0 由于矩陣由于矩陣 B 的每一行表示每一對應回路與各支路的關聯(lián)情的每一行表示每一對應回路與各支路的關聯(lián)情況，所以由矩陣乘法規(guī)則可知，乘積列向量中每一個元素將等況，所以由矩陣乘法規(guī)則可知，乘積列向量中每一個元素將等于每一對應回路中各支路電壓的代數(shù)和，即于每一對應回路中各支路電壓的代數(shù)和，即2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系14345261（a）4563561132623（b）用回路矩陣用回路矩陣B表示的表示的KVL的矩陣形式的矩陣形式12345610101 10110010

13、0011 1uuuBuuuu1356236456uuuuuuuuuu000 0例如：試用下圖驗證例如：試用下圖驗證 的正確性。的正確性。 Bu 02022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系154. 復合支路的定義復合支路的定義 設第設第k條支路為復合支路，如下圖所示。條支路為復合支路，如下圖所示。- - +SkUekISkIZk(Yk)kIkU+- - 本章對回路電流法中的復合支路有如下規(guī)定：本章對回路電流法中的復合支路有如下規(guī)定：（1）復合支路）復合支路Zk (Yk) 只能是只能是單一單一的電阻、電感或電容，而不的電阻、電感或電容，而不能是它們的組合；能是它們的組合；

14、（2）復合支路電壓、電流為）復合支路電壓、電流為關聯(lián)關聯(lián)參考方向；參考方向； （3）允許一條支路缺少某些元件；）允許一條支路缺少某些元件； （4）不允許有無伴電流源支路存在。）不允許有無伴電流源支路存在。2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系165. 支路電壓、電流方程（支路電壓、電流方程（VCR）的矩陣形式）的矩陣形式（1）電路中的電感之間無耦合時的情況）電路中的電感之間無耦合時的情況 當電路中電感之間無耦合時，對于第當電路中電感之間無耦合時，對于第k條支路應用條支路應用相量法相量法有有- - +SkUekISkIZk(Yk)kIkU+- -()kSkkSkkUZI

15、IU若設：若設：2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系17為支路電流列向量；為支路電流列向量；T12 bIIII為支路電壓列向量；為支路電壓列向量；T12 bUUUU為支路電流源的電流列向量；為支路電流源的電流列向量；T12 SSSSbIIII為支路電壓源的電壓列向量。為支路電壓源的電壓列向量。T12 SSSSbUUUU則對整個電路有則對整個電路有111112222200SSSSbbSbbSbUIIUZZUIIUZUIIU（1）即即()SSUZ IIU式中式中Z 稱為稱為支路阻抗矩陣支路阻抗矩陣，它是一個對角陣。，它是一個對角陣。2022年4月23日16時59分北京科

16、技大學信息工程學院自動化系18（2）電路中的電感之間有耦合時的情況）電路中的電感之間有耦合時的情況 當電路中電感之間有耦合時，式（當電路中電感之間有耦合時，式（1）還應計及互感電壓）還應計及互感電壓的作用，假設第的作用，假設第1條支路至第條支路至第g條支路相互條支路相互均有耦合均有耦合，則，則12311112131eeeegsgUZ Ij MIj MIj MIU12322212232eeeegsgUj MIZ Ij MIj MIU 123123eeeeggsgggggUj MIj MIj MIZ IU eggsgIII111esIII1221MM式中，式中， ， ， ， ；“ ”號取決于各電感

17、的同名端和電流、電壓號取決于各電感的同名端和電流、電壓的參考方向。的參考方向。11ggMM2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系19 由于其余支路之間無耦合，故得由于其余支路之間無耦合，故得 ehhshhUZ IUebbsbbUZ IU 因此，當電路中第因此，當電路中第1條支路至第條支路至第g條支路電感之間有耦合，條支路電感之間有耦合，而其余支路之間無耦合時，支路電壓與支路電流之間的關系可而其余支路之間無耦合時，支路電壓與支路電流之間的關系可用下列矩陣形式表示用下列矩陣形式表示ebbsbIIIehhshIII式中，式中， ， 。2022年4月23日16時59分北京科技

