有限字長效應(yīng)和量化誤差-哈工大

1、有限字長效應(yīng)和量化誤差2目錄數(shù)字運(yùn)算的有限字長效應(yīng)A/D采樣的量化效應(yīng)數(shù)字濾波器的系數(shù)量化效應(yīng)定點(diǎn)運(yùn)算的有限字長效應(yīng)23數(shù)字濾波器的系數(shù)量化效應(yīng)數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)中的系數(shù)量化影響零極點(diǎn)位置，從而影響系統(tǒng)穩(wěn)定性34數(shù)字濾波器的系數(shù)量化效應(yīng)濾波器系統(tǒng)函數(shù)：濾波器系統(tǒng)函數(shù)： 101101111MMkkikiNNkkikib zz zB zH zA za zp z 理論設(shè)計出的理論設(shè)計出的理想理想數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)各系數(shù)數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)各系數(shù)均為均為無限精度無限精度；但在實際實現(xiàn)時，濾波器的所有系數(shù)；但在實際實現(xiàn)時，濾波器的所有系數(shù)是以是以有限長有限長的的二進(jìn)制碼二進(jìn)制碼形式存放在存儲器中。因此，必

2、須形式存放在存儲器中。因此，必須對理想的系數(shù)加以對理想的系數(shù)加以量化量化。,kka b必須對必須對 進(jìn)行量化處理進(jìn)行量化處理,kka b4背景知識5數(shù)字濾波器的系數(shù)量化效應(yīng)系統(tǒng)函數(shù)： 101101111MMkkikiNNkkikib zz zB zH zA za zp z 系數(shù)量化后，得到,kkab ,kkab kkkkkkaaabbb 系數(shù)量化誤差 101101111MMkkikiNNkkikib zz zB zH zA za zp z 量化后的系統(tǒng)函數(shù)：系統(tǒng)的零極點(diǎn)受到影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性受到影響5背景知識6數(shù)字濾波器的系數(shù)量化效應(yīng)系統(tǒng)的零極點(diǎn)受到影響系統(tǒng)的零極點(diǎn)受到影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性受到影響系

3、統(tǒng)的穩(wěn)定性受到影響系數(shù)量化系數(shù)量化系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)直直接接 型型直直接接 型型級級聯(lián)聯(lián)結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)并并聯(lián)聯(lián)結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)III6背景知識7數(shù)字濾波器的系數(shù)量化效應(yīng)1、系數(shù)量化對濾波器穩(wěn)定性的影響、系數(shù)量化對濾波器穩(wěn)定性的影響2、系統(tǒng)零極點(diǎn)位置對系數(shù)量化的靈敏度、系統(tǒng)零極點(diǎn)位置對系數(shù)量化的靈敏度78數(shù)字濾波器的系數(shù)量化效應(yīng)1、系數(shù)量化對濾波器穩(wěn)定性的影響、系數(shù)量化對濾波器穩(wěn)定性的影響穩(wěn)定性穩(wěn)定性極點(diǎn)極點(diǎn)FIR濾波器在z=0處有高階極點(diǎn)系數(shù)量化誤差影響零點(diǎn)位置不影響濾波器的穩(wěn)定性IIR濾波器可能存在多個極點(diǎn)系數(shù)量化誤差影響極點(diǎn)位置影響濾波器的穩(wěn)定性89數(shù)字濾波器的系數(shù)量化效應(yīng)1、系數(shù)量化對濾波器穩(wěn)定性的

4、影響、系數(shù)量化對濾波器穩(wěn)定性的影響IIR濾波器假設(shè)：穩(wěn)定的因果的IIR數(shù)字濾波器，具有窄帶低通頻率特性極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)且聚集在z=1附近ka存在于系統(tǒng)函數(shù)的 中，假設(shè)某系數(shù) 由于量化引入誤差 后變?yōu)?。 A zrara ra“舍入舍入”量化量化 rrraaa系統(tǒng)函數(shù)的分母多項式變?yōu)椋?101( )1( )1NNkrrkrrikiA za za zA za zp z判斷：系數(shù)量化后的系統(tǒng)極點(diǎn)是否在單位圓上或單位圓外。？9第 個極點(diǎn) ，它與點(diǎn) 的距離用 表示，有 ，其中，i1iipp 1z 1ipipip10只要有一個系數(shù)發(fā)生很微小的變化，系統(tǒng)就可能失去穩(wěn)定。只要有一個系數(shù)發(fā)生很微小的變化，系統(tǒng)就

