FFT分析的注意事項

1、對信號進行傅立葉分析，可以將信號描述成一系列余弦（實部）和正弦（虛部）信號之和或者描述成帶相位的余弦信號（幅值和相位形式）。作為演示實例，我們對兩個正弦波組成的信號進行傅立葉分析，兩個正弦波分別如圖1,2所示。這兩個信號組成的復合波形如圖3所示。2寸常占S0.00.20.4Timesec圖1正弦帔64Hz,單位幅值，。相位IAIN6b魯MTime(sec1AU6LPU，甯=5Timesecj圖3復合波形如果我們對這個復合信號進行快速傅立葉分析（FFD,這個復合波形的FFT結果如圖4所示UIJ2UUFrcqjucfiiievjHfej圖464Hz和192Hz信號的FFT結果從圖4中可以直觀地看到

2、，在幅頻曲線中有兩個明顯的峰值，相位曲線中相位有兩處改變明顯，這兩個位置對應的頻率分別為64Hz和192Hz。FFT分析得到的信號幅值剛好為原始正弦波幅值的一半。64Hz的正弦波的幅值為1，但FFT顯示為0.5,192Hz的正弦波的幅值為0.5,而FFT顯示為0.125,這是什么？這是因為當我們對信號進行頻譜分析時，一些能量用正頻率表示，一半能量用負頻率表示。對于一個實數的時域信號而言，與之相對的是復數的時域信號，那么能量會被劃分為等量的兩份，我們剛好得到了其中的一半。為了克服這一點，一些軟件會將信號的幅值加倍。這也就是所謂的半譜分布，其兼顧全范圍的幅值?，F在讓我們來考慮相位部分。原始的64H

3、z正弦信號的相位為0,192Hz正弦波的相位為30度。從64Hz的相頻曲線中可以看出相位從0突變到-90度，這是為什么？這是因為傅立葉變換分析使用余弦和正弦函數。實際是用余弦，不是正弦。因此，正弦波形相位移動-90度為余弦，這也就是我們在相頻曲線中所看到的。在192Hz處，相位不是30度，而是-60度。這是完全正確的，因為我們有（-90+30）=-60度。上述的例子中的信號采樣率為1024,用512個數據點表示，因而，我們有0.5s的數據。因此，當我們用FFT進行傅立葉分析時，頻譜圖中的頻率間隔為2Hz。這是一個基本關系：如果FFT分析的數據長度為T秒，那么頻率間隔為1/THz。選擇FFT的數

4、據塊大小為N,這將決定用于分析的信號有效長度。如果選擇FFT分析的數據點為256,采樣率為1024,那么，我們用于分析的信號有效長度將為1/4秒，頻率間隔將是4Hz。因為我們處理的工程分析信號是測量物理事件的信號，顯然，設置頻率間隔更明智，而不是任意選擇FFT分析數據點數，而這個參數與我們測量的物理問題關系不大。因此，通常設置的是頻率間隔。“不精確的”頻率成分在上面這個例子中，正弦波的頻率剛好是頻率間隔的整數倍。這是特定選擇的結果。因為我們知道0.5s的數據給定的頻率間隔為2Hz?，F在，假設我們有一個正弦信號像最初的64Hz,但頻率是63Hz。此時，信號的頻率成分不再是頻率間隔的整數倍，會發(fā)生

5、什么情況？從時域上看，很難看出有任何的差異，但實際上這個明顯的差異來自于傅立葉分析的結果。63Hz,0相位，單位幅值的正弦波的FFT結果如下圖所示。in21u.R.EgOJf藺D.D200WD042O.().£寸98之一5406080Frequency(Hz圖563Hz的FFT結果注意到這個結果不再像圖4那樣的尖釘，而是一個頂部被削掉的“尖釘”。在62Hz和64Hz處，幅值幾乎相同，但不是0.5,而是約為0.32o進一步，相位在62Hz是0,在64Hz是180度。傅立葉分析告訴我們我們有一個復合的信號，兩個主要的正弦波是62和64Hz,其幅值為0.32,相位分別為0和180度。而實際

6、上，我們知道信號是一個63Hz的單頻正弦波。如果我們將64Hz和63Hz的正弦波的FFT結果進行疊加，如下圖所示，可以看出二者有明顯的不同。50100Frequency(Hz)圖6疊加63Hz和64Hz信號的FFT結果重疊這一點表明，當你解釋說明正弦波的FFT結果時，你必須小心，因為顯示的結果將依賴于信號的實際頻率與“測量的”頻率之間的關系。在這兩個例子中，雖然幅值變化顯著，但是如果你比較整個頻率范圍內頻譜的RMS值，那么64Hz給出的RMS為0.707107,63Hz給出的RMS值為0.704936.以上的結果是用FFT算法獲得的。對于FFT而言，頻率間隔是信號長度的函數?？紤]到現代PC機的

7、計算速度，我們也可以使用原始的直接傅立葉變換方法(DirectFourierTransform,DFT)oDFT允許我們去選擇起始頻率、結束頻率和頻率間隔。當然，DFT比FFT要慢得多?，F在選擇從40Hz至I80Hz的區(qū)間，步長為0.1Hz的結果如下圖所示的連續(xù)曲線。帶*的標識為相應的FFT分析結果。IM格匚一S0.40,20.00-200<IIII!IIII>>IIIIIIIIIIII3III|rIII11I*1IIIIIIIII串IIIII，IIIIII*I4IIFIIII.6070B。FrequencyHz圖763Hz正弦波的DFT分析結果這顯示了響應的主瓣，在63Hz