18、大學信息工程學院自動化系20SbSSSbbSSbhgggggbUUUIIIIIIZZZMjMjMjZMjMjMjZUUU21221121222111212100000000000000或?qū)懗苫驅(qū)懗?)SSUZ IIU式中，支路阻抗矩陣式中，支路阻抗矩陣Z為為非非對角陣，其主對角線元素為各支路阻對角陣，其主對角線元素為各支路阻抗，而非對角線元素將是相應支路之間的互感阻抗。抗，而非對角線元素將是相應支路之間的互感阻抗。2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系216. 回路電流方程的矩陣形式回路電流方程的矩陣形式TlIB I 由由KCL0UB KVL 支路方程支路方程()SS

19、UZ IIU整理后得回路電流方程的矩陣形式整理后得回路電流方程的矩陣形式TlSSBZB IBUBZ I 如設如設Zl=BZBT，則回路電流方程的矩陣形式可寫為，則回路電流方程的矩陣形式可寫為其中，其中，Zl是一個是一個l 階的方陣，稱為階的方陣，稱為回路阻抗矩陣回路阻抗矩陣，它的主對角線，它的主對角線元素為自阻抗，非主對角線元素則為互阻抗。元素為自阻抗，非主對角線元素則為互阻抗。lSSlZ IBUBZ I2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系22例：用矩陣形式列出下圖所示電路的回路電流方程。例：用矩陣形式列出下圖所示電路的回路電流方程。7. 舉例舉例1SI+ - -2

20、SU3j L1R2R4j L51j C3415212解：作出有向圖，并選支路解：作出有向圖，并選支路1、2、5為樹支，可得為樹支，可得回路矩陣回路矩陣B 123451101012 010112022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系231SI+ - -2SU3j L1R2R4j L51j C3415212123451 ()Zdiag RRj Lj Lj CT20000SSUUT10000SSII2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系241010101011B123451 ()Zdiag RRj Lj Lj CT1234510011 0 1 011

21、 () 1001 0 110111BZBdiag RRj Lj Lj C1352451010001101000111Rj Lj CRj Lj C135524551111Rj Lj Cj CRj Lj Cj C2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系25135524551111Rj Lj Cj CRj Lj Cj CTlZBZB1SI+ - -2SU3j L1R2R4j L51j C2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系261010101011BT20000SSUU201010100101100SSUBU20SU 2022年4月23日16時59分

22、北京科技大學信息工程學院自動化系27123451 ()Zdiag RRj Lj Lj CT10000SSII1010101011B11352451000010000SIRj Lj CRj Lj C 110SR I 1123450101011 ()00101100SSIBZ Idiag RRj Lj Lj C2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系28110SSR IBZ I 20SSBUU 112SSSSR IBUBZ IU得到電路回路電流方程的矩陣形式為得到電路回路電流方程的矩陣形式為代入代入TlSSBZB IBUBZ I13115512224551111lSlSRj

23、 Lj Cj CIR IIURj Lj Cj C2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系29重寫電路回路電流方程的矩陣形式如下重寫電路回路電流方程的矩陣形式如下13115512224551111lSlSRj Lj Cj CIR IIURj Lj Cj C1SI+ - -2SU3j L1R2R4j L51j C34152122022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系30 s ss sI I U U Z Z B B 8. 回路電流法的步驟（以相量形式為例）回路電流法的步驟（以相量形式為例）（1）從已知網(wǎng)絡，寫出）從已知網(wǎng)絡，寫出 、 、 和和 ；BZS

24、USI（2）根據(jù)）根據(jù) 求出求出 ； TlZBZBlZ（3）求出）求出 和和 ；SBUSBZ I（4）列出回路電流方程的矩陣形式）列出回路電流方程的矩陣形式lSSlZ IBUBZ I（5）根據(jù)上式求出）根據(jù)上式求出 ；lI（6）由）由KCL方程方程 求出各支路電流求出各支路電流 ；TlIB II（7）根據(jù)支路方程）根據(jù)支路方程 求出各支路電壓求出各支路電壓 。()SSUZ IIUU2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系3115-2 結(jié)點電壓方程的矩陣形式結(jié)點電壓方程的矩陣形式1. 結(jié)點電壓法結(jié)點電壓法 以結(jié)點電壓作為電路的待求變量，對電路進行分析的方以結(jié)點電壓作為電路