5、可能失去穩(wěn)定。1rai1 1ipp 或或數(shù)字濾波器的系數(shù)量化效應(yīng)1、系數(shù)量化對濾波器穩(wěn)定性的影響、系數(shù)量化對濾波器穩(wěn)定性的影響IIR濾波器0( )1( )NkrrkrrkA za za zA za z 反推：反推： 假設(shè)有一個極點(diǎn)移到單位圓上，即假設(shè)有一個極點(diǎn)移到單位圓上，即 z=1(1)(1)0rAAa101111(1)111NNNrkiikiizzaAap zp 極點(diǎn)聚集極點(diǎn)聚集在在z=1z=1附近附近結(jié)論：結(jié)論： 反饋回路的反饋回路的階次階次N N越高，濾波器的系數(shù)量化誤差的絕對值越小，越高，濾波器的系數(shù)量化誤差的絕對值越小，濾波器越容易變得不穩(wěn)定。濾波器越容易變得不穩(wěn)定。1011當(dāng)系數(shù)

6、用b位定點(diǎn)二進(jìn)制小數(shù)表示，若b選為19，則系數(shù)的舍入誤差絕對值將不會超過 ，從而保證濾波器工作穩(wěn)定。202 為維持級聯(lián)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定，只需維持3個一階節(jié)穩(wěn)定，b只需要用6個二進(jìn)制數(shù)表示0.99即可。數(shù)字濾波器的系數(shù)量化效應(yīng)1、系數(shù)量化對濾波器穩(wěn)定性的影響、系數(shù)量化對濾波器穩(wěn)定性的影響IIR濾波器系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不同，系數(shù)量化又是如何影響濾波器的穩(wěn)定性。？舉例舉例說明：說明：三階三階IIR數(shù)字濾波器，為使濾波器保持穩(wěn)定，對濾波器系數(shù)進(jìn)行舍數(shù)字濾波器，為使濾波器保持穩(wěn)定，對濾波器系數(shù)進(jìn)行舍入量化處理時，至少應(yīng)采用幾位字長？：入量化處理時，至少應(yīng)采用幾位字長？：131( )(10.99)H zz 直接型：級聯(lián)型

7、：在在z=0.99處有一個三階處有一個三階極點(diǎn)，且在極點(diǎn)，且在z=1附近。附近。結(jié)論：結(jié)論： A.A. 系數(shù)量化對濾波器的影響，不僅與字長有關(guān)，還與濾波器的結(jié)構(gòu)有關(guān)。系數(shù)量化對濾波器的影響，不僅與字長有關(guān)，還與濾波器的結(jié)構(gòu)有關(guān)。B.B. 與直接型相比，系統(tǒng)級聯(lián)時，系數(shù)量化對濾波器的穩(wěn)定性影響較小。與直接型相比，系統(tǒng)級聯(lián)時，系數(shù)量化對濾波器的穩(wěn)定性影響較小。11 x k1b2b y k1z 1z 3b1z x k y k1b2b3b1z 1z 1z 122、系統(tǒng)零極點(diǎn)位置對系數(shù)量化的靈敏度、系統(tǒng)零極點(diǎn)位置對系數(shù)量化的靈敏度數(shù)字濾波器的系數(shù)量化效應(yīng)極點(diǎn)（零點(diǎn)）位置靈敏度極點(diǎn)（零點(diǎn)）位置靈敏度指每個

