知識講解圓周運動的向心力及其應(yīng)用基礎(chǔ)

1、圓周運動的向心力及其應(yīng)用要點一、物體做勻速圓周運動的條件要點詮釋：物體做勻速圓周運動的條件：具有一定速度的物體，在大小不變且方向總是與速度方向垂直的合外力 的作用下做勻速圓周運動。說明：從物體受到的合外力、初速度以及它們的方向關(guān)系上探討物體的運動情況，是理解運動和力關(guān) 系的基本方法。要點二、關(guān)于向心力及其來源1向心力 要點詮釋（1） 向心力的定義：在圓周運動中，物體受到的合力在沿著半徑方向上的分量叫做向心力（2）向心力的作用：是改變線速度的方向產(chǎn)生向心加速度的原因。V22（3） 向心力的大?。?F向 = ma = m mr -r向心力的大小等于物體的質(zhì)量和向心加速度的乘積；對于確定的物體，在半

2、徑一定的情況下， 向心力的大小正比于線速度的平方，也正比于角速度的平方;線速度一定時，向心力反比于圓周運動的半徑；角速度一定時，向心力正比于圓周運動的半徑。如果是勻速圓周運動則有:2V二 m mr r.24=mr2T2 2mr4二 f（4）向心力的方向：與速度方向垂直，沿半徑指向圓心。（5）關(guān)于向心力的說明： 向心力是按效果命名的，它不是某種性質(zhì)的力； 勻速圓周運動中的向心力始終垂直于物體運動的速度方向，所以它只能改變物體的速度方向，不能改變 速度的大小； 無論是勻速圓周運動還是變速圓周運動，向心力總是變力，但是在勻速圓周運動中向心力的大小是不變 的，僅方向不斷變化。2、向心力的來源要點詮釋（

3、1） 向心力不是一種特殊的力。重力（萬有引力）、彈力、摩擦力等每一種力以及這些力的合力或分力都 可以作為向心力。（2）勻速圓周運動的實例及對應(yīng)的向心力的來源（如表所示）：圖形受力分析力的分解方法滿足的方程及向幀速度Feas 什mg,Fsin 8 - inn>' Zsin 0, 或 幗tan 6 =7?i/sin 6 * w：, a Hgtan 0Z*'cob 0 = mg A sin 8 = nutf (/ +/sin 0),或 tan 0 - rn( d +Zsin 0)w ,a =tan 0fcos = mg, iFsin =niwr, 或 mftan 0 - mrc

4、t> a = gtan 0在水乎面上'F” ros 0 - mg 屮升 sin 0 = rnr, 或 mtan 0 = mrf , m - gtan 0要點三、勻速圓周運動與變速圓周運動的區(qū)別1從向心力看勻速圓周運動和變速圓周運動要點詮釋：（1）勻速圓周運動的向心力大小不變，由物體所受到的合外力完全提供，換言之也就是說物體受到的合 外力完全充當(dāng)向心力的角色。例如月球圍繞地球做勻速圓周運動，它受到的地球?qū)λ囊褪呛贤饬?，這個合外力正好沿著半徑 指向地心，完全用來提供月球圍繞地球做勻速圓周運動的向心力。（2）在變速圓周運動中，向心力只是物體受到的合外力的沿著半徑方向的一個分量。例

5、如用一根細(xì)線拴一個小球在豎直平面內(nèi)做變速圓周運動，它的受力情況如圖所示，物體受到線的拉 力F拉和重力mg的作用，其合力分解為兩個分量：向心力和切向力。切向圮w不難看出： F向 = F拉 一 mg cos 二向心力改變著速度的方向，產(chǎn)生向心加速度；切向力與線速度的方向相同或者相反，改變著線速度 的大小使得物體做變速圓周運動。2、從圓周運動的規(guī)律看勻速圓周運動和變速圓周運動 要點詮釋：（1）勻速圓周運動和變速圓周運動所適用的共同規(guī)律無論是勻速圓周運動還是變速圓周運動向心加速度的大小總是:2卜向 va向二m rr 2 （公式中的每一個量都是瞬時量，任何一個時刻或者任何一個位置都可以用公式計算向心加速