25、的待求變量，對電路進行分析的方法稱為結(jié)點電壓法。法稱為結(jié)點電壓法。2. 關聯(lián)矩陣關聯(lián)矩陣（1）關聯(lián)矩陣）關聯(lián)矩陣 若一條支路連接于某兩個結(jié)點之間，則稱該支路與這兩若一條支路連接于某兩個結(jié)點之間，則稱該支路與這兩個結(jié)點相個結(jié)點相關聯(lián)關聯(lián)。定義定義 設有向圖的結(jié)點數(shù)為設有向圖的結(jié)點數(shù)為n，支路數(shù)為，支路數(shù)為b，且對所有結(jié)點與支，且對所有結(jié)點與支路均加以編號后，該有向圖的關聯(lián)矩陣路均加以編號后，該有向圖的關聯(lián)矩陣Aa為一個為一個(nb)階的階的矩陣。矩陣。2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系32 ajk= +1，表示支路，表示支路k與結(jié)點與結(jié)點 j 關聯(lián)并且它的方向背離結(jié)

26、點；關聯(lián)并且它的方向背離結(jié)點；345261 ajk= 0， 表示支路表示支路k與結(jié)點與結(jié)點 j 無關聯(lián)。無關聯(lián)。 ajk= - -1，表示支路，表示支路k與結(jié)點與結(jié)點 j 關聯(lián)并且它的方向指向結(jié)點；關聯(lián)并且它的方向指向結(jié)點； 舉例舉例 試寫出下圖所示電路的關聯(lián)矩陣。試寫出下圖所示電路的關聯(lián)矩陣。1111000200110131001104010011aA =123456 Aa的行對應結(jié)點，列對應支路，它的任一元素的行對應結(jié)點，列對應支路，它的任一元素ajk定義如定義如下：下：2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系33特點特點 （i）Aa的每一列只有的每一列只有+1和和

27、-1兩個非零元素；兩個非零元素； （ii）如把如把Aa所有行的元素按列相加，則可以得到一行所有行的元素按列相加，則可以得到一行全為零的元素，這說明這些行不是彼此獨立的?；蛘哒f全為零的元素，這說明這些行不是彼此獨立的?；蛘哒fAa中中的任一行必能從其它的任一行必能從其它(n-1)行導出。行導出。（2）降階關聯(lián)矩陣降階關聯(lián)矩陣 如果把如果把Aa的任一行劃去，剩下的的任一行劃去，剩下的(n-1) b階矩陣稱為降階矩陣稱為降階關聯(lián)矩陣，一般用階關聯(lián)矩陣，一般用A加以表示。加以表示。 今后將主要使用降階關聯(lián)矩陣，并經(jīng)常省去今后將主要使用降階關聯(lián)矩陣，并經(jīng)常省去“降階降階”二二字。字。11110002001

28、10131001104010011aA =1234562022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系34 將上面的第將上面的第4行劃去，則可得到降階關聯(lián)矩陣為：行劃去，則可得到降階關聯(lián)矩陣為： 被劃去的行所對應的結(jié)點可以作為被劃去的行所對應的結(jié)點可以作為參考結(jié)點參考結(jié)點。1111000200110131001104010011aA =123456111+1000200110+13 +100+1+10A=1234562022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系35 設電路中的設電路中的b個支路電流可以用一個個支路電流可以用一個b階列向量表示階列向量表示Ai

29、=結(jié)點結(jié)點1上的上的i結(jié)點結(jié)點2上的上的i 結(jié)點結(jié)點(n-1)上的上的i 根據(jù)根據(jù)KCL可知可知3. 基爾霍夫定律和關聯(lián)矩陣基爾霍夫定律和關聯(lián)矩陣A的關系的關系（1）用矩陣）用矩陣A表示的表示的KCL的矩陣形式的矩陣形式T12biiii 若用矩陣若用矩陣A左乘電流列向量，則乘積是一個左乘電流列向量，則乘積是一個(n-1)階列向量，階列向量，由矩陣相乘規(guī)則可知，它的每一個元素為相應結(jié)點上各支路電由矩陣相乘規(guī)則可知，它的每一個元素為相應結(jié)點上各支路電流的代數(shù)和，即流的代數(shù)和，即0Ai 2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系36例如：利用下圖驗證例如：利用下圖驗證 Ai =