8、極點(diǎn)（零點(diǎn)）指每個極點(diǎn)（零點(diǎn)）位置位置對各對各系數(shù)偏差系數(shù)偏差的的敏感程度。敏感程度。極點(diǎn)靈敏度分析方法同樣適用于極點(diǎn)靈敏度分析方法同樣適用于零點(diǎn)零點(diǎn)，但是，但是極點(diǎn)極點(diǎn)對系統(tǒng)影響更大，直接影響對系統(tǒng)影響更大，直接影響到系統(tǒng)的到系統(tǒng)的穩(wěn)定性穩(wěn)定性。零點(diǎn)作用只是用來調(diào)整極點(diǎn)所引起的濾波器特性，且取決于它。零點(diǎn)作用只是用來調(diào)整極點(diǎn)所引起的濾波器特性，且取決于它與極點(diǎn)的與極點(diǎn)的相對位置相對位置。因此，主要分析。因此，主要分析極點(diǎn)變化極點(diǎn)變化的影響。的影響。 101101111MMkkikiNNkkikib zz zB zH zA za zp z 系統(tǒng)的極點(diǎn)是系統(tǒng)的極點(diǎn)是 , 1,2, ipiN ,

9、1,2,iiipppiN為極點(diǎn)位置的偏差值，是由各系數(shù)偏差為極點(diǎn)位置的偏差值，是由各系數(shù)偏差 引起的。引起的。kaip1 , 1,2,NiikkkppaiNa 關(guān)系式中，關(guān)系式中， 表示極點(diǎn)表示極點(diǎn) 對系數(shù)對系數(shù) 變化的靈敏度。變化的靈敏度。ikpa ipka12132、系統(tǒng)零極點(diǎn)位置對系數(shù)量化的靈敏度、系統(tǒng)零極點(diǎn)位置對系數(shù)量化的靈敏度數(shù)字濾波器的系數(shù)量化效應(yīng)1 , 1,2,NiikkkppaiNa ikpa 決定系數(shù) 的偏差 對極點(diǎn)位置偏差 的影響程度。kaipka值越大， 對 的影響越大；kaip值越小， 對 的影響越?。籯aip？復(fù)合函數(shù)的微分法則：( )( )iiiikkzpzppA

10、zA zpaa ( )( )iikkizppA zaaA zp 101101111MMkkikiNNkkikib zz zB zH zA za zp z ( )kkA zza 1( )()NNllil iA zzzpp 極點(diǎn)位置靈敏度：1()NkiiNkilll ippapp 11()NkNiikNkilll ippapp 極點(diǎn) 的偏差量：ip13142、系統(tǒng)零極點(diǎn)位置對系數(shù)量化的靈敏度、系統(tǒng)零極點(diǎn)位置對系數(shù)量化的靈敏度數(shù)字濾波器的系數(shù)量化效應(yīng)分母中每個 是一個由 指向 的矢量，而整個分母為所有其他極點(diǎn) 指向該極點(diǎn)的矢量積。此矢量越長，即極點(diǎn)彼此間距越遠(yuǎn)時，極點(diǎn)位置靈敏度越低；矢量越短，即極點(diǎn)

11、彼此越密集時，極點(diǎn)位置靈敏度越高。ilpp lpip()lp li 對于高階系統(tǒng)來說，應(yīng)避免采用直接型結(jié)構(gòu)，而應(yīng)采用級聯(lián)或并聯(lián)結(jié)構(gòu)。對于高階系統(tǒng)來說，應(yīng)避免采用直接型結(jié)構(gòu)，而應(yīng)采用級聯(lián)或并聯(lián)結(jié)構(gòu)。極點(diǎn)數(shù)目極點(diǎn)密集程度系數(shù)量化誤差敏感程度高階直接型多密集敏感低階直接型少較稀疏較敏感級聯(lián)或并聯(lián)少很稀疏不敏感表1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不同，影響不同結(jié)論：結(jié)論：11()NkNiikNkilll ippapp 1415數(shù)字濾波器的系數(shù)量化效應(yīng)00.20.40.60.81-80-70-60-50-40-30-20-100 / 對數(shù)幅度，dB增益 原始量化后00.20.40.60.8100.20.40.60.81 /