6、度。）換一種說法就是:在圓周運動中的任何時刻或位置，牛頓運動定律都成立，即2VF向一 ma向一 m rmr 例如上面的例子，用一根細(xì)線拴一個小球在豎直平面內(nèi)做變速圓周運動，在圖中所示的位置用牛頓第二定律可得:F向=F拉 _mg cos v - ma向 =mv2=m 2rF切 二 mg sin J - ma切（2）只適用于勻速圓周運動的計算公式:a向4二2T7"2=r4=mr因為在勻速圓周運動的過程中各個量大小的平均值和瞬時值是相等的；如果將上式用在變速圓周運動 中，計算的結(jié)果僅是一個意義不大的粗略的平均值。要點四、圓周運動的實例1、水平面上的圓周運動要點詮釋：（1）圓錐擺運動：小球在

7、細(xì)線的拉力和重力作用下的在水平面上的勻速圓周運動，如圖所示:向心力來源：物體重力和線的拉力的合力，沿著水平方向指向圓心。力學(xué)方程：V22| am4；r2lsin 日mg tan = ma = mm l sin2lsin 日T2問題討論:a.物體加速度與夾角 二的關(guān)系：a = g ta nr，向心加速度越大時，夾角二越大。b.角速度與夾角二的關(guān)系:gl COS V，可見角速度越大時，夾角（2）在水平圓盤上隨圓盤一起轉(zhuǎn)動物體 向心力的來源：如圖，在豎直方向上重力和支持力平衡，物體做圓周運動的向心力由物體所受的靜摩擦力提供。 靜摩擦力的方向：當(dāng)物體做勻速圓周運動時，這個靜摩擦力沿著半徑指向圓心；當(dāng)做

8、變速圓周運動時，靜摩擦力還有一個切線方向的分量存在，用來改變線速度的大小。 靜摩擦力的變化：當(dāng)水平圓盤的轉(zhuǎn)速增大時，物體受到的靜摩擦力也隨之增大，當(dāng)物體所需要的向心力大于最大靜摩擦 力時，物體將相對于圓盤滑動，變?yōu)榛瑒幽Σ亮Α?、豎直平面內(nèi)的圓周運動 要點詮釋：（1）汽車過拱形橋在豎直面內(nèi)的圓周運動中可以分為：勻速圓周運動和變速圓周運動。對于勻速圓周運動處理起來一般 比較方便。對于變速圓周運動，定量的計算通常是在圓周的最高點和最低點處用牛頓第二定律。例如：汽 車通過半圓的拱形橋，因為橋面對汽車提供的只能是支持力。汽車在點位置I最高時，對車由牛頓第二定律得:2Vmg -Fn 二 mR為了駕駛安全

9、，橋面對車的支持力必須大于零，即FN 0從而解得車的速度應(yīng)滿足關(guān)系v ： . gR(如果v二.gR，在不計空氣阻力的情況下，車將做平拋運動)汽車在位置n時有-2V二 m RV*2mg徑一 FN = mmg sin - FnR又 Fn 0 解得 V /gRsin(2)汽車通過圓弧型的凹處路面如圖在最低點處，對車運用牛頓第二定律得:2mvFn -mg 二r2橋面對車的支持力 Fn = mg 四-r可見，隨著車的速度增大，路面對車的支持力變大。要點五、圓周運動中的超重與失重1超重與失重的判斷標(biāo)準(zhǔn)要點詮釋：(1) 運動物體的加速度方向向上或者有向上的分量時，物體處于超重狀態(tài)，物體對水平支持面的壓力大

10、于自身的重力。(2) 運動物體的加速度方向向下或者有向下的分量時，物體處于失重狀態(tài)，物體對水平支持面的壓力小 于自身的重力。2、圓周運動中的超重與失重現(xiàn)象要點詮釋：（1）失重現(xiàn)象：在豎直面上的圓周運動，物體處在圓周的最高點附近時，向心加速度豎直向下，物體對 支持物的壓力小于自身重力。2例如在拱形橋頂運動的汽車，由上面計算有Fn =mg _m詈，它對于橋面的壓力小于重力。（2）超重現(xiàn)象：在豎直面上的圓周運動，物體處在圓周的最低點附近時，向心加速度豎直向上，物體對 支持物的壓力大于自身重力。2例如汽車通過圓弧型的凹處路面在最低點處，橋面對車的支持力 fn = mg大于自身重力。r要點五、關(guān)于離心現(xiàn)