30、0 的正確性。的正確性。345261111000001101100110A123346145iiiiiiiii 123456111000001101100110Aiiiiiii 000 0T126iiii2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系37（2）用矩陣）用矩陣A表示的表示的KVL的矩陣形式的矩陣形式 設電路中的設電路中的b個支路電壓可以用一個個支路電壓可以用一個b階列向量表示階列向量表示T12buuuu (n-1)個結(jié)點電壓可以用一個個結(jié)點電壓可以用一個(n-1)階列向量表示階列向量表示T12(1)nnnn nuuuu 由于矩陣由于矩陣A的每一列，也就是矩陣的每

31、一列，也就是矩陣AT的每一行，表示每一的每一行，表示每一對應支路與結(jié)點的關聯(lián)情況，所以用矩陣對應支路與結(jié)點的關聯(lián)情況，所以用矩陣A表示的表示的KVL的矩陣的矩陣形式為形式為TnuA u 上式表明電路中各支路的電壓可以用與該支路相關聯(lián)的兩上式表明電路中各支路的電壓可以用與該支路相關聯(lián)的兩個結(jié)點的結(jié)點電壓表示，這正是結(jié)點電壓法的基本思想。個結(jié)點的結(jié)點電壓表示，這正是結(jié)點電壓法的基本思想。2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系38解：設是參考結(jié)點，電壓為零，則解：設是參考結(jié)點，電壓為零，則345261111000001101100110A131122332nnnnnnnnn

32、uuuuuuuuu1T23101100110011001010Annnnuuuu123456uuuuuuu例如：利用下圖驗證例如：利用下圖驗證 的正確性。的正確性。TnuA uT123nnnnuuuu2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系394. 復合支路定義復合支路定義- - +SkUekISkIYk(Zk)dkI+ - -ekUkIkU+- - 對于結(jié)點電壓法，可采用下圖所示的復合支路。對于結(jié)點電壓法，可采用下圖所示的復合支路。 本書對結(jié)點電壓法中的復合支路有如下規(guī)定：本書對結(jié)點電壓法中的復合支路有如下規(guī)定： （1）電路中不存在受控電壓源，同時也不允許無伴電）電路

33、中不存在受控電壓源，同時也不允許無伴電壓源支路的存在；壓源支路的存在； （2）其它與回路電流法中對復合支路的前三點規(guī)定相）其它與回路電流法中對復合支路的前三點規(guī)定相同。同。2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系405. 支路電壓、電流方程（支路電壓、電流方程（VCR）的矩陣形式）的矩陣形式（1）當電路中無受控電流源，電感之間無耦合時的情況）當電路中無受控電流源，電感之間無耦合時的情況- - +SkUekISkIYk(Zk)+ - -ekUkIkU+- -對整個電路有對整個電路有此時，對于第此時，對于第k條支路有條支路有kekSkIII()SkkSkkY UUISkek

34、kY UI()SSIY U UI2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系41即：即：111112222200SSSSbbSbbSbIUUIYYIUUIYIUUI式中式中Y 稱為支路導納矩陣，它是一個對角陣。稱為支路導納矩陣，它是一個對角陣。（2）電路中無受控電流源，但電感之間有耦合時的情況）電路中無受控電流源，但電感之間有耦合時的情況 此時還應計及互感電壓的影響，根據(jù)上節(jié)結(jié)論可知，方此時還應計及互感電壓的影響，根據(jù)上節(jié)結(jié)論可知，方程在形式上與上式完全相同，唯一的差別在于此時程在形式上與上式完全相同，唯一的差別在于此時Y 不再是不再是一個對角陣。一個對角陣。2022年4月

35、23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系42（3）電路中含有受控電流源，但電感之間無耦合時的情況）電路中含有受控電流源，但電感之間無耦合時的情況- - +SkUekISkIYk(Zk)dkI+ - -ekUkIkU+- - 此時，對第此時，對第k條支路有條支路有()kdkSkkSkkIY UUII 設第設第k條支路中的受控電流源受第條支路中的受控電流源受第j條支路中無源元件上的條支路中無源元件上的電壓電壓 或電流或電流 控制，即控制，即 或或 。ejUejIdkejkjIg UdkejkjII2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系43- - +S jUejI

36、S jIYj(Zj)+ - -ejUjIjU+- -()dkejjSjkjkjIg UgUU 則在則在VCCS情況下，上式中的情況下，上式中的()dkejjSjkjkjjIIY UU而在而在CCCS的情況下，上式中的的情況下，上式中的 若第若第j條支路如下圖所示條支路如下圖所示2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系441111122220000000000SSSjjjSjkjkkkSkbbbSbIUUIYIUUIYYIUUYYIUUYIUU2SSjSkSbIII于是整個電路支路方程的矩陣形式為于是整個電路支路方程的矩陣形式為2022年4月23日16時59分北京科技大學