12、幅度|H| 原始量化后直接型結(jié)構(gòu)15實驗：切比雪夫IIR低通數(shù)字濾波器，驗證系數(shù)量化效應(yīng)對該濾波器的幅度特性和零 點(diǎn)、極點(diǎn)位置的影響。 截尾法進(jìn)行量化，取b=5bit 。濾波器技術(shù)指標(biāo)：階次N=6，通帶波紋 ，阻帶衰減 ，低通截止頻率00.6w 0.5pR 50dBsR 16數(shù)字濾波器的系數(shù)量化效應(yīng)-2.5-2-1.5-1-0.500.511.5-1.5-1-0.500.511.5Real PartImaginary Part原始極零點(diǎn)分布圖 零點(diǎn)極點(diǎn)-2.5-2-1.5-1-0.500.511.5-1.5-1-0.500.511.5Real PartImaginary Part量化后的極零點(diǎn)

13、分布圖 零點(diǎn)極點(diǎn)直接型結(jié)構(gòu)16實驗：切比雪夫IIR低通數(shù)字濾波器，驗證系數(shù)量化效應(yīng)對該濾波器的幅度特性和零 點(diǎn)、極點(diǎn)位置的影響。 截尾法進(jìn)行量化，取b=5bit 。濾波器技術(shù)指標(biāo)：階次N=6，通帶波紋 ，阻帶衰減 ，低通截止頻率00.6w 0.5pR 50dBsR 17數(shù)字濾波器的系數(shù)量化效應(yīng)-2.5-2-1.5-1-0.500.511.5-1.5-1-0.500.511.5Real PartImaginary Part原始極零點(diǎn)分布圖 零點(diǎn)極點(diǎn)-2.5-2-1.5-1-0.500.511.5-1.5-1-0.500.511.5Real PartImaginary Part量化后的極零點(diǎn)分布圖

14、 零點(diǎn)極點(diǎn)直接型結(jié)構(gòu)17實驗：切比雪夫IIR低通數(shù)字濾波器，驗證系數(shù)量化效應(yīng)對該濾波器的幅度特性和零 點(diǎn)、極點(diǎn)位置的影響。 截尾法進(jìn)行量化，取b=5bit 。濾波器技術(shù)指標(biāo)：階次N=6，通帶波紋 ，阻帶衰減 ，低通截止頻率00.6w 0.5pR 50dBsR 極點(diǎn)量化前量化后1-0.2976+0.8808i-0.3047+0.8868i2-0.2976-0.8808i-0.3047-0.8868i3-0.0436+0.7522i0.0060+0.7322i4-0.0436-0.7522i0.0060-0.7322i50.3353+0.3550i0.2987+0.3311i60.3353-0.3

15、550i0.2987-0.3311i18數(shù)字濾波器的系數(shù)量化效應(yīng)00.20.40.60.81-80-70-60-50-40-30-20-100 / 對數(shù)幅度，dB增益 原始量化后00.20.40.60.8100.20.40.60.81 / 幅度|H| 原始量化后級聯(lián)型結(jié)構(gòu)18實驗：切比雪夫IIR低通數(shù)字濾波器，驗證系數(shù)量化效應(yīng)對該濾波器的幅度特性和零 點(diǎn)、極點(diǎn)位置的影響。 截尾法進(jìn)行量化，取b=5bit 。濾波器技術(shù)指標(biāo)：階次N=6，通帶波紋 ，阻帶衰減 ，低通截止頻率00.6w 0.5pR 50dBsR 19數(shù)字濾波器的系數(shù)量化效應(yīng)-2.5-2-1.5-1-0.500.511.5-1.5-1

16、-0.500.511.5Real PartImaginary Part原始極零點(diǎn)分布圖 零點(diǎn)極點(diǎn)-2.5-2-1.5-1-0.500.511.5-1.5-1-0.500.511.5Real PartImaginary Part量化后的極零點(diǎn)分布圖 零點(diǎn)極點(diǎn)級聯(lián)型結(jié)構(gòu)19實驗：切比雪夫IIR低通數(shù)字濾波器，驗證系數(shù)量化效應(yīng)對該濾波器的幅度特性和零 點(diǎn)、極點(diǎn)位置的影響。 截尾法進(jìn)行量化，取b=5bit 。濾波器技術(shù)指標(biāo)：階次N=6，通帶波紋 ，阻帶衰減 ，低通截止頻率00.6w 0.5pR 50dBsR 20-2.5-2-1.5-1-0.500.511.5-1.5-1-0.500.511.5Rea