11、象1、外力提供的向心力與做圓周運動需要的向心力之間的關(guān)系對物體運動的影響 要點詮釋：（1）外力提供的向心力：是某個力、幾個力的合力或者是合力在半徑方向上的分量，是實實在在的相互 作用。（2） 做圓周運動需要的向心力：是指在半徑為r的圓周上以速度 v運動時，必須要這么大的一個力，才 能滿足速度方向改變的要求。（3）供需關(guān)系對物體運動的影響：外力提供的向心力等于物體做圓周運動需要的向心力時，物體做圓周運動；外力提供的向心力小于物體做圓周運動需要的向心力時，物體做遠(yuǎn)離圓心的運動離心運動外力提供的向心力大于物體做圓周運動需要的向心力時，物體做靠近圓心的運動也可稱之為向心 運動2、離心現(xiàn)象及其運用要點詮

12、釋：（1）被利用的離心現(xiàn)象：洗衣機甩干衣服：水珠和衣服之間的附著力不足以提供水珠高速轉(zhuǎn)動時需要的向心力，而做離心運動 從而脫離衣服，使得衣服變干。離心沉淀器：懸濁液在試管中高速轉(zhuǎn)動時，密度大于液體密度的小顆粒做離心運動，密度小于液體密 度的小顆粒做向心運動，從而使得液體很快被分離。離心水泵：水在葉輪轉(zhuǎn)動的作用下做離心運動，從而使得水從低處運動到高處，等等。（2）需要防止的離心現(xiàn)象：高速轉(zhuǎn)動的砂輪會因為離心運動而破碎，造成事故；火車或者汽車會因為轉(zhuǎn)彎時的速度過大而出現(xiàn)側(cè)滑、傾翻，造成人員傷亡等?！镜湫屠}】類型一、水平面上在靜摩擦力作用下的圓周運動例1、在水平轉(zhuǎn)動的圓盤上距轉(zhuǎn)動中心10cm處放著

13、一物塊，物塊隨圓盤一起轉(zhuǎn)動。 若物塊質(zhì)量圓盤轉(zhuǎn)速為n =1r/s，求物塊與圓盤間的靜摩擦力。【思路點撥】明確向心力的來源，知道向心加速度的大小此題便得到解決?！窘馕觥坑深}意可知，物塊 m做勻速圓周運動，其向心加速度a.二r 4.2 n2。對圓周運動的物塊受力分析：該物塊除受重力和支持力（一對平衡力）外，還受一個沿圓盤平面的摩擦力，這個摩擦力就是物塊受到的合力，也就是它做勻速圓周運動的向心力。所以有2 2f二man =mr4二n =0.394N,摩擦力的方向指向圓心?！究偨Y(jié)升華】靜摩擦力提供物塊做勻速圓周運動的向心力，方向沿著半徑指向圓心，切不可認(rèn)為與線速度的方向相反?！咀兪健浚?015 廣州十

14、二中學(xué)業(yè)檢測）如圖所示，質(zhì)量相等的 a、b兩物體放在圓盤上，至U圓心的距離之比是2:3，圓盤繞圓心做勻速圓周運動， 兩物體相對圓盤靜止，a、b兩物體做圓周運動的向心力之比是（）A . 1:1B . 3: 2C. 2:3D. 9:4【答案】C【解析】兩個物體是同軸轉(zhuǎn)動，因此角速度相等，質(zhì)量又相等，根據(jù)F =m2r可知，向心力之比aFbrb類型二、汽車轉(zhuǎn)彎問題例2、（2015浙江高考）如圖為一停車場的一個水平“U形彎道，轉(zhuǎn)彎處為圓心在 O點的半圓，內(nèi)外半徑分別為r和2r。一輛質(zhì)量為 m的賽車通過AB線經(jīng)彎道到達(dá) A z B /線，有如圖所示的、三條路 線，其中路線是以 O'為圓心的半圓，