37、信息工程學院自動化系45 支路方程在形式上仍與情況（支路方程在形式上仍與情況（1）時相同，只是矩陣）時相同，只是矩陣Y 的內(nèi)的內(nèi)容不同而已，此時容不同而已，此時Y 也不再是對角陣。也不再是對角陣。上式中上式中gkjkjkjjYY（當（當 為為VCCS時）時）（當（當 為為CCCS時）時）dkIdkI整個電路支路方程的矩陣形式可簡寫為整個電路支路方程的矩陣形式可簡寫為()SSIY U UI2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系460123456（b）4di1Si1R1u2di2R2Su5L6L4C4Su4Si3C6i0（a）舉例：電路如下圖所示，圖中元件的下標代表支路編

38、號，設舉例：電路如下圖所示，圖中元件的下標代表支路編號，設 ， ，寫出各支路，寫出各支路VCR方程的矩陣形式。方程的矩陣形式。221 1dig u446 6dii2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系471212346465610000010000000000000100000100000RgRj CYj Cj Lj Lj L支路導納矩陣為（參考教材支路導納矩陣為（參考教材P407圖圖15-13）解：解：2121dIg U4646dII，2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系48T140000SSSIIIT240000SSSUUU代入支路方程

39、代入支路方程 ，可得，可得()SSIY U UI1211112222333464444655665610000010000000000000000001000000100000SSSRgIUIRIUUj CIUj CIUUjLIUIUjLjL400SI2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系496. 結(jié)點電壓方程的矩陣形式結(jié)點電壓方程的矩陣形式整理后得結(jié)點電壓方程的矩陣形式整理后得結(jié)點電壓方程的矩陣形式由由KCL0AI KVLTnUA U支路方程支路方程()SSIY U UITSnSAYA UAIAYU若設若設 ，則結(jié)點電壓方程的矩陣形式可寫為，則結(jié)點電壓方程的矩陣形式

40、可寫為 TnY = AYASnSnY UAIAYU其中，其中，Yn是一個是一個(n-1)階的方陣，稱為階的方陣，稱為結(jié)點導納矩陣結(jié)點導納矩陣，它的主，它的主對角元素為自導納，非主對角元素則為互導納。對角元素為自導納，非主對角元素則為互導納。2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系50 試用矩陣形式列出電路的結(jié)點電壓方程。電路如下圖試用矩陣形式列出電路的結(jié)點電壓方程。電路如下圖(a)所示，圖中元件的數(shù)字下標代表支路編號。所示，圖中元件的數(shù)字下標代表支路編號。7. 舉例舉例R4R3R5L1L2iS3iS4C61234（a）解：作出電路的有向圖，如上圖（解：作出電路的有向圖，

41、如上圖（b）所示。）所示。1234164325（b）2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系51選結(jié)點選結(jié)點為參考結(jié)點，則關聯(lián)矩陣為為參考結(jié)點，則關聯(lián)矩陣為110110021100013010110A=12345612341643252022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系52R4R3R5L1L2iS3iS4C61234電壓源列向量電壓源列向量SU 0電流源列向量電流源列向量T340000SSSIII支路導納矩陣為支路導納矩陣為61234511111Ydiagj Cj Lj LRRR12341643252022年4月23日16時59分北京科技大學

42、信息工程學院自動化系53134114342611224342452111111111011111nSSnSnRRj Lj LRUIIj CUj Lj Lj Lj LUIRj LRRj L代入結(jié)點電壓方程的矩陣形式代入結(jié)點電壓方程的矩陣形式TSnSAYA UAIAYUR4R3R5L1L2iS3iS4C612342022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系548. 結(jié)點電壓法的步驟（以相量形式為例）結(jié)點電壓法的步驟（以相量形式為例）（1）從已知網(wǎng)絡寫出）從已知網(wǎng)絡寫出 、 、 和和 ； AYsUsI（2）根據(jù)）根據(jù) 求出求出 ；TnYAYAnY（3）求出）求出 和和 ；SAIS