17、l PartImaginary Part原始極零點(diǎn)分布圖 零點(diǎn)極點(diǎn)-2.5-2-1.5-1-0.500.511.5-1.5-1-0.500.511.5Real PartImaginary Part量化后的極零點(diǎn)分布圖 零點(diǎn)極點(diǎn)數(shù)字濾波器的系數(shù)量化效應(yīng)級聯(lián)型結(jié)構(gòu)-2.5-2-1.5-1-0.500.511.5-1.5-1-0.500.511.5Real PartImaginary Part原始極零點(diǎn)分布圖 零點(diǎn)極點(diǎn)-2.5-2-1.5-1-0.500.511.5-1.5-1-0.500.511.5Real PartImaginary Part量化后的極零點(diǎn)分布圖 零點(diǎn)極點(diǎn)直接型結(jié)構(gòu)20實驗：切比

18、雪夫IIR低通數(shù)字濾波器，驗證系數(shù)量化效應(yīng)對該濾波器的幅度特性和零 點(diǎn)、極點(diǎn)位置的影響。 截尾法進(jìn)行量化，取b=5bit 。濾波器技術(shù)指標(biāo)：階次N=6，通帶波紋 ，阻帶衰減 ，低通截止頻率00.6w 0.5pR 50dBsR 21定點(diǎn)運(yùn)算的有限字長效應(yīng)定點(diǎn)運(yùn)算在濾波器中和FFT算法中的有限字長對輸出誤差造成影響21221、定點(diǎn)運(yùn)算濾波器的有限字長效應(yīng)、定點(diǎn)運(yùn)算濾波器的有限字長效應(yīng)2、定點(diǎn)運(yùn)算、定點(diǎn)運(yùn)算FFT算法的有限字長效應(yīng)算法的有限字長效應(yīng)定點(diǎn)運(yùn)算的有限字長效應(yīng)2223定點(diǎn)運(yùn)算定點(diǎn)運(yùn)算IIR濾波器濾波器定點(diǎn)運(yùn)算定點(diǎn)運(yùn)算FIR濾波器濾波器數(shù)字濾波器的基本運(yùn)算數(shù)字濾波器的基本運(yùn)算延時延時乘系數(shù)乘

19、系數(shù)相加相加由寄存器完成由寄存器完成定點(diǎn)二進(jìn)制小數(shù)乘法定點(diǎn)二進(jìn)制小數(shù)乘法定點(diǎn)二進(jìn)制小數(shù)加法定點(diǎn)二進(jìn)制小數(shù)加法 沒有溢出問題，但沒有溢出問題，但字長會增加字長會增加字長不會增加，會出字長不會增加，會出現(xiàn)溢出問題現(xiàn)溢出問題 每次相乘運(yùn)算要后每次相乘運(yùn)算要后截尾或截尾或舍入處理舍入處理兩種類型濾波器兩種類型濾波器定點(diǎn)運(yùn)算的有限字長效應(yīng)1、定點(diǎn)運(yùn)算濾波器的有限字長效應(yīng)、定點(diǎn)運(yùn)算濾波器的有限字長效應(yīng)IIR濾波器23 通過乘以適當(dāng)?shù)耐ㄟ^乘以適當(dāng)?shù)谋壤蜃颖壤蜃觼斫鉀Q來解決24（1） 所有誤差是均值為零的平穩(wěn)白噪聲序列（2） 每個誤差在它的量化范圍內(nèi)都是均勻分布的（3） 任何兩個不同乘法器形成的誤差互不相