8、處的幅值為0.5,相位為-90度。從62Hz至I64Hz,相位從0變化到-180度。注意到這樣數量的相位變化通常是從“精確的”頻率到鄰近頻率。上面這圖顯示了所有的“旁瓣”，這也說明了數字信號處理的另一方面，也就是眾所周知的頻譜泄漏。這個的主要原理是在一個頻率處的能量“泄漏”到其他所有的頻率處了。通過選擇一個合適的數據窗函數可以減少泄漏。圖7曲線的形狀實際上是所謂的“頻譜窗”。經常把這個認為是有效分析過濾器的形狀可能更合適。在這個例子中使用的窗函數是矩形窗。有關不同窗函數和它們相應的頻譜在這不作詳細討論。在這注意到，我們要小心地使用“頻率間隔”而不是“頻率分辨率”。顯然，對于DFT和其他一些分析

9、技術，我們可以改變頻率間隔。對于FFT方法，頻率間隔與“數據塊大小”相關。但什么是頻率分辨率？這是一個很大的主題，但在這我們只給出這個主題的本質。這個問題的線索就是圖7中的頻譜窗的形狀。頻率分辨率的工作定義是指分辨兩個密集頻率的能力。另一個更普遍的定義是頻譜窗的半功率點（-3dB）?，F實中最有用的定義是頻率帶寬，稱為等效噪聲帶寬（ENBW,這個跟半功率點的定義非常相似。ENBW由窗函數的形狀和FFT分析數據塊的長度決定。信號持續(xù)時間的影響如果我們取更長一段時域數據進行FFT分析，那么，頻率間隔將更小。大多數情況下，這將有利于我們解決問題，但是如果所取的數據沒有精確匹配信號的持續(xù)時間，那么會出現

10、相同的現象。傅立葉分析告訴我們一組正弦信號的幅值和相位，這組信號同原始的信號具有相同的持續(xù)時間。假設現在我們考慮的信號仍是由64Hz的單位幅值和192Hz,幅值為0.25的兩個正弦波組成。但是64Hz的信號只作用在前半段，192Hz的信號只作用在后半段，我們整個信號的時間為1秒，如圖8所示。06050Lo.ol-O.nsS-+ES£擊0.40.6Time(seco.e圖8兩個正弦信號連接這兩個連接的信號的FFT結果如下圖所示。20D40DFrequency圖9兩個連接的正弦信號的FFT結果信號的頻率成分，如預期一樣，出現在64Hz和192Hz。但是，半幅值（半譜的幅值）現在是0.25

11、（之前是0.5）和0.0625（之前是0.125）。從圖上獲得的解釋在64Hz頻率處有個正弦波，其半幅值是0.25,信號出現的時間長度為整個1秒鐘；另一個正弦信號是192Hz,半幅值是0.0625,持續(xù)時間也是整個1秒鐘。但是我們知道，原始的信號的半幅值是0.5,持續(xù)時間只是前半秒，另一個信號的半幅值是0.125,持續(xù)時間是后半秒。發(fā)生了什么，使得結果與原始信號不同？仔細考慮64Hz附近的頻譜，如圖10所示，這揭示了在64Hz附近，有大量的頻率成分。這時的頻率間隔是1s,因為我們有1s的時域數據。它們的相對幅值和相位組合使得信號在前半部分的幅值在64Hz處加倍，在后半部分沒有信號存在。相同的情

12、況也發(fā)生在192Hz附近。40607080Frequency圖10連接的信號的FFT結果（局部）還有一種情況是用0值拓展信號，這時，幅值也會減少。在這種情況下，幅值減少量與0值拓展百分比成正比。那么，從這個例子中可以看出，當信號持續(xù)整個FFT分析的時域數據段全程時，信號的幅值才不會失真，當信號的持續(xù)時間少于整個時域全程時，其FFT分析得到的幅值是失真的。這是傅立葉分析非常重要的注意事項，也就是假設正弦和余弦信號持續(xù)整個FFT分析的時間全程。正弦掃頻信號10Hz掃至U100Hz,如下對于正弦掃頻信號而言，理論上每個頻率成分只持續(xù)一瞬時。一個正弦掃頻信號從圖所示。0+10.20.30.4Timesec圖11單位幅值的正弦掃頻信號從10HzglllOOHz100150Fre(iuency(H?)2UI0圖中這個掃頻信號有512個數據點，采樣率為1024Hzo因此，掃頻速率是180Hz/s。信號的FFT結果顯示幅值約為0.075。整個掃頻時間段，相位從0附近變化到-2000度，然后在100Hz以上穩(wěn)定在-180度。如果掃頻速率更低，約為10Hz/s,那么信號的幅值將變成0.019左右。頻譜的幅值大小和原始掃頻信號的掃頻速率之間的關系不直觀。顯然，要解釋簡單的傅立葉分析，不管是做FFT還是DFT,都要注意這些事項。傅立葉分析表明連續(xù)正弦波的幅值和相位是存在整個FFT分析的全程的。