43、AYU（4）列出結(jié)點電壓方程的矩陣形式）列出結(jié)點電壓方程的矩陣形式SnSnY UAIAYU（5）根據(jù)上式求出）根據(jù)上式求出 ；nU（6）由）由KVL方程方程 求出各支路電壓求出各支路電壓 ；UTnUA U（7）根據(jù)支路方程）根據(jù)支路方程 求出各支路電流求出各支路電流 。()SSIY UUII2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系5515-3 割集電壓方程的矩陣形式割集電壓方程的矩陣形式1. 割集電壓法割集電壓法 以割集電壓（樹支電壓）作為電路的待求變量，對電路以割集電壓（樹支電壓）作為電路的待求變量，對電路進行分析的方法稱為割集電壓法。進行分析的方法稱為割集電壓法。2

44、. 割集割集 （1）定義）定義 連通圖連通圖G的一個割集是的一個割集是G的一些支路的集合，把這些支的一些支路的集合，把這些支路移去將使路移去將使G分離為兩個部分，但是如果少移去其中任意一分離為兩個部分，但是如果少移去其中任意一條支路，圖仍將是連通的。條支路，圖仍將是連通的。 （2）舉例）舉例2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系56abcdefbdeacf( b,d,e,f )是割集是割集accdfabcdef(a,b,e)是割集是割集2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系57 (a,b,c,d,e)不是割集，因為移去割集支路后，不是割集，因

45、為移去割集支路后，G 被分離成三被分離成三部分。部分。fabcdef (a,d,e, f ) 不是割集，因為即使在割集支路中少移去一條支不是割集，因為即使在割集支路中少移去一條支路路 e ，圖仍不能連通。，圖仍不能連通。bcabcdefbdeacf2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系58（3）割集的確定）割集的確定abcdef(a,b,e) 為割集為割集cdfQ1abcdef 可以通過在連通圖可以通過在連通圖G上作閉合面的方法確定一個割集。上作閉合面的方法確定一個割集。 如果在如果在G上作一個閉合面，使其包圍上作一個閉合面，使其包圍 G 的的某些某些結(jié)點。若把結(jié)點。

46、若把與此閉合面相切割的所有支路全部移去，與此閉合面相切割的所有支路全部移去，G 將被分離為兩個部將被分離為兩個部分，則這樣一組支路便構(gòu)成一個割集。分，則這樣一組支路便構(gòu)成一個割集。2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系59abcdefef(a,b,c,d )為割集為割集(a,e,c,f )為割集為割集abcdefQ3abcdefQ2bd2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系60（4）獨立割集組和基本割集組）獨立割集組和基本割集組獨立割集組獨立割集組 對應于一組線性獨立對應于一組線性獨立KCL方程的割集稱為獨立割集組。方程的割集稱為獨立割集組。

47、abcdef1Qabcdef2Qabcdef3Qabcdef4Qabcdef1:0fdaQIII2:0abeQIII3:0bcfQIII4:0ecdQIII 由于右側(cè)四式由于右側(cè)四式不獨立，所以不獨立，所以Q1、Q2、Q3、Q4不是獨不是獨立割集組。立割集組。2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系61基本割集基本割集 由樹的一個樹支與相應的一些連支構(gòu)成的割集稱為單樹支由樹的一個樹支與相應的一些連支構(gòu)成的割集稱為單樹支割集或基本割集。割集或基本割集?；靖罴M基本割集組 對于一個具有對于一個具有n個結(jié)點的連通圖，其樹支數(shù)為個結(jié)點的連通圖，其樹支數(shù)為(n-1)，因此，因此

48、將有將有(n-1)個單樹支割集組，這里稱之為基本割集組。個單樹支割集組，這里稱之為基本割集組。結(jié)論：結(jié)論：對于一個具有對于一個具有n個結(jié)點的連通圖而言，其獨立割集組中個結(jié)點的連通圖而言，其獨立割集組中割集的數(shù)目為割集的數(shù)目為(n-1) 。 基本割集組是一組獨立割集，但一組獨立割集不一定非是基本割集組是一組獨立割集，但一組獨立割集不一定非是基本割集組，如同一組獨立回路不一定非是單連支回路組一樣?；靖罴M，如同一組獨立回路不一定非是單連支回路組一樣。基本割集組的選擇基本割集組的選擇 首先選擇圖首先選擇圖G 的一個樹，然后在圖的一個樹，然后在圖G 中做閉合面并使閉合中做閉合面并使閉合面每次面每次只