20、關(guān)（4） 誤差與輸入及中間計算結(jié)果不相關(guān)誤誤差差作作出出假假設(shè)：設(shè)：定點(diǎn)運(yùn)算的有限字長效應(yīng) ( )Q( )( )Q( )( )RRe nax nax ny ny n一次相乘運(yùn)算后的舍入誤差：理想輸出 ,實際輸出 ,總輸出誤差 : ( )( )( )y ny nr n( )y n ( )y n( )r n0( )reenmmh n 輸出誤差的均值：2220( )reenh n 輸出誤差的方差：結(jié)論：結(jié)論：A.A. 總的輸出誤差是所有輸出誤差的線性疊加。總的輸出誤差是所有輸出誤差的線性疊加。B.B. 總的輸出誤差的方差是每個輸出誤差方差之和?？偟妮敵稣`差的方差是每個輸出誤差方差之和。1、定點(diǎn)運(yùn)算濾

21、波器的有限字長效應(yīng)、定點(diǎn)運(yùn)算濾波器的有限字長效應(yīng)IIR濾波器24輸出端SNR25定點(diǎn)運(yùn)算的有限字長效應(yīng)2、定點(diǎn)運(yùn)算、定點(diǎn)運(yùn)算FFT算法的有限字長效應(yīng)算法的有限字長效應(yīng)DFT的定義式：的定義式： 10,0,1,1NnkNnX kx n WkN 總輸出誤差：總輸出誤差： 10,NnF ke n k nkNx n W nkRNQx n W 量化由四個實數(shù)乘法完成 nkNx n W一個復(fù)乘帶來的舍入誤差( , )e n k 12342Recos,2 Imsin,2 Imcos,2 Resin,nkRNQx n Wx nnken kNx nnken kNjx nnken kNjx nnken kN DF

22、T全為復(fù)數(shù) , nkNx nW2jnknkNNWe 1234,e n ken ken ken ken k 其中：其中：2526定點(diǎn)運(yùn)算的有限字長效應(yīng)2、定點(diǎn)運(yùn)算、定點(diǎn)運(yùn)算FFT算法的有限字長效應(yīng)算法的有限字長效應(yīng)誤差作出假設(shè)： 21122004,3bNNnnNEF kEe n kEe n k DFT ,1,2,3,4ien ki 1234,04en ken ken ken ke n k（1） 所有誤差是均值為零，方差為 ，且為平穩(wěn)白噪聲序列（2） 每個誤差在它的量化范圍內(nèi)都是均勻分布的（3） 任何兩個誤差互不相關(guān)（4） 所有誤差與輸入不相關(guān)，從而與輸出也不想關(guān)412b 結(jié)果：結(jié)果： 244,4

23、123bbEe n k 誤差均值：誤差模的平方： 222221234,e n ken ken ken ken k 誤差的方差：結(jié)論：結(jié)論：DFTDFT中的舍入量化影響輸出誤差的方差；誤差的方差與中的舍入量化影響輸出誤差的方差；誤差的方差與量化字長量化字長b b有關(guān)。有關(guān)。27定點(diǎn)運(yùn)算的有限字長效應(yīng)2、定點(diǎn)運(yùn)算、定點(diǎn)運(yùn)算FFT算法的有限字長效應(yīng)算法的有限字長效應(yīng)FFT 11rmmNmrmmNmXiXiW XjXjXiW Xj 蝶形計算蝶形計算( )mXi( )mXj1( )mXi ( )mXjrNW蝶形結(jié)構(gòu)的定點(diǎn)舍入統(tǒng)計模型( )mXi( )mXj1( )mXi ( )mXjrNW(, )e m j基本蝶形結(jié)構(gòu)蝶形計算加入舍入誤差：蝶形計算加入舍入誤差： 表示同一列中，一對蝶形節(jié)點(diǎn)在這一列中的位置。 , i j表示 與 相乘引起的舍入誤差。( , )e m j( )mXjrNW 24,3bEe m j 2222,rrNNEe m j WWEe m jEe m j 一次復(fù)乘誤差的方差：結(jié)論：結(jié)論： 誤差通過所有蝶形運(yùn)算其方差值不發(fā)生變化。誤差通過所有蝶形運(yùn)算其方