15、OO/ =r。賽車沿圓弧路線行駛時，路面對輪胎的最大徑向靜摩 擦力為Fmax。選擇路線，賽車以不打滑的最大速率通過彎道（所選路線內(nèi)賽車速率不變，發(fā)動機功率足 夠大），則（）AWH5'-Mf ,IJ.A 選擇路線，賽車經(jīng)過的路程最短B .選擇路線，賽車的速率最小C 選擇路線，賽車所用時間最短D .、三條路線的圓弧上，賽車的向心加速度大小相等【答案】ACD【解析】由題意可知，以不打滑的最大速度通過彎道，不管選擇什么路徑，均是最大靜摩擦力提供向心力，2所以向心加速度相同，D正確。由公式：a =可得，半徑大的速率大，所以A正確，B錯誤；由前面r公式可以得到：V2二V3 =T'2vi，明

16、顯的軌道3的時間比2短，我們只需要比較(5和勺時間即可，則他們的時間分別是：右=蘭+衛(wèi)=(2 +兀)丄，上2=丄蘭=孚=丄所以：t2v t1, C正確。v1 v1v1v2V2 v1舉一反三【高清課程：勻速圓周運動題型分析例5】【變式】鐵路彎道的內(nèi)外側(cè)鐵軌往往不在同一水平面上，質(zhì)量為M的火車，以恒定的速率在水平面內(nèi)沿一段半徑為r的圓弧道轉(zhuǎn)彎，受力如圖所示，已知內(nèi)外鐵軌的傾角為：。(1 )車的速率Vo為多大時，使車輪對鐵軌的側(cè)壓力正好為零？(2)如果火車的實際速率 vvo,分析鐵軌對車輪的施力情況?！敬鸢浮縑o figrta當(dāng)v火車擠壓外軌當(dāng)v：v°火車擠壓內(nèi)軌類型三、豎直面上的勻速圓周

17、運動例3、飛行員駕機在豎直平面內(nèi)做勻速圓環(huán)特技飛行，若圓環(huán)半徑為1000m飛行速度為100m/s，求飛行在最高點和最低點時飛行員對座椅的壓力是自身重量的多少倍？(g=10m/s2)【思路點撥】飛機在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運動，分別在最高點和最低點對飛行員應(yīng)用牛頓第二定律即可求解?！窘馕觥繉︼w行員在圓周的最低點處和最高點處分別進(jìn)行受力分析，如圖所示：2在最低點時，R - mg =mX rmg rg2F2在最高點時，mg F2 =m rv2mg rg所以，飛機飛至最低點時，飛行員對座椅的壓力是自身重量的兩倍，飛至最高點時，飛行員對座椅無 壓力?！究偨Y(jié)升華】理解運動情景，正確的受力分析是解題的關(guān)鍵。類

18、型四、動力學(xué)綜合問題例4、如圖所示，已知繩長 =0.2m,水平桿長L=0.1m,小球的質(zhì)量 m=0.3kg，整個裝置可繞豎直軸轉(zhuǎn)動, 當(dāng)該裝置以某一角速度轉(zhuǎn)動時，繩子與豎直方向成30°角。（2）此時繩的張力是多大？【思路點撥】小球在裝置作用下，以豎直軸為圓心做勻速圓周運動，對小球進(jìn)行受力分析，結(jié)合數(shù)學(xué)知識 求出轉(zhuǎn)動半徑即可?！敬鸢浮?= 5.37 rad/s ，F(xiàn)= 3.46 N【解析】當(dāng)整個裝置以角速度轉(zhuǎn)動時，小球 m將做圓周運動，圓周運動的圓心在豎直軸上，且和m在同一水平面上。小球 m只受到兩個力的作用，重力 mg及繩子的拉力 F,而這兩個力的合力即為小球所受 到的向心力F向。用正交分解法和公式 F 向=ma向可得：F sin v - mr 2F cost - mg = 0由幾何知識可得r二L l si nr把已知數(shù)據(jù)代入得：F 1 =0.3 2r2F -0.3 10=021r =0.1 0.2 -2解得：亠 5.37 rad/s ，F(xiàn)= 3.46 N【總結(jié)升華】（1