49、和一個樹支只和一個樹支相切割，則該樹支和同閉合面相切割的連相切割，則該樹支和同閉合面相切割的連支共同構(gòu)成一個單樹支割集，同理可得到其它單樹支割集。支共同構(gòu)成一個單樹支割集，同理可得到其它單樹支割集。2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系62abcdef 選擇選擇a,e,c為樹，樹支用實線表示，連為樹，樹支用實線表示，連支用虛線表示。然后在圖支用虛線表示。然后在圖G中做閉合面，中做閉合面，每個閉合面只和一個樹支相切割，從而可每個閉合面只和一個樹支相切割，從而可得到得到(n-1)個單樹支割集。個單樹支割集。abcdefQ1Q1(a,d, f )abcdefQ2Q2(b,e

50、,d, f )abcdefQ3Q3(b,c, f )舉例舉例 以上三個圖中的點劃線表示樹支和連支與相應閉合面相切以上三個圖中的點劃線表示樹支和連支與相應閉合面相切割的情況。割的情況。2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系633. 割集矩陣割集矩陣（1）獨立割集矩陣（割集矩陣）獨立割集矩陣（割集矩陣） 設一個割集由某些支路構(gòu)成，則稱這些支路與該割集設一個割集由某些支路構(gòu)成，則稱這些支路與該割集關聯(lián)關聯(lián)。支路與割集的關聯(lián)性質(zhì)可用割集矩陣支路與割集的關聯(lián)性質(zhì)可用割集矩陣Q加以描述。加以描述。 對每個割集編號，并指定一個割集方向（移去割集所有支對每個割集編號，并指定一個割集方

51、向（移去割集所有支路，路，G 被分割成兩部分，從其中一部分指向另一部分的方向稱被分割成兩部分，從其中一部分指向另一部分的方向稱為割集方向，每一個割集只有兩個可能的方向）后，（獨立）為割集方向，每一個割集只有兩個可能的方向）后，（獨立）割集矩陣割集矩陣Q為一個為一個(n-1) b階的矩陣。階的矩陣。 Q的行對應割集，列對應支路。割集矩陣的行對應割集，列對應支路。割集矩陣Q 的任一元素的任一元素qjk定義如下：定義如下：qjk = +1，表示支路，表示支路k與割集與割集 j 關聯(lián)，并且它們的方向關聯(lián)，并且它們的方向一致一致；qjk = 1，表示支路，表示支路k與割集與割集 j 關聯(lián)，并且它們的方向

52、關聯(lián)，并且它們的方向相反相反；qjk = 0， 表示支路表示支路k與割集與割集 j 無關聯(lián)無關聯(lián)。2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系64345261 選支路選支路3、5、6為樹支，其獨立割集數(shù)為為樹支，其獨立割集數(shù)為3。若選如圖所示的。若選如圖所示的3個割集，則割集矩陣為個割集，則割集矩陣為 451Q24261Q3例如：求下圖所示電路的割集矩陣。例如：求下圖所示電路的割集矩陣。321Q1111000110011021101013123456Q=2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系65（2）基本割集矩陣）基本割集矩陣 如果選一組單樹支割集

53、作為獨立割集組，則稱這種割集矩如果選一組單樹支割集作為獨立割集組，則稱這種割集矩陣為基本割集矩陣，用陣為基本割集矩陣，用 Qf 表示。表示。 寫寫 Qf 時，注意安排其行、列次序如下：時，注意安排其行、列次序如下： 把把(n-1)條樹支依次排列在對應于條樹支依次排列在對應于Qf 的第的第1到第到第(n-1) 列，列，然后再排列連支；然后再排列連支； 取每一單樹支割集的取每一單樹支割集的序號序號為相應樹支所在列的為相應樹支所在列的序號序號，且，且選割集方向與相應樹支方向一致。選割集方向與相應樹支方向一致。 Qf 將具有如下形式將具有如下形式1 |ftlQQ式中，下標式中，下標 t 和和 l 分別

54、表示對應于樹支和連支的部分；分別表示對應于樹支和連支的部分；1t是一個是一個(n-1)階的單位子矩陣。階的單位子矩陣。2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系66345261 選支路選支路3、5、6為樹支，得到如圖所示為樹支，得到如圖所示的的3個割集，寫出基本割集矩陣個割集，寫出基本割集矩陣Qf 為：為：321Q1451Q24261Q3例如：求下圖所示電路的基本割集矩陣例如：求下圖所示電路的基本割集矩陣。100110101010120011113356124fQ =2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系674. 基爾霍夫定律和割集矩陣基爾霍夫定

55、律和割集矩陣Q的關系的關系（1） 用割集矩陣用割集矩陣Q（ Q f）表示的）表示的KCL的矩陣形式的矩陣形式 設設b個支路電流用個支路電流用i =i1 i2 ibT表示，根據(jù)割集矩陣的定表示，根據(jù)割集矩陣的定義和矩陣的乘法規(guī)則不難得出義和矩陣的乘法規(guī)則不難得出0Qi Qi =割集割集1對應閉合面上的對應閉合面上的i割集割集2對應閉合面上的對應閉合面上的i 割集割集(n-1)對應閉合面上的對應閉合面上的i 根據(jù)閉合曲面根據(jù)閉合曲面KCL可知可知2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系68345261123456111000100110110101iiiQiiii 1231

56、451246iiiiiiiiii 例如：利用下圖驗證例如：利用下圖驗證 Qi =0 的正確性（割集選取如的正確性（割集選取如P64所示）。所示）。111000110011021101013123456Q=T126iiii2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系69123456111000100110110101iiiQiiii 1231451246iiiiiiiiii 000 0321Q1451Q24261Q32022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系70 有時也可以寫為有時也可以寫為0Qi 0ffQ i 這里的這里的 ，其中，其中it 表示樹支電

57、流，表示樹支電流，il 表示連支電流。表示連支電流。T | ftliii345261100110101010120011113356124fQ =T356124ifiiiiii3125146124iiiiiiiiii356124100110010101001111ffQ iiiiiii 2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系713125146124iiiiiiiiii000 0356124100110010101001111ffQ iiiiiii 321Q1451Q24261Q32022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系72（2）用矩陣）用矩陣Q

58、f 表示的表示的KVL的矩陣形式的矩陣形式 設設(n-1)個樹支電壓用個樹支電壓用ut=ut1 ut2 ut(n-1)T表示，表示，b 個支路個支路電壓用電壓用uf =ut |ulT表示，其中表示，其中t 表示樹支部分的電壓，表示樹支部分的電壓，l 表示連表示連支部分的電壓。支部分的電壓。 通常選單樹支割集組作為獨立割集組，并通常選單樹支割集組作為獨立割集組，并將樹支電壓作為將樹支電壓作為對應的割集電壓對應的割集電壓，則，則ut 可看作基本割集組的割集電壓列向量?？煽醋骰靖罴M的割集電壓列向量。 由于由于Qf 的每一列，也就是的每一列，也就是QfT的每一行，表示一條支路與的每一行，表示一條支

59、路與割集的關聯(lián)情況，按矩陣相乘的規(guī)則可得支路電壓割集的關聯(lián)情況，按矩陣相乘的規(guī)則可得支路電壓TfftuQ u 上式表明電路的支路電壓可以用樹支電壓（割集電壓）表上式表明電路的支路電壓可以用樹支電壓（割集電壓）表示，這就是后面將介紹的割集電壓法的基本思想。示，這就是后面將介紹的割集電壓法的基本思想。2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系73 支路電壓為：支路電壓為：uf =u3 u5 u6 u1 u2 u4T設割集（樹支）電壓為設割集（樹支）電壓為 ：ut=ut1 ut2 ut3T選支路選支路3、5、6為樹支，則為樹支，則3452611T2310001000111110

60、1011tftttuQ uuu1231231323ttttttttttuuuuuuuuuu356124uuuuuufu例如：利用下圖驗證例如：利用下圖驗證 的正確性。的正確性。TfftuQ u100110101010120011113356124fQ =2022年4月23日16時59分北京科技大學信息工程學院自動化系745. 復合支路和支路電壓、電流方程的矩陣形式復合支路和支路電壓、電流方程的矩陣形式 復合支路的定義同結(jié)點電壓法復合支路，如下圖所示。復合支路的定義同結(jié)點電壓法復合支路，如下圖所示。所以，對整個電路而言，其支路方程的矩陣形式為所以，對整個電路而言，其支路方程的矩陣形式為